CCINP Physique 1 MP 2000Sujet
Pas encore noté
- Champ et énergie potentielle de gravitation (analogie électrostatique)
- Référentiel du centre de masse et apesanteur
- Chute avec frottement fluide (linéaire et quadratique)
- Machines thermiques dithermes et diagramme de Raveau
- Entropie d'un gaz parfait
- Cycles moteurs (Carnot, Beau de Rochas, Stirling) et diagramme de Clapeyron
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Caractère singulier de la gravitation (masse grave et inerte, apesanteur, chute avec frottement) et cycles moteurs thermodynamiques (Carnot, Beau de Rochas, Stirling)Afficher ou masquer la section
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Caractère singulier de la gravitation (masse grave et inerte, apesanteur, chute avec frottement) et cycles moteurs thermodynamiques (Carnot, Beau de Rochas, Stirling)
Le sujet comporte deux parties indépendantes. La partie A illustre le caractère singulier de la force de gravitation : comparaison avec la force électrostatique, analogie formelle entre champs de gravitation et électrostatique, étude du référentiel du centre de masse d'une cabine spatiale menant à l'identification des masses grave et inerte, puis étude de la chute de deux billes avec frottement linéaire puis quadratique en la vitesse.
- 1Partie A : caractère singulier de la gravitationComparer forces électrostatique et gravitationnelle, établir les propriétés du champ de gravitation par analogie électrostatique, étudier le référentiel du centre de masse d'une cabine en chute libre pour identifier masse grave et masse inerte, puis étudier la chute de deux billes avec frottement fluide linéaire puis quadratique.
- 2Partie B : cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et StirlingÉtudier le bilan énergétique et entropique d'une machine ditherme à l'aide du diagramme de Raveau, établir l'expression de l'entropie d'un gaz parfait, puis comparer les efficacités des cycles de Carnot, Beau de Rochas et Stirling entre les mêmes températures extrêmes.
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Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées sous réserve des conditions définies dans la circulaire
n^∘99 − 018 du 01.02.99.
Conformément à l' usage typographique international, les vecteurs sont représentés en gras.
On donne les constantes physiques suivantes :
Conformément à l' usage typographique international, les vecteurs sont représentés en gras.
On donne les constantes physiques suivantes :
| Charge élémentaire : |
|
| Constante de gravitation : |
|
| Masse de l'électron : |
|
| Masse du noyau d'hélium : |
|
| Masse d'un noyau d'or . |
|
| Charge d'un noyau d'or . |
|
| Charge d'un noyau d'hélium : |
|
| Masse du Soleil . |
|
| Rayon du Soleil : |
|
| Masse de la Terre : |
|
| Rayon de la Terre : |
|
| Masse de Lune : |
|
| Rayon de la Lune : |
|
| Distance Terre-Soleil : | TS
|
| Distance Terre-Lune : |
|
| Intensité du champ de pesanteur terrestre : |
|
| Constante de l'interaction électrostatique : |
|
| Constante universelle des gaz parfaits : |
|
| Nombre d'Avogadro : |
|
A. Caractère singulier de la gravitation
On se propose de souligner, à l'aide de différents exemples, le caractère singulier de la force de gravitation, singularité à l' origine de la théorie de la relativité générale établie par Einstein en 1915. On rappelle que la masse grave d'un corps, ou masse de gravitation, exprime la capacité qu'a un corps d'être attiré par un autre corps. La masse inerte désigne, elle, la capacité qu'a ce même corps de s'opposer à sa mise en mouvement à partir du repos, sous l'action d'une force. C'est donc la masse inerte qui apparaît dans l'écriture de la loi fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton). Entre deux points matériels,
A_1 et
A_2 , de masses graves respectives
m_1 et
m_2 , Newton a admis que l'attraction gravitationnelle pouvait être exprimée par l'expression suivante de la force
F_(2 → 1) qu'exerce
A_2 sur
A_1 :
F_(2 → 1) = (K/r^2)e_r avec
K = − Gm_1^∗ m_2^∗ e_r = r/r et
r = A_2 A_1 = r_1 − r_2
les vecteursr_1 et
r_2 situant les positions de
A_1 et
A_2 par rapport à un référentiel galiléen
R = Oxyz.
les vecteurs
- a) Comparer la force électrostatique et la force de gravitation qui s'exercent entre des particules
α (noyaux d'hélium) et des noyaux d'or (expérience de Rutherford). Conclure.
b) Etablir l'expression de l'énergie potentielle d' interaction entre deux particules, de charges électriquesq_1 etq_2 et de masses gravesm_1^∗ etm_2^∗ , associée aux forces électrostatiques et aux forces de gravitation. On adoptera comme origine des énergies potentielles la valeur pour r infini. - a) En s'appuyant sur l'analogie entre la force de Coulomb d'interaction électrostatique et la force de gravitation, énoncer, sans les établir, les deux propriétés auxquelles satisfait le champ de gravitation a :
i) la première, en relation avec la circulation dea .
ii) la seconde, en relation avec le flux dea .
b) Montrer que le champ de gravitation, créé en un point M par une sphère, de centre O , de rayon R , dont la distribution de masse grave est à symétrie sphérique, est radial et peut se mettre sous la forme :G^′(M) = a_r e_r oùe_r = OM/r etr = ‖OM‖ . Exprimer, en fonction der, a_(, r) , ainsi queΦ - Tracer les graphes correspondantsG_r(r) etΦ(r) .
c) On rappelle l'expression de l'énergie potentielle électrostatique d'une distribution de charge électrique en fonction du champ électrostatiqueE : ε_p = ∫_(esp)(ε_o E^2)/2dV , l'intégration portant sur tout l'espace. En s'appuyant sur l'analogie précédente, trouver l'énergie potentielle de gravitation d'une distribution sphérique uniforme, de masse grave totaleM^∗ et de rayon R . - On considère une cabine spatiale, de centre de masse C , en translation par rapport au référentiel géocentrique
R_g = Tx_o y_o z_o , d'origine le centre T de la Terre et lui-même en translation par rapport au référentiel de CopernicR_C; R_g peut être considéré comme galiléen avec une excellente approximation (Figure 1).
On s'intéresse au mouvement d'un point matériel A, de masse inerte m et de masse grave m*, par rapport au référentiel du centre de masseR^∗ de la cabine, associé à.R_g . On ne tient pas compte de l'influence des astres autres que la Terre.
Figure 1
a) Rappeler la définition de
R^∗ .
b) En désignant parF_(OC) la somme des forces occasionnelles, c'est-à-dire la somme des forces non gravitationnelles, qu'exerce l'environnement sur A, écrire la loi fondamentale de la dynamique pour A dans son mouvement par rapport à
R^∗ .
c) Appliquer le théorème du centre de masse à la cabine spatiale, de masse graveM_C * et de masse inerte
M_C , dans son mouvement par rapport à
R_g . Montrer que l'on a :
b) En désignant par
c) Appliquer le théorème du centre de masse à la cabine spatiale, de masse grave
B étant un point de la cabine que l'on précisera.
d) Rappeler la première loi de Newton ou principe d'inertie. Une telle loi est expérimentalement constatée dansR^∗ en faisant
F_(OC) = 0 . En déduire, en admettant que le champ de gravitation est uniforme dans la cabine, que la masse grave peut être identifiée à la masse inerte. Commenter.
4. Dans cette question, on admet l'identité des masse grave et inerte. En outre, le référentiel géocentriqueR_g est en translation quasi circulaire par rapport au référentiel de Copernic supposé galiléen.
a) Calculer, dansR_C les forces de gravitation qu'exercent le Soleil et la Terre sur la Lune. Le résultat obtenu semble paradoxal. Pourquoi ? Comment lève-t-on ce paradoxe ?
b) Appliquer le théorème du centre de masse à la Lune par rapport àR_g . Montrer que, par rapport à
R_g , l'influence du Soleil apparaît par un terme différentiel dont l'influence est mineure. Commenter.
5. On montre que le référentiel du laboratoireR , peut être considéré comme un bon référentiel galiléen, pourvu que l'on substitue au champ de gravitation
G , le champ de pesanteur terrestre
g et que les vitesses acquises soient suffisamment faibles (inférieures à
500 m.s^(− 1) ). On laisse tomber (sans vitesse initiale), d'une hauteur
h = 2 m , deux corps différents, par exemple, une bille
B_1 métallique, de masse
m_1 = 0, 7 kg , et une bille plus légère,
B_2 , de masse
m_2 = 0, 058 kg (Figure 2). On admet qu' il existe une force supplémentaire de frottement visqueux proportionnelle à la vitesse:
F_f = − αv, α étant un coefficient positif.
d) Rappeler la première loi de Newton ou principe d'inertie. Une telle loi est expérimentalement constatée dans
4. Dans cette question, on admet l'identité des masse grave et inerte. En outre, le référentiel géocentrique
a) Calculer, dans
b) Appliquer le théorème du centre de masse à la Lune par rapport à
5. On montre que le référentiel du laboratoire
Figure 2
a) A quelle équation différentielle la vitesse v , selon la verticale descendante Ox , satisfait-elle ?
b) En déduirev(t) en introduisant
τ = m/α . Représenter le graphe correspondant. Donner une expression approchée de
v(t) pour t «
τ . Commenter.
c) Trouver l'équation horairex(t) . Donner une expression approchée de
x(t) pour t «
τ . Commenter.
d) Calculerτ dans le cas des deux billes, sachant que
α = 13 × 10^(− 6)SI . Que peut-on dire de l'influence de la force de frottement?
6. Dans cette question, on reprend l'analyse précédente, mais la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse:F_f = − βv^2 v/v, β étant un coefficient positif.
a) Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse d'une bille selon l'axe vertical descendant. Quelle est la dimension physique de(mg/β)^(1/2) ?
b) Montrer quev(t) a pour expression:
v(t) = v_l tanh(gt/v_l)v_1 étant une quantité que l'on déterminera. Tracer le graphe correspondant. Quelle est la signification physique de
v_1 ? Donner une expression approchée de
v(t) pour t «
(v_1/g) . Commenter .
c) En déduire l'équation horairex(t) , sachant que :
∫tanhudu = lncoshu Donner une expression approchée de
x(t) jusqu'au terme en
t^4 inclus. Commenter.
d) On reprend l'étude de la chute des deux billes. Dans les deux cas, on admet la même valeurβ = 12.10^(− 4)SI . Calculer
v_1 dans les deux cas. Montrer que le mouvement de
B_1 est une chute libre dans le vide, avec une excellente précision relative que l'on calculera.
e) Quelle est la distance parcourue par la billeB_2 pendant la durée de chute de
B_1 ? En déduire l'écart entre les deux billes en fin de chute. Commenter.
b) En déduire
c) Trouver l'équation horaire
d) Calculer
6. Dans cette question, on reprend l'analyse précédente, mais la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse:
a) Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse d'une bille selon l'axe vertical descendant. Quelle est la dimension physique de
b) Montrer que
c) En déduire l'équation horaire
d) On reprend l'étude de la chute des deux billes. Dans les deux cas, on admet la même valeur
e) Quelle est la distance parcourue par la bille
B. Cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling
Après une étude graphique des machines dithermes, à l'aide du diagramme de Raveau, et une vérification expérimentale de l'expression de l'entropie d'un gaz parfait, on compare les efficacités des cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et stirling. Ce dernier cycle présente des caractéristiques intéressantes, notamment un faible niveau de pollution, une durée de vie élevée et une excellente efficacité.
1. Machine ditherme
Une masse m de gaz, constituée principalement d'air, subit un cycle moteur entre deux sources thermiques, l'une la source froide à la température
T_f = 290 K , l'autre la source chaude à la température
T_c = 1450 K .
a) Exprimer les bilans d'énergie et d'entropie au cours d'un cycle réel. On introduira les quantités algébriques suivantes, relatives à un cycle:W, Q_f, Q_c, S^p; W est le travail reçu (algébriquement) par le fluide (si
W > 0 , il est effectivement reçu par le fluide, si
W < 0 , il est effectivement fourni par le fluide). De même
Q_f est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source froide;
Q_c est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source chaude.
Dans l'écriture deS^p , qui désigne l'entropie produite, p est un indice et non un exposant.
b) Représenter, sur un même graphe, donnantQ_c en fonction de
Q_f , appelé diagramme de Raveau, les deux équations précédentes,
W et
S^p étant des quantités déterminées. En déduire la position du point de fonctionnement sur le diagramme, compte tenu des signes de W et
S^p , ainsi que le sens des échanges thermiques (signes de
Q_c et
Q_f ).
c) Etablir l'expression de l'efficacitéη du moteur, appelée aussi rendement, en fonction de
T_c, T_f, Q_c et
S^p .
d) Que devient cette efficacité lorsque la machine ditherme fonctionne selon un cycle de Carnot ? Calculer sa valeurη_c . Ce résultat, sensiblement inférieur à 1 , doit-il être attribué à une imperfection de la machine (frottements divers) ou provient-il d' une limitation fondamentale ? Dans ce dernier cas, préciser la nature de cette limitation.
e) On définit le degré d' irréversibilité du cycle à l'aide du rapportr = η/η_c . Sachant que
r = 0, 94 et que le moteur fournit un travail de 15 kJ par cycle, trouver
Q_c, Q_f et
S^p . Porter avec soin ces résultats sur un graphe, donnant
Q_c en fonction de
Q_f dans lequel 1 cm représente 5 kJ .
a) Exprimer les bilans d'énergie et d'entropie au cours d'un cycle réel. On introduira les quantités algébriques suivantes, relatives à un cycle:
Dans l'écriture de
b) Représenter, sur un même graphe, donnant
c) Etablir l'expression de l'efficacité
d) Que devient cette efficacité lorsque la machine ditherme fonctionne selon un cycle de Carnot ? Calculer sa valeur
e) On définit le degré d' irréversibilité du cycle à l'aide du rapport
2. Entropie d'un gaz parfait
a) Le rapport
γ des capacités thermiques isobare et isochore d'un gaz parfait est 1,67 pour un gaz monoatomique, tel que l'argon, et 1,4 pour un gaz diatomique, tel que l'air. Justifier ces valeurs à l'aide de considérations simples issues de la théorie cinétique des gaz ?
b) Etablir l'expression de la variation élémentaire de l'entropie d'un gaz parfait monoatomique en fonction de sa température T et de sa pression p . Montrer que l' entropie du gaz peut s'écrire:
S = α(− lnp + βlnT + Cte
)
α étant un coefficient que l' on exprimera, en fonction du nombre n de moles et de la constante R des gaz parfaits, et
β un facteur que l'on déterminera. La constante Cte qui apparaît dans la formule précédente a pu être déterminée expérimentalement à l' aide du graphe
C_p(T) donnant la capacité thermique molaire de l'argon gazeux, sous 1 bar, en fonction de la température. Comment accède-t-on à l'entropie à partir de
C_p(T) ?
c) Dans le cas d'un gaz parfait diatomique,β = 7/2 . En déduire la relation entre la pression et la température d'un gaz parfait diatomique au cours d'une évolution isentropique.
b) Etablir l'expression de la variation élémentaire de l'entropie d'un gaz parfait monoatomique en fonction de sa température T et de sa pression p . Montrer que l' entropie du gaz peut s'écrire:
c) Dans le cas d'un gaz parfait diatomique,
3. Cycle de Beau de Rochas et Otto
Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse
m = 2, 9 g , assimilé à un gaz parfait diatomique, de masse molaire
M = 29 g , suit une évolution cyclique réversible
ABCD , constituée de deux portions isentropiques, AB et CD , .séparées par deux portions isochores, BC et DA . Le cycle n'est plus ditherme : il y a mise en contact du fluide avec une succession de sources chaudes et froides.
Les températures et les pressions aux points A et C sont. respectivement :
T_A = 290 Kp_A = 1bar T_C = 1450 K p_C = 40bar
En outre, le taux de compressionα_v = V_A/V_C est égal à 8 .
a) Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes AB et CD ? Calculer les pressions, en bar,p_B et
p_D en
B et
D respectivement, ainsi que les volumes en litre en ces points.
b) Représenter avec soin le cycle ABCD dans le diagramme de Clapeyron (p, V ). Justifier le sens de description du cycle.
c) Calculer, en kJ , le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle. Vérifier l'existence d'une relation simple entre toutes les grandeurs calculées.
d) Quelle est l'efficacitéη_(во) de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieu extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion BC du diagramme ? Comparer
η_(BO) à l'efficacité
η_C d'un cycle moteur ditherme fonctionnant entre les températures
T_A et
T_C . Commenter.
Les températures et les pressions aux points A et C sont. respectivement :
En outre, le taux de compression
a) Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes AB et CD ? Calculer les pressions, en bar,
b) Représenter avec soin le cycle ABCD dans le diagramme de Clapeyron (
c) Calculer, en kJ , le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle. Vérifier l'existence d'une relation simple entre toutes les grandeurs calculées.
d) Quelle est l'efficacité
4. Cycle de Stirling
Dans un cycle de Stirling, une même masse d' air (
m = 2, 9 g ) suit une évolution cyclique réversible
A^′ B^′ C^′ D^′ , constituée de deux portions isothermes
A^′ B^′ et
C^′ D^′ séparées par deux portions isochores
B^′ C^′ et
D^′ A^′ . Les températures et les pressions aux points
A^′ et
C^′ sont les mêmes qu' aux points A et C respectivement. Le taux de compression (
α_v = V_A/V_C ) est aussi le même que précédemment.
a) Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbesA^′ B^′ et
C^′ D^′ ? En déduire les pressions
p_B^′ et
p_D^′ , en
B^′ et
D^′ , respectivement.
b) Représenter avec soin le cycleA^′ B^′ C^′ D^′ dans le diagramme de Clapeyron. Comparer ce diagramme au précédent.
c) Calculer le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle.
d) Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l'aide d'un régénérateur interne à la machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes. Quelle est l'efficacitéη_S de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieu extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion
C^′ D^′ du diagramme?
Comparerη_S à
η_(BO) et
η_C .
a) Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes
b) Représenter avec soin le cycle
c) Calculer le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle.
d) Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l'aide d'un régénérateur interne à la machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes. Quelle est l'efficacité
Comparer
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de physique 1 CCINP MP 2000 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de physique 1 CCINP MP 2000 ?
Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 1 CCINP MP 2000 ?
La partie A porte sur la gravitation, l'apesanteur et la chute avec frottement ; la partie B porte sur les machines thermiques dithermes et la comparaison des cycles de Carnot, Beau de Rochas et Stirling.
Les deux parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?
Oui, la partie A sur la gravitation et la partie B sur les cycles thermodynamiques sont totalement indépendantes.
Ce sujet permet-il de comprendre l'apesanteur dans une cabine spatiale ?
Oui, la question 3 de la partie A étudie le mouvement relatif d'un point matériel dans le référentiel du centre de masse d'une cabine en chute libre autour de la Terre.
Le sujet compare-t-il plusieurs cycles moteurs thermodynamiques ?
Oui, la partie B compare les efficacités des cycles de Carnot, de Beau de Rochas (moteur à explosion) et de Stirling fonctionnant entre les mêmes températures extrêmes.
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