Bobine à champ magnétique pulsé et déphasage de Gouy d'une onde lumineuse au passage par un foyer
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Le problème A étudie la décharge oscillante d'un condensateur dans une bobine via un circuit RLC avec diode, puis le champ magnétique, la pression magnétique et l'inductance propre d'une bobine épaisse à champ pulsé. Le problème B établit, à partir du principe d'Huygens-Fresnel, le déphasage de pi subi par une onde sphérique lors de son passage par son centre de courbure, puis l'illustre par le dispositif interférentiel de Meslin et par deux coronographes destinés à occulter la lumière d'une étoile pour détecter des exoplanètes.
1A.I : alimentation pour bobine à champ pulséÉtude d'un circuit RLC avec diode modélisant la décharge d'un condensateur dans une bobine, avec calcul des durées caractéristiques et des bilans d'énergie électrostatique.
2A.II : bobine pour champ magnétique intense pulséCalcul du champ magnétique créé par une bobine épaisse à l'aide du théorème d'Ampère, de la force de Laplace, de la pression magnétique et de l'inductance propre du solénoïde épais.
3B.I : passage d'une onde sphérique par son centreÉtablissement, à partir du principe d'Huygens-Fresnel et d'une intégrale de Fresnel, du changement de phase de pi que subit une onde sphérique en traversant son centre de courbure.
4B.II : franges de MeslinÉtude des interférences produites par deux demi-lentilles écartées sur l'axe optique, mise en évidence expérimentale du déphasage de Gouy et calcul de la géométrie des franges obtenues.
5B.III : coronographesÉtude du coronographe solaire de Lyot fondé sur l'occultation géométrique, puis du coronographe interférentiel achromatique utilisant le déphasage de Gouy pour occulter la lumière d'une étoile et détecter des exoplanètes.
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A. ÉTUDE D'UNE BOBINE À CHAMP PULSÉ ET DE SON ALIMENTATION
Ce problème étudie certaines caractéristiques de l'alimentation et de la réalisation d'une bobine utilisée pour créer un champ magnétique pulsé de très forte intensité permettant d'explorer les propriétés de la matière dans ces conditions. Le principe retenu au Service National des Champs Magnétiques Pulsés de Toulouse est de décharger un banc de condensateurs dans une bobine de fort coefficient d'inductance pendant une durée relativement longue (première partie). La description de la bobine et du champ qu'elle crée font l'objet de la deuxième partie.
Ces deux parties peuvent être traitées indépendamment.
Partie I - Alimentation pour bobine à champ pulsé
Le circuit électrique de la figure 1 comporte trois branches en parallèle. La première est constituée d'un condensateur de capacité C = 25mF. La seconde comprend seulement une diode idéale D ne laissant passer le courant que de B vers A. La troisième contient une bobine de coefficient d'inductance propre L = 64mH et de résistance R en série avec un interrupteur K. On prend en compte la variation de résistance de la bobine due à l'échauffement brutal des conducteurs pendant la décharge, en adoptant une valeur moyenne de la résistance R = 1Ω. On pose ω_0 = 1/√(LC) et α = R/2Lω_0 ≤ 1. Initialement K est ouvert et le condensatcur chargé sous la tension (V_A − V_B) = V_0 = 15500 V, D est donc bloquée et le courant dans la bobine est nul.
A l'instant t = 0, on ferme K. On distinguera deux régimes suivant que D est bloquée ou conductrice.
Calculer l'intensité I_L(t) du courant dans la bobine et la tension V_C(t) aux bornes du condensateur en fonction du temps avant le déblocage de la diode.
Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée τ_1 au bout de laquelle l'intensité du courant I_L atteint sa valeur maximum I_(Lm). Calculer numériquement I_(Lm).
Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée τ_2 au bout de laquelle la tension V_C s'annule. Calculer numériquement I_L(τ_2).
Calculer I_L(t) après le déblocage de D.
Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée τ_3 au bout de laquelle l'intensité est revenue à 10% de sa valeur au moment du déblocage de D.
Tracer sommairement les courbes représentant l'intensité I_L(t) et la tension V_C(t).
Quelle est l'énergie électrostatique ε_e stockée initialement dans le condensateur?
Que peut-on dire de l'énergie initialement stockée dans le condensateur lorsque l'intensité est redevenue nulle?
Partie II - Bobine pour champ magnétique intense pulsé
Une bobine épaisse est réalisée en bobinant un fil d'un conducteur isolé de section rectangulaire sur un cylindre à raison de n = 250 spires par mètre, en longueur, et m = 400 couches par mètre, en épaisseur. On néglige l'épaisseur de l'isolant et on suppose le bobinage à spires circulaires planes parfaitement jointives. Une fois terminé, le bobinage a un rayon intérieur de R_1 = 1 cm et extérieur de R_2 = 8, 5 cm (Figure 2).
On suppose pour l'instant la bobine de longueur l≫R_2 (approximation du solénoïde épais infini).
Donner l'expression de la densité volumique de courant J en fonction de n, m et de l'intensité I du courant parcourant les spires.
En raisonnant sur les symétries, donner la direction du champ magnétique au point M de coordonnées cylindriques ρ, θ, z.
Calculer le champ magnétique créé en tout point de l'espace par cette distribution de courants.
Exprimer la force de Laplace d^3 F s'exerçant sur un élément de volume du bobinage entourant le point M.
On suppose que l'intégralité de ces forces volumiques est transmise à la surface extérieure par la structure métallique. Quelle est la force qui s'exerce sur l'unité de surface du
cylindre de rayon R_2 ? En déduire la pression p correspondante, appelée pression magnétique.
On rappelle que l'énergie magnétique volumique est donnée par la relation classique u_B(M) = (1/2μ_0)B^2(M). En déduire l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée par unité de longueur du bobinage.
Montrer que le calcul précédent permet de déduire l'inductance propre linéique λ d'un solénoïde épais infini de rayons interne R_1 et externe R_2.
On prend maintenant en compte la longueur finie l de la bobine étudiée et on précise que des efforts longitudinaux apparaissent également qui tendent à la déformer dans le sens de son axe Oz.
8. Evaluer, en négligeant les effets de bord, l'inductance propre L de cette bobine en fonction du nombre total N de spires par couche, du nombre total M de couches du bobinage, de la longueur l de la bobine et des autres paramètres pertinents.
9. On peut montrer, à partir d'un bilan énergétique convenable, que la force magnétique résultante qui s'exerce sur la face extrémale de la bobine située en z = l/2 est donnée par la relation F = (1/2)I^2(dL/dl)e_z, l'autre face étant soumise, par raison de symétrie, à une force égale et opposée. Evaluer, en supposant les efforts uniformément répartis sur ces faces, la pression magnétique p^′ qui s'exerce sur elles.
10. On donne μ_0 = 4π10^(− 7) S.I. La bobine de la première partie est assimilée à une tranche de l = 18, 5 cm du solénoïde décrit ci-dessus en négligeant les effets de bord. Calculer son coefficient d'inductance propre L. L'intensité maximum au cours d'une décharge du condensateur étant de 6400A, calculer la valeur maximum atteinte par le champ magnétique au centre de la bobine et par les pressions p et p^′ s'exerçant respectivement sur sa surface cylindrique extérieure et sur ses faces extrémales. Sachant que la limite d'élasticité du cuivre est de 10^3 N.mm^(− 2), qu'en concluez-vous?
Figure 1
Figure 2
B. DÉPHASAGE D'UNE ONDE AU PASSAGE PAR UN FOYER
Donnée numérique d'une constante universelle : c = 2, 99792458 × 10^8 m ⋅ s^(− 1) est la vitesse de la lumière dans le vide (valeur exacte).
On se propose d'étudier le changement de phase, égal à π, qui accompagne le passage d'une onde par un foyer, résultat qui fut découvert par le physicien français L. Gouy en 1890. Dans une première partie, on établit ce résultat à partir du principe d'Huygens-Fresnel. On analyse ensuite le dispositif interférentiel de Meslin qui permet de mettre en évidence expérimentalement ce changement de phase. Enfin, on donne l'exemple d'utilisation de ce résultat dans le cas du coronographe interférentiel achromatique, instrument destiné à détecter des planètes autour d'étoiles lointaines (exoplanètes).
Dans tout le problème, les ondes considérées sont des ondes lumineuses monochromatiques qui se propagent dans l'air, assimilé au vide, ou dans le verre des lentilles utilisées. On exprime, en notation complexe, la variable lumineuse par la grandeur scalaire suivante :
Ψ(r, t) = Ψ(r)exp(− iωt)
où Ψ_–(r) est l'amplitude complexe de l'onde au point défini par le vecteur r à partir d'une origine arbitraire O, ω la pulsation et i^2 = − 1.
Partie I - Passage d'une onde sphérique par son centre
On rappelle la relation intégrale suivante issue du principe d'Huygens-Fresnel, entre l'amplitude complexe Ψ_–_0(M) en un point M et l'amplitude complexe Ψ_–(P) en un autre point P :
Ψ_–(P) = χ/i∫_D Ψ_–_0(M)(exp(ikr))/r dS
dans laquelle χ est un coefficient, k = 2π/λ, λ étant la longueur d'onde dans le vide, r = MP, dS un élément de surface entourant le point M et D le domaine d'intégration ; dans cette expression, on suppose que le vecteur r = MP est peu incliné par rapport à la normale en tout point de D (Figure 1).
Justifier sommairement (environ 5 lignes) l'expression précédente reliant Ψ_–(P) et Ψ_–_0(M). A l'aide de considérations d'homogénéité, trouver la dimension physique de χ. Quelle est la signification physique du facteur 1/i ?
On considère une onde sphérique dont le centre de courbure C est situé sur l'axe Oz, à la distance R de l'origine O (Figure 1). Le point générique M est situé sur la sphère de rayon R; ses coordonnées sont x, y, z dans le repère Oxyz. Le point P, où l'on étudie l'amplitude complexe de l'onde, est placé sur l'axe Oz.
Figure 1
a) On désigne par ζ la coordonnée de P sur l'axe Oz et on suppose que ζ < R. Le point M est voisin de l'axe Oz, avec x et y, d'une part, petits devant R et ζ et, d'autre part, pouvant être grands devant z. Montrer que r = MP s'écrit, de façon approchée :
r ≈ ζ + α(x^2 + y^2)(1/ζ − 1/R)
α étant un facteur numérique que l'on déterminera.
b) En déduire que Ψ_–(P) s'obtient en effectuant l'intégrale suivante :
χ/(iζ)exp(i2πζ/λ)∬exp(iπ(x^2 + y^2)/(β^2))dx dy [β] = [m]
où β^2 est une quantité dont on donnera la dimension physique et que l'on exprimera en fonction de λ, ζ et R.
c) Sachant que les bornes d'intégration peuvent être prises égales à − ∞ et ∞, calculer l'intégrale précédente en utilisant le résultat suivant :
∫_(− ∞)^∞exp(iπ(t^2)/2)dt = 1 + i
En déduire, à une constante multiplicative près sans intérêt, l'expression suivante de l'amplitude complexe Ψ_–(P) :
(β/b)^2 exp(i2πζ/λ)
dans laquelle b est une longueur que l'on exprimera en fonction de χ et ζ.
3. Que devient l'expression précédente pour ζ > R ? Conclure sur le changement de phase à la traversée du centre C.
Partie II - Franges de Meslin
Rappeler sommairement (environ 10 lignes) en quoi consiste l'interférence de deux ondes sphériques, de même amplitude, isochrones et cohérentes, issues de deux sources S_1 et S_2, en tout point P de l'espace. On tiendra compte d'un déphasage éventuel φ_0 de l'onde issue de S_2 par rapport à celle provenant de S_1. On désigne par r_1 et r_2 respectivement les distances S_1 P et S_2 P. Donner l'expression de l'éclairement en P, dans le cas où r_1 ≈ r_2. Quelle est l'allure des franges d'interférence dans un plan perpendiculaire à la droite définie par S_1 S_2 ?
Deux demi-lentilles L_1 et L_2 ont été obtenues à l'aide d'une lentille mince convergente L, de diamètre D = 5 cm et de distance focale image f = 25 cm, que l'on a coupée en deux, selon une direction perpendiculaire à son axe optique Oz. Les deux demi-lentilles sont alors écartées le long de l'axe optique Oz , d'une distance d = O_1 O_2 = 2 mm (Figure 2).
On éclaire l'ensemble par un faisceau de lumière parallèle, dirigé suivant l'axe optique, issu d'une lampe à vapeur de mercure, de longueur d'onde dans le vide λ = 543, 5 nm.
Figure 2
a) Calculer, en unité SI, les valeurs de k, de ω et de la fréquence v. Quelle est la couleur de la radiation utilisée?
b) Faire une figure soignée représentant la partie commune des faisceaux sphériques issus de F_1 et de F_2; on prendra sur l'axe optique un facteur d'échelle égal à 25 . Exprimer, en fonction de d et λ, la différence de phase φ_0 entre les ondes arrivant respectivement en F_2 et en F_1 ?
c) Donner l'expression de la phase φ_1 de l'onde sphérique, issue du foyer F_1 de la demilentille L_1, en un point P, situé dans la partie commune des faisceaux coniques issus de F_1 et F_2. On introduira r_1 = F_1 P et on prendra comme origine des phases celle de l'onde sphérique provenant de L_1 et convergeant en F_1.
d) Même question pour la phase φ_2, au point P précédent, de l'onde sphérique qui converge au foyer F_2 de la demi-lentille L_2. Comment traduit-on le fait que le point P est atteint par l'onde sphérique, provenant de L_2, avant le foyer F_2 ? On introduira r_2 = F_2 P et on prendra la même origine des phases que précédemment.
3. a) Montrer que l'intensité, au point P, de l'onde résultant de la superposition des deux ondes sphériques, issues de F_1 et F_2, fait apparaître la différence de phase suivante :
α(r_1 + r_2) + β
α et β étant deux quantités que l'on calculera en précisant leurs unités respectives. Quelle est la géométrie des franges d'interférence dans un plan perpendiculaire à F_1 F_2 ?
b) Calculer la largeur maximale du champ d'interférence dans un plan de front orthogonal à l'axe optique du système.
c) On analyse le phénomène d'interférence dans le plan médian du segment F_1 F_2. Déterminer les caractéristiques géométriques des franges noires ainsi que leur nombre dans le plan où le champ d'interférence est maximal.
d) Pour agrandir la figure d'interférence, on utilise un objectif de microscope, de distance focale image f^′ = 2 cm, qui en forme une image sur un écran situé à une distance de son foyer image égale à 1, 2 m. Quel est le grandissement transversal?
Partie III - Coronographes
Coronographe solaire de Bernard Lyot
En 1932, le physicien français B. Lyot proposa un moyen d'observer la couronne solaire, en dehors des éclipses, à l'aide d'un télescope réfracteur, en occultant l'image du disque solaire.
a) On considère un télescope réflecteur constitué d'un miroir primaire concave M_p et d'un deuxième miroir convexe M_2. Ces deux miroirs sont assimilés à des miroirs sphériques dont les rayons valent, en valeur absolue, respectivement R_p = 19, 972 m et R_2 = 4, 465 m. La distance qui sépare les sommets des deux miroirs est e = 8, 184 m (figure 3).
Où se trouve le foyer F_p du premier miroir (foyer primaire du télescope) ? En déduire la position de l'image F_s qu'en donne le deuxième miroir (foyer secondaire du télescope).
Figure 3
b) Sachant que le diamètre apparent du Soleil est de 32 minutes d'arc, trouver le diamètre du diaphragme circulaire qui permet de laisser passer l'image de la couronne solaire, dans le plan focal du télescope, en occultant celle du disque solaire.
c) Dans l'observation d'une étoile éloignée, le miroir primaire est diaphragmé par une ouverture en forme de fente, de largeur D = 0, 2 m. Sachant que la longueur d'onde du rayonnement émis par une étoile est λ = 550 nm, trouver la largeur totale du maximum principal de la figure de diffraction donnée par cette fente, dans le plan focal de M_p. En déduire le diamètre minimal du diaphragme qui, au foyer secondaire du télescope, permet d'occulter la tache centrale et les deux premiers maxima secondaires de part et d'autre de celle-ci.
2. Coronographe interférentiel achromatique
Le coronographe interférentiel achromatique, proposé en 1996 par deux astronomes français J. Gay et Y. Rabbia, permet de réaliser l'occultation de l'image donnée par une étoile brillante. On produit, à l'aide d'un dispositif interférentiel de type Michelson, l'interférence destructive entre une réplique de l'onde caractérisant l'étoile brillante dans le plan image et une seconde onde subissant un changement de phase à la traversée d'un point de focalisation.
a) Expliquer qualitativement le fonctionnement du dispositif interférentiel représenté sur la figure 4. On précisera le rôle des trois lentilles minces convergentes, sachant que les rayons issus de F_s tombent normalement sur la lentille L_3, et on décrira l'aspect du plan focal de L_3.
Figure 4
b) Pourquoi cet instrument est-il achromatique, c'est-à-dire insensible à une variation de la longueur d'onde? Les auteurs pensent utiliser ce coronographe pour déceler la présence d'exoplanètes, c'est-à-dire de planètes orbitant autour de l'étoile brillante observée. Commenter.
Fin de l'énoncé
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 CCINP MP 2002 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 CCINP MP 2002 ?
+
Le problème A porte sur les circuits RLC et l'électromagnétisme (théorème d'Ampère, force de Laplace). Le problème B porte sur l'optique ondulatoire, les interférences et la diffraction.
Les deux problèmes du sujet CCINP physique 2 MP 2002 sont-ils indépendants ?
+
Oui, les parties I et II du problème A peuvent être traitées indépendamment, et le problème A est indépendant du problème B, qui porte sur un sujet d'optique différent.
Qu'est-ce que le déphasage de Gouy étudié dans ce sujet ?
+
C'est le changement de phase de pi que subit une onde lumineuse sphérique lorsqu'elle traverse son centre de courbure ou un foyer, mis en évidence par le physicien français L. Gouy en 1890 et étudié ici via le principe d'Huygens-Fresnel.
Les calculatrices sont-elles autorisées pour ce sujet CCINP physique 2 MP 2002 ?
+
Oui, les calculatrices sont autorisées pour cette épreuve, contrairement à certains autres concours.
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