ENSAI Mathématiques 2 MP 2002Sujet et corrigé

MAI 2002

Option A. - MATHÉMATIQUES

deuxième composition de mathématiques

Durée: 4 heures

L'usage des calculatrices est interdit

Le sujet comprend 4 pages ( y compris celle-ci).

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Dans une très large mesure les parties sont indépendantes mais les notations sont les mêmes dans tout le problème.

On considère l'équation différentielle de la variable réelle x

1^∘ a) Déterminer les solutions de l'équation (1) sur ℝ_+^∗. (On justifiera que si h n'est pas la fonctions nulle, on peut poser m(x) = 1/(h(x)) ).
b) Déterminer de même les solutions de l'équation (1) sur ℝ_−^∗.
2^∘ Déterminer les solutions sur ℝ de l'équation de (1).
Dans toute la suite du problème on pose f(z) = z/(e^z − 1) où z est une variable complexe.

1^∘ Préciser l'ensemble de définition de f et montrer que f se prolonge par continuité en 0 .
On notera encore f ce prolongement.
2^∘ On suppose que la fonction f admet un développement en série entière sur un voisinage U de 0

a) Montrer que la suite ( b_n ) vérifie b_0 = 1 et pour n ⩾ 1, la relation

b) Calculer b_1, b_2 et b_3.
c) Montrer que pour n ∈ ℕ, on a : |b_n| ⩽ 1.
d) Montrer que le rayon de convergence R de la série entière ∑b_n z^n est ⩾ 1.
3^∘ En déduire que f est développable en série entière sur D_R = {z ∈ ℂ, |z| < R}.
4^∘ Montrer que pour tout entier naturel non nul p, on a : b_(2p + 1) = 0 (on pourra utiliser la fonction f(z) − b_0 − b_1 z).

On appelle nombres de Bernoulli les nombres réels notés B_n définis, pour n ∈ ℕ, par : B_n = n!b_n.
5^∘ Montrer que pour n ⩾ 2, on a

On note ζ la fonction définie pour tout réel x supérieur strictement à 1 par :

Soit z ∈ ℝ∖ℤ. On note c la fonction 2π-périodique définie par :

1^∘ a) Déterminer la série de Fourier de la fonction c.
b) Justifier que c est la somme de sa série de Fourier sur ℝ
c) La convergence est-elle uniforme?
2^∘ En déduire pour z ∈ ℝ∖ℤ, la relation :

3^∘ Montrer que xcotanx est développable en série entière au voisinage de 0 .
4^∘ Montrer que pour tout réel x ∉ πℤ, on a la rclation : xcotan(x) = ix + f(2ix).
5^∘ Montrer que pour tour entier naturel n ⩾ 1 :

On note F la fonction définie par F(z, t) = e^(zt)f(z), où t ∈ ℝ et z ∈ ℂ.
1^c Montrer que pour tout nombre réel t, la fonction qui à z associe F(z, t) est développable en série entière au voisinage de z = 0.
2^∘ Montrer que l'on a pour tout t ∈ ℝ et tout z dans un voisinage de 0

où P_n(t) est un polynóme, nommé polynôme de Bernoulli, que l'on exprimera à l'aide des nombres de Bernoulli B_k.
3^∘ Écrire P_0, P_1, P_2, P_3.
4 © Calculer P_n(0) en fonction de B_n.
5^∘ Expliciter le polynôme P_n(t + 1) − P_n(t) (on pourra calculer F(z, t + 1) − F(z, t) ).
6^c En déduire, pour p ∈ ℕ, une expression de S_p − ∑_(k = 1)^n k^p, à l'aide des polynômes de Bernoulli.
7^∘ Démontrer que pour tous t ∈ ℝ et n dans ℕ, P_n(1 − t) = (− 1)^n P_n(t).
8^∘ Montrer que pour tout entier naturel n > 0, on a : P_n^′ = nP_(n − 1) (on pourra utiliser l'expression de P_n ).

On considère pour tout entier naturel n la fonction Pˆ_n qui est l-périodique et telle que pour tout x ∈ [0; 1[

1^∘ Étudier la parité et la continuité de Pˆ_n.
2^∘ Déterminer la série de Fourier de P_1 ˆ.
3^c Pour k entier relatif et n ∈ ℕ, calculer le coefficient de Fourier complexe c_k(Pˆ_n) en fonction de n et de k (on établira une relation de récurrence entre c_k(Pˆ_n) et c_k(Pˆ_(n − 1)) ).
a) En déduire, pour k entier relatif et pour n entier naturel, la valeur de c_k(Pˆ_n).
4^∘ Retrouver la valeur de ζ(2n) pour n ⩾ 1.
5^∘ a) Prouver que pour x ∈ [0; 1[, on a |P_n(x)| ⩽ K(n!)/((2π)^n), où K est une constante indépendante de n.
b) En déduire que R = 2π.
6^c On pose

Exprimer pour x ∈ ]0, 1[, [Pˆ_n∗Pˆ_p](x) en fonction de Pˆ_(n → p)(x). On admettra que pour toutes fonctions f, g continues par morceaux sur ℝ et de periode 1 , on a