ENS Mathématiques D MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Réduction et valeurs propres, rayon spectral
Normes matricielles et normes subordonnées
Suites sous-additives et lemme de Fekete
Probabilités : indépendance, loi des grands nombres, espérance
Inégalités classiques (Cauchy-Schwarz, Jensen)

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Présentation du sujet

Difficile

Produits de matrices aléatoires : le théorème de Furstenberg-Kesten

Le sujet démontre une version faible du théorème de Furstenberg-Kesten (1960) sur la convergence en probabilité du rayon spectral d'un produit de matrices aléatoires, présenté comme l'analogue non commutatif de la loi des grands nombres. Il est découpé en quatre parties relativement indépendantes, précédées d'une question préliminaire sur le cas scalaire.

1Partie I : puissance d'une matrice et théorème de GelfandÀ partir de la norme subordonnée et du rayon spectral, cette partie centrée sur l'algèbre linéaire établit le théorème de Gelfand sur le comportement asymptotique des puissances d'une matrice.
2Partie II : exposants de Lyapunov via la sous-additivitéCette partie d'analyse et de probabilités obtient une version en espérance de la convergence à l'aide des suites sous-additives (lemme de Fekete) et introduit les constantes ℓ(μ) et ξ(μ).
3Partie III : calcul de ℓ(μ) et ξ(μ) dans des cas particuliersCette partie traite des exemples explicites : matrices diagonales, matrices commutantes, puis l'exemple dit de "l'échangeur".
4Partie IV : le théorème de Furstenberg-KestenCette dernière partie prouve le théorème à proprement parler, en renforçant la convergence en espérance de la partie II en convergence en probabilité.

Difficile. La moyenne s'établit à 2,82/20 et une seule copie sur 1067 a eu le temps d'aborder l'essentiel des questions.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 2,82 / 20 · écart-type 4,07 · 1 067 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 2,82/ 20
Écart-type: 4,07
Copies: 1 067

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Sous-multiplicativité de la norme subordonnée bâclée · Récurrences fastidieuses et rédaction lourde · Cas nilpotent et divisions par 0 oubliées

Le jury souligne que le sujet contenait des questions de difficultés très variées, les plus dures pesant environ dix fois plus que les questions simples. Traiter correctement deux parties sur quatre suffisait pour obtenir une très bonne note, mais la quasi-totalité des candidats n'ont pu traiter qu'une petite partie du sujet. Le jury note aussi deux coquilles dans l'énoncé, pour lesquelles les copies qui les ont repérées ont été récompensées d'un bonus.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Sous-multiplicativité de la norme subordonnée bâcléeI.1
Pour établir cette propriété de base en question I.1, l'utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz a été une erreur récurrente.
« Cauchy-Schwarz fut une erreur récurrente. »
2
Récurrences fastidieuses et rédaction lourdeI.3.a
En I.3.a), beaucoup de candidats se sont lancés dans des récurrences longues et peu argumentées sans voir que le troisième point découlait directement des deux autres.
« la récurrence n'est pas un argument en soi ! »
3
Cas nilpotent et divisions par 0 oubliéesI.3.c
En I.3.c), il fallait faire attention au cas d'une matrice nilpotente pour éviter des divisions par 0, une difficulté que beaucoup n'ont remarquée qu'à la question suivante.
« Les divisions par 0 sont à proscrire. »
4
Rayon spectral d'un produit confondu avec le produit des rayons spectrauxII.2.a
En II.2.a) comme en III.1.a), certains candidats ont affirmé à tort que le rayon spectral d'un produit de matrices est le produit des rayons spectraux.
5
Argument d'indépendance omis dans la première question probabilisteII.2.b
En II.2.b), l'égalité en loi des M^(i) seule ne suffit pas : il faut invoquer l'indépendance pour caractériser la loi du n-uplet de matrices.
« il faut évoquer l'indépendance pour caractériser la loi du n-uplet. »
6
Justification insuffisante en I.5I.5
Un simple renvoi à l'équivalence des normes en dimension finie, sans argument précis, n'a pas été jugé suffisant par les correcteurs.

Ce qui a été bien réussi

La question I.4, qui conclut le théorème de Gelfand dans le cas général, a été plutôt bien traitée.
La question I.6.a, utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, a été bien réussie par les copies qui l'ont abordée.
Les questions III.3.f et III.3.g, sur l'exemple de "l'échangeur", ont été réussies lorsqu'elles ont été abordées.
Les candidats ayant repéré les erreurs d'énoncé en I.6.b et II.1.a) ont été gratifiés d'un bonus.

Conseils du jury

Mieux vaut traiter correctement deux parties en profondeur que de grappiller des points isolés dans toutes les parties : le grappillage n'a pas été récompensé.
La concision et la précision de la rédaction sont un élément clé de la notation, même quand les idées restent incomplètes.
Il faut préciser explicitement quelle inégalité est utilisée (Cauchy-Schwarz, Jensen) plutôt que de l'appliquer sans le nommer.
Le principe de récurrence ne doit pas être invoqué de manière mécanique : il faut formuler clairement l'énoncé à démontrer par récurrence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2021

JEUDI 15 AVRIL 2021
08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve

n^\circ7

MATHEMATIQUES D (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 7 pages, numérotées de 1 à 7 .

Début du sujet

Produit de matrices aléatoires: le théorème de Furstenberg-Kesten

Notations : Dans tout le problème,

d ⩾ 1

est un entier fixé. On note

M_d(ℂ)

l'ensemble des matrices carrées

d \times d

à coefficients dans

ℂ

GL_d(ℂ)

le sous-ensemble des matrices inversibles. On note

‖ \cdot ‖

la norme usuelle

‖x‖ = \sqrt(\sum_(i = 1)^d|x_i|^2)

sur

ℂ^d

‖‖ \cdot ‖‖

sa norme opérateur associée i.e

‖A‖ = sup{‖Ax‖ : x ∈ ℂ^d tel que ‖x‖ = 1}, pour A ∈ M_d(ℂ).

(X_n)_(n ⩾ 1)

sont des variables aléatoires réelles, on dit que (

X_n

) converge en probabilité vers

ℓ \in ℝ

, et on note

X_n\to-_(n \to \infty)^((ℙ))ℓ

, si

\forallε > 0, ℙ(|X_n - ℓ| > ε) ⟶ _(n \to \infty)0.

On considère

μ

une mesure de probabilité sur

GL_d(ℂ)

de support

S = {s_1, s_2, …, s_k}

fini, i.e. pour

1 ⩽ i ⩽ k

μ({s_i}) = p_i avec p_1, p_2, ⋯, p_k > 0, p_1 + ⋯ + p_k = 1.

On suppose construit, sur un espace probabilisé

(Ω, F, ℙ)

, une suite

M^((1)), M^((2)), \dots, M^((n)), \dots

de matrices aléatoires indépendantes et à valeurs dans

S

identiquement distribuées de loi

μ

. Le but principal du problème est d'étudier le produit de matrices aléatoires inversibles

Ψ_n:=M^((n)) \cdot M^((n - 1))\dotsM^((1))

quand

n \to \infty

et d'établir le théorème de Furstenberg-Kesten (1960): il existe une constante

ℓ(μ) \in ℝ

telle que

1/nlog‖|Ψ_n‖\to-_(n \to \infty)^((ℙ))ℓ(μ).

Les parties I,II, III et IV sont relativement indépendantes. Les résultats nécessaires sont rappelés en début de chaque partie. À part dans la question préliminaire ci-dessous on suppose

d ⩾ 2

0 ). Question préliminaire. Dans cette question uniquement,

d = 1

, c'est-à-dire que l'on considère un produit

Ψ_n = Z^((n))\dotsZ^((1))

de nombres aléatoires indépendants de loi

μ

sur

ℝ^*

à support fini. En appliquant la loi faible des grands nombres, montrer que

1/nlog|Ψ_n|\to-_(n \to \infty)^((ℙ))𝔼[log|Z^((1))|].

Partie I. Puissance d'une matrice et théorème de Gelfand

Fixons

A \in M_d(ℂ)

une matrice non nulle. Dans cette section, on étudie le comportement du produit

A^n

pour

n ⩾ 1

. On introduit

ρ(A) = max{|λ| : λ \in Spec(A)},

où

Spec(A)

est l'ensemble des valeurs propres (complexes) de A. Le but de cette partie est de montrer le théorème de Gelfand en question I.4).
1). Soit

A, B \in M_d(ℂ)

. Montrer que

|‖AB‖‖ ⩽ ‖|A|‖ \cdot ‖|B‖|

.
2). Montrer que pour tout

n ⩾ 1

on a

ρ(A)^n ⩽ ‖|A^n‖

.
3). On suppose que

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ d)

est triangulaire supérieure.
a). Montrer que pour

i ⩽ j

on peut écrire

(A^n)_(i, j) = \sum_(i_1, j_1, i_2, j_2, \dots, i_n, j_n \in E_n(i, j))a_(i_1, j_1)a_(i_2, j_2)\dotsa_(i_n, j_n)

où

E_n(i, j)

est l'ensemble des indices

1 ⩽ i_1, j_1, \dots, i_n, j_n ⩽ d

satisfaisant

$i = i_1, j_1 = i_2, j_2 = i_3, \dots, j_(n - 1) = i_n$ et $j_n = j$ ,
$i_k ⩽ j_k$ pour tout $1 ⩽ k ⩽ n$ ,
$i_k \neq j_k$ pour au plus $d - 1$ valeurs de $1 ⩽ k ⩽ n$ .
b). En reliant $#E_n(i, j)$ au cardinal des suites $(u_i)_(0 ⩽ i ⩽ n)$ strictement croissantes de $n + 1$ entiers telles que $u_0 = 0$ et $u_n = n + (j - i)$ , montrer que

#E_n(i, j) = ((n - 1 + (j - i))/(n - 1))

c). En déduire qu'il existe une constante

C_A > 0

telle que pour tout

n ⩾ d

, les coefficients de

A^n

sont bornés en valeur absolue par

C_A \cdot n^(d - 1) \cdot ρ(A)^n

4). (On revient au cas général,

A

n'est plus forcément triangulaire supérieure). En déduire le théorème de Gelfand (1941)

lim_(n → ∞)1/nlog| ‖A^n‖ = logρ(A) ∈ ℝ ∪ { − ∞}

5). Soit

N(\cdot)

une norme quelconque sur

M_d(ℂ)

. Montrer que l'on a également

1/nlogN(A^n) \to logρ(A)

quand

n \to \infty

Les dernières questions de cette partie donnent des raffinements autour du théorème de Gelfand. Les résultats ne seront pas utilisés dans la suite.
6). a). En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, montrer que

‖A^d‖ ⩽ \sum_(k = 1)^d(d/k)ρ(A)^k‖A^(d - k)‖

et en déduire que

‖‖A^d‖ ⩽ (2^d - 1)ρ(A)‖A‖^(d - 1)

.
b). Si

A \neq 0

, montrer que pour tout

n ⩾ 1

on a

(‖A^(nd)‖‖)/((2^d - 1)‖|A^n|‖^(d - 1)) ⩽ ρ(A)^n ⩽ ‖A^n‖‖,

et que

((‖A^(nd)‖|)/((2^d - 1)‖A^n‖‖^(d - 1)))^(1/n) \to ρ(A)

quand

n \to \infty

.
c). Montrer que

A \mapsto ρ(A)

est continue.

Partie II. Exposants de Lyapunov via la sous-additivité

Dans cette partie, on montre une version "en espérance" de (1) en utilisant les propriétés des suites sous-additives. Soit

(u_n)_(n ⩾ 1)

une suite prenant ses valeurs dans

ℝ \cup { - \infty}

. On dit que

(u_n)_(n ⩾ 1)

est sous-additive si pour tout

n, m ⩾ 1

on a

u_(n + m) ⩽ u_n + u_m.

1). Soit

(u_n)_(n ⩾ 1)

une suite sous-additive.
a). Soit

k_0 ⩾ 1

, en utilisant la division Euclidienne de

n

par

k_0

montrer que pour tout

n ⩾ 1

on a

(u_n)/n ⩽ (u_(k_0))/(k_0) + (max_(1 ⩽ i ⩽ k_0 - 1)u_i)/n.

b). Lemme de Fekete. En déduire que

(u_n)/n ⟶ inf_(k ⩾ 1)(u_k)/k ∈ ℝ ∪ { − ∞}.

On pourra traiter séparément le cas où

inf_(k ⩾ 1)(u_k)/k = - \infty

de celui où il est fini.
2). Applications aux matrices aléatoires. Avec les notations introduites au début du sujet.
a). Montrer qu'il existe des constantes

α, β > 0

dépendantes de

S

seulement telles que pour tout

ω \in Ω

on a

\foralln ⩾ 1, α^n ⩽ ‖‖Ψ_n(ω)‖‖ ⩽ β^n.

b). Montrer que

(𝔼[log|‖Ψ_n‖‖])_(n ⩾ 1) et (log𝔼[‖|Ψ_n‖‖])_(n ⩾ 1)

sont sous-additives.
c). En déduire qu'il existe des constantes

ℓ(μ), ξ(μ) \in [logα, logβ]

telles que

1/n𝔼[log|||Ψ_n|||] ⟶ _(n \to \infty)ℓ(μ) et 1/nlog𝔼[|||Ψ_n|||] ⟶ _(n \to \infty)ξ(μ).

3). Premières propriétés.

a). Montrer que

ℓ(μ) ⩽ ξ(μ)

et donner un exemple où l'inégalité est stricte.
b). Montrer que

ℓ(μ) ⩾ 𝔼[log(|det(M^((1)))|^(1/d))]

et que

ξ(μ) ⩾ log𝔼[|det(M^((1)))|^(1/d)]

.
c). Pour

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ d) \in M_d(ℂ)

on introduit la norme

N(A) = \sum_(1 ⩽ i, j ⩽ d)|a_(i, j)|.

M

est une variable aléatoire à valeurs dans

M_d(ℂ)

on notera

𝔼[M]

la matrice des espérances des coefficients de

M

.
i. Montrer que l'on a

1/n𝔼[logN(Ψ_n)] ⟶ _(n \to \infty)ℓ(μ) et 1/nlog𝔼[N(Ψ_n)] ⟶ _(n \to \infty)ξ(μ).

ii. On suppose dans cette question seulement que la matrice aléatoire

M^((1))

n'a que des coefficients positifs, c'est-à-dire que les matrices

{s_1, …, s_k}

du support de

μ

sont toutes à coefficients positifs. Montrer alors que

𝔼[N(Ψ_n)] = N((𝔼[M^((1))])^n)

et en déduire que

ξ(μ) = logρ(𝔼[M^((1))])

.
iii. Dans le cas général du sujet montrer que

ξ(μ) ⩽ logρ(𝔼[|M^((1))|])

où pour

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ d)

on note

|A| = (|a_(i, j)|)_(1 ⩽ i, j ⩽ d)

Partie III. Calcul de $ℓ(μ)$ et $ξ(μ)$ dans des cas particuliers

On rappelle la définition de

ℓ(μ)

ξ(μ)

vue en II.2.c). Bien entendu, dans le cas où les matrices

M^((i))

sont déterministes et égales à

A

, on obtient

ξ(μ) = ℓ(μ) = logρ(A)

d'après le théorème de Gelfand I.4). Dans cette section, on trouve une formule explicite de

ℓ(μ)

et de

ξ(μ)

dans certains cas très particuliers.
1). Matrices diagonales. On suppose dans cette question que

Supp(μ)

est un sous ensemble fini des matrices diagonales de

GL_d(ℂ)

. C'est-à-dire que l'on peut écrire pour tout

ω \in Ω

M^((i))(ω) = (M_(1, 1)^((i))(ω), 0; ⋱; 0, M_(d, d)^((i))(ω)) avec M_(k, k)^((i))(ω) \neq 0

a). Montrer que

ℓ(μ) ⩾ max_(1 ⩽ k ⩽ d)𝔼[log|M_(k, k)^((1))|] et ξ(μ) ⩾ max_(1 ⩽ k ⩽ d)log𝔼[|M_(k, k)^((1))|]

b). Montrer que

ξ(μ) = max_(1 ⩽ k ⩽ d)log𝔼[|M_(k, k)^((1))|]

.
c). Montrer que

ℓ(μ) = max_(1 ⩽ k ⩽ d)𝔼[log|M_(k, k)^((1))|]

.
2). Matrices commutantes. On suppose cette fois-ci que toutes les matrices du support

S

μ

commutent.
a). Montrer qu'on peut trouver une base

B

dans laquelle toutes les matrices de

S

sont triangulaires supérieures.
b). Montrer que

ℓ(μ) ⩾ max_(1 ⩽ k ⩽ d)𝔼[log|𝔐_(k, k)^((1))|] et ξ(μ) = max_(1 ⩽ k ⩽ d)log𝔼[|𝔐_(k, k)^((1))|]

où

𝔐^((1)) = (𝔐_(i, j)^((1)))_(1 ⩽ i, j ⩽ d)

est l'écriture de la matrice aléatoire

M^((1))

dans la base

B

de la question précédente.

Nous montrerons que

ℓ(μ) = max_(1 ⩽ k ⩽ d)𝔼[log|𝔐_(k, k)^((1))|]

à la fin de la partie IV.
3). L'échangeur. Dans cette question, on considère la mesure de probabilité

μ_p

pour

p \in [0, 1]

définie par

μ_p = pδ_D + (1 - p)δ_R

où

D = (2, 0; 0, 1/2) et R = (0, - 1; 1, 0)

et on notera

M^((i))

pour

i \geq 1

(la dépendance en

p

est implicite) des matrices aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi

μ_p

. C'est-à-dire que

M^((i)) = D

avec probabilité

p

M^((i)) = R

avec probabilité

(1 - p)

indépendamment pour tout

i ⩾ 1

. On écrira

e_1 = (1, 0)

e_2 = (0, 1)

pour la base canonique de

ℝ^2

.
a). Calculer

ℓ(μ_0), ξ(μ_0), ℓ(μ_1)

ξ(μ_1)

On fixe maintenant

p \in ]0, 1

[ et pour

1 ⩽ i ⩽ n

on note les variables aléatoires

χ_i = {0, si, M^((i)) = R; 1, si, M^((i)) = D et #{1 ⩽ j ⩽ i : M^((j)) = R} est pair; − 1, si, M^((i)) = D et #{1 ⩽ j ⩽ i : M^((j)) = R} est impair.

b). Montrer que

‖Ψ_n e_1‖ = 2^(\sum_(i = 1)^n χ_i) et ‖Ψ_n e_2‖ = 2^(- \sum_(i = 1)^n χ_i),

et en déduire que

‖|Ψ_n‖ = 2^(|\sum_(i = 1)^n χ_i|)

.
c). Pour

i ⩾ 1

prouver que

𝔼[χ_i] = p(2p - 1)^(i - 1)

et en déduire

𝔼[χ_i χ_j] = p^2(2p - 1)^(j - i - 1)

pour

1 ⩽ i < j ⩽ n

.
d). Montrer que

𝔼[(1/n\sum_(i = 1)^n χ_i)^2] \to 0 quand n \to \infty

e)

. En déduire que

ℓ(μ_p) = 0

pour

p \in ]0, 1[

.
f). Avec les notations de la question II.3).c), montrer que pour tout

n ⩾ 1

on a

𝔼[N(Ψ_n)] = N((𝔼[|M^((1))|])^n)

.
g). En déduire que pour tout

p \in ]0, 1[

on a

ξ(μ_p) = log((5p + \sqrt(16 - 32p + 25p^2))/4)

Dans la suite du problème, on se focalisera sur la constante

ℓ(μ)

définie en II.2).c). Nous allons voir que cette constante gouverne le comportement "typique" (i.e. avec grande probabilité) de la norme de

‖|Ψ_n‖

, contrairement à

ξ(μ)

qui peut être influencée par les valeurs "atypiques" de

‖|Ψ_n‖|

Partie IV. Le théorème de Furstenberg-Kesten

Dans cette section, on établit le théorème de Furstenberg-Kesten (1) en "renforçant" la convergence en espérance obtenue dans II.2) en une convergence en probabilité. On rappelle que

Ψ_n = M^((n))\dotsM^((1))

est un produit de

n

matrices aléatoires, identiquement distribuées et de même loi

μ

de support fini

S \subset GL_d(ℂ)

.
1). Soit

k_0 ⩾ 1, n ⩾ 1

et écrivons

n = qk_0 + r

la division Euclidienne de

n

par

k_0

. Montrer que l'on peut écrire

‖Ψ_n‖‖ ⩽ ‖|Q_(k_0)^((1))‖‖ \cdot ‖|Q_(k_0)^((2))‖‖\dots‖Q_(k_0)^((q))‖‖ \cdot ‖|Q_r‖|,

où les

Q_(k_0)^((i))

sont indépendantes, de même loi que

Ψ_(k_0)

, et également indépendantes de

Q_r

qui a la même loi que

Ψ_r

.
2). En appliquant la loi faible des grands nombres, déduire que pour tout

ε > 0

on a

ℙ(1/nlog‖|Ψ_n|‖ ⩾ ℓ(μ) + ε) ⟶ _(n \to \infty)0

3). Soit

(X_n)_(n ⩾ 1)

des variables aléatoires à valeurs dans

[a, b] \subset ℝ

satisfaisant pour un certain

ℓ \in [a, b] :

$lim_(n \to \infty)𝔼[X_n] = ℓ$ ,
$\forallε > 0, lim_(n \to \infty)ℙ(X_n ⩽ ℓ + ε) = 1$ .

Prouver que

X_n \to ℓ

en probabilité quand

n \to \infty

.
4). En déduire le Théorème de Furstenberg-Kesten (1960) :

1/nlog‖|Ψ_n‖\to-_(n \to \infty)^((ℙ))ℓ(μ)

Voyons une application de ce résultat à l'exemple étudié en III. 2).
5). Avec les mêmes hypothèses et notations qu'en III.2).b), nous allons montrer que

ℓ(μ) ⩽ max_(1 ⩽ k ⩽ d)𝔼[log|𝔐_(k, k)^((1))|]

On commencera par le cas

d = 2

et on écrira

Ψ_n = (X_(1, 1)^((n)), X_(1, 2)^((n)); 0, X_(2, 2)^((n)))

Raisonnons par l'absurde et supposons que

ℓ(μ) > max_(1 ⩽ k ⩽ 2)𝔼[log|𝔐_(k, k)^((1))|]

.
a). Montrer alors que

1/nlog|X_(1, 2)^((n))|\to-_(n \to \infty)^((ℙ))ℓ(μ)

.
b). En écrivant

X_(1, 2)^((2n)) = X_(1, 1)^((n))X~_(1, 2)^((n)) + X_(1, 2)^((n))X~_(2, 2)^((n))

où

(X~_(i, j)^((n)))_(1 ⩽ i, j ⩽ 2)

(X_(i, j)^((n)))_(1 ⩽ i, j ⩽ 2)

sont deux copies indépendantes de

Ψ_n

, aboutir à une contradiction.
c). Comment procéderiez-vous dans le cas général

d ⩾ 2

Fin du sujet.

Ce théorème établi en 1960 par Hillel Furstenberg (1935-) et Harry Kesten (1931-2019) peut être vu comme une généralisation de la loi des grands nombres au cas du produit non-commutatif de matrices aléatoires. Il a de nombreuses applications dans la théorie des systèmes dynamiques. Hélas, le calcul explicite de

ℓ(μ)

, même dans des cas très simples, est souvent impossible.

Questions fréquentes

5 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques D de la banque inter-ENS MP 2021 ?

Le sujet porte sur les matrices aléatoires : il combine algèbre linéaire (rayon spectral, normes matricielles, théorème de Gelfand) et probabilités (indépendance, loi des grands nombres, espérance) pour démontrer une version du théorème de Furstenberg-Kesten.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans le sujet de maths D ENS Paris MP 2021 ?

Le jury pointe des récurrences mal justifiées, l'oubli du cas nilpotent, la confusion entre le rayon spectral d'un produit et le produit des rayons spectraux, ainsi que des arguments probabilistes incomplets sur l'indépendance.

Le sujet de mathématiques D ENS 2021 MP est-il difficile ?

Oui : la moyenne n'est que de 2,82/20 avec un écart-type de 4,07, et une seule copie sur 1067 a eu le temps d'aborder l'essentiel des questions.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques D de la banque inter-ENS MP 2021 ?

Sur 1067 candidats ayant composé, la moyenne est de 2,82/20 pour un écart-type de 4,07.

Faut-il traiter tout le sujet de maths D ENS Paris MP 2021 pour avoir une bonne note ?

Non, le jury indique qu'il suffisait de traiter correctement deux des quatre parties, relativement indépendantes, pour obtenir une très bonne note.

Pas de description pour le moment

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Produit de matrices aléatoires: le théorème de Furstenberg-Kesten

Partie I. Puissance d'une matrice et théorème de Gelfand

Partie II. Exposants de Lyapunov via la sous-additivité

3). Premières propriétés.

Partie III. Calcul de ℓ(μ) et ξ(μ) dans des cas particuliers

Partie IV. Le théorème de Furstenberg-Kesten

Fin du sujet.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques D de la banque inter-ENS MP 2021 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans le sujet de maths D ENS Paris MP 2021 ?

Le sujet de mathématiques D ENS 2021 MP est-il difficile ?

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques D de la banque inter-ENS MP 2021 ?

Faut-il traiter tout le sujet de maths D ENS Paris MP 2021 pour avoir une bonne note ?

Commentaires• ENS Mathématiques D MP 2021

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Partie III. Calcul de $ℓ(μ)$ et $ξ(μ)$ dans des cas particuliers