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CONCOURS COMMUNS POLYTECHMIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

DurÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n^∘99 − 018 du 01.02.99.

Préambule

Dans ce problème, on se propose d'étudier des familles de matrices que l'on rencontre lors de la résolution numérique de problèmes relatifs à des équations aux dérivées partielles de type elliptique par des méthodes de différences finies.
Matrices irréductibles - Matrices à diagonales faiblement ou fortement dominantes.

Notations :

Dans tout le problème, on suppose que N est un entier supérieur ou égal à 2 .
M_N(ℝ) est l'ensemble des matrices carrées réelles à N lignes et N colonnes, M_(N, P)(ℝ) l'ensemble des matrices réelles à N lignes et P colonnes.
I_N est la matrice unité de M_N(ℝ).S_N(ℝ) est l'ensemble des matrices symétriques à N lignes et N colonnes. Si A ∈ M_N(R), (A ∈ S_N(ℝ) ⇔ ^t A = A).
Si A appartient à M_N(R) on pourra écrire A = (a_(ij))i = 1, …, N j = 1, …, N.
a_(ij) étant l'élément de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de A.
(u, v) ↦ (u|v)_N de (ℝ^N)^2 dans ℝ désigne le produit scalaire euclidien canonique de ℝ^N. On identifiera R^N et M_(N, 1)(R) et pour A ∈ M_N(ℝ), v ∈ M_(N, 1)(ℝ) on écrira par exemple (Av|v)_N le produit scalaire des éléments de ℝ^N correspondants : on a donc, en raison de l'identification (Av|v)_N = ^t vAv.
W_N est l'ensemble des N premiers entiers strictement positifs.
Rappel: une matrice réelle symétrique est dite positive (définie positive) si ses valeurs propres sont positives (strictement positives).

Définition 1:

Soient (e_1, e_2, …, e_N) la base canonique de R^N et σ une permutation de l'ensemble {1, 2, …, N}. On appellera matrice de permutation P_σ associée à σ, la matrice P_σ de M_N(R) telle que P_σ e_i = e_(σ(i)). Alors P_σ = (δ_(iσ(j))) où δ_(ij) est le symbole de Kronecker.

Définition 2:

Soit A ∈ M_N(R). On dit qu'une matrice A = (a_(ij)) est irréductible si pour tout couple (S, T) de parties de W_N telles que S ∩ T = ∅ et S ∪ T = W_N, il existe un élément a_(ij) ≠ 0 avec i ∈ S et j ∈ T.
Dans le cas contraire on dira que A est réductible.

Définition 3:

A ∈ M_N(R) A = (a_(ij)) est à diagonale faiblement dominante si :
| 1) pour tout indice i ∈ W_N, |a_(ii)| ≥ ∑_(j = 1; j ≠ i)^N|a_(ij)|
2) pour au moins un indice i ∈ W_N, |a_(ii)| > ∑_(j = 1; j ≠ i)^N|a_(ij)|

Définition 4 :

A ∈ M_N(R) est à diagonale fortement dominante si, pour tout indice i ∈ W_N, |a_(ii)| > ∑_(j = 1; j ≠ i)^N|a_(ij)|

Première partie

Question 1-1

a) Soient σ et σ^′ deux permutations de l'ensemble W_N.
a.1) Montrer que P_σ P_(σ^′) = P_(σσ^′).
a.2) Montrer que P_σ est inversible et que P_σ^(− 1) = P_(σ^(− 1)).
a.3) Montrer que P_σ^(− 1) = ^t P_σ.
2b) Soit A ∈ M_N(R) et P_σ ∈ M_N(R) la matrice associée à la permutation σ. On définit B = P_σ^(− 1)AP_σ = (b_(ij)). Exprimer b_(ij) à l'aide de σ.
c) Montrer que A ∈ M_N(R) est irréductible si et seulement s'il n'existe pas de matrice de permutation P_σ telle que P_σ^(− 1)AP_σ soit de la forme :
P_σ^(− 1)AP_σ = (F, O; G, H)
où F et H sont des matrices appartenant respectivement à M_P(ℝ) et M_(N − P)(ℝ) et O une matrice dont tous les éléments sont nuls.

Question 1-2

a) Soit C ∈ M_N(ℝ) telle que C = (F, O; G, H) où F et H appartiennent respectivement à M_P(ℝ) et M_(N − P)(R) et sont inversibles. Résoudre le système linéaire CX = U où X ∈ M_(N, 1)(R) est la matrice des inconnues et U ∈ M_(N, 1)(R) est donnée. On utilisera pour cela une décomposition convenable de X et de U en blocs U = ((U_1)/(U_2)), X = ((X_1)/(X_2)).
b) On suppose que A ∈ M_N(ℝ) est réductible. Proposer une méthode de résolution du système AX = U.

Question 1-3

On veut montrer que A ∈ M_N(R) est irréductible si et seulement si la propriété (P) suivante est vérifiée :
(P) pour tout couple (i, j) d'indices distincts de W_N, a_(ij) ≠ 0 ou alors il existe un entier s et des indices i_1, i_2, …, i_s tels que le produit a_(ii_1)a_(i_1 i_2)…a_(i_(s − 1)i_s)a_(i_s j) soit non nul.
a) Etablir que la condition est suffisante.
b) On suppose maintenant que A ∈ M_N(R) est irréductible. Pour chaque indice i ∈ W_N, on définit X_i comme l'ensemble des indices j de W_N tels que :
{1), j ≠ i; 2), soit a_(ij) ≠ 0; soit il existe i_1, …, i_s tels que le produit a_(ii_1)a_(i_1 i_2)…a_(i_(s − 1)i_s)a_(i_s j) soit différent de 0.
Montrer que X_i = W_N∖{i} et en déduire que la condition est nécessaire.

Question 1-4

Le concept d'irréductibilité peut être illustré graphiquement.
Soit A ∈ M_N(ℝ), A = (a_(ij)) et {P_i|i ∈ W} un ensemble de N points distincts du plan. Pour chaque couple (i, j) ∈ (W_N)^2 tel que a_(ij) ≠ 0, on trace une flèche allant du point P_i vers le point P_j. Si a_(ij) et a_(ji) sont non nuls, il y aura une flèche du point P_i vers le point P_j et une autre de P_j vers P_i. Si a_(ii) ≠ 0 on pourra tracer une boucle allant de P_i vers lui-même.
a_(ij) ≠ 0 et a_(ji) ≠ 0
a_(ii) ≠ 0
On associe ainsi à chaque matrice ce que l'on appelle un graphe orienté.
En étudiant les graphes associés aux deux matrices suivantes :
A_1 ∈ M_4(ℝ) A_1 = (0, 1, 0, 1; 1, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 1; 1, 0, 0, 1) A_2 ∈ M_3(ℝ) A_2 = (1, 1, 1; 0, 0, 1; 0, 0, 1)
donner une interprétation graphique du caractère réductible ou irréductible de chacune d'elles.

Deuxième partie

Question 2-1

Soit A ∈ M_N(R) à diagonale fortement dominante ; soit U ∈ M_(N, 1)(R) tel que AU = 0U = (u_1; ⋮; u_N); soit i, un indice tel que |u_i| = max{|u_1|, …, |u_N|}. En considérant la i-ème ligne du produit AU montrer que l'on a nécessairement U = 0. Que peut-on en déduire pour detA?

Question 2-2

On suppose que A ∈ M_N(ℝ) est irréductible et à diagonale faiblement dominante.
a) Montrer qu'alors pour tout indice i ∈ W_N, |a_(ii)| > 0.
b) Montrer que detA ≠ 0. Pour cela, on raisonnera comme dans la question 2-1 et on montrera d'abord que si AU = 0, tous les éléments de la matrice colonne U sont nécessairement égaux en valeur absolue.

Question 2-3

a) Si A ∈ S_N(ℝ) est une matrice dont les éléments diagonaux sont ≥ 0 et si, de plus, elle est à diagonale faiblement dominante, montrer que toutes les valeurs propres de A sont ≥ 0.
b) Si , de plus, A est irréductible ou inversible, on montrera que toutes les valeurs propres de A sont strictement positives.

Troisième partie

Définition 5 :

Une matrice A ∈ S_N(R) est une L-matrice si :
  1. pour tout indice i ∈ W_N, on a a_(ii) > 0
  2. pour tout couple d'indices (i, j) ∈ (W_N)^2 tels que i ≠ j, on a a_(ij) < 0

Définition 6:

Une matrice A ∈ S_N(R) est une S-matrice si :
  1. A est définie positive,
  2. pour tout couple d'indices (i, j) ∈ (W_N)^2 tels que i ≠ j, on a a_(ij) < 0

Définition 7:

Une matrice A ∈ S_N(ℝ) est une M-matrice si :
  1. pour tout couple d'indices (i, j) ∈ (W_N)^2 tels que i ≠ j, on a a_(ij) < 0,
  2. A est inversible,
  3. tous les éléments de A^(− 1) sont ≥ 0.

Question 3-1

a) Soit A ∈ S_N(ℝ) définie positive, montrer qu'alors a_(ii) > 0 pour tout indice i ∈ W_N. En déduire que A ∈ S_N(ℝ) est une S-matrice si et seulement si A est une L-matrice définie positive.
b) Montrer que toute M-matrice est une L-matrice.
c) Montrer que si A ∈ S_N(R) est une L-matrice
  1. irréductible,
  2. à diagonale faiblement dominante, alors A est une S-matrice.

Question 3-2

Le spectre de Q est, par définition, l'ensemble des valeurs propres réelles ou complexes de Q. Sp(Q) = {λ ∈ ℂ/det(Q − λI_N) = 0}. On appelle alors rayon spectral de Q, S(Q) = max_(λ ∈ Sp)|λ|.
a) Si Q ∈ M_N(R), montrer que la série ∑_(k ≥ 0)Q^k est convergente si et seulement si S(Q) < 1.
On admettra l'équivalence : Q^n→−_(n → ∞)^0 ⇔ S(Q) < 1.
Dans toute la suite de la question 3-2, on considère une L-matrice A d'ordre N et D la matrice diagonale ayant la même diagonale que A, donc définie par :
Pour tout couple d'indices (i, j) ∈ (W_N)^2 tels que i ≠ j, on a d_(ij) = 0
Pour tout indice i ∈ W_N, on a d_(ii) = a_(ii)
Soit C = (c_(ij)) appartenant à M_N(ℝ), telle que A = D − C et soit B = D^(− 1)C (on justifiera l'existence de D^(− 1) ).
On suppose que S(B) < 1.
b) Justifier le fait que I_N − B est inversible et montrer que tous les éléments de (I_N − B)^(− 1) sont positifs ou nuls.
c) Montrer que A est inversible et que A est une M-matrice.

Question 3-3

Si D est une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs, on définit D^(1/2) et D^(− 1/2) matrices diagonales dont les éléments diagonaux sont respectivement √(d_(ii)) et 1/(√(d_(ii))) pour tout indice i ∈ W_N.
Soit A une M-matrice.
On définit D, C, B comme à la question précédente et A^ ∈ M_N(R) par A^ = D^(− 1/2)AD^(− 1/2) = I_N − D^(− 1/2)CD^(− 1/2) et B^ ∈ M_N(R) par B^ = D^(1/2)BD^(− 1/2).
a) Montrer que A^ est une M-matrice et que :
(A^)^(− 1) = (I_N − B^)^(− 1) = I_N + B^ + (B^)^2 + … + (B^)^m + (I_N − B^)^(− 1)(B^)^(m + 1) pour tout entier m strictement positif.
b) Soit G_m ∈ M_N(R) définie par : G_m = I_N + B^ + … + (B^)^m. Montrer que tous les éléments de G_m sont positifs et majorés indépendamment de m.
c) En déduire que S(B) < 1.

Question 3-4

Soit A ∈ S_N(R) une S-matrice.
On utilise les mêmes notations qu'en 3-2 et 3-3.
a) Montrer que A est inversible et que A^(− 1) = (I_N − B)^(− 1)D^(− 1).
b) On veut maintenant montrer que S(B) < 1 ce qui suffira pour établir que toute S-matrice est une M-matrice.
b1) Montrer que A^ est définie positive.
b2) En supposant S(B) ≥ 1, montrer que l'on est conduit à une contradiction et que donc toute S-matrice est une M-matrice. On admettra que si Q ∈ M_N(ℝ) a tous ses éléments positifs ou nuls, alors, il existe μ ∈ Sp(Q) tel que μ = S(Q).

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