CCINP Mathématiques 2 MP 2001Sujet et corrigé

Utilisation des matrices compagnon

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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n99-186 du 16/11/99.

UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON

Notations et définitions:
Dans tout le problème

K

désigne

ℝ

ℂ

n

est un entier naturel.
Si

u

est un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

, on note

u^0 = id_E

\foralln \in ℕ, u^(n + 1) = u^n \circ u

.
On note

K_n[X]

K

-algèbre des polynômes de degré inférieur ou égal à

n, M_n(K)

K

-algèbre des matrices carrées de taille

n

à coefficients dans

K

de matrice unité

I_n

GL_n(K)

le groupe des matrices inversibles de

M_n(K)

; les éléments de

M_n(K)

sont notés

M = (m_(i, j))

Pour une matrice

A

M_n(K)

, on note

^t A

la transposée de la matrice

A, rg(A)

son rang,

χ_A = det(A - XI_n)

son polynôme caractéristique et

Sp(A)

l'ensemble de ses valeurs propres.

P = X^n + a_(n - 1)X^(n - 1) + \dots + a_1 X + a_0

est un polynôme unitaire de

K_n[X]

on lui associe

la matrice compagnon C_P = (0, 0, ., ., 0, - a_0; 1, 0, ., ., 0, - a_1; 0, 1, 0, ., 0, - a_2; ., ., ., ., ., .; 0, ., 0, 1, 0, - a_(n - 2); 0, ., ., 0, 1, - a_(n - 1)) \in M_n(K)

(c'est-à-dire la matrice

C_P = (c_(i, j))

est définie par

c_(i, j) = 1

pour

i - j = 1, c_(i, n) = - a_(i - 1)

c_(i, j) = 0

dans les autres cas).

Les parties II. III. et IV. utilisent les résultats de la partie I. et sont indépendantes entre elles.
I. Propriétés générales

Dans cette partie on considère le polynôme

P = X^n + a_(n - 1)X^(n - 1) + \dots + a_1 X + a_0

K_n[X]

C_P

sa matrice compagnon associée.

Montrer que $C_P$ est inversible si et seulement si $P(0) \neq 0$ .
Calculer le polynôme caractéristique de la matrice $C_P$ et déterminer une constante $k$ telle que $χ_(C_p) = kP$ .
Soit $Q$ un polynôme de $K_n[X]$ , déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une matrice $A$ de $M_n(K)$ telle que $χ_A = Q$ .
On note $^t C_P$ la transposée de la matrice $C_P$ .
(a) Justifier la proposition : $Sp(C_P) = Sp(^t C_P)$ .
(b) Soit $λ$ élément de $Sp(^t C_P)$ , déterminer le sous-espace propre de $^t C_P$ associé à $λ$ .
(c) Montrer que $^t C_P$ est diagonalisable si et seulement si $P$ est scindé sur $K$ et a toutes ses racines simples.
(d) On suppose que $P$ admet $n$ racines $λ_1, λ_2, \dots, λ_n$ deux à deux distinctes, montrer que $^t C_P$ est diagonalisable et en déduire que le déterminant de Vandermonde $|1, 1, \cdot, \cdot; λ_1, λ_2, \cdot, \cdot; λ_1^2, λ_2^2, \cdot, \cdot; \cdot, \cdot, \cdot, λ_n^2; λ_1^(n - 1), λ_2^(n - 1), \cdot, \cdot; \cdot, λ_n^(n - 1)|$ est non nul.
Exemples :
(a) Déterminer une matrice $A$ (dont on précisera la taille $n$ ) vérifiant :

A^(2002) = A^(2001) + A^(2000) + 1999I_n.

(b) Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n

f

un endomorphisme de

E

vérifiant :

f^(n - 1) \neq 0

f^n = 0

; montrer que l'on peut trouver une base de

E

dans laquelle la matrice de

f

est une matrice compagnon que l'on déterminera.

II. Localisation des racines d'un polynôme

Soit

A = (a_(i, j))

une matrice de

M_n(ℂ)

, on pose pour tout entier

1 ⩽ i ⩽ n

r_i = ∑_(j = 1)^n|a_(i, j)| et D_i = {z ∈ ℂ, |z| ⩽ r_i}.

Pour

X = (x_1; x_2; .; x_n) \in M_(n, 1)(ℂ)

, on note

‖X‖_\infty = max_(1 ⩽ i ⩽ n)|x_i|

.
6. Soit

λ \in Sp(A)

X = (x_1; x_2; .; x_n)

un vecteur propre associé à

λ

Montrer que pour tout entier

1 ⩽ i ⩽ n : |λx_i| ⩽ r_i‖X‖_\infty

.
7. Démontrer que

Sp(A) \subset ⋃_(i = 1)^n D_k

.
8. Soit

P = X^n + a_(n - 1)X^(n - 1) + \dots + a_1 X + a_0

un polynôme de

ℂ[X]

, établir que toutes les racines de

P

sont dans le disque fermé de centre 0 et de rayon

R = max{|a_0|, 1 + |a_1|, 1 + |a_2|, …, 1 + |a_(n − 1)|}

.
9. Application :

Soit

a, b, c

d

quatre entiers naturels distincts et non nuls, montrer que l'équation d'inconnue

n

n^a + n^b = n^c + n^d

n'admet pas de solution sur

ℕ∖{0, 1}

III. Suites récurrentes linéaires

On note

E = ℂ^ℕ

l'espace vectoriel des suites de complexes et si

u

est une suite de

E

, on écrira

u(n)

à la place de

u_n

pour désigner l'image de

n

par

u

On considère le polynôme

P = X^p + a_(p - 1)X^(p - 1) + \dots + a_0

ℂ[X]

avec

a_0 \neq 0

et on lui associe le sous-espace vectoriel

F

E

formé des éléments

u

vérifiant la relation :

\foralln \in ℕ : u(n + p) = - a_(p - 1)u(n + p - 1) - \dots - a_0 u(n).

Montrer que si $λ$ est racine de $P$ alors la suite $n \mapsto λ^n$ est élément de $F$ .
Soit $φ$ l'application de $F$ vers $ℂ^p$ définie par : $u \mapsto (u(0), u(1), \dots, u(p - 1))$ , montrer que $φ$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Quelle est la dimension de $F$ ?
Pour tout entier $0 ⩽ i ⩽ p - 1$ on définit les élements $e_i$ de $F$ par :

e_i(i) = 1 et, lorsque 0 ⩽ j ⩽ p - 1 et j \neq i, e_i(j) = 0.

(a) Déterminer pour

0 ⩽ i ⩽ p - 1e_i(p)

.
(b) Montrer que le système de vecteurs

(e_0, e_1, \dots, e_(p - 1))

est une base de

F

.
(c) Soit

u

un élément de

F

, établir que

u = \sum_(i = 0)^(p - 1)u(i)e_i

.
13. Si

u

est un élément de

E

, on définit l'élément

f(u)

E

par

: f(u) : n \mapsto u(n + 1)

. Montrer que l'application

f

ainsi définie est un endomorphisme de

E

et que

F

est stable par

f

.
14. Si

g

est l'endomorphisme de

F

induit par

f

, montrer que la matrice de

g

dans la base (

e_0, e_1, \dots, e_(p - 1)

) est

^t C_P

.
15. On suppose que

P

admet

p

racines non nulles et deux à deux distinctes :

λ_0, λ_1, \dots, λ_(p - 1)

.
(a) Déterminer une base de

F

formée de vecteurs propres de

g

.
(b) En déduire que, si

u

est élément de

F

, il existe des constantes complexes

k_0, k_1, \dots, k_(p - 1)

telles que:

\foralln \in ℕ, u(n) = k_0 λ_0^n + k_1 λ_1^n + \dots + k_(p - 1)λ_(p - 1)^n

.
16. Exemple : (On revient à la notation usuelle

u_n

)

Soit

a, b

c

trois réels distincts.
Déterminer une base de l'espace vectoriel des suites définies par

u_0, u_1

u_2

et par la relation de récurrence valable pour tout

n \in ℕ

u_(n + 3) = (a + b + c)u_(n + 2) - (ab + ac + bc)u_(n + 1) + abc.

IV. Matrices vérifiant :

rg(U - V) = 1

Dans cette partie, pour une matrice

A

, on notera

C_A

la matrice compagnon du polynôme

(- 1)^n χ_A

.
17. Une matrice

A

est-elle nécessairement semblable à la matrice compagnon

C_A

Pour tout couple (

U, V

) de matrices de

GL_n(K)

, on considère les deux propositions suivantes, que l'on identifie chacune par un symbole:
() $: rg(U - V) = 1$
$(^(**))$ : Il existe une matrice inversible $P$ telle que $U = P^(- 1)C_U P$ et $V = P^(- 1)C_V P$ .
18. Montrer qu'un couple ( $U, V$ ) de matrices distinctes de $GL_n(K)$ vérifiant (**) vérifie ().
19. Déterminer un couple (

U, V

) de matrices de

GL_2(K)

(

n = 2

) vérifiant (*) mais ne vérifiant pas (**) et déterminer le plus grand commun diviseur des polynômes

χ_U

χ_V

Dans la suite de cette partie, (

U, V

) est un couple de matrices de

GL_n(K)

vérifiant (*) et tel que

χ_U

χ_V

sont deux polynômes premiers entre eux.
Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n

et de base

B

, on désigne par

u

v

les automorphismes de

E

tels que

U

(respectivement

V

) soit la matrice de

u

(respectivement

v

) dans la base

B

.
Enfin on pose

H = Ker(u - v)

.
20. Montrer que

H

est un hyperplan vectoriel de

E

.
21. Soit

F \neq {0}

un sous-espace vectoriel de

E

stable par

u

et par

v

c'est-à-dire :

u(F) \subset F et v(F) \subset F.

On notera

u_F

(respectivement

v_F

) l'endomorphisme induit par

u

(respectivement

v

) sur

F

. On rappelle que

χ_(u_F)

divise

χ_u

.
(a) Montrer que

F

n'est pas inclus dans

H

.
(b) On suppose que

F \neq E

, montrer que

F + H = E

puis que l'on peut compléter une base

B_F

F

par des vecteurs de

H

pour obtenir une base

B^'

E

. En utilisant les matrices de

u

v

dans la base

B^'

montrer que l'on aboutit à une contradiction.
(c) Quels sont les seuls sous-espaces stables à la fois par

u

et par

v

?
22. Pour

j \in ℕ

, on note

G_j = {x ∈ E, u^j(x) ∈ H}

.
(a) Montrer que les sous-espaces

G_j

sont des hyperplans vectoriels de

E

.
(b) Montrer que

⋂_(j = 0)^(n − 2)G_j ≠ {0}

.
(c) Soit

y

un vecteur non nul de

⋂_(j = 0)^(n - 2)G_j

, on pose pour

0 ⩽ j ⩽ n - 1 : e_j = u^j(y)

Montrer que

B^('') = (e_0, e_1, \dots, e_(n - 1))

est une base de

E

.
(On pourra considérer

F = Vect{y, u(y), …, u^(p − 1)(y)}

où

p

est le plus grand entier naturel non nul pour lequel la famille (

y, u(y), \dots, u^(p - 1)(y)

) est libre).
(d) Montrer que la matrice de

u

(respectivement

v

) dans

B^('')

est

C_U

(respectivement

C_V

).
(e) Conclure.
23. Application :

Soit

u

v

deux automorphismes d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension

n

vérifiant :

rg(u - v) = 1, χ_u(X) = (- 1)^n(X^n + 1) et χ_v(X) = (- 1)^n(X^n - 1).

En utilisant une action de groupe, montrer que le groupe engendré par

u

v

est fini de cardinal inférieur ou égal à (

2n

)!.

Fin de l'énoncé.

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