WikiPrépaLivrets

ENSAE Mathématiques MP 2003Sujet et corrigé

Pas encore noté
Logo concours ENSAE

Explorer les annales

BanqueAutresAnnée2003FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Autres MP MathématiquesAutres MP 2003MP MathématiquesMathématiques 2003

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Distance de Banach-Mazur entre espaces vectoriels normés de dimension finie
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie la distance de Banach-Mazur, un outil mesurant la ressemblance entre deux espaces vectoriels normés de même dimension finie. Il part de l'étude des espaces l_N^p et de leur dual, établit une version en dimension finie du théorème de Hahn-Banach, puis définit la distance de Banach-Mazur et ses propriétés générales (positivité, symétrie, inégalité triangulaire).

  1. 1Partie I : espaces l_N^p et leur dualÉtablir l'inégalité de Hölder et l'inégalité triangulaire sur les espaces l_N^p, et identifier le dual de ces espaces.
  2. 2Partie II : Hahn-Banach fini-dimensionnelDémontrer, en dimension finie, l'existence d'un prolongement d'une forme linéaire continue préservant sa norme, puis en déduire une expression de la norme d'un vecteur par dualité.
  3. 3Partie III : distance de Banach-Mazur, généralitésDéfinir la distance de Banach-Mazur entre deux espaces vectoriels normés de même dimension finie et établir ses propriétés (positivité, symétrie, inégalité triangulaire, lien avec les isométries).
  4. 4Partie IV : distance de Banach-Mazur entre espaces l_n^pCalculer explicitement la distance de Banach-Mazur entre l_n^p et l_n^2 en fonction de p et n.
  5. 5Partie V : distance de Banach-Mazur à l_n^1Montrer que tout espace vectoriel normé de dimension n est à distance de Banach-Mazur au plus ln(n) de l_n^1.
  6. 6Partie VI : compact de MinkowskiMontrer que l'ensemble des classes d'isométrie d'espaces vectoriels normés de dimension n, muni de la distance de Banach-Mazur, est un espace métrique compact.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

CONCOURS 2003 POUR LE RECRUTEMENT D'ELEVES NON FONCTIONNAIRES DE L'ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L'ADMINISTRATION ECONOMIQUE - OPTION MATHEMATIQUES -

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

Durée 4 heures

Si le candidat détecte ce qu'il pense être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations :

Dans tout le problème, le corps des scalaires ets ℝ et les espaces vectoriels sont de dimension finie. Si X et Y sont deux espaces vectoriels normés, on note L(X, Y) l'espace des applications linéaires de X dans Y et on note |||f||| la norme subordonnée (ou norme opérateur ou norme triple) usuelle de toute application continue f ∈ L(X, Y). On note E^∗ = L(E, ℝ) muni de la norme duale, c'est-à-dire de la norme subordonnée comme précédemment, où ℝ est muni de la valeur absolue.
Si X et Y sont deux espaces vectoriels, GL(X, Y) désigne comme d'habitude l'ensemble des isomorphismes de X sur Y.
On rappelle qu'une isométrie entre deux espaces vectoriels normés ( X, ‖ ⋅ ‖_X ) et ( Y, ‖ ⋅ ‖_Y ) est une application linéaire f de X dans Y qui conserve la norme : pour tout x ∈ X, ‖f(x)‖_Y = ‖x‖_X. On dit que deux espaces vectoriels normés de dimension finie sont isométriques s'il existe une isométrie de l'un sur l'autre.
Soit β une base d'un espace vectoriel E de dimension n ≥ 1; on notera det_β(x_1, …, x_n) le déterminant dans la base β de x_1, …, x_n ∈ E.

Partie I. Espaces l_N^p et leur dual.

Dans cette partie, p et q sont deux réels strictement supérieurs à 1 vérifiant 1/p + 1/q = 1. Soit N un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
  1. Soient x et y deux réels positifs. Montrer que xy ≤ 1/px^p + 1/qy^q.
  2. Soient a_1, …, a_N, b_1, …, b_N des réels. Montrer que :
|∑_(n = 1)^N a_n b_n| ≤ (∑_(n = 1)^N|a_n|^p)^(1/p) ⋅ (∑_(n = 1)^N|b_n|^q)^(1/q).
On pourra d'abord envisager le cas où ∑_(n = 1)^N|a_n|^p = ∑_(n = 1)^N|b_n|^q = 1.
3) En déduire que pour tous réels a_1, …, a_N, on a
(∑_(n = 1)^N|a_n|^p)^(1/p) = sup{|∑_(n = 1)^N a_n b_n|; ∑_(n = 1)^N|b_n|^q = 1}.
  1. Soient a_1, …, a_N, b_1, …, b_N des réels. Montrer que pour tout p ≥ 1, on a :
(∑_(n = 1)^N|a_n + b_n|^p)^(1/p) ≤ (∑_(n = 1)^N|a_n|^p)^(1/p) + (∑_(n = 1)^N|b_n|^p)^(1/p)
Indication : |a_n + b_n|^p ≤ |a_n| ⋅ |a_n + b_n|^(p − 1) + |b_n| ⋅ |a_n + b_n|^(p − 1) et appliquer 2).
On pose ‖(a_1, …, a_N)‖_∞ = max_(1 ≤ n ≤ N)|a_n| et on désigne par l_N^∞ l'espace ℝ^N muni de la norme ‖ ⋅ ‖_∞. Pour p ≥ 1, on définit l_N^p comme l'espace ℝ^N muni de la norme ‖(a_1, …, a_N)‖_p = (∑_(n = 1)^N|a_n|^p)^(1/p).
5) a) Soit p > 1, justifier que l_N^p est bien un espace vectoriel normé dont le dual (l_N^p)^∗ est isométrique à l_N^q.
Indication : on pourra considérer l'application θ de l_N^q dans (l_N^p)^∗ définie par θ(b)(a) = ∑_(n = 1)^N a_n b_n.
b) Déterminer le dual de l_N^1 et celui de l_N^∞.

Partie II. Hahn-Banach fini-dimensionnel.

Soit (E, ‖ ⋅ ‖) un espace vectoriel normé de dimension finie. Soient F un sous-espace vectoriel de E, distinct de E, et f une forme linéaire sur F.
  1. Soit x_0 un vecteur de E n'appartenant pas à F. On note F~ = F ⊕ ℝx_0.
    a) Montrer que
sup_(v ∈ F)(f(v) − ‖f|‖ ⋅ ‖v − x_0‖) ≤ inf_(v ∈ F)(‖‖f‖‖ ⋅ ‖v + x_0‖ − f(v))
b) En déduire qu'il existe un réel α tel que pour tout v ∈ F, on ait :
f(v) + α ≤ |‖f|‖ ⋅ ‖v + x_0‖ et f(v) − α ≤ |‖f|‖ ⋅ ‖v − x_0‖.
On pose pour x = v + tx_0 ∈ F~, où v ∈ F et t ∈ ℝ : f~(x) = f(v) + αt.
c) Montrer que f~ est une forme linéaire continue sur F~ dont la restriction à F est f et que ‖f|‖ = ‖|f~|‖.
2) Montrer qu'il existe une forme linéaire continue g sur E, dont la restriction à F est f, telle que ‖|f|‖| = ‖|g|‖.
3) Soit x ∈ E. Montrer que ‖x‖ = sup{|f(x)|; f ∈ E^∗ avec ‖‖f‖‖ = 1}.

Partie III. Distance de Banach-Mazur. Généralités.

Soient E et F deux espaces vectoriels normés de même dimension finie. ON définit
d(E, F) = inf{ln(‖|u‖ ⋅ ‖|u^(− 1)‖‖); u ∈ GL(E, F)}
  1. a) Montrer que 0 ≤ d(E, F).
    b) Montrer que d(E, F) = d(F, E).
  2. a) Montrer que la borne inférieur est atteinte.
    b) En déduire que E et F sont isométriques si et seulement si d(E, F) = 0.
  3. Soient E, F et G trois espaces vectoriels normés de même dimension finie. Montrer que
d(E, G) ≤ d(E, F) + f(F, G).
  1. a) Soit u ∈ L(E, F). On définit u^∗(ζ) = ζ ∘ u, pour ζ ∈ F^∗. Montrer que u^∗ ∈ L(F^∗, E^∗) et que ‖‖u‖‖ = ‖|u^∗|‖.
    b) En déduire que d(E, F) = d(E^∗, F^∗).

Partie IV. Distance de Banach-Mazur entre espaces l_n^p.

On note E = l_n^p (qui est ℝ^n muni de la norme ‖ ⋅ ‖_p ), où p ≥ 1 et F = l_n^2. On note ω_n l'ensemble des applications de {1, …, n} dans { − 1, 1}.
  1. Soit m un entier supérieur ou égal à 1 . Montrer que pour tous x_1, …, x_m ∈ F, on a:
2^(− m)∑_(φ ∈ ω_n)‖∑_(i = 1)^m φ(i)x_i‖_2^2 = ∑_(i = 1)^m‖x_i‖_2^2
Soit u : l_n^p → l_n^2 un isomorphisme. On note ( e_1, …, e_n ) la base canonique de ℝ^n et
A(u) = ∑_(φ ∈ ω_n)‖∑_(i = 1)^n φ(i)u(e_i)‖_2^2
  1. a) Montrer que A(u) ≤ n2^n‖‖u‖^2.
    b) Montrer que A(u) ≥ 2^n n^(2/p)‖|u^(− 1)‖|^(− 2).
  2. Montrer que d(l_n^p, l_n^2) ≥ |1/2 − 1/p|ln(n).
  3. a) Montrer que pour tout p^′ ≥ p ≥ 1 et tout x ∈ ℝ^n, on a : ‖x‖_(p^′) ≤ ‖x‖_p.
    b) Montrer que d(l_n^p, l_n^2) = |1/2 − 1/p|ln(n).
Indication : on pourra considérer l'identité sur ℝ^n.
c) Que se passe-t-il pour p = ∞ ?

Partie V. Distance de Banach-Mazur à l_N^1.

Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et ( E, ‖ ⋅ ‖ ) un espace vectoriel normé de dimension n. On note S_E la sphère unité de E.
  1. Montrer qu'il existe n vecteurs b_1, …, b_n de E de norme 1 et n formes linéaires φ_1, …, φ_n de norme (opérateur) égale à 1 telles que pour tous 1 ≤ i, j ≤ n, on ait φ_i(b_j) = 0 si i = j et 0 sinon.
    Indication : on pourra considérer l'application : Λ : S_E × … × S_E à valeurs dans ℝ qui à un n-uplet de vecteurs ( x_1,;, x_n ) associe leur déterminant dans une base β; ainsi que l'application, à i fixé et quand Λ(x_1, …, x_n) est non nul, qui à x ∈ E associe
(det_β(x_1, …, x_(i − 1), x, x_(i + 1), …, x_n))/(det_β(x_1, …, x_n)).
  1. On pose pour tout x ∈ E : ν(x) = ∑_(i = 1)^n|φ_i(x)|. Montrer que ν est une norme sur E et qu'en notant E_1 l'espace E muni de cette norme, E_1 et l_n^1 sont isométriques.
  2. Montrer que d(E, l_n^1) ≤ ln(n).

Partie VI. Compact de Minkowski.

Soit n un entier supérieur ou égal à 1 , on note M_n l'ensemble des normes sur ℝ^n. On considère l'ensemble E_n des espaces vectoriels normés ( ℝ^n, ‖ ⋅ ‖ ), où ‖ ⋅ ‖ ∈ M_n.
Pour X et Y dans E_n, on définit la relation XRY si X et Y sont isométriques.
  1. Montrer que R est une relation d'équivalence sur E_n. Justifier la notation d^(X^, Y^) = d(X, Y) (où X^, resp. Y^, est la classe de X, resp. de Y ) est cohérente.
    On note E^_n l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence.
    On note B_1 la boule unité (fermée) de l'espace l_n^1 et C(B_1) est l'espace des fonctions continues sur B_1, à valeurs réelles, muni de la norme N_∞(f) = sup{|f(x)|; x ∈ B_1}. On note Φ_n l'ensemble des fonctions continues sur B_1 qui sont la restriction à B_1 d'une norme ‖ ⋅ ‖ sur ℝ^n vérifiant pour tout x ∈ ℝ^n, ‖x‖ ≤ ‖x‖_1 et ‖x‖_1 ≤ n‖x‖.
  2. a) Montrer que Φ_n est une partie fermée bornée de C(B_1).
    b) Montrer que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout x, y ∈ B_1 :
‖x − y‖_1 ≤ δ ⇒ sup{|f(x) − f(y)|; f ∈ Φ_n} ≤ ε
On admet dans la suite que ces deux résultats impliquent que Φ_n est une partie compacte de C(B_1) (Th. d'Ascoli).
3) On considère l'application τ de Φ_n dans E^_n qui à f associe la classe de ( ℝ^n, ‖ ⋅ ‖ ), où ‖ ⋅ ‖ est la norme associée à f par définition de Φ_n.
a) Montrer que τ est bien définie et surjectie.
b) Montrer que si (f_j)_(j ∈ ℕ) converge vers f dans Φ_n alors lim_(j → ∞)d^(τ(f_j), τ(f)) = 0.
4) En déduire que (E^_n, d^) est un espace métrique compact.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths ENSAE MP 2003 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths ENSAE MP 2003 ?

Il porte sur les espaces vectoriels normés de dimension finie, la dualité (théorème de Hahn-Banach) et la compacité, à travers l'étude de la distance de Banach-Mazur.

Ce sujet demande-t-il de connaître le théorème de Hahn-Banach ?

Oui, la partie II en établit une version en dimension finie, utilisée ensuite dans les parties suivantes.

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

Non, les parties s'enchaînent : les parties I et II servent d'outils pour définir et étudier la distance de Banach-Mazur dans les parties III à VI.

Qu'est-ce que la distance de Banach-Mazur étudiée dans ce sujet ?

C'est une distance mesurant, par un logarithme de produit de normes d'opérateurs, à quel point deux espaces vectoriels normés de même dimension finie sont proches d'être isométriques.

Pas de description pour le moment