E3A Mathématiques 2 MP 2001Sujet et corrigé

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, F un sous-espace de E et G un groupe fini d'automorphismes linéaires de E, de cardinal m, tel que F soit stable par tout élément g de G.

Le produit u ∘ v de deux endomorphismes de E sera noté plus simplement uv.
À tout endomorphisme u de E, on associe u^+défini par :

1^∘. Montrer que u^+est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G.
2^o. Calculer (u^+)^+.
3^∘. Calculer la trace de u^+en fonction de celle de u.
4^∘. Soit p un projecteur de E d'image F. Montrer que F est inclus dans l'image de p^+.
5^∘. Montrer que, pour tous g et h de G, on a g^(− 1)pgh^(− 1)ph = h^(− 1)ph.
6^∘. Montrer que p^+est un projecteur.
7^∘. Comparer les images de p et de p^+.
8^∘. Montrer que le noyau de p^+est un supplémentaire de F stable par tout élément g de G.
9^∘. Montrer que tout sous-espace vectoriel de E stable par tout g de G admet un supplémentaire stable par tout g de G.

Soit f la fonction définie sur ℝ^2 privée du couple (0, 0) par la relation :

Soient u, v et ρ des nombres réels liés par les relations 0 < ρ = √(u^2 + v^2) ⩽ 1.
1^∘. Démontrer les inégalités |u + v| ⩽ ρ√2 et |u − v| ⩽ ρ√2.
2^∘. Soit D(u, v) = 2(u + 1)^2 + 2(v + 1)^2. Démontrer l'inégalité 3D(u, v) > 1.
3^∘. Soit, sous les mêmes conditions, N(u, v) = (u^2 − v^2)(u^2 + v^2) + 4uv(u − v). Démontrer l'inégalité |N(u, v)| ⩽ 2ρ^3√2 + ρ^4.
4^∘. Soit, sous les mêmes conditions, g(u, v) = f(1 + u, 1 + v) − (u − v) − (v^2 − u^2)/2 ⋅ Montrer que (|g(u, v)|)/(ρ^3) est borné par une constante indépendante de ρ lorsque ρ tend vers zéro (on déterminera une telle constante sous la forme d'un entier).
5^∘. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de f en un point (x, y).
6^∘. Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de f en un point (x, y).
7^∘. Interpréter à la lumière de ces résultats la majoration obtenue dans la question 4^∘.
8^∘. Calculer la tangente de l'angle θ du plan d'équation z = 0 et du plan tangent au point ( x, y, z ) de la surface définie par l'équation z = f(x, y) dans un repère orthonormé.
9^∘. Décrire le mouvement de ce plan tangent lorsque le point ( x, y, 0 ) décrit une demi-droite du plan z = 0 d'origine ( 0,0 ).

L'exercice étudie quelques propriétés des triangles pseudo-rectangles, c'est-à-dire des triangles ABC d'un plan euclidien dont les mesures des angles, par définition strictement comprises entre 0 et π, notées A^, B^ et C^, vérifient la relation :

Les longueurs des côtés sont notées a = BC, b = CA, c = AB. Les questions ci-dessous sont largement indépendantes entre elles.
1^∘. Décomposer un triangle équilatéral en trois triangles pseudo-rectangles.
2^∘. Déterminer le milieu du segment BB^′ où B^′ est l'intersection de la droite BC et de la perpendiculaire issue de A à la droite AC.
3^∘. Que peut-on dire des angles de la droite BC avec les deux bissectrices de l'angle en A du triangle ABC ?
4^∘. Calculer B^, C^, a, b, c et l'aire S du triangle en fonction de A^ et du rayon R de son cercle circonscrit.
5^∘. Les points B et C étant fixés dans le plan, indiquer une construction géométrique du troisième sommet A à partir de la mesure de l'angle en C. Quel est le lieu de ce sommet ?
6^∘. Que peut-on dire de la tangente en A au cercle circonscrit au triangle ABC ?
7^∘. Que peut-on dire de l'orthocentre du triangle ABC ?
8^∘. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur A^, R et la distance h de A à la droite BC pour qu'un triangle soit pseudo-rectangle.