X ENS Mathématiques PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

Notations

Première partie

1. Soient u, v ∈ ℝ^n∖{0}. On pose M = uv^T. Monter que M est une matrice carrée de taille n × n, de rang 1 .
2. Calculer avec justification le rang de la matrice J ∈ M_n(ℝ) suivante :

3. Réciproquement, soit K ∈ M_n(ℝ) une matrice carrée de rang 1 . Montrer qu'il existe u, v ∈ ℝ^n∖{0} tels que K = uv^T.
4. Soient u, v, x, y ∈ ℝ^n∖{0}. Montrer que uv^T = xy^T si et seulement si il existe λ ∈ ℝ∖{0} tel que

5. Soit K ∈ M_n(ℝ) une matrice de rang 1 , et soient u, v ∈ ℝ^n tels que K = uv^T.
   (a) Montrer que Tr(K) = ⟨v, u⟩.
   (b) Montrer que K^2 = Tr(K)K.
   (c) En déduire que K est diagonalisable si et seulement si Tr(K) ≠ 0.
6. Soit P ∈ M_n(ℝ). Montrer que P est un projecteur orthogonal de rang 1 si et seulement si il existe y ∈ ℝ^n avec ‖y‖ = 1 tels que P = yy^T.

Deuxième partie

8. Montrer que

9. Montrer plus généralement que

10. Montrer que A + uv^T est inversible si et seulement si ⟨v, A^(− 1)u⟩ ≠ − 1.
11. On suppose que A + uv^T est inversible. Montrer que

12. Soit C ∈ M_n(ℝ) une matrice telle que det(C) = 0. A-t-on toujours det(C + uv^T) = 0 ? Justifiez votre réponse.

Troisième partie

13. Montrer que B ∈ S_n(ℝ).

15. On s'intéresse maintenant à la matrice symétrique A. En vertu du théorème spectral, on note λ_1 ⩽ ⋯ ⩽ λ_n les valeurs propres de A, et ( w_1, …, w_n ) une base orthonormée de vecteurs propres correspondante.
    (a) Montrer que

16. Soit λ une valeur propre de A de multiplicité m ⩾ 2. On pose E = Ker(A − λ𝕀_n).
    (a) Montrer que dim(E ∩ {u}^⊥) ⩾ m − 1.
    (b) En déduire que λ est une valeur propre de B de multiplicité au moins m − 1.
17. On note χ_A(x) = det(x𝕀_n − A) le polynôme caractéristique de A, et χ_B(x) = det(x𝕀_n − B) celui de B. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ∖{λ_1, …, λ_n}, on a

18. Soit J = {k ∈ {1, 2, …, n}, ⟨w_k, u⟩ ≠ 0} l'ensemble des indices k tels que ⟨w_k, u⟩ ≠ 0.
    (a) Montrer que J ≠ ∅.
    (b) Soit ℓ ∉ J. Montrer que λ_ℓ est une valeur propre de B.
    (c) On suppose que J = {j} pour un j ∈ {1, 2, …, n}. Montrer que les valeurs propres de B sont

19. On suppose dans cette question que λ_1 < λ_2 < ⋯ < λ_n, et que J = {1, 2, …, n}. Pour x ∈ ℝ∖{λ_1, …, λ_n} on pose

Quatrième partie

22. Montrer que pour tout k ∈ {1, 2, …, n}, on a

23. Démontrer qu'il existe x ∈ ℝ tel que 𝔼[χ_B(x)] ≠ 0.

Cinquième partie