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X ENS Mathématiques PC 2025

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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X-ENS
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2025
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PC
Matière
Mathématiques
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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

LUNDI 14 AVRIL 2025
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve
MATHEMATIQUES (XEULS)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le but de ce sujet est d'étudier les perturbations de rang 1 de matrices.

Notations

Dans l'ensemble du sujet, désignent des entiers strictement positifs. On note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans , et l'ensemble des matrices réelles carrées de taille . On note l'ensemble des matrices symétriques de et l'ensemble des matrices inversibles de . On note la matrice identité de . La matrice transposée d'une matrice est notée .
Les coefficients d'un vecteur sont notés . Dans ce sujet, les vecteurs sont notés en gras, et sont identifiés à des matrices colonnes , par exemple
é
Pour tous , la matrice est identifiée au nombre réel ; l'espace euclidien est muni de son produit scalaire et de sa norme usuels, notés respectivement
Les deux premières parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. Les parties 4 et 5 sont indépendantes entre elles, et s'appuient sur des résultats des parties précédentes.
À tout moment il est possible d'admettre le résultat d'une question et de l'utiliser ultérieurement, à condition de l'indiquer clairement.

Première partie

  1. Soient . On pose . Monter que est une matrice carrée de taille , de rang 1 .
  2. Calculer avec justification le rang de la matrice suivante :
  1. Réciproquement, soit une matrice carrée de rang 1 . Montrer qu'il existe tels que .
  2. Soient . Montrer que si et seulement si il existe tel que
  1. Soit une matrice de rang 1 , et soient tels que .
    (a) Montrer que .
    (b) Montrer que .
    (c) En déduire que est diagonalisable si et seulement si .
  2. Soit . Montrer que est un projecteur orthogonal de rang 1 si et seulement si il existe avec tels que .

Deuxième partie

Soit une matrice inversible, et soient .
7. Calculer le produit matriciel par blocs
  1. Montrer que
  1. Montrer plus généralement que
  1. Montrer que est inversible si et seulement si .
  2. On suppose que est inversible. Montrer que
  1. Soit une matrice telle que . A-t-on toujours ? Justifiez votre réponse.

Troisième partie

On s'intéresse maintenant au cas où est symétrique. Soit tel que . On pose
  1. Montrer que .
Soient , et soit une base orthonormale quelconque de . On rappelle que si et seulement si pour tout .
14. Soit une base orthonormale quelconque de . Montrer que
  1. On s'intéresse maintenant à la matrice symétrique . En vertu du théorème spectral, on note les valeurs propres de , et ( ) une base orthonormée de vecteurs propres correspondante.
    (a) Montrer que
(b) Montrer que pour tout , on a
  1. Soit une valeur propre de de multiplicité . On pose .
    (a) Montrer que .
    (b) En déduire que est une valeur propre de de multiplicité au moins .
  2. On note le polynôme caractéristique de , et celui de . Montrer que, pour tout , on a
  1. Soit l'ensemble des indices tels que .
    (a) Montrer que .
    (b) Soit . Montrer que est une valeur propre de .
    (c) On suppose que pour un . Montrer que les valeurs propres de sont
  1. On suppose dans cette question que , et que . Pour on pose
(a) Montrer que est de classe sur , et calculer sa dérivée .
(b) Montrer que l'équation admet une unique solution dans chaque intervalle pour tout , et dans .
(c) On note les valeurs propres de . Montrer que

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie, est une matrice symétrique dont les valeurs propres sont notées . Pour on note . On considère une base orthonormée quelconque. Soit une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ) à valeurs dans l'ensemble fini , et qui suit la loi uniforme sur cet ensemble. On note la probabilité d'un événement et l'espérance d'une variable aléatoire à valeurs réelles.
On considère la variable aléatoire , à valeurs dans , définie par
Pour tout , on note , qui est une variable aléatoire à valeurs réelles.
20. Montrer que pour tout , on a .
21. Soit . Montrer que la variable aléatoire a une espérance finie, et que, en notant la dérivée du polynôme , on a
  1. Montrer que pour tout , on a
  1. Démontrer qu'il existe tel que .

Cinquième partie

Comme dans la troisième partie, on suppose que
avec une matrice symétrique, et un vecteur tel que . On note les valeurs propres de et celles de . On admet que
On suppose de plus qu'il existe un entier tel que les valeurs propres de vérifient
Soit .
24. Justifier que est inversible.
On suppose dans la suite que .
25. Montrer que est inversible.
26. Montrer que .
27. Montrer que .

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