Centrale Mathématiques 2 MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2022 ?

Sur les séries de fonctions et le théorème de dérivation terme à terme, les accroissements finis et l'interpolation de Lagrange, puis sur les probabilités (variance, inégalité de Markov) appliquées à des séries aléatoires de Rademacher.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 2 MP 2022 ?

Des inégalités triangulaires mal gérées, des récurrences mal rédigées, une linéarité affirmée sans preuve, un théorème de Cauchy mal cité en Q14 et des oublis de détails, par exemple en Q15 et Q31.

Q: Quelle est la question la plus difficile de Centrale Maths 2 MP 2022 ?

Selon le jury, c'est Q23, bien traitée par une minorité de candidats (moins d'une centaine de copies avec des arguments intéressants). Q29 n'a été traitée convenablement que dans moins de 70 copies.

Q: La partie probabilités de Centrale Maths 2 MP 2022 est-elle indépendante ?

Oui, la partie III est totalement indépendante des parties I et II. Elle a été abordée dans environ 90 % des copies.

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Présentation du sujet

Difficile

Dérivation des séries de fonctions : inégalité d'interpolation et séries aléatoires de Rademacher

Le sujet démontre un nouveau théorème d'interversion série-dérivée pour transférer le caractère C^K à la somme d'une série de fonctions. Une inégalité d'interpolation, obtenue par les accroissements finis et l'interpolation de Lagrange, contrôle les dérivées intermédiaires. Une partie probabiliste indépendante établit la convergence presque sûre d'une série aléatoire de Rademacher, puis la dernière partie applique ce résultat aux séries aléatoires de fonctions.

1Partie I : inégalités d'interpolation des dérivéesContrôle des dérivées d'une fonction sur [0,1] par sa dernière dérivée et ses valeurs en un nombre fini de points, via les accroissements finis, le théorème de Rolle et les polynômes de Lagrange.
2Partie II : dérivation C^K pour les séries de fonctionsGénéralisation du théorème d'interversion série-dérivée, appliquée à un exemple où les dérivées intermédiaires ne sont pas calculables explicitement.
3Partie III : convergence d'une série aléatoire de RademacherConvergence avec probabilité 1 de la série des X_n a_n par des arguments de variance, d'inégalité de Markov et de type Borel-Cantelli.
4Partie IV : dérivation C^K pour des séries aléatoires de fonctionsSynthèse montrant que l'interversion série-dérivée reste possible avec probabilité 1 là où le théorème de la partie II ne s'applique pas.

Difficile. Le jury juge la partie II moyennement réussie et note que la partie IV, abordée dans environ la moitié des copies, n'a presque jamais donné de réponse satisfaisante.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,76 / 20 · écart-type 4,18 · 4 727 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,76/ 20
Écart-type: 4,18
Présents: 4 727
Coefficient: 17
Durée: 4 h
1er quartile: 6
Médiane: 8,7
3e quartile: 12

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Inégalités triangulaires mal maîtrisées · Linéarité et argument de dimension · Récurrences mal rédigées

Les parties I et II ont été abordées dans presque toutes les copies : la première est globalement bien réussie, la seconde, plus technique, moyennement. La partie probabiliste a été abordée dans environ 90 % des copies, avec de bons résultats sur les questions élémentaires mais de grosses faiblesses dès qu'il fallait de la technique. La partie IV de synthèse n'a été abordée que par la moitié des candidats environ.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Inégalités triangulaires mal maîtriséesQ3, Q4, Q5
L'ordre des bornes est rarement pris en compte dans les restes intégraux, et des inégalités fausses apparaissent. Les noms des résultats du cours sont souvent confondus (égalité et inégalité des accroissements finis, Taylor-Lagrange et Taylor-Young).
2
Linéarité et argument de dimensionQ6
Affirmer que l'application est trivialement linéaire ne rapporte rien. Déduire la surjectivité de l'injectivité exige de préciser que les espaces de départ et d'arrivée ont la même dimension.
3
Récurrences mal rédigéesQ8
Le jury exige hypothèse de récurrence, initialisation et hérédité. L'usage du théorème de Rolle est souvent compris, mais le caractère disjoint des intervalles est oublié.
4
Mauvaise invocation du théorème de CauchyQ14
Beaucoup de copies invoquent un problème de Cauchy d'ordre 2 avec deux conditions initiales, ce qui ne correspond pas au théorème. L'existence est souvent admise sans preuve.
5
Choix des points hors de l'intervalleQ15
Les points 1 et 2 ne sont utilisables que s'ils appartiennent au segment fixé. Il fallait élargir l'intervalle compact, subtilité que peu de candidats ont vue.
6
Intersection finie d'événements presque sûrsQ31
Cette question très facile a été globalement ratée. L'argument qu'une intersection finie d'événements de probabilité 1 est de probabilité 1 manque dans la majorité des copies.
« Cette question très facile a été globalement ratée. »

Ce qui a été bien réussi

La preuve d'isomorphisme de Q6 a été dans l'ensemble bien menée.
Les questions Q9, Q11, Q13, Q21 et Q28 ont été en général bien traitées.
Les candidats ont bien assimilé les notations probabilistes de la partie III, pourtant compliquées a priori.
Beaucoup ont tenté d'aller jusqu'au bout, et ceux qui ont abordé Q34 l'ont réussie en testant K = 2.

Conseils du jury

Rendre une copie lisible et propre : utiliser une règle pour barrer les erreurs et encadrer les résultats, sous peine de malus.
Mettre explicitement en avant les arguments : théorèmes et numéros de questions utilisés, hypothèses vérifiées.
Respecter les données de l'énoncé, par exemple ne pas choisir des points qui arrangent la preuve ni des constantes dépendant de f.
Tenter les questions de fin quitte à admettre des résultats de l'énoncé : le jury valorise les tentatives raisonnables de preuve.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Objectifs

Ce problème étudie la dérivation des sommes de séries de fonctions

\sumf_n

de deux façons différentes : un point de vue déterministe et un point de vue probabiliste. Pour conclure à une formule du type

(\sum_(n = 0)^(+ \infty)f_n)^((K)) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)f_n^((K))

avec

K

entier supérieur ou égal à 2 , les théorèmes usuels contiennent généralement au moins une hypothèse sur les dérivées intermédiaires

f_n^', \dots, f_n^((K - 1))

(par exemple de convergence simple sur tout l'intervalle ou même en un seul point). Le sujet montre que l'on peut affaiblir l'hypothèse de contrôle des dérivées intermédiaires par une hypothèse de convergence de séries numériques de la forme

\sumf_n(x)

où

x

parcourt un ensemble fini. Cette dernière hypothèse sera de nouveau affaiblie dans la partie probabiliste consacrée à la dérivation de séries aléatoires de fonctions.
Le sujet est divisé en quatre parties :

la partie I étudie une inégalité, qualifiée d'inégalité d'interpolation, qui permet de contrôler les dérivées intermédiaires d'une fonction de classe $C^K$ ;
la partie II utilise la partie I pour démontrer un résultat de transfert du caractère $C^K$ à une somme de série de fonctions ;
la partie III, qui est indépendante des parties I et II, étudie la convergence des séries aléatoires numériques de la forme $\sumX_n a_n$ , où ( $X_n$ ) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de Rademacher et ( $a_n$ ) une suite réelle telle que la série $\suma_n^2$ converge ;
la partie IV utilise les résultats des parties précédentes pour donner une application au caractère $C^K$ de la somme d'une série aléatoire de fonctions de la forme $\sumX_n f_n$ .

Notations

Pour tous entiers $i$ et $j$ vérifiant $i ⩽ j$ , la notation $[ [i, j] ]$ désigne l'intervalle d'entiers $[i, j] \cap ℕ$ .
La lettre $K$ désigne systématiquement un entier naturel non nul.
Le symbole $ℝ_(K - 1)[X]$ désigne le $ℝ$ -espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $K - 1$ à coefficients réels.
Pour tout intervalle $I$ , on note $C^K(I)$ le $ℝ$ -espace vectoriel des fonctions $f : I \to ℝ$ de classe $C^K$ . Pour tous $f \in C^K(I)$ et $k \in [ [0, K] ]$ , on note $f^((k))$ la dérivée d'ordre $k$ (et donc $f^((0)) = f$ , $f^((1)) = f^'$ , $f^((2)) = f^('')$ ).
Dans le cas particulier $I = [0, 1]$ , pour toute fonction bornée $f : [0, 1] \to ℝ$ , on note $‖f‖_\infty = sup_(x \in [0, 1])|f(x)|$ .

I Inégalités d'interpolation des dérivées

Soit

K

réels distincts

x_1 < \dots < x_K

de l'intervalle

[0, 1]

. Le but de cette partie est de montrer le résultat suivant : il existe une constante

C > 0

(dépendant des réels

x_1, \dots, x_K

) telle que

\forallf \in C^K([0, 1]), max_(0 ⩽ k ⩽ K - 1)‖f^((k))‖_\infty ⩽ ‖f^((K))‖_\infty + C\sum_(ℓ = 1)^K|f(x_ℓ)|.

Une inégalité du type précédent est appelée inégalité d'interpolation à l'ordre

K

I.A - Cas particulier $K = 1$

On fixe

x_1 \in [0, 1]

et on étudie une inégalité d'interpolation à l'ordre 1 ,

\forallf \in C^1([0, 1]), ‖f‖_\infty ⩽ ‖f^'‖_\infty + C|f(x_1)|.

Q 1. Montrer l'inégalité d'interpolation (I.2) avec

C = 1

.
Q 2. Soit

C \in ]0, 1[

. À l'aide d'un exemple simple de fonction

f

, montrer que l'inégalité d'interpolation (I.2) est fausse.

I.B - Cas particulier $K = 2$

On fixe deux réels distincts

x_1 < x_2

[0, 1]

. On veut construire une constante

C > 0

telle qu'on ait l'inégalité d'interpolation à l'ordre 2 ,

\forallf \in C^2([0, 1]), max(‖f‖_\infty, ‖f^'‖_\infty) ⩽ ‖f^('')‖_\infty + C(|f(x_1)| + |f(x_2)|).

Q 3. Pour tous

x \in [0, 1]

f \in C^2([0, 1])

, démontrer l'inégalité

|f^'(x) - (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)| ⩽ ‖f^('')‖_\infty

Q 4. En déduire que, pour toute fonction

f \in C^2([0, 1])

, on a

‖f^'‖_\infty ⩽ ‖f^('')‖_\infty + (|f(x_1)| + |f(x_2)|)/(x_2 - x_1)

.
Q 5. Conclure le cas

K = 2

en montrant l'inégalité d'interpolation (I.3) avec

C = 1 + 1/(x_2 - x_1)

I. $C$ - Cas général par interpolation de Lagrange

On revient à l'étude du cas général d'inégalité d'interpolation à l'ordre

K

, donnée par (I.1). On fixe

K \in ℕ^⋆

.
Q 6. Démontrer que l'application

Ψ : | ℝ_(K - 1)[X], \to ℝ^K; P, \mapsto, (P(x_1), \dots, P(x_K))

est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Q 7. Montrer qu'il existe

K

polynômes

L_1, \dots, L_K

ℝ_(K - 1)[X]

tels que, pour toute fonction

f \in C^K([0, 1])

, le polynôme

P = \sum_(j = 1)^K f(x_j)L_j

vérifie

\forallℓ \in [ [1, K] ], P(x_ℓ) = f(x_ℓ).

Dans les deux questions suivantes Q8 et Q9, on fixe

f \in C^K([0, 1])

et on note

P

le polynôme déterminé dans la question Q7.
Q 8. Pour tout

k \in [ [0, K - 1] ]

, montrer qu'il existe au moins

K - k

réels distincts de

[0, 1]

en lesquels la fonction

f^((k)) - P^((k))

s'annule.
Q 9. En déduire l'inégalité

‖f^((k)) - P^((k))‖_\infty ⩽ ‖f^((k + 1)) - P^((k + 1))‖_\infty

pour tout

k \in [ [0, K - 1] ]

.
Q 10. Montrer qu'il existe une constante

C > 0

pour laquelle l'inégalité d'interpolation (I.1) est vérifiée.

II Dérivation $C^K$ pour les séries de fonctions

II.A - Énoncé général

On se propose maintenant de démontrer le résultat annoncé dans le préambule. Soit

K \in ℕ^⋆

, on considère

des réels distincts $x_1 < \dots < x_K$ d'un intervalle $[a, b]$ (avec $a < b$ );
une suite de fonctions $(f_n)$ de classe $C^K$ sur $[a, b]$ à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses
(H1) la série de fonctions $\sumf_n^((K))$ converge normalement sur $[a, b]$ ;
(H2) pour tout $ℓ \in [ [1, K] ]$ la série numérique $\sumf_n(x_ℓ)$ est absolument convergente.
Q 11. Dans le cas particulier $[a, b] = [0, 1]$ , justifier que la série $\sumf_n^((k))$ converge normalement sur $[a, b]$ pour tout $k \in [ [0, K - 1] ]$ .
Q 12. Traiter la question précédente dans le cas général d'un segment $[a, b]$ avec $a < b$ .
On pourra examiner $f_n \circ σ$ où $σ : [0, 1] \to [a, b]$ est définie par $σ(t) = (1 - t)a + tb$ pour tout $t \in [0, 1]$ .
D'après le résultat de la question précédente, on peut poser $F_k(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)f_n^((k))(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ .
Q 13. Démontrer que $F_0$ est de classe $C^K$ sur $[a, b]$ et que $F_0^((k)) = F_k$ pour tout $k \in [ [1, K] ]$ .

II.B - Application sur un exemple

Dans cette sous-partie, on considère un exemple où les dérivées intermédiaires ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles.
Q 14. Pour tout

n \in ℕ^⋆

, justifier qu'il existe une unique fonction

f_n \in C^2(]0, + \infty[)

vérifiant

f_n(1) = 0

f_n(2) = 0

f_n^('')(x) = (- 1)^n 2^(- nx^2)

pour tout

x > 0

.
Q 15. Montrer que la série de fonctions

\sumf_n(x)

converge normalement sur tout segment inclus dans

]0, + \infty[

et que la fonction

F : x \mapsto \sum_(n = 1)^(+ \infty)f_n(x)

est de classe

C^2

sur

]0, + \infty[

.
Q 16. Expliciter

F^('')(x)

.
Q 17. Montrer que

|F(x)| ⩽ 1/3

pour tout

x \in [1, 2]

III Convergence d'une série aléatoire de Rademacher

Le but de cette partie est de montrer que, si la série

\suma_n^2

converge, alors la série aléatoire

\sumX_n a_n

converge avec probabilité 1 .

Notations

$(X_n)_(n \in ℕ)$ désigne une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes d'un espace probabilisé $(Ω, A, ℙ)$ vérifiant

\foralln \in ℕ, ℙ(X_n = - 1) = ℙ(X_n = 1) = 1/2;

$(a_n)_(n \in ℕ)$ est une suite réelle telle que la série $\suma_n^2$ converge ;
pour tout $N \in ℕ$ , on note $S_N = \sum_(n = 0)^N X_n a_n$ la somme partielle au rang $N$ de la série $\sumX_n a_n$ ;
si $(φ(j))_(j \in ℕ)$ est une suite strictement croissante d'entiers naturels, pour tout entier $j \in ℕ$ et tout entier $m \in [ [φ(j) + 1, φ(j + 1)] ]$ , on note les évènements

A_j = {|S_(φ(j + 1)) − S_(φ(j))| > 2^(− j)},; B_j = {max_(φ(j) + 1 ⩽ n ⩽ φ(j + 1))|S_n − S_(φ(j))| > 2^(− j)},; B_(j, m) = {|S_m − S_(φ(j))| > 2^(− j) et ∀n ∈ [ [φ(j), m − 1] ], |S_n − S_(φ(j))| ⩽ 2^(− j)}.

La réalisation de l'évènement

B_(j, m)

signifie que

m

est le plus petit entier de l'intervalle

[ [φ(j), φ(j + 1)] ]

vérifiant

|S_n - S_(φ(j))| > 2^(- j)

.
III.A - Construction de la suite

(φ(j))_(j \in ℕ)

et majoration de

ℙ(A_j)

Q 18. Justifier l'existence d'une suite strictement croissante d'entiers naturels

(φ(j))_(j \in ℕ)

vérifiant

\forallj \in ℕ, \sum_(n > φ(j))^(+ \infty)a_n^2 ⩽ 1/(8^j).

On fixe désormais une telle suite

(φ(j))_(j \in ℕ)

.
Q 19. Exprimer l'espérance et la variance de

S_(φ(j + 1)) - S_(φ(j))

en fonction des termes de la suite

(a_n)_(n \in ℕ)

.
Q 20. Déduire des deux questions précédentes la majoration

ℙ(A_j) ⩽ 2^(- j)

.
III.B - Inégalité maximale de Lévy

ℙ(B_j) ⩽ 2ℙ(A_j)

Q 21. Pour tout

j \in ℕ

, démontrer que les évènements

B_(j, m)

, pour

m

parcourant

[ [φ(j) + 1, φ(j + 1)] ]

, sont disjoints deux à deux et qu'on a l'égalité d'évènements

B_j = ⋃_(φ(j) < m ⩽ φ(j + 1))B_(j, m).

Q 22. Expliquer comment en déduire la formule

ℙ(A_j) = \sum_(m = φ(j) + 1)^(φ(j + 1))ℙ(A_j \cap B_(j, m))

.
Q 23. Soit

m \in [ [φ(j) + 1, φ(j + 1)] ]

, montrer que la fonction

| ℝ, →, ℝ; α, ↦, 2^(φ(j + 1) − φ(j))ℙ({|αS_(φ(j + 1)) − αS_m + S_m − S_(φ(j))| > 2^(− j)} ∩ B_(j, m))

est à valeurs dans

ℕ

et est paire.
Q 24. Prouver que si l'évènement

B_j

se réalise, alors il existe

m \in [ [φ(j) + 1, φ(j + 1)] ]

α \in { - 1, + 1}

tels que l'évènement

{|αS_(φ(j + 1)) − αS_m + S_m − S_(φ(j))| > 2^(− j)} ∩ B_(j, m)

se réalise également.
On pourra exprimer

S_m - S_(φ(j))

en fonction des deux nombres

αS_(φ(j + 1)) - αS_m + S_m - S_(φ(j))

avec

α = \pm 1

.
Q 25. En déduire que

ℙ(B_j) ⩽ 2ℙ(A_j)

III.C - Convergence de la série aléatoire

\sumX_n a_n

Q 26. On note

B

l'évènement

⋂_(J \in ℕ)⋃_(j ⩾ J)B_j

. Montrer l'égalité

ℙ(B) = 0

.
Q 27. Montrer que l'évènement

{∃J ∈ ℕ, ∀j ⩾ J, ∀n ∈ [ [φ(j) + 1, φ(j + 1)] ], |S_n − S_(φ(j))| ⩽ 2^(− j)}

se réalise avec probabilité 1 .
Q 28. En déduire que l'évènement

{ la suite (S_(φ(j)))_(j ∈ ℕ) est convergente }

a également une probabilité 1 .
On pourra examiner la série

\sum|S_(φ(j + 1)) - S_(φ(j))|

.
Q 29. Conclure que l'évènement

é{la série ∑X_n a_n est convergente }

a une probabilité 1 .

IV Dérivation $C^K$ pour des séries aléatoires de fonctions

On fixe

K \in ℕ^⋆

et on considère

une suite de variables aléatoires $(X_n)_(n \in ℕ)$ vérifiant les hypothèses de la partie précédente ;
des réels distincts $x_1 < \dots < x_K$ de $[0, 1]$ ;
une suite de fonctions $(f_n)$ de classe $C^K$ sur $[0, 1]$ à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses
(H1) la série de fonctions $\sumf_n^((K))$ converge normalement sur $[0, 1]$ ;
(H2') pour tout $ℓ \in [ [1, K] ]$ , la série numérique $\sumf_n(x_ℓ)^2$ est convergente.
Q 30. Montrer que l'une des deux hypothèses (H2') ou (H2) (étudiée dans la partie II) implique l'autre.
Q 31. Montrer que l'évènement

é{ pour tout ℓ ∈ [ [1, K] ], la série ∑X_n f_n(x_ℓ) est convergente }

a une probabilité 1 .
Q 32. On note

P_n \in ℝ_(K - 1)[X]

un polynôme vérifiant

P_n(x_ℓ) = f_n(x_ℓ)

pour tout

ℓ \in [ [1, K] ]

(cf. question 7 ), montrer que l'évènement

éé{pour tout k ∈ [ [0, K] ], la série de fonctions ∑X_n(f_n − P_n)^((k)) est uniformément convergente sur [0, 1],; la fonction ∑_(n = 0)^(+ ∞)X_n(f_n − P_n) est de classe C^K,; pour tout k ∈ [ [0, K] ], (∑_(n = 0)^(+ ∞)X_n(f_n − P_n))^((k)) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)X_n(f_n − P_n)^((k))}}}{{

a une probabilité 1 .
Q 33. Montrer que l'évènement

éé{pour tout k ∈ [ [0, K] ], la série de fonctions ∑X_n f_n^((k)) est uniformément convergente sur [0, 1],; la fonction ∑_(n = 0)^(+ ∞)X_n f_n est de classe C^K,; pour tout k ∈ [ [0, K] ], (∑_(n = 0)^(+ ∞)X_n f_n)^((k)) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)X_n f_n^((k))}}}{{

a une probabilité 1 .
Q 34. Donner un exemple d'entier

K \in ℕ^⋆

pour lequel l'évènement
précédent se réalise avec les fonctions

f_n

définies par

{f_0 = 0; f_n(x) = ln(1 + sin(x/n)) ∀n ∈ ℕ^⋆, ∀x ∈ [0, 1].

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2022 ?

Sur les séries de fonctions et le théorème de dérivation terme à terme, les accroissements finis et l'interpolation de Lagrange, puis sur les probabilités (variance, inégalité de Markov) appliquées à des séries aléatoires de Rademacher.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 2 MP 2022 ?

Des inégalités triangulaires mal gérées, des récurrences mal rédigées, une linéarité affirmée sans preuve, un théorème de Cauchy mal cité en Q14 et des oublis de détails, par exemple en Q15 et Q31.

Quelle est la question la plus difficile de Centrale Maths 2 MP 2022 ?

Selon le jury, c'est Q23, bien traitée par une minorité de candidats (moins d'une centaine de copies avec des arguments intéressants). Q29 n'a été traitée convenablement que dans moins de 70 copies.

La partie probabilités de Centrale Maths 2 MP 2022 est-elle indépendante ?

Oui, la partie III est totalement indépendante des parties I et II. Elle a été abordée dans environ 90 % des copies.

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Les erreurs les plus sanctionnées

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Objectifs

Notations

I Inégalités d'interpolation des dérivées

I.A - Cas particulier K = 1

I.B - Cas particulier K = 2

I. C - Cas général par interpolation de Lagrange

II Dérivation C^K pour les séries de fonctions

II.A - Énoncé général

II.B - Application sur un exemple

III Convergence d'une série aléatoire de Rademacher

Notations

IV Dérivation C^K pour des séries aléatoires de fonctions

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2022 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 2 MP 2022 ?

Quelle est la question la plus difficile de Centrale Maths 2 MP 2022 ?

La partie probabilités de Centrale Maths 2 MP 2022 est-elle indépendante ?

Commentaires• Centrale Mathématiques 2 MP 2022

Commentaires• Centrale Mathématiques 2 MP 2022

I.A - Cas particulier $K = 1$

I.B - Cas particulier $K = 2$

I. $C$ - Cas général par interpolation de Lagrange

II Dérivation $C^K$ pour les séries de fonctions

IV Dérivation $C^K$ pour des séries aléatoires de fonctions