X ENS Physique 1 MP 2000Sujet

4,0(31 votes)

Induction électromagnétique et inductance propre
Force de Laplace sur un circuit déformable
Bilan de forces et théorème de la résultante cinétique dans un fluide
Circuits électriques : équations différentielles couplées électrique-mécanique
Bilan énergétique et rendement

Explorer les annales

BanqueX-ENS Année2000 FilièreMP MatièrePhysique

Annales X-ENS MP Physique X-ENS MP 2000 MP Physique Physique 2000

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible
Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Le propulseur électromagnétique à rails (canon électromagnétique)

Le problème analyse un propulseur électromagnétique à rails capable d'éjecter un petit projectile à des vitesses supersoniques. Il étudie successivement le principe électromécanique de la force exercée sur un circuit déformable, le rôle du plasma qui transmet cette force au projectile, puis un modèle électromécanique complet du circuit permettant de calculer la vitesse d'éjection et le rendement du dispositif.

1Première partie : principe et ordres de grandeurÉtablit l'expression de la force électromagnétique exercée sur un barreau mobile en fonction du courant et de la variation d'inductance du circuit, puis évalue l'inductance linéique des rails.
2Deuxième partie : accélération du projectile par un plasmaModélise le plasma conducteur entre les rails par un bilan de forces de pression et de forces magnétiques pour retrouver la force qui accélère l'ensemble plasma-projectile.
3Troisième partie : modèle électromécanique du propulseurCouple les équations électriques du circuit de stockage et l'équation du mouvement du projectile pour calculer la vitesse d'éjection, la durée d'accélération et le rendement électromécanique du propulseur.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

Abstract

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Propulseur électromagnétique

L'objet de ce problème est l'analyse d'un propulseur électromagnétique capable d'accélérer de petites masses de l'ordre du gramme et de les éjecter à des vitesses supersoniques de l'ordre de plusieurs kilomètres par seconde. Dans la première partie, on en étudie le principe et on évalue les ordres de grandeur des paramètres cruciaux. La poussée sur le projectile est en fait exercée par un plasma; ses propriétés et son action sont analysées dans la seconde partie. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à une étude dynamique sur un modèle électromécanique du système.

Les trois parties sont largement indépendantes. Dans tout le problème, on se placera dans l'approximation des régimes quasi-permanents (A.R.Q.P.) .

Données numériques

Résistivité du rail (cuivre)	$ρ_(Cu) = 1, 72 \times 10^(- 8)Ω m$
Longueur du rail	$X = 3 m$
Distance entre les deux rails	$w = 0, 013 m$
Hauteur effective des rails	$h = 0, 040 m$
Résistance du rail par unité de longueur	$R^' ≃ 850μΩ m^(- 1)$
Intensité initiale	$I_0 = 300kA$
Inductance du circuit de stockage	$L_0 = 22μH$
Résistance du circuit de stockage	$R_0 = 160μΩ$
Résistance du plasma	$R_p ≃ 500μΩ$
Conductivité électrique moyenne du plasma	$σ_p ≃ 11, 0 \times 10^3 Sm^(- 1)$
Masse du plasma	$M_p ≃ 0, 1 \times 10^(- 3) kg$
Masse du projectile	$M_0 = 2, 9 \times 10^(- 3) kg$
Masse molaire du cuivre	$M_(Cu) = 63, 5 \times 10^(- 3) kg$
Constante des gaz parfaits	$R = 8, 31 J K^(- 1) mol^(- 1)$
Perméabilité magnétique du vide (et du plasma)	$μ_0 = 4π \times 10^(- 7)Hm^(- 1)$
Constante d'Avogadro	$N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)$

Première partie

Principe et ordres de grandeur

A - Un circuit électrique rigide est caractérisé par sa résistance

R

et son inductance

L

. Soit

I(t)

l'intensité du courant qui le parcourt.

Exprimer le flux magnétique $Φ$ propre à travers le circuit. En déduire la force électromotrice d'autoinduction.
Lors de l'établissement du courant de 0 à $I(t)$ , le générateur doit fournir, en plus de l'énergie «dissipée » par effet Joule, une énergie supplémentaire $E_m$ appelée «énergie magnétique ». Exprimer $E_m$ en fonction de $L$ et de $I(t)$ .

Figure 1

B - Le circuit possède maintenant une partie mobile constituée d'un barreau pouvant glisser sans frottement le long de deux rails parallèles de direction

Ox

(fig.1). On désignera par

x

son déplacement et par

x˙

sa vitesse. L'inductance du circuit dépend alors de

x

, soit

L(x)

Lorsqu'un courant électrique parcourt le circuit, le barreau se met en mouvement. Expliquer brièvement pourquoi.
Exprimer à l'instant $t$ la puissance fournie par le générateur en sus de celle dissipée par effet Joule.
Une partie de cette puissance correspond à la variation de l'énergie magnétique $dE_m/dt$ où $E_m$ est donnée par l'expression trouvée en A-2; l'autre partie est la puissance mécanique $é P_(méca)$ donnée au barreau. Exprimer $é P_(méca)$ en fonction de $I(t), dL/dx$ et $x˙$ .
En déduire que la force qui s'exerce sur la barreau a pour expression : $F = 1/2I^2(dL)/(dx)$ .

C - On désire évaluer un ordre de grandeur de l'inductance par unité de longueur des rails

L^' = dL/dx

Figure 2

On considère d'abord deux plans conducteurs infinis, parallèles au plan $xOy$ et espacés de $w$ (fig.2). Ils portent chacun une densité surfacique de courant uniforme, $j_s e_x^(\to-)$ pour le plan $z = w/2$ et $- j_s e_x^(\to-)$ pour l'autre en $z = - w/2$ .
a) Montrer par un argument de symétrie clairement explicité qu'en tout point le champ magnétique créé par cette distribution de courant est dirigé selon $Oy$ .
b) Montrer que ce champ est uniforme dans chaque région délimitée par les plaques, nul à l'extérieur, et donner alors son expression entre les plaques en fonction de $j_s$ .
Les rails sont modélisés comme deux conducteurs plans et minces de hauteur $h$ finie selon $Oy$ , ils sont parcourus chacun par l'intensité $I$ .
a) Calculer la densité surfacique de courant $j_s$ associée. En faisant l'approximation que les expressions obtenues en C-1 sont valables, déterminer le flux magnétique par unité de longueur selon $Ox$ entre les plaques en fonction de $I, w$ et $h$ . En déduire l'inductance par unité de longueur $L^'$ .
b) Application numérique : calculer $L^'$ avec les données rassemblées au début du problème.

D - On désire qu'en partant avec une vitesse nulle, une masse de trois grammes atteigne une vitesse d'éjection de

6 km/s

après un parcours de 3 m . En supposant la force

F

de la question B-4 constante et en prenant la valeur de

L^'

obtenue en

C - 2.b

), déterminer numériquement l'intensité

I

nécessaire.

Deuxième partie

Accélération du projectile par un plasma

En réalité, dans le propulseur électromagnétique, le projectile (un morceau de résine isolante) porte sur sa face arrière de minces feuilles de cuivre, qui fondent rapidement et se vaporisent
lorsque elles sont traversées par un courant de très forte intensité ; on est alors en présence d'un plasma (gaz ionisé conducteur, localement neutre). La température de ce plasma est suffisamment élevée pour que tous les atomes de cuivre soient ionisés (

Cu \to Cu^+ + e^-

). Dans cette partie, on suppose qu'un régime permanent s'est établi, c'est à dire que la longueur

l

selon

Ox

du plasma reste constante et que les accélérations de chacune de ses parties sont identiques à l'accélération

a

du projectile (voir figure 3 ).

Figure 3

On note

x_p

l'abscisse relative d'un point au sein du plasma (

0 \leq x_p \leq l

) et l'on suppose que toutes les grandeurs ne dépendent localement que de

x_p

. On note

P(x_p)

ρ(x_p)

la pression et la masse volumique au sein du plasma à l'abscisse

x_p

. On admet enfin que tous les effets de bord sont négligeables, ce qui conduit à poser qu'au sein du plasma, le champ magnétique, le champ électrique et la densité volumique de courant sont respectivement de la forme

B⃗ = B(x_p)e_y\to

E⃗ = E(x_p)e_z\to

J⃗ = J(x_p)e_z\to

A - On considère une tranche de plasma, d'épaisseur d

x_p

, localisée à l'abscisse

x_p

Quelle est la force d'origine magnétique qui s'exerce sur cette tranche? Comment est-elle orientée?
Quelle est la résultante des forces de pression qui s'exercent sur la tranche?
Ecrire en projection sur $Ox$ le théorème de la résultante cinétique pour la tranche.
La pression en $x_p = 0$ est la pression atmosphérique $P_0$ .
a) En déduire sous forme intégrale la pression à l'extrémité du plasma en $x_p = l$ .
b) Montrer que, sans autre hypothèse,

(M_p + M_0)a = - S\int_0^l J(x_p)B(x_p)dx_p

où

M_p

est la masse du plasma,

M_0

la masse du projectile et

S = wh

la section transverse du propulseur.

B-1. Quelle est dans l'A.R.Q.P. la relation entre le champ magnétique et la densité volumique de courant?
2. En déduire que la force résultante exercée sur le système plasma-projectile est

S(B(0)^2)/(2μ_0)

, en prenant le champ magnétique nul au niveau du projectile.
3. Montrer qu'on retrouve un résultat identique à celui de la question B-4 de la première partie, dans le cadre de la modélisation utilisée dans la section

C

de cette partie.

C

- Application numérique : à partir des données rassemblées au début du problème, calculer

l

et la masse volumique moyenne

ρ¯

du plasma. En déduire le nombre moyen

n¯

de particules par unité de volume. Estimer la température au voisinage du projectile en supposant que le gaz ionisé se comporte localement comme un gaz parfait.

Troisième partie

Modèle électromécanique du propulseur

On a représenté figure

4a

le schéma électrique du propulseur, avec ses deux rails parallèles. Lorsque l'interrupteur

C

est fermé, une dynamo engendre un fort courant à travers le circuit (

L_0, R_0

). Lorsqu'on atteint, à l'instant

t = 0

, le courant désiré

I_0

, on ouvre

C

. Le projectile, situé sans vitesse initiale en

x = 0

à l'extrémité du rail, est alors accéléré ; on notera respectivement

x(t), x˙(t)

x¨(t)

position, vitesse et accélération du projectile, et

I(t)

l'intensité à travers le circuit à l'instant

t

. Le circuit électrique équivalent dans cette phase est représenté en figure

4b

, où l'on a fait figurer la résistance

R_p

du plasma qui « pousse » le projectile ainsi que la résistance

R^'

et l'inductance

L^'

des rails définies toutes deux par unité de longueur. On prendra dans cette partie

L^' = 0, 4μHm^(- 1)

Figure 4a

Figure

4b

A - On suppose dans ce qui suit que seule la force d'origine électromagnétique trouvée dans la question B-4 de la première partie s'exerce sur le projectile.
1.a) Pourquoi parle-t-on d'impédance de «stockage » pour

L_0

?
b) Pourquoi alors n'avoir pas choisi une capacité à la place de l'inductance ?
c) Quel est le rôle de la diode de la figure

4a

? On supposera par la suite que la diode présente une caractéristique idéale.
2.a) Exprimer la f.é.m du circuit déformable. Ecrire l'équation électrique

(E)

du circuit.
b) Ecrire l'équation (

M

) du mouvement du projectile. On note

M_p

M_0

respectivement les masses du plasma et du projectile, et on pose

M = M_p + M_0

.
c) Quelles sont les conditions initiales pour les deux équations précédentes? Existe-t-il alors une solution stationnaire à ces équations?

B - On se place dans le cas simple où

L_0

est « très grande ».

Justifier physiquement que $I(t) ≃ I_0$ dans ce cas.
On pose $a_0 = 1/2(L^' I_0^2)/M$ . Donner $x˙(t)$ puis $x(t)$ en fonction de $t$ et de $a_0$ .
Application numérique : Calculer, avec les données du problème, la durée d'accélération $τ_0$ et la vitesse d'éjection $x˙(τ_0)$ du projectile pour un rail de longueur $X = 3 m$ .

C - Dans cette question, on s'intéresse au rendement énergétique du propulseur électromagnétique. On revient au cas général où l'intensité

I(t)

varie au cours du temps.

Quelle est l'énergie $ΔE(t)$ délivrée depuis $t = 0$ par l'inductance de stockage au reste du circuit et au projectile?
Montrer par ailleurs que les équations $(E)$ et $(M)$ permettent sans approximation d'obtenir :

ΔE(t) = 1/2Mx˙^2(t) + 1/2L^' x(t)I^2(t) + \int_0^t dt^'[R_0 + R_p + R^' x(t^')]I^2(t^')

équation dont on interprétera chacun des termes.
3. En se plaçant dans le cadre de l'approximation utilisée en B-1 et B-2, comparer les deux premiers termes de

ΔE(t)

. Exprimer le troisième terme en fonction de

t

.
4. Application numérique.
a) Calculer chacun des trois termes pour

t = τ_0

en utilisant les valeurs obtenues en B-3.
b) Quelle doit être alors, d'après

C - 1

, l'intensité

I(τ_0)

. Commenter le résultat.
c) Calculer le rendement électromécanique, c'est à dire le rapport entre l'énergie cinétique du projectile à la date

τ_0

et l'énergie initiale

E_0

D

- On se propose de retrouver par une autre méthode la valeur approchée de

ΔE(t)

obtenue à la question

C - 3

, en calculant la diminution de

I(t)

au moyen des équations

(E)

(M)

On définit $y(t) = ln(I_0)/(I(t))$ . Récrire, en fonction de $y(t)$ et en introduisant $a_0$ , l'équation électrique $(E)$ et l'équation du mouvement $(M)$ .
Comparer numériquement $L_0$ et $XL^'$ .
On suppose $y(t)≪1$ . Cette condition suggère de résoudre l'équation électrique $(E)$ en prenant pour $x˙(t)$ et $x(t)$ les expressions obtenues à intensité $I(t) = I_0$ constante à la question $B$ de cette troisième partie. Montrer, en tenant compte de la comparaison précédente, que $y(t)$ vérifie alors l'équation suivante :

y˙(t) = ((R_0 + R_p))/(L_0) + a_0(L^')/(L_0)t + a_0(R^')/(L_0)(t^2)/2

En déduire

y(t)

.
4. Toujours dans l'hypothèse où

y(t)≪1

, montrer que

ΔE(t) = L_0 I_0^2 y(t)

et vérifier qu'on retrouve la même expression qu'à la question

C - 3

* *; *

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte la première composition de physique de l'X-ENS MP 2000 ?

Elle porte sur l'induction électromagnétique et la force de Laplace exercée sur un circuit déformable, la mécanique des fluides appliquée à un plasma conducteur, et le couplage entre un circuit électrique et l'équation du mouvement d'un projectile.

Quelles parties de ce sujet sont indépendantes ?

L'énoncé précise que les trois parties sont largement indépendantes, même si la troisième réutilise la force électromagnétique établie dans la première partie.

Ce sujet est-il faisable en première année de prépa MP ?

Certains éléments, comme le calcul de la force de Laplace ou de l'inductance, relèvent de la première année, mais l'étude couplée du circuit électrique et du mouvement du projectile ainsi que le bilan énergétique du propulseur mobilisent des outils de deuxième année.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter le sujet du propulseur électromagnétique X-ENS MP 2000 ?

Il faut savoir calculer un flux propre et une force électromagnétique sur un circuit mobile, appliquer un bilan de forces sur un élément de fluide, et résoudre des équations différentielles couplées régissant un circuit RL et un mouvement accéléré.

Pas de description pour le moment

Commentaires• X ENS Physique 1 MP 2000

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...