ENS Mathématiques D MP 2020Sujet et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques D MP 2020 de l'ENS ?

Le sujet porte sur la topologie et la continuité des fonctions de R dans R, la connexité par arcs, le calcul différentiel avec le théorème d'inversion locale, les séries entières, et la combinatoire des permutations.

Q: Le sujet de Mathématiques D ENS MP 2020 est-il difficile ?

Oui. La moyenne s'établit à 4,9 sur 20 pour une médiane de 4,2, et aucune copie n'a traité plus des deux tiers des questions sur les 1247 copies reçues.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de l'ENS MP 2020 ?

Le jury relève une confusion fréquente entre déduction et implication, une faute de logique récurrente en question I.2.d, une mauvaise négation de la monotonie d'une fonction, et l'invocation de théorèmes hors programme sans justification suffisante.

Q: Faut-il traiter toutes les parties du sujet de Mathématiques D ENS MP 2020 ?

Non. Le rapport indique que traiter parfaitement deux des cinq parties suffisait à obtenir 20/20, la plupart des meilleures copies se concentrant sur la partie I et deux autres parties au maximum.

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Présentation du sujet

Difficile

La « forme » des graphes de fonctions simples : classes d'équivalence, théorème de Thom, permutations alternantes et homologie persistante

Le problème définit et étudie la notion de « forme » du graphe d'une fonction simple de R dans R, d'abord comme classe d'équivalence par composition avec des homéomorphismes croissants, puis comme permutation alternante associée à ses extremums. Il enchaîne avec un théorème de René Thom sur la réalisation polynomiale de toute forme, une partie combinatoire sur le dénombrement des permutations alternantes, une partie mêlant analyse et algèbre autour des fonctions L de Dirichlet, et une introduction algorithmique à l'homologie persistante.

1Partie I : notion de forme et déformation des graphesDéfinition de deux notions équivalentes de forme d'une fonction simple et étude de la connexité par arcs des classes d'équivalence.
2Partie II : théorème de ThomDémonstration à l'aide du calcul différentiel que toute forme est réalisée par le graphe d'une fonction polynomiale.
3Partie III : dénombrement combinatoireÉtablissement d'une formule récursive pour le cardinal des ensembles de permutations alternantes, selon une approche due à Vladimir Arnold.
4Partie IV : introduction aux fonctions L de DirichletÉtude des relations entre permutations alternantes et coefficients d'un développement en série entière, puis des propriétés de périodicité de ces coefficients modulo un nombre premier.
5Partie V : homologie persistanteIntroduction non formelle et algorithmique à l'homologie persistante et aux « codes-barres » dans le cas des sous-niveaux d'une fonction simple.

Difficile. L'épreuve était très longue, aucune copie n'a traité plus des deux tiers des questions et la moyenne s'établit à 4,9 sur 20, avec des parties II à V que presque aucun candidat ne parvient à traiter en profondeur.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 4,9 / 20 · 1 247 présents

Moyenne: 4,9/ 20
Présents: 1 247
Durée: 6 h
Médiane: 4,2

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre déduction et implication · Faute de logique en question I.2.d · Négation de la monotonie

Le jury a reçu 1247 copies pour une moyenne de 4,9 et une médiane de 4,2. L'épreuve était très longue : traiter parfaitement deux des cinq parties suffisait à obtenir 20/20, et parmi les 100 meilleures copies, presque toutes abordent la partie I complétée par deux (voire une seule) autre partie, la partie V n'étant que très peu abordée. Le jury souligne que la concision était nécessaire pour réussir, sans sacrifier la clarté de la rédaction.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre déduction et implication
Le jury signale l'usage abusif du symbole d'implication pour abréger la conjonction « donc », révélant une confusion entre déduction et implication.
« il est attendu que la différence d’ordre logique entre une déduction et une implication soit clairement comprise et maîtrisée »
2
Faute de logique en question I.2.dI.2.d
Une faute de logique de portée générale a souvent été décelée : conclure qu'une équivalence ne peut persister au seul motif qu'une hypothèse a été utilisée dans le raisonnement précédent.
« l’équivalence ne peut persister puisque l’hypothèse a été utilisée dans le raisonnement précédent »
3
Négation de la monotonie1.b
De nombreuses copies pensent à tort qu'une fonction continue non monotone est monotone par morceaux, ce qui est faux même pour une fonction de classe C-infini.
4
Invocation de résultats hors programme sans justificationPartie II, question 1.c
Le jury a veillé à ce que l'invocation de théorèmes hors programme, comme Banach-Picard ou Brouwer, sans argument ni explication précise, ne suffise pas à obtenir des points.
« invocation de résultats hors programme (théorèmes de Banach-Picard ou de Brouwer),sans aucun argument ou sans explication précise »
5
Développements limités imprécisPartie II
Les manipulations de développements limités ont conduit le plus souvent à des erreurs grossières consistant à négliger abusivement certains termes.
6
Fautes d'orthographe récurrentes
Le jury relève des fautes d'accord récurrentes et prévisibles, comme accorder « strict » ou « global » au féminin alors qu'ils qualifient un mot masculin.
« un extremum peut être strict mais certainement pas stricte »

Ce qui a été bien réussi

Les parties I, II et III ont chacune fait l'objet de traitements très satisfaisants dans certaines copies, bien que rarement les mêmes.
Traiter entièrement la partie I, y compris les questions délicates 2.c et 3.b, permettait déjà d'obtenir environ 9/20.
La question 1.a de la partie I a été traitée dans la quasi-totalité des copies, avec environ la moitié de réponses complètes.

Conseils du jury

Faire preuve de concision : il n'est presque jamais profitable de détailler sur plusieurs pages une question, sauf si elle est très difficile.
Ne pas sacrifier la clarté à la concision : introduire ses notations et éviter un style télégraphique mélangeant quantificateurs et français.
Utiliser des dessins pour illustrer les raisonnements, notamment en combinatoire, sans qu'ils remplacent l'approche formelle.
Ne pas invoquer de théorèmes hors programme sans justification précise des hypothèses requises.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

JEUDI 23 AVRIL 2020-8h00-14h00 FILIERE MP - Epreuve $n^\circ7$

MATHEMATIQUES D
(U)

Le sujet comprend 9 pages, numérotées de 1 à 9

Début du sujet

Définitions et notations

Si $A$ est un ensemble fini, on note $CardA$ son cardinal.
Pour $n \in ℕ^*$ , on note $Δ_n = {1, …, n}$ . Si $A$ est une partie de $ℝ$ de cardinal $n$ , on note $β_A$ l'unique bijection croissante de $A$ sur $Δ_n$ .
On note $Σ_n$ le groupe des bijections de $Δ_n$ sur $Δ_n$ . Si $n \geq 2$ , on note $MD(n)$ l'ensemble des éléments $σ \in Σ_n$ qui vérifient la condition (de montée-descente) :
pour $1 \leq k \leq n - 1 : σ(k) < σ(k + 1)$ si $k$ est impair, $σ(k) > σ(k + 1)$ si $k$ est pair;
et on note $DM(n)$ l'ensemble des éléments $σ \in Σ_n$ qui vérifient la condition (de descentemontée) :
pour $1 \leq k \leq n - 1 : σ(k) > σ(k + 1)$ si $k$ est impair, $σ(k) < σ(k + 1)$ si $k$ est pair.
Soit $f$ une fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ . Un maximum (resp. minimum) relatif de $f$ est un réel $x$ tel qu'il existe $ε > 0$ tel que $f(y) \leq f(x)$ (resp. $f(y) \geq f(x)$ ) pour tout $y \in ]x - ε, x + ε[$ . Un maximum (resp. minimum) relatif strict de $f$ est un réel $x$ tel qu'il existe $ε > 0$ tel que $f(y) < f(x)$ (resp. $f(y) > f(x)$ ) pour tout $y \in ]x - ε, x + ε[∖{x}$ . Un extremum relatif est un point de $ℝ$ qui est soit un maximum relatif, soit un minimum relatif. Un extremum relatif strict est un point de $ℝ$ qui est soit un maximum relatif strict, soit un minimum relatif strict.
La droite réelle sera toujours munie de la norme associée à la valeur absolue.
Une fonction $f$ de $ℝ$ dans $ℝ$ est dite simple si elle est continue, si l'ensemble $E(f)$ des extremums relatifs de $f$ est fini et si la restriction de $f$ à $E(f)$ est injective.
On note $S$ l'ensemble des fonctions simples de $ℝ$ dans $ℝ$ , et, pour $n \in ℕ$ , on note $S_n$ l'ensemble des fonctions $f \in S$ telles que $CardE(f) = n$ . On note enfin $S_* = \cup _(n \geq 2)S_n$ .
Les composantes connexes par arcs d'une partie d'un espace normé seront simplement appelées les composantes de cette partie.
On note $ℝ[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels. Si $P = \sum_(i = 0)^n a_i X^i \in ℝ[X]$ et si $𝒜$ est une algèbre sur $ℝ$ , pour $x \in 𝒜$ on pose $P(x) = \sum_(i = 0)^n a_i x^i$ .

Les parties II, III, IV, V sont indépendantes.

Partie I

a. Vérifier que les extremums relatifs des fonctions de $S$ sont stricts.
b. Soit $f \in S$ . Montrer que la restriction de $f$ à l'adhérence de chaque composante de $ℝ∖E(f)$ est strictement monotone. En déduire que si $x \in E(f)∖{MaxE(f)}$ est un maximum (resp. minimum) relatif, le plus petit élément $y$ de $E(f)$ vérifiant $y > x$ est un minimum (resp. maximum) relatif.
c. Soit $f \in S_n$ avec $n \geq 2$ . On pose $ℰ(f) = f(E(f))$ . Soit $σ_f$ l'élément de $Σ_n$ défini par

σ_f = β_(ℰ(f)) \circ f \circ β_(E(f))^(- 1)

Montrer que

σ_f \in MD(n) \cup DM(n)

.
2. On définit une relation

\sim surS

de la manière suivante : pour tout couple

(f, g)

S^2, f \sim g

si et seulement si il existe deux bijections continues

φ : ℝ \to ℝ

ψ : ℝ \to ℝ

, strictement croissantes, qui vérifient

f = ψ \circ g \circ φ

.
a. Vérifier que

\sim

est une relation d'équivalence sur

S

et montrer que chaque classe d'équivalence de

\sim

est contenue dans l'un des ensembles

S_n, n \in ℕ

.
b. Soient

n \in ℕ^*

{u_1, …, u_n}, {v_1, …, v_n}

des parties de

ℝ

qui vérifient

u_1 < \dots < u_n

v_1 < \dots < v_n

. Vérifier qu'il existe une bijection continue

χ : ℝ \to ℝ

strictement croissante telle que

χ(u_k) = v_k

pour

1 \leq k \leq n

.
c. On suppose que

f

g

sont dans

S_*

et que

lim_(x \to \pm \infty)|f(x)| = + \infty, lim_(x \to \pm \infty)|g(x)| = + \infty

Démontrer que

f \sim g

si et seulement si

σ_f = σ_g

.
d. L'équivalence précédente subsiste-t-elle pour deux fonctions

f

g

quelconques de

S_*

?
3. On note

C_b^0

l'espace des fonctions continues bornées de

ℝ

dans

ℝ

, que l'on munit de la norme uniforme :

‖f‖ = Sup_(x \in ℝ)|f(x)|

pour

f \in C_b^0

.
a. Soient

n ∈ ℕ^∗, {u_1, …, u_n} ⊂ ℝ

{v_1, …, v_n} ⊂ ℝ

avec

u_1 < \dots < u_n

v_1 < \dots < v_n

. Montrer qu'il existe une application continue

ζ : [0, 1] \times ℝ \to ℝ

telle que :

pour $s \in [0, 1]$ , la fonction $x \mapsto ζ(s, x)$ est une bijection strictement croissante de $ℝ$ sur $ℝ$ ,
$- ζ(0, x) = x$ pour $x \in ℝ$ et $ζ(1, u_k) = v_k, 1 \leq k \leq n$ .
b. Démontrer que les classes d'équivalence de la restriction de $\sim$ à $S_* \cap C_b^0$ sont connexes par arcs.
c. Donner un exemple d'arc continu $γ : [0, 1] \to S \cap C_b^0$ tel que $γ(0) \in S_0$ et $γ(1) \in S_2$ .

Partie II

Dans cette partie, pour

n \in ℕ

, on note

𝒫_n

l'espace des fonctions polynômiales de

ℝ

dans

ℝ

de degré au plus

n

Soit $n \in ℕ^*$ . On note Id l'application identique de $ℝ^n$ . On munit $ℝ^n$ d'une norme notée $‖‖$ et l'espace des applications linéaires de $ℝ^n$ dans $ℝ^n$ de la norme associée, encore notée $‖‖$ . Pour $x \in ℝ^n$ et $r \in ℝ^+$ , on note $B(x, r)$ (resp. $B(x, r]$ ) la boule ouverte (resp. fermée) de centre $x$ et de rayon $r$ . Soit $O$ un ouvert de $ℝ^n$ contenant 0 et soit $f : O \to ℝ^n$ une application de classe $C^1$ telle que $f(0) = 0$ et dont la différentielle $φ$ en 0 est inversible.
a. On pose

g = Id - φ^(- 1) \circ f

Montrer que

g

est de classe

C^1

sur

O

et qu'il existe

ε > 0

tel que

B(0, ε) \subset O

‖Dg(x)‖ \leq 1/2

pour

x \in B(0, ε)

. En déduire que

f

est injective dans

B(0, ε)

.
b. Soit

0 < r < ε

et soit

z_0 \in B(0, r/2)

. On pose

h(x) = g(x) + z_0

pour

x \in O

. Montrer que

h(B(0, r]) \subset B(0, r]

c. Montrer qu'il existe

a \in B(0, r]

tel que

f(a) = φ(z_0)

.
d. Soient

W = φ(B(0, r/2))

V = f^(- 1)(W) \cap B(0, ε)

. Montrer que

V

W

sont ouverts et que

f_(|V)

est un homéomorphisme de

V

sur

W

.
2. Soit

O

un ouvert de

ℝ^n

et soit

f : O \to ℝ^n

une application de classe

C^1

dont la différentielle en

x

est inversible pour tout

x \in O

. Démontrer que l'image par

f

d'un ouvert de

O

est un ouvert de

ℝ^n

.
3. Pour

n \geq 2

, soit

O_(n − 1) = {(x_1, …, x_(n − 1)) ∈ ℝ^(n − 1)|0 < x_1 < x_2 < ⋯ < x_(n − 1)}

et soit

U_(n - 1)

l'ensemble des

(n - 1)

-uples

(y_1, \dots, y_(n - 1)) \in ℝ^(n - 1)

tels que

0 < y_1, y_i > y_(i + 1)

i \in {1, \dots, n - 2}

est impair,

y_i < y_(i + 1)

i \in {1, \dots, n - 2}

est pair.
Pour

x \in O_(n - 1)

, on définit la fonction

π_x \in 𝒫_n

par

π_x(t) = t(x_1 - t)\dots(x_(n - 1) - t)

. On définit l'application

Y = (Y_1, \dots, Y_(n - 1)) : O_(n - 1) \to ℝ^(n - 1)

par

Y_i(x) = \int_0^(x_i)π_x(u)du, x = (x_1, \dots, x_(n - 1)) \in O_(n - 1)

a. Soient

j \in {1, \dots, n - 1}

x \in O_(n - 1)

. Montrer que

d_(x, j) : t \mapsto \int_0^t u\prod_(1 \leq ℓ \leq n - 1, ℓ \neq j)(x_ℓ - u)du

est dans

𝒫_n

et s'annule avec sa dérivée en 0 . En déduire l'existence de

χ_(x, j) \in 𝒫_(n - 2)

vérifiant

\forallt \in ℝ, d_(x, j)(t) = t^2 χ_(x, j)(t)

b. Pour

x \in O_(n - 1)

(i, j) ∈ {1, …, n − 1}^2

, montrer l'existence de

(\partialY_i)/(\partialx_j)(x)

et vérifier que

(\partialY_i)/(\partialx_j)(x) = d_(x, j)(x_i)

En déduire que

Y

est une application de classe

C^1

sur l'ouvert

O_(n - 1)

, à valeurs dans

U_(n - 1)

.
c. Démontrer que pour

x \in O_(n - 1)

, la partie

{χ_(x, j)|j ∈ {1, …, n − 1}}

est une base de

𝒫_(n - 2)

.
d. En déduire que la différentielle de

Y

au point

x

est inversible.
4. Pour

n \in ℕ

, une fonction de

𝒫_n

est dite unitaire lorsque le coefficient de son terme de degré

n

est 1 . On note

𝒫_n^u

l'ensemble de ces fonctions. On note

C_n = Inf{∫_0^1|f(t)|dt|f ∈ 𝒫_n^u}

.
a. Montrer que

C_n > 0

.
b. Pour

n \geq 2

, démontrer que si

x \in O_(n - 1)

(x_(n - 1))^(n + 1) \leq 1/(C_n)[Y_1(x) + \sum_(i = 1)^(n - 2)(- 1)^i(Y_(i + 1)(x) - Y_i(x))].

c. Vérifier que l'application

Y

se prolonge continûment à l'adhérence de

O_(n - 1)

.
d. Montrer que si

K

est un compact de

ℝ^(n - 1)

contenu dans

U_(n - 1), Y^(- 1)(K)

est compact.
5. Montrer que

Y(O_(n - 1))

est ouverte et fermée dans

U_(n - 1)

et en déduire que

Y

est surjective.
6. Montrer que pour tout

n \in ℕ

, pour toute fonction

f

S_n

vérifiant

lim_(x \to \pm \infty)|f(x)| = \pm \infty

, il existe un élément

g \in 𝒫_(n + 1)

tel que

f \sim g

(où

\sim

est la relation définie en I.2).

Partie III

Soit

n \in ℕ^*

. Pour

k \in ℕ

, on note

B(n, k)

l'ensemble des applications

σ \in MD(n + 1)

telles que

σ(2) - σ(1) = k + 1

Pour

k \in ℕ

s \in ℕ

, on note

C(n, s, k)

l'ensemble des éléments

σ

MD(n + 2)

tels que

σ(2) - σ(1) = s + 1, n + 2 - σ(2) = k.

Pour $m \geq 2$ vérifier que l'application $Opp : Σ_m \to Σ_m$ , qui à $σ \in Σ_m$ associe $η \in Σ_m$ défini par

η(i) = m + 1 - σ(i),

est une bijection vérifiant

Opp(MD(m)) = DM(m)

Opp(DM(m)) = MD(m)

. Vérifier que si

σ \in Σ_m

et si

i, j

sont des éléments de

{1, \dots, m}

vérifiant

σ(j) > σ(i)

σ(j) − σ(i) = 1 + Card{k ∈ Δ_m|σ(i) < σ(k) < σ(j)}.

À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur $n$ et $k$ l'ensemble $B(n, k)$ est-il non vide? À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur $n, s$ et $k$ l'ensemble $C(n, s, k)$ est-il non vide?
Dans cette question et la suivante, on fixe $n \geq 2, 1 \leq k \leq n - 1$ et $1 \leq s \leq n - k$ . On se propose de construire une bijection de $C(n, s, k)$ sur $B(n, k)$ . Soit $σ \in C(n, s, k)$ .
a. Vérifier que le nombre $m$ d'entiers $j \geq 4$ tels que $σ(j) > σ(3)$ vérifie $m \geq k$ . On note $j_1, \dots, j_m$ ces entiers, que l'on ordonne de telle manière que $σ(j_1) < σ(j_2) < \dots < σ(j_m)$ .
b. On considère la fonction $ξ : Δ_(n + 1) → ℕ ∪ {σ(j_k) + 1/2}$ définie par

ξ(1) = σ(j_k) + 1/2, ξ(2) = σ(3), \dots, ξ(n + 1) = σ(n + 2)

Montrer que

ξ

vérifie

ξ(p) > ξ(p + 1) pour p impair, ξ(p) < ξ(p + 1) pour p pair,

et que l'intervalle

]ξ(2), ξ(1)[

contient exactement

k

éléments de

{ξ(3), \dots, ξ(n + 1)}

.
c. On note

A = ξ(Δ_(n + 1))

et on pose

ξ¯ = β_A \circ ξ

(on rappelle que

β_A

désigne l'unique bijection croissante de

A

sur

Δ_(n + 1)

). Montrer que

ξ¯ \in DM(n + 1)

.
d. Soit

η = Opp(ξ¯)

. Vérifier que

η \in B(n, k)

On note

Ψ_(n, s, k)

l'application de

C(n, s, k)

dans

B(n, k)

définie par

Ψ_(n, s, k)(σ) = η

.
4. Soit

η \in B(n, k)

et soit

ξ = Opp(η)

.
a. Vérifier que le nombre

m

d'entiers

j \geq 3

tels que

ξ(j) > ξ(2)

vérifie

m \geq k

. On note

j_1, \dots, j_m

ces entiers, avec

ξ(j_1) > ξ(j_2)\dots > ξ(j_m)

.
b. On pose

u_2 = ξ(j_k) - 1/2 > ξ(2)

. Montrer que le nombre

m^'

d'entiers

i \geq 2

tels que

ξ(i) < u_2

vérifie

m^' \geq s

. On les note

i_1, \dots, i_(m^')

, avec

ξ(i_1) > \dots > ξ(i_(m^'))

et on pose

u_1 = ξ(i_s) - 1/2

.
c. En considérant l'application

θ

définie par

θ(1) = u_1, θ(2) = u_2, θ(3) = ξ(2), \dots, θ(n + 2) = ξ(n + 1),

montrer l'existence de

σ \in C(n, s, k)

vérifiant

Ψ_(n, s, k)(σ) = η

.
d. Montrer que

Ψ_(n, s, k)

est bijective.
5. Donner un procédé de calcul de

CardMD(n)

par récurrence.

Partie IV

On note $E_n = CardMD(n)$ et $ℐ_n$ l'ensemble des nombres impairs de $Δ_n$ .
a. Démontrer que pour $n \geq 1 : E_(n + 1) = \sum_(i \in ℐ_(n + 1))(n/(i - 1))E_(i - 1)E_(n + 1 - i)$ .
b. En déduire que pour $n \geq 1 : 2E_(n + 1) = \sum_(i = 0)^n(n/i)E_i E_(n - i)$ .
a. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum(E_n)/(n!)x^n$ est $\geq 1$ .
b. Pour $|x| < 1$ , on note $f(x)$ la somme de la série entière précédente. Démontrer que

2f^'(x) = f^2(x) + 1, \forallx \in ] - 1, 1[

c. En déduire que

f(x) = tan(x/2 + π/4) = 1/(cosx) + tanx, \forallx \in ] - 1, 1[

, puis que

1/(cosx) = \sum_(n = 0)^\infty(E_(2n))/((2n)!)x^(2n), tanx = \sum_(n = 0)^\infty(E_(2n + 1))/((2n + 1)!)x^(2n + 1), \forallx \in ] - 1, 1[.

Pour une fonction $f : ℝ \to ℝ$ de classe $C^\infty$ et $n \in ℕ$ , on note $f^((n))$ la dérivée d'ordre $n$ de $f$ , avec la convention $f^((0)) = f$ . On note $D : ℝ[X] \to ℝ[X]$ l'unique application linéaire telle que

D(X^0) = 0, D(X^k) = k(X^(k - 1) + X^(k + 1)), \forallk \in ℕ^*

Pour

n \in ℕ^*

, on note

D^n

la composée d'ordre

n

D

, avec la convention

D^0 = Id

.
a. Soit

P_n = D^n(X)

. Démontrer que pour

n \in ℕ, tan^((n))(x) = P_n(tanx)

pour

x \in ] - π/2, π/2[

.
b. Pour

m \in ℕ^*

, soit

V_m

le sous-espace de

ℝ[X]

engendré par

{X, …, X^m}

. Soit

ι_m

l'injection canonique de

V_m

dans

ℝ[X]

et soit

τ_m : ℝ[X] \to V_m

la projection linéaire définie par

τ_m(X^k) = X^k

k \in {1, \dots, m}

τ_m(X^k) = 0

sinon. On pose enfin

δ_m = τ_m \circ D \circ ι_m

. Vérifier que

δ_m

est une application linéaire de

V_m

dans

V_m

et écrire sa matrice

M_m

dans la base

(X, \dots, X^m)

.
4. Soit

C_m \in ℝ[Y]

le polynôme caractéristique de

M_m

.
a. Vérifier que

C_1 = Y, C_2 = Y^2 - 2

C_m = YC_(m - 1) - m(m - 1)C_(m - 2), m \geq 3

b. Calculer le déterminant de

M_m

.
c. Démontrer que, si

e_m

désigne la partie entière de

m/2

C_m = \sum_(k = 0)^(e_m)(- 1)^k c_(m, k)Y^(m - 2k)

avec

c_(m, 0) = 1; c_(m, k) = \sum_((a_1, \dots, a_k) \in J_k(m))a_1(a_1 + 1)a_2(a_2 + 1)\dotsa_k(a_k + 1), 1 \leq k \leq e_m;

où

J_k(m)

désigne l'ensemble des

k

-uples d'entiers de

{1, \dots, m - 1}

tels que

a_i + 2 \leq a_(i + 1)

pour

1 \leq i \leq k - 1

.
5. Dans la suite de cette partie,

p

désigne un entier premier impair fixé. On pourra utiliser sans démonstration le théorème de Wilson :

(p - 1)! + 1 \equiv 0 [p]

On note

ℤ_p

le corps

ℤ/pℤ

et si

a \in ℤ

, on note

a¯

sa classe dans

ℤ_p

. Pour

1 \leq k \leq e_p

, on note

P_k

l'ensemble des parties

P

k

éléments de

ℤ_p

vérifiant la condition

\forallα \in P, α + 1 \notin P.

a. Pour

P = {α_1, …, α_k} ∈ P_k

α \in ℤ_p

, on pose

τ_α(P) = {α_1 + α, …, α_k + α}

. Montrer que l'application

α \mapsto τ_α

est un morphisme de (

ℤ_p, +

) dans le groupe des bijections de

P_k

.
b. On définit une relation

ℛ

entre éléments de

P_k

de la manière suivante : si

A, B

sont dans

P_k, AℛB

si et seulement si il existe

α \in ℤ_p

tel que

B = τ_α(A)

. Montrer que

ℛ

est une relation d'équivalence sur

P_k

, et que chaque classe d'équivalence est de cardinal

p

et admet un représentant de la forme

{0^–, a¯_2, …, a¯_k}

avec

0 < a_2 < \dots < a_k < p

. On choisit un tel représentant pour chaque classe et on note

R

l'ensemble des représentants ainsi choisis.
c. Démontrer que

c_(p − 1, k)^– = ∑_({0, …, a_k} ∈ R)∑_(1 ≤ ℓ ≤ p − 1)ℓ¯ℓ + 1^–a_2 + ℓ^–a_2 + ℓ + 1^–⋯a_k + ℓ^–a_k + ℓ + 1^–.

a. Pour $q \in ℕ$ , on pose $S_q = \sum_(ℓ = 0)^(p - 1)ℓ^q$ . Observer que $p$ divise $\sum_(ℓ = 0)^(p - 1)((ℓ + 1)^(q + 1) - ℓ^(q + 1))$ et en déduire par récurrence que $p$ divise $S_q$ pour $0 \leq q \leq p - 2$ .
b. Soient $Z = [z_(ij)]$ et $Z^' = [z_(ij)^']$ deux matrices carrées d'ordre $N$ à éléments dans $ℤ$ . On définit la relation $Z \equiv Z^'[p]$ par $z_(ij) \equiv z_(ij)^'[p]$ pour $1 \leq i, j \leq N$ . Démontrer que

(M_(p - 1))^((p - 1)) \equiv (- 1)^((p - 1)/2)Id [p]

c. Que peut-on dire d'un polynôme

Q

à coefficients entiers tel que

Q(M_(p - 1)) \equiv 0[p]

?
7. On rappelle que

E¯_n

désigne la classe de

E_n = CardMD(n)

dans

ℤ_p

.
a. Montrer que

E_(2n + 1) \equiv u_(2n)[p]

, où

u_m

est le coefficient sur le terme

X

de la décomposition de

δ_(p - 1)^m(X)

dans la base

(X, \dots, X^(p - 1))

.
b. Démontrer que la suite

(E¯_(2n + 1))_(n \in ℕ)

est périodique, de période minimale

(p - 1)/2

p \equiv 1

[4] et de période minimale (

p - 1

) si

p \equiv 3

[4].
c. Indiquer les modifications à apporter aux questions précédentes pour montrer un résultat analogue pour la suite

(E¯_(2n))_(n \in ℕ)

Partie V

On note

Sˆ

l'ensemble des

f \in S_*

vérifiant

lim_(x \to - \infty)f(x) = - \infty

lim_(x \to + \infty)f(x) = + \infty

. Dans cette partie, on dira simplement

≪

minimum

≫

pour

≪

minimum relatif

≫

≪

maximum

≫

pour

≪

maximum relatif

≫

. On note

Mi(f)

l'ensemble des minimums de

f

Ma(f)

l'ensemble des maximums de

f

, donc

E(f) = Mi(f) \cup Ma(f)

Soit $f \in Sˆ$ .
a. Vérifier que $CardMi(f) = CardMa(f)$ et que pour $y \in ℝ, f^(- 1)(] - \infty, y[)$ est la réunion d'intervalles ouverts non vides et deux à deux disjoints. On note $ℐ(y)$ leur ensemble.
b. Montrer que pour tout élément $M$ de $Ma(f)$ , il existe un unique couple $(I_-(M), I_+(M))$ d'éléments de $ℐ(f(M))$ tels que $M = SupI_-(M) = InfI_+(M)$ .
c. Montrer que $I_+(M)$ est de la forme $]M, b[$ avec $b \in ]M, + \infty[$ vérifiant $f(b) = f(M)$ . Que peut-on dire de $I_-(M)$ ?
Soit $f \in Sˆ$ . On note $Ma(f) = {M_1, …, M_μ}$ avec $f(M_1) < f(M_2) < \dots < f(M_μ)$ . Montrer qu'il est possible de définir une bijection $Φ$ de $Ma(f)$ dans $Mi(f)$ par récurrence de la manière suivante :

$Φ(M_1)$ est le minimum de $f$ contenu dans $I_-(M_1) \cup I_+(M_1)$ dont l'image par $f$ est la plus grande des images par $f$ des minimums contenus dans $I_-(M_1) \cup I_+(M_1)$ ;
pour $2 \leq k \leq μ, Φ(M_k)$ est le minimum de $f$ contenu dans $I_-(M_k) \cup I_+(M_k)$ dont l'image par $f$ est la plus grande des images par $f$ des minimums contenus dans $I_-(M_k) \cup I_+(M_k)$ et n'appartenant pas à $Φ({M_1, …, M_(k − 1)})$ .
On dira que $Φ$ est la bijection associée à $f$ .

Soit $f \in Sˆ$ . On fixe $R \in ℝ^(* +)$ tel que $E(f) \subset ] - R, R[$ et on note $Sˆ(f, R)$ l'ensemble des fonctions $g$ de $Sˆ$ qui coïncident avec $f$ sur le complémentaire de $] - R, R[$ . Pour $g \in Sˆ(f, R)$ , on pose

‖g - f‖_R = Sup_(x \in ℝ)|g(x) - f(x)|

a. Montrer qu'il existe

ε_0 > 0

tel que si

g \in Sˆ(f, R)

vérifie

‖g - f‖_R < ε_0

CardE(g) \geq CardE(f)

b. Montrer que pour tout

ε > 0

et tout entier pair

μ \geq E(f)

, il existe

g \in Sˆ(f, R)

vérifiant

‖g - f‖_R < ε

et telle que

CardE(g) = μ

.
4. Soit

f \in Sˆ

et soit

Φ

sa bijection associée. Le code de

f

est l'ensemble

C(f) = {f(M) - f(Φ(M))|M \in Ma(f)} \cup {0}

On se propose dans la suite de cette partie de montrer que le code varie continûment avec la fonction, dans un sens approprié.

On fixe

f \in Sˆ

et un réel

R > 0

comme dans la question précédente, dont on conserve les notations. On fixe

ε > 0

.
a. On pose

γ_0(f, R) = 1/2Min(Min_((x, x^') \in E(f)^2, x \neq x^')|x - x^'|, R - MaxE(f), MinE(f) + R)

Vérifier que

γ_0(f, R) > 0

et vérifier qu'il existe

γ \in ]0, γ_0(f, R)[

tel que

\forallx \in E(f), |f(x) - f(x - γ)| < ε/4, |f(x) - f(x + γ)| < ε/4.

Dans la suite de cette question on suppose que

γ

est ainsi choisi.
Pour une fonction

h \in S

et pour tout élément

x \in E(h)∖{MaxE(h)}

, on appellera successeur de

x

pour

h

le plus petit élément de

E(h)

qui est strictement supérieur à

x

.
b. Soit

m¯ \in Mi(f)∖{MaxE(f)}

et soit

M¯ \in Ma(f)

le successeur de

m¯

pour

f

. Montrer l'existence de

α_0 > 0

tel que pour

g \in Sˆ(f, R)

vérifiant

‖g - f‖_R < α_0

, pour tout maximum

M

g

dans

[m¯ - γ, M¯ - γ]

, le successeur de

M

pour

g

est dans

[m¯ - γ, M¯]

.
c. On conserve les hypothèses de la question précédente sur

m¯

M¯

. Montrer l'existence de

α_1 \in ]0, α_0[

tel que pour

g \in Sˆ(f, R)

vérifiant

‖g - f‖_R < α_1

, pour tout maximum

M

g

dans

[m¯ - γ, M¯ - γ]

, le successeur

m

M

pour

g

vérifie

g(M) - g(m) < ε

.
d. Soit

M¯ \in Ma(f)∖{MaxE(f)}

et soit

m¯ \in Mi(f)

le successeur de

M¯

pour

f

. Montrer brièvement l'existence de

α_2 > 0

tel que pour

g \in Sˆ(f, R)

vérifiant

‖g - f‖_R < α_2

, pour tout minimum

m

g

dans

[M¯ - γ, m¯ - γ]

, le successeur

M

m

pour

g

vérifie

g(M) - g(m) < ε

.
e. Étudier sans démonstration le cas des maximums et minimums contenus dans les intervalles

[ - R, MinE(f) - γ]

ou de la forme

[MaxE(f) - γ, R]

.
5. On fixe

f \in Sˆ

, de bijection associée

Φ

, et un réel

R > 0

comme dans la question précédente.
a. Montrer qu'il existe

ε_0

tel que si

0 < ε < ε_0

et si

γ > 0

vérifie (1) et (2), il existe

α > 0

tel que pour toute fonction

g \in Sˆ(f, R)

vérifiant

‖g - f‖_R < α

, pour tout couple

(m, M) \in Mi(f) \times Ma(f)

vérifiant

m = Φ(M)

, alors

m_g = Φ_g(M_g)

où

g(m_g) = Min_(x \in [m - γ, m + γ])g(x), g(M_g) = Max_(x \in [M - γ, M + γ])g(x),

et où

Φ_g

est la bijection associée à

g

.
b. Pour une partie finie

C

ℝ

et un réel

x

, on pose

d_C(x) = Min{|x − y||y ∈ C}

. Si

C

C^'

sont deux parties finies de

ℝ

, on pose

H(C, C^') = Max(Max_(x^' \in C^')d_C(x^'), Max_(x \in C)d_(C^')(x))

Montrer qu'il existe

α > 0

tel que si

g \in Sˆ(f, R)

vérifie

‖g - f‖_R < α

, alors

H(C(g), C(f)) < ε

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques D MP 2020 de l'ENS ?

Le sujet porte sur la topologie et la continuité des fonctions de R dans R, la connexité par arcs, le calcul différentiel avec le théorème d'inversion locale, les séries entières, et la combinatoire des permutations.

Le sujet de Mathématiques D ENS MP 2020 est-il difficile ?

Oui. La moyenne s'établit à 4,9 sur 20 pour une médiane de 4,2, et aucune copie n'a traité plus des deux tiers des questions sur les 1247 copies reçues.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de l'ENS MP 2020 ?

Le jury relève une confusion fréquente entre déduction et implication, une faute de logique récurrente en question I.2.d, une mauvaise négation de la monotonie d'une fonction, et l'invocation de théorèmes hors programme sans justification suffisante.

Faut-il traiter toutes les parties du sujet de Mathématiques D ENS MP 2020 ?

Non. Le rapport indique que traiter parfaitement deux des cinq parties suffisait à obtenir 20/20, la plupart des meilleures copies se concentrant sur la partie I et deux autres parties au maximum.

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JEUDI 23 AVRIL 2020-8h00-14h00 FILIERE MP - Epreuve n^∘7

MATHEMATIQUES D (U)

Le sujet comprend 9 pages, numérotées de 1 à 9

Début du sujet

Définitions et notations

Les parties II, III, IV, V sont indépendantes.

Partie I

Partie II

Partie III

Partie IV

Partie V

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques D MP 2020 de l'ENS ?

Le sujet de Mathématiques D ENS MP 2020 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de l'ENS MP 2020 ?

Faut-il traiter toutes les parties du sujet de Mathématiques D ENS MP 2020 ?

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JEUDI 23 AVRIL 2020-8h00-14h00 FILIERE MP - Epreuve $n^\circ7$

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