E3A Mathématiques 1 MP 2000Sujet et corrigé

f est l'unique fonction impaire de période 2π, valant 1 sur l'intervalle ]0, π[ et 0 en π.
ø1 Calculer les coefficients de Fourier réels de f.
ø2 Exprimer lim_(N → + ∞)([4/(π)]∑_(p = 0)4 N[(sin[(2p + 1)k[(π)/4]])/(2p + 1)]sin[3k[(π)/4]])o − k ∈ Φ à l'aide de f .
ø3 Montrer la convergence de la suite S_([‖N]) = ∑_(p = − N^N[1/(8p + 5)]) indexée par N. On note S sa limite.
ø4 Pour le calcul de S, on définit σ_p = ∑_(k = 0^7)sin[(2p + 1)k[(π)/4]]sin[3k[(π)/4]]o − p ∈ Å.
(a) Calculer pour chaque p la valeur de σ_p, sachant que σ_0 = 0, σ_1 = 4 et
σ_2 = − 4.
(b) Montrer la convergence de la suite ∑_(p = 0)4 N[(σ_p)/(2p + 1)] indexée par

N . On note L sa limite.
(c) Calculer la somme de Riemann définie par les extrémités de gauche de huit sous-intervalles consécutifs de longueur [(π)/4] approchant l'intégrale ∫_0^2[πf(t)sin(3t)dt.
(d) En déduire la valeur de L , puis celle de S .
[figure]

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,[( → ) || i],[( → ) || j]).
On recherche les trajectoires des arcs paramétrés t → (x(t), y(t)) solutions du système différentiel :

On rappelle qu'une trajectoire est un ensemble de points. Sur la figure de la page ci-contre, le champ de vecteurs (x, y) → (x^2 + y, xy) est représenté en sens et direction.

On admettra l'existence et l'unicité d'une solution du système différentiel donné vérifiant des conditions initiales x(0) = u, y(0) = v.
ø1 Expliciter cette solution pour u = 0 et v = 0.
ø2 Recherche des trajectoires rectilignes.
(a) Calculer le déterminant |
x^′ x^(′′)|.
y^′ y^(′′)
(b) Que peut-on dire de ce déterminant si la trajectoire présente une inflexion?
(c) Donner toutes les solutions de l'équation différentielle x^′ = x^2.
(d) Préciser la ou les trajectoires incluses dans une droite. ø3 Recherche des trajectoires tracées sur un cercle centré sur l'axe Oy et passant par l'origine.
(a) Déterminer une courbe contenant les points o-la trajectoire présente une tangente parallèle à l'axe des ordonnées.
(b) En déduire l'unique cercle centré sur l'axe Oy , passant par l'origine, le point (0, a) et contenant une trajectoire du système différentiel considéré.
(c) Réciproquement, préciser pour cette valeur de a la nature de la solution maximale passant par ( 0, a ) à l'instant t = 0, en utilisant par exemple la combinaison [(x^′ y − y^′ x)/(y^2)]∖cdotp

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur £, o − n∖mathrel > 1, et u un endomorphisme de cet espace. Pour k entier naturel non nul, u^k est la composée ( u^∘u^∘…^∘u ) o - u apparaEt k fois; u^0 est l'application identique.

Pour un vecteur x de E, on appelle orbite de x selon u le sous-espace de E engendré par les images successives de x : Orb_u(x) = Vect{x, u(x), u^2(x), …, u^(n − 1)(x)}. L'endomorphisme u est dit cyclique s'il existe un vecteur particulier x_0 réalisant l'égalité E = Orb_u(x_0).
ø1 Étude d'un exemple
Ici l'espace E est de dimension 4. Après quelques recherches, on a pu déterminer deux vecteurs vérifiant les propriétés suivantes :

Par la suite, on notera ( e_1, e_2, e_3, e_4 ) une base de diagonalisation, e_1 étant commun aux deux orbites et e_2 étant associé à une valeur propre réelle.
(d) Déterminer un vecteur c dont l'orbite est de dimension 3 , la rectriction de u à cette orbite étant annulée par le polynôme P(t) = (2t + 1)(t^2 + 1). Exprimer ce vecteur dans la base de diagonalisation.
(e) En déduire que l'orbite de a + b n'est pas nécessairement de dimension
4.
(f) Préciser un vecteur d telle que l'orbite de b + d soit de dimension 4 .
ø2 Une condition nécessaire
On revient au cas de dimension n , et l'on suppose que l'endomorphisme u est cyclique, x_0 étant l'un des vecteurs d'orbite maximale définis dans le préambule, B étant alors la base ( x_0, u(x_0), u^2(x_0), …, u^((n − 1))(x_0) ).
(a) Préciser la matrice A de l'application u dans la base B.
(b) Préciser la première colonne des matrices A^k, k étant un entier
compris entre 0 et n − 1.
(c) En déduire une condition nécessaire portant sur son polynôme minimal pour qu'un endomorphisme soit cyclique.