CCINP Mathématiques 2 MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème qui sont indépendants.

Dans tout le problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Cet entier est quelconque sauf dans la partie I, où il est égal à 2 .
On note M_n(ℝ) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, ( E_(i, j) ) sa base canonique ( 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n ) et I_n sa matrice unité (tous les coefficients de E_(i, j) sont nuls, sauf celui situé à la i-ème ligne et à la j-ième colonne, qui vaut 1 ).
On note ℝ[X] l'algèbre des polynômes à coefficients réels.
Dans tout le problème, A est une matrice quelconque de M_n(ℝ) et u l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à la matrice A.
Pour tout P = ∑_(k = 0)^d a_k X^k ∈ ℝ[X], on note P(A) = ∑_(k = 0)^d a_k A^k. L'ensemble des matrices P(A) pour tout P ∈ ℝ[X] est noté ℝ[A].

On dit que P annule A lorsque P(A) = 0 ce qui équivaut à P(u) = 0. On appelle polynôme minimal de la matrice A le polynôme minimal de l'endomorphisme u; c'est donc le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule A.

On note φ_A l'application de M_n(ℝ) dans M_n(ℝ) définie par :

L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés des éléments propres de φ_A. Les parties I et II étudient la diagonalisabilité de φ_A, les parties III et IV en étudient les vecteurs propres. Les quatre parties sont indépendantes.

Dans toute cette partie, on prendra n = 2.

Dans la suite de cette partie, on pose A = (a, b; c, d) ∈ M_2(ℝ).
2. Donner la matrice de φ_A dans la base ( E_(1, 1), E_(2, 2), E_(1, 2), E_(2, 1) ) de M_2(ℝ).

Dans la suite de cette partie, on suppose que φ_A ≠ 0 (c'est-à-dire que A ≠ λI_2 pour tout λ ∈ ℝ ).
3. Donner le polynôme caractéristique de φ_A sous forme factorisée (on pourra utiliser la calculatrice).
4. En déduire que φ_A est diagonalisable si et seulement si (d − a)^2 + 4bc > 0.
5. Démontrer que φ_A est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.

On note c = (c_1, …, c_n) la base canonique de ℝ^n.
6. On suppose dans cette question que A est diagonalisable.

On note e = (e_1, …, e_n) une base de vecteurs propres de u (défini au début du problème) et, pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ n, λ_i la valeur propre associée au vecteur e_i. On note alors P la matrice de passage de la base c à la base e et D = (λ_1, 0, ⋯, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, λ_n).
Enfin, pour tout couple (i, j) d'entiers tels que 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n, on pose :

(a) Exprimer, pour tout couple (i, j), la matrice DE_(i, j) − E_(i, j)D en fonction de la matrice E_(i, j) et des réels λ_i et λ_j.
(b) Démontrer que, pour tout couple (i, j), B_(i, j) est un vecteur propre de φ_A.
(c) En déduire que φ_A est diagonalisable.
7. On suppose dans cette question que φ_A est diagonalisable en tant qu'endomorphisme de M_n(ℝ).
On note (P_(i, j))_(1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n) une base de vecteurs propres de φ_A et, pour tout couple (i, j), λ_(i, j) la valeur propre associée à P_(i, j).
(a) Dans cette question, on considère A comme une matrice à coefficients complexes (A ∈ M_n(ℝ) ⊂ M_n(ℂ)) et φ_A comme un endomorphisme de M_n(ℂ) (défini par φ_A(M) = AM − MA pour tout M ∈ M_n(ℂ)).
i. Justifier que toutes les valeurs propres de φ_A sont réelles.
ii. Soit z ∈ ℂ. Justifier que si z est une valeur propre de A, alors z est aussi une valeur propre de ^t A.
iii. Soit z ∈ ℂ. On suppose que z et z¯ sont deux valeurs propres de la matrice A. On considère alors X ∈ M_(n, 1)(ℂ)(X ≠ 0) et Y ∈ M_(n, 1)(ℂ)(Y ≠ 0), tels que AX = zX et ^t AY = z¯Y.

En calculant φ_A(X^t Y), démontrer que z − z¯ est une valeur propre de φ_A.
(b) En déduire que la matrice A a au moins une valeur propre réelle.

On note λ une valeur propre réelle de A et X ∈ M_(n, 1)(ℝ)(X ≠ 0) une matrice colonne telle que AX = λX.
(c) Démontrer que, pour tout couple (i, j), il existe un réel μ_(i, j), que l'on exprimera en fonction de λ et λ_(i, j), tel que AP_(i, j)X = μ_(i, j)P_(i, j)X.
(d) En déduire que A est diagonalisable.

Soit m le degré du polynôme minimal de A.
8. Démontrer que la famille ( I_n, A, …, A^(m − 1) ) est une base de ℝ[A].
9. Vérifier que ℝ[A] est inclus dans Ker(φ_A) et en déduire une minoration de dim(Ker(φ_A)).
10. Un cas d'égalité

On suppose que l'endomorphisme u (défini au début du problème) est nilpotent d'indice n (c'est-à-dire que u^n = 0 et u^(n − 1) ≠ 0 ). On considère un vecteur y de ℝ^n tel que u^(n − 1)(y) ≠ 0 et, pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ n, on pose e_i = u^(n − i)(y).
(a) Démontrer que la famille (e_1, e_2, …, e_n) est une base de ℝ^n.
(b) Soit B ∈ Ker(φ_A) et v l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à B. Démontrer que si v(y) = ∑_(i = 1)^n α_i e_i(α_i ∈ ℝ) alors v = ∑_(i = 1)^n α_i u^(n − i).
(c) En déduire Ker(φ_A).
11. Cas où u est diagonalisable

On suppose que u est diagonalisable. On note λ_1, λ_2, …, λ_p(1 ≤ p ≤ n) les p valeurs propres distinctes de u et, pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ p, E_u(λ_k) le sous-espace propre associé à la valeur propre λ_k. On note m_k la dimension de cet espace propre.
(a) Soit B ∈ M_n(ℝ) et v l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à B. Démontrer que B ∈ Ker(φ_A) si et seulement si, pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ p, E_u(λ_k) est stable par v( c'est-à-dire v(E_u(λ_k)) ⊂ E_u(λ_k)).
(b) En déduire que B ∈ Ker(φ_A) si et seulement si, la matrice de v, dans une base adaptée à la décomposition de ℝ^n en somme directe des sous-espaces propres de u, a une forme que l'on précisera.
(c) Préciser la dimension de Ker(φ_A).
(d) Lorsque n = 7, donner toutes les valeurs possibles pour cette dimension en envisageant les différentes valeurs possibles de p et des m_k (on ne demande pas de justification).

Dans cette partie, α est une valeur propre non nulle de φ_A et B un vecteur propre associé (B ∈ M_n(ℝ), B ≠ 0). On note π_B le polynôme minimal de B et d le degré de π_B.
12. Démontrer que, pour tout k ∈ ℕ, φ_A(B^k) = αkB^k.
13. Soit P ∈ ℝ[X]. Exprimer φ_A(P(B)) en fonction de α, B et P^′(B).
14. Démontrer que le polynôme Xπ_B^′ − dπ_B est le polynôme nul ( π_B^′ étant le polynôme dérivé du polynôme minimal π_B de la matrice B ).
15. En déduire que B^d = 0.