ENSAI Mathématiques 1 MP 2002Sujet et corrigé

concours d'élève titulaire de l'ENSAI concours externe d'attaché de l'INSEE

MAI 2002

Option A. - MATHÉMATIQUES

première composition de mathématiques
Durée : 4 heures

L'usage des calculatrices est interdit

Le sujet comprend 3 pages ( y compris celle-ci).

Dans tout le problème n désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur ℂ. Si a, b ∈ ℒ(E), l'endomorphisme a ∘ b sera noté ab et l'on pose [a, b] = ab − ba.
Pour a ∈ ℒ(E) on note θ_a l'endomorphisme de ℒ(E) défini par

On rappelle le théorème de décomposition en noyaux :
Soit u ∈ ℒ(E), λ_1, …, λ_r ses valeurs propres distinctes et α_1, …, α_r leur multiplicité respective; alors

L'objet du problème est d'étudier dans quelques cas particuliers des propriétés du «< crochet >> [, ].

1^∘ On suppose dans cette question que E = ℂ_n[X] est l'ensemble des polynômes de degré au plus n, à coefficients dans ℂ, et l'on pose pour P ∈ E

a) Calculer [e, h], [f, h], [e, f].
b) Soit F ≠ {0}, un sous-espace de E stable par e, f, h, et P ≠ 0 un élément de F. En examinant les degrés des images successives de P par e et par f, prouver que F = E.
E désigne maintenant un ℂ-espace vectoriel quelconque de dimension finie. On considère 3 éléments de ℒ(E) notés e, f, h et vérifiant :

On note ℒ_3 le sous-espace vectoriel qu'ils engendrent.
2^∘ Prouver que dimℒ_3 = 3.
3^∘ Soit ℐ un sous-espace de ℒ_3 tel que

a) Montrer que si ℐ contient un élément x = αe + βf + γh avec γ ≠ 0, alors ℐ = ℒ_3.
b) Prouver que si ℐ ≠ {0} alors ℐ = ℒ_3 (on pourra se ramener à la question précédente)
4^∘ a) Soit y un vecteur propre de h; prouver que si e(y) ≠ 0, alors e(y) est un vecteur propre de h.
b) En déduire qu'il existe un vecteur propre x de h tel que e(x) = 0.

Dans la suite de cette partie, on note x un tel vecteur, et on note α la valeur propre de h associée.
5^∘ a) Calculer h(f^k(x)) où k est un entier naturel.
b) En déduire qu'il existe m ∈ ℕ tel que f^m(x) ≠ 0 et f^(m + 1)(x) = 0.
c) Prouver que pour k ∈ ℕ^∗, e(f^k(x)) est colinéaire à f^(k − 1)(x).
6^∘ On suppose que E ne contient aucun sous-espace stable par ℒ_3 autre que {0} et E. On pose

a) Justifier que F est stable par e, f et h. Que peut-on en déduire?
b) Montrer que la famille ℬ = (x, f(x), …, f^m(x)) est une base de E.
c) Déterminer la matrice de h dans la base ℬ.
d) En examinant tr(h), prouver que α = − m.
7^∘ Déterminer la matrice de e dans la base ℬ.

Dans cette partie E désigne toujours un ℂ-espace vectoriel de dimension finie.
1^- Prouver qu'un endomorphisme a de E possède une seule valeur propre si et seulement s'il existe λ ∈ ℂ tel que a − λId soit nilpotent.
2^∘ Soit u et v deux endomorphismes nilpotents commutant entre eux. Prouver que u − v est nilpotent.
3^∘ Soit u un endomorphisme de E; on pose 𝒩_u = ⋃_(p = 0)^∞Keru^p et 𝒢_u = ⋂_(p = 0)^∞Imu^p.
a) Prouver qu'il existe p_0 ∈ ℕ tel que 𝒩_u = Keru^(p_0) et 𝒢_u = Imu^(p_0).
b) Prouver que 𝒩_u et 𝒢_u sont deux sous-espaces supplémentaires, stables par u, tels que u restreint à 𝒩_u soit nilpotent et que u restreint à 𝒢_u soit bijectif.
c) Prouver réciproquement que si E = F ⊕ G où F et G sont deux sous-espaces stables par u tels que la restriction de u à F soit nilpotente et la restriction de u à G bijective, alors F = 𝒩_u et G = 𝒢_u.
On vient donc de prouver l'existence et l'unicité de tels sous-espaces F et G.

Dans cette partie, A désigne une matrice de ℳ_n(ℂ), et l'on note θ_A l'endomorphisme de ℳ_n(ℂ) défini par

1^- a) Montrer que les valeurs propres de l'endomorphisme φ_A de ℳ_n(ℂ) défini par φ_A(M) = AM sont les valeurs propres de A.
b) Déterminer les valeurs propres de l'endomorphisme ψ de ℳ_n(ℂ) défini par ψ_A(M) = MA.

Étant donnée A ∈ ℳ_n(ℂ), on considère λ et μ deux valeurs propres de A de multiplicité respective α et β. On pose

2^∘ a) Prouver que le sous-espace ℒ_(λ, μ) de ℳ_n(ℂ) est stable par θ_A.
b) Prouver que la restriction de θ_A à ℒ_(λ, μ) admet pour unique valeur propre λ − μ (on remarquera que θ_A = φ_A − ψ_A).
3^∘ a) Soit ℱ = (U_1, …, U_p) et 𝒢 = (V_1, …, V_q) deux familles de vecteurs de ℳ_(n, 1)(ℂ). Prouver que si les familles ℱ et 𝒢 sont libres, la famille {U_i^t V_j, i ∈ [|1, p|], j ∈ [|1, q|]}, qu'on notera ℱ ⊗ 𝒢, est libre.
b) Soit λ et μ deux valeurs propres de A. On note ℬ_λ une base de Ker(A − λI_n)^α et ℬ_μ^∗ une base de Ker(^t A − μI_n)^β. Prouver que la famille ℬ_λ ⊗ ℬ_μ^∗ est une base de ℒ_(λ, μ).
c) En déduire que ℳ_n(ℂ) = ⨁_((SpecA)^2)ℒ_(λ, μ) où Spec A désigne l'ensemble des valeurs propres de A.
4^∘ Déterminer 𝒩_(θ_A) (on utilisera la question II. 3^∘c ).
5^∘ a) Soit p_1, …, p_n des entiers positifs ou nuls tels que ∑_(k = 1)^n p_k = n. Prouver que ∑_(k = 1)^n p_k^2 est minimal lorsque ∀k ∈ [|1, n|], p_k = 1.
b) En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur A pour que dim𝒩_(θ_A) soit minimale.