CCINP Physique 2 MP 2000Sujet

A. CONDUCTIVITÉ DANS UN SEMI-CONDUCTEUR

PREMIERE PARTIE

Figure 1

1. a) Dans ce matériau, on applique un champ électrique E stationnaire. Ecrire l'équation du mouvement d'un électron animé d'une vitesse v. A un instant pris comme origine, ce champ est brusquement annulé, Déduire l'évolution ultérieure de la vitesse de l'électron et donner une signification physique au coefficient τ = m/α.
   b) En régime stationnaire, montrer qu'en présence d'un champ électrique E, le courant volumique J vérifie bien la loi d' Ohm. En déduire la conductivité électronique γ en fonction de e, τ, m et de la densité volumique n des électrons de conduction.
   c) Dans un matériau semi-conducteur, tel que l'arséniure de gallium GaAs dopé au silicium, la conduction est assurée par des électrons dont la masse effective m est 0, 06 m_e. Sachant qu'à très basse température la valeur de la conductivité vaut γ = 100 S.m^(− 1), calculer τ pour n = 10^(24) m^(− 3).
   d) Un courant de densité volumique stationnaire circule parallèlement à l' axe Ox : J = Je_x L'épaisseur a étant faible devant les dimensions latérales L et ℓ, l'échantillon est assimilé à une nappe de courant uniforme d'extension latérale infinie et d'épaisseur a. A l'aide des symétries d'une telle distribution, préciser
   l'orientation du champ magnétique b qu'elle crée en tout point de l'espace. Justifier le fait que ce champ est nul dans le plan z = 0. A partir de la forme locale du théorème d' Ampère, calculer b. Trouver sa valeur maximale pour a = 10μ m et J = 10^6 A ⋅ m^(− 2).
2. a) L'échantillon est désormais plongé dans un champ magnétique extérieur B, uniforme et stationnaire, dirigé selon Oz.B = Be_z. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la vitesse v d'un électron du matériau soumis à la force de frottement et à ce champ magnétique.
   Montrer que, lorsque τ tend vers l' infini. le vecteur v est un vecteur tournant dont on précisera le vecteur rotation. Calculer la norme ω_c de ce dernier, appelée pulsation cyclotron, pour B = 1 T et m = 0, 06 m_e.
   b) On prend en compte les effets d'un champ électrique E, parallèle au plan Oxy, et du champ B appliqué précédent. On néglige le champ magnétique créé par le milieu. Les effets d'amortissement sont toujours décrits par la force de frottement - αv. Etablir, en régime stationnaire, les relations liant les composantes J_x et J_y du courant volumique aux composantes E_x et E_y du champ électrique. Montrer qu'elles peuvent s'écrire sous la forme matricielle suivante .
   ((E_x)/(E_y)) = ((ρ_(xx)ρ_(xy))/(ρ_(yx)ρ_(yy)))((J_x)/(J_y)) dans laquelle : ρ_(xx) = ρ_(yy) = 1/γ et ρ_(xy) = − ρ_(yx) = B/(ne)
   c) L'échantillon a la forme d'un ruban allongé selon Oy a «L « ℓ (Figure 2.a). On applique une différence de potentiel V entre les plans x = 0 et x = L métallisés. Le champ électrique E est supposé uniforme : E = Ee_x. Calculer la résistance d' un tel échantillon. Quelle est la modification relative induite par le champ magnétique (effet de magnétorésistance) ? Calculer cette modification pour B = 1T, γ = 100S.m^(− 1), n = 10^(24)m^(− 3) et m = 0, 06m_e.

Figure 2

DEUXIEME PARTIE

1. a) Ecrire l'équation différentielle vérifiée par le mouvement d'un électron soumis à un champ magnétique appliqué uniforme et stationnaire B, dirigé selon Oz , au champ électromagnétique ( E, B^′ ) de l'onde et à la force de «frottement » − αv. Pourquoi l'effet du champ magnétique B^′ de l' onde est-il négligeable? Expliciter les équations différentielles vérifiées par les composantes J_x et J_y du courant volumique, en introduisant les constantes τ, γ et ω_c définies dans la première partie.
   b) En régime établi, ces composantes évoluent de manière sinusoïdale, avec la pulsation ω. On introduit la notation complexe habituelle : J_x = Re{J_–_(x_–)} avec J_–_(x_–) = J_–_(O_–x_–)exp(− iωt) et i^2 = − 1
   Dans l'expression de J_x, J_(OX) représente l'amplitude complexe. Une notation similaire est introduite pour J_y, E_x et E_y. On introduit les quantités complexes :
   J_–_+ = J_–_(Ox) + iJ_–_(Oy) et J_–_− = J_–_(Ox) − iJ_–_(Oy)
   E_–_+ = E_–_(Ox_–) + iE_–_(Oy_–) et E_– − = E_–_(Ox_–) − iE_–_(Oy_–)
   Montrer que les équations, établies en 1.a, .s'écrivent simplement : J_–_± = γ_±E_–_±avec γ_± = A/[1 − i(ω ± ω_c)τ]
   A étant un coefficient que l'on exprimera en fonction de γ.
2. a) Ecrire, en notation complexe, les équations de Maxwell vérifiées par les amplitudes complexes du champ électromagnétique ( E, B^′ ) d' une onde plane monochromatique se propageant, suivant Oz , dans le milieu. On désigne par k la norme du vecteur d'onde associé.
   En déduire l'équation vérifiée par E_– + et E_– - en tenant compte de l'expression de J_–_+et J_– -
   b) On considère une onde de basse fréquence ( ω « ω_c ), se propageant dans un milieu de conductivité élevée ( ω_c τ » 1 ). Montrer que la condition de propagation se met sous la forme : k_±^2 = ω^2/c^2 + K^2 où K est un coefficient que l'on exprimera en fonction de ω, n, B et des constantes physiques.
   c) En déduire qu'au-dessous d'une certaine pulsation critique ω_o, seul un type d'onde peut se propager dans le milieu. Quelle est alors la polarisation d'une telle onde, appelée onde hélicon ?

B. SPECTROMÉTRIE INTERFÉRENTIELLE DE MICHELSON

1. On se place dans le cas où la source émet une onde monochromatique, dont la fréquence v_o correspond à la longueur d' onde λ_o = 550 nm. On désigne par x le déplacement du miroir M_2, compté à partir de la distance minimale de II_2 égale à II_1.
   a) Faire un schéma soigné du dispositif
   b) Calculer v_0. Quelle est la couleur de celle radiation ?
   c) Montrer que l'intensité de l'onde détectée a pour expression : I(τ) = I(0)/2[1 + cos(2πv_o τ)] où τ est une durée que l'on exprimera en fonction de x et de la vitesse c de la lumière dans le vide.
2. La source est une lampe à vapeur de cadmium qui émet un groupe d'ondes monochromatiques, centré autour d'une fréquence moyenne v_o correspondant à la longueur d'onde λ_o = 643, 8 nm. On désigne par I_v(v) l'intensité spectrale de la source, c'est-à-dire la contribution relative de chaque fréquence à l'intensité de l'onde émise par la source. En 1892, Michelson a déterminé la largeur totale à mi-hauteur Δν_(1/2) de cette radiation en adoptant un modèle rectangulaire pour I_v(v) centré sur la fréquence v_o : I_v(v) = A pour v_o − Δv_(1/2)/2 v v_o + Δv_(1/2)/2 et I_v(v) = 0 autrement.
   a) Calculer v_0. Quelle est la couleur de cette radiation?
   b) Montrer que l' intensité détectée peut se mettre sous la forme : I(τ) = I(0)/2[1 + γ_t(τ)cos(2πv_o τ)]γ_t(τ) étant une fonction que l'on déterminera.
   c) En déduire le facteur de visibilité des franges d'interférence, c'est-à-dire la quantité V = (I_M − I_m)/(I_M + I_m), I_M étant l'intensité maximale et I_m l'intensité minimale. Tracer l'allure des graphes |γ_t(τ)| et I(τ).
   d) En augmentant x à partir d ' une valeur nulle, on obtient une première annulation de V pour x = 15, 9 cm. Quelle valeur Δν_(1/2) Michelson a-t-il obtenu? Calculer L_t = c/Δν_(1/2) appelée longueur de cohérence temporelle. En déduire, en picomètre, l'écart en longueur d'onde Δλ_(1/2) correspondant.
3. La source précédente est remplacée par une lampe à vapeur de mercure qui émet deux radiations, de fréquences respectives v_1 = v_0 − Δv_(1/2)/2 et v_2 = v_0 + Δv_(1/2)/2, et dont les contributions en intensité dans le plan d'observation sont égales à I_(v, 1) = I_(v, 2). La longueur d'onde correspondant à v_o est λ_o = 578 nm.
   a) Calculer ν_0. Quelle est la couleur de cette radiation?
   b) Montrer que l' intensité détectée est donnée par la même expression que précédemment, mais γ_t(τ) est une fonction différente que l'on déterminera.
   c) En déduire le facteur de visibilité ainsi que les graphes |γ_t(τ)| et I(τ).
   d) Entre les deux premières valeurs de τ qui annulent V , on compte 277 pics d'intensité. En déduire Δν_(1/2), L_t et Δλ_(1/2).
   e) Une analyse attentive du graphe V(τ), obtenu expérimentalement, montre que V décroît lorsque τ augmente. Proposer une interprétation physique en la justifiant.
4. On considère une source qui émet aussi deux radiations, de fréquences respectives v_1 = v_o − Δv_(1/2)/2 et v_2 = v_o + Δv_(1/2)/2, mais de contributions différentes: I_(v, 1) et I_(v, 2) = μI_(v, 1), μ étant un facteur positif.
   a) Montrer que l' intensité détectée peut se mettre sous la forme : I(τ) = I(0)/2[1 + Re{γ_–_(t_–)(τ)exp(i2πv_o τ)}] où γ_(t_–) = C_1 exp(− iπΔν_(1/2)τ) + C_2 exp(iπΔν_(1/2)τ)v_o étant la fréquence moyenne (v_1 + v_2)/2 et Δv_(1/2) la différence des fréquences v_2 − v_1 et (C_1, C_2) deux facteurs à déterminer en fonction de μ.
   b) Calculer la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument α_t de γ_t.
   c) Quelle relation existe-t-il entre le facteur de visibilité V des franges d' interférence et γ_–_(t_–) ? Donner l'expression de V en fonction de μ et de cos(πΔν_(1/2)τ)
   d) Trouver, en fonction de μ, les valeurs minimale V_m et maximale V_M de V lorsque τ varie. Donner l'allure du graphe V(τ).
   e) Que deviennent V et α_t dans les cas extrêmes où μ = 0 et μ = 1 ? Commenter.
5. L'analyse fine de la raie H_0 de la série de Balmer de l'atome d'hydrogène révèle que cette radiation est constituée d'un doublet non symétrique, car le facteur de visibilité V varie avec τ comme le montre le graphe précédent, mais V_m n'est pas nul. La longueur d'onde, associée à la moyenne des fréquences, est λ_o = 656, 3 nm, Michelson a constaté que la première valeur minimale du facteur de visibilité était atteinte pour x = 8, 5 mm et valait 0,15 .
   a) Calculer la fréquence ν_0 de la radiation de longueur d'onde λ_0. Quelle est la couleur de cette radiation ?
   b) Trouver Δv_(1/2) et Δλ_(1/2) en précisant leurs unités.
   c) En déduire μ et α_t.