Mines Mathématiques 1 MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents et théorème de Gerstenhaber

Le problème, entièrement d'algèbre, démontre le théorème de Gerstenhaber : un sous-espace vectoriel d'endomorphismes nilpotents d'un espace de dimension n est de dimension au plus n(n-1)/2, avec égalité seulement pour les matrices triangulaires supérieures strictes dans une base convenable. Il enchaîne des généralités sur les nilpotents, les endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien, deux lemmes sur les traces et les vecteurs propres communs, puis une récurrence sur la dimension.

1Partie I : généralités sur les endomorphismes nilpotentsTrace des puissances, espace des matrices triangulaires strictes, nilindice et familles libres itérées.
2Partie II : endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidienReprésentation des endomorphismes d'image incluse dans une droite et calcul de leur trace.
3Partie III : deux lemmesDéveloppement de (u+tv)^k sans commutation, identité sur les traces et condition d'existence d'un vecteur propre commun.
4Partie IV : démonstration du théorème de GerstenhaberDécomposition de la dimension, théorème du rang, orthogonalité et récurrence sur la dimension de l'espace.

Difficile. Le rapport juge le problème manifestement trop long pour trois heures et signale plusieurs questions difficiles sur l'abstraction de deuxième année ; un barème adapté a compensé.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Propriétés de la trace inventées · Égalité d'ensembles réduite à une inclusion · Raisonnement par l'absurde mal conduit

Le sujet, progressif, reposait en grande partie sur le programme de première année, avec des questions plus abstraites relevant de la deuxième. Le barème donnait l'essentiel des points aux premières questions, ce qui a produit un bon étalement des notes. Les niveaux sont très variables, avec une part non négligeable de très bonnes copies en algèbre abstraite et assez peu de copies très faibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Propriétés de la trace inventéesQ1, Q10
Même dans une question facile, le jury relève des erreurs graves sur la trace ; en question 10, les propriétés utilisées doivent être énoncées précisément.
« la trace d'un produit est égale au produit des traces »
2
Égalité d'ensembles réduite à une inclusionQ3
Presque tous les candidats ont abordé la question 3, mais beaucoup n'ont prouvé qu'une inclusion.
« les réponses étaient souvent incomplètes, se réduisant à une inclusion sans aller jusqu'à l'égalité »
3
Raisonnement par l'absurde mal conduitQ4, Q5
La suite de la question 5 exigeait de réutiliser la question précédente dans un raisonnement par l'absurde assez fin.
« Cette partie a été très souvent mal traitée, avec des raisonnements faux. »
4
Binôme de Newton sans commutationQ8, Q9
Les endomorphismes u et v ne commutent pas : la formule du binôme ne s'applique pas au développement de (u+tv)^k.
« Une erreur fréquente à la question 8 était d'appliquer la formule du binôme de Newton, alors qu'il manquait l'hypothèse de commutation. »
5
Caractérisation des sous-espaces incomplèteQ13, Q14, Q15
La non-vacuité est parfois oubliée. De plus, décrire ces ensembles comme noyaux ou images d'applications linéaires préparait mieux la question 15 et le théorème du rang.
« quelques oublis de-ci delà, par exemple que les ensembles sont non vides »
6
Questions à plusieurs résultats traitées à moitiéQ6
Les questions regroupent souvent plusieurs points à établir, et il en manque fréquemment un ou deux, comme en question 6.
« il y a souvent plusieurs résultats à établir dans une seule question, et l'expérience de la correction montre qu'il en manque fréquemment »

Ce qui a été bien réussi

La question 1 est en général bien traitée.
La première partie de la question 4, résultat classique sur les nilpotents, est bien faite dans de très nombreuses copies.
Les questions 6, 7 et 10 ont été convenablement traitées dans l'ensemble.

Conseils du jury

Travailler en profondeur le cours des deux années et connaître les théorèmes avec leurs hypothèses.
Rédiger des preuves courtes mais complètes : le bluff est lourdement sanctionné.
Traiter les questions dans l'ordre de l'énoncé et bien en traiter une partie plutôt que survoler toutes les autres.
Prendre le temps d'assimiler les notations introduites en début de partie avant de se lancer.
Soigner la présentation, éviter les abréviations et utiliser le brouillon pour ne pas laisser les tentatives ratées sur la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des

R

-espaces vectoriels de dimension finie. Soit

E

un tel espace vectoriel et

u

un endomorphisme de

E

. On dit que

u

est nilpotent lorsqu'il existe un entier

p \geq 0

tel que

u^p = 0

; le plus petit de ces entiers est alors noté

ν(u)

et appelé nilindice de

u

, et l'on remarquera qu'alors

u^k = 0

pour tout entier

k \geq ν(u)

. On rappelle que

u^0 = id_E

. L'ensemble des endomorphismes nilpotents de

E

est noté

N(E)

Un sous-espace vectoriel

V

L(E)

est dit nilpotent lorsque tous ses éléments sont nilpotents, autrement dit lorsque

V \subset N(E)

Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses coefficients diagonaux sont nuls. On note

T_n^(+ +)(R)

l'ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes de

M_n(R)

L'objectif du problème est d'établir le théorème suivant, démontré par Murray Gerstenhaber en 1958 :

Théorème de Gerstenhaber

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension

n > 0

, et

V

un sous-espace vectoriel nilpotent de

L(E)

. Alors,

dimV \leq (n(n - 1))/2

. Si en outre

dimV = (n(n - 1))/2

alors il existe une base de

E

dans laquelle tout élément de

V

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes nilpotents. Dans la partie II, on met en évidence un mode de représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie III, on établit deux résultats généraux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces (lemme A), et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme B). Dans l'ultime partie IV, les résultats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème de Gerstenhaber par récurrence sur la dimension de l'espace

E

I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel

E

de dimension

n > 0

Soit $u \in N(E)$ . Montrer que $tru^k = 0$ pour tout $k \in N^*$ .
On fixe une base $B$ de $E$ . On note $N_B$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ dont la matrice dans $B$ est triangulaire supérieure stricte. Justifier que $N_B$ est un sous-espace vectoriel nilpotent de $L(E)$ et que sa dimension vaut $(n(n - 1))/2$ .
Soit B une base de $E$ . Montrer que

{ν(u)|u ∈ N_B} = {ν(u)|u ∈ N(E)} = [ [1, n] ]

Soit $u \in L(E)$ . On se donne deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ , ainsi que deux entiers $p \geq q \geq 1$ tels que $u^p(x) = u^q(y) = 0$ et $u^(p - 1)(x) \neq 0$ . Montrer que la famille $(x, u(x), \dots, u^(p - 1)(x))$ est libre, et que si $(u^(p - 1)(x), u^(q - 1)(y))$ est libre alors $(x, u(x), \dots, u^(p - 1)(x), y, u(y), \dots, u^(q - 1)(y))$ est libre.
Soit $u \in N(E)$ , de nilindice $p$ . Déduire de la question précédente que si $p \geq n - 1$ et $p \geq 2$ alors $Imu^(p - 1) = Imu \cap Keru$ et $Imu^(p - 1)$ est de dimension 1 .

II Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

On considère ici un espace vectoriel euclidien

(E, (- | -))

. Étant donné

a \in E

x \in E

, on notera

a \otimes x

l'application de

E

dans lui-même définie par :

\forallz \in E, (a \otimes x)(z) = (a|z) \cdot x

On fixe $x \in E∖{0}$ . Montrer que l'application $a \in E \mapsto a \otimes x$ est linéaire et constitue une bijection de $E$ sur ${u \in L(E) : Imu \subset Vect(x)}$ .
Soit $a \in E$ et $x \in E∖{0}$ . Montrer que $tr(a \otimes x) = (a|x)$ .

III Deux lemmes

On considère ici un

R

-espace vectoriel

E

de dimension

n > 0

. Soit

V

un sousespace vectoriel nilpotent de

L(E)

contenant un élément non nul. On note

p:=max_(u \in V)ν(u),

appelé nilindice générique de

V

(cet entier est bien défini grâce à la question 3). On notera que

p \geq 2

On introduit le sous-ensemble

V^∙

E

formé des vecteurs appartenant à au moins un des ensembles

Imu^(p - 1)

pour

u

dans

V

; on introduit de plus le sous-espace vectoriel engendré

K(V):=Vect(V^∙).

Enfin, étant donné

x \in E

, on pose

Vx:={v(x)|v \in V}.

L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme A. Soit

u

v

dans

V

. Alors

tr(u^k v) = 0

pour tout entier naturel

k

.
Lemme B. Soit

x

dans

V^∙∖{0}

. Si

K(V) \subset Vect(x) + Vx

, alors

v(x) = 0

pour tout

v

dans

V

Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires

u

v

V

.
8. Soit

k \in N^*

. Montrer qu'il existe une unique famille

(f_0^((k)), \dots, f_k^((k)))

d'endomorphismes de

E

telle que

\forallt \in R, (u + tv)^k = \sum_(i = 0)^k t^i f_i^((k))

Montrer en particulier que

f_0^((k)) = u^k

f_1^((k)) = \sum_(i = 0)^(k - 1)u^i vu^(k - 1 - i)

.
9. Montrer que

\sum_(i = 0)^(p - 1)u^i vu^(p - 1 - i) = 0

.
10. Étant donné

k \in N

, donner une expression simplifiée de

tr(f_1^((k + 1)))

, et en déduire la validité du lemme

A

.
11. Soit

y \in E

. Démontrer que

f_1^((p - 1))(y) \in K(V)

. À l'aide d'une relation entre

u(f_1^((p - 1))(y))

v(u^(p - 1)(y))

, en déduire que

v(x) \in u(K(V))

pour tout

x \in Imu^(p - 1)

.
12. Soit

x ∈ V^∙∖{0}

tel que

K(V) \subset Vect(x) + Vx

. On choisit

u \in V

tel que

x \in Imu^(p - 1)

.
Étant donné

y \in K(V)

, montrer que pour tout

k \in N

il existe

y_k \in K(V)

λ_k \in R

tels que

y = λ_k x + u^k(y_k)

. En déduire que

K(V) \subset Vect(x)

puis que

v(x) = 0

pour tout

v \in V

IV Démonstration du théorème de Gerstenhaber

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème de Gerstenhaber par récurrence sur l'entier

n

. Le cas

n = 1

est immédiat et nous le considérerons comme acquis. On se donne donc un entier naturel

n \geq 2

et on suppose que pour tout espace vectoriel réel

E^'

de dimension

n - 1

et tout sous-espace vectoriel nilpotent

V^'

L(E^')

, on a

dimV^' \leq ((n - 1)(n - 2))/2

, et si en outre

dimV^' = ((n - 1)(n - 2))/2

alors il existe une base de

E^'

dans laquelle tout élément de

V^'

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

On fixe un espace vectoriel réel

E

de dimension

n

, ainsi qu'un sous-espace vectoriel nilpotent

V

L(E)

. On munit

E

d'un produit scalaire (

- | -

), ce qui en fait un espace euclidien.

On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire

x

E∖{0}

. On pose,

H:=Vect(x)^⊥, Vx:={v(x)|v ∈ V} et W:={v ∈ V : v(x) = 0}

On note

π

la projection orthogonale de

E

sur

H

. Pour

u \in W

, on note

u¯

l'endomorphisme de

H

défini par

\forallz \in H, u¯(z) = π(u(z))

On considère enfin les ensembles

V^–:={u¯|u ∈ W} et Z:={u ∈ W : u¯ = 0}.

Montrer que $Vx, W, V^-$ et $Z$ sont des sous-espaces vectoriels respectifs de $E$ , $V, L(H)$ et $V$ .
Montrer que

dimV = dim(Vx) + dimZ + dimV^-

Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel $L$ de $E$ tel que

Z = {a \otimes x|a \in L} et dimL = dimZ,

et montrer qu'alors

x \in L^⊥

.
16. En considérant

u

a \otimes x

pour

u \in V

a \in L

, déduire du lemme

A

que

Vx \subset L^⊥

, et que plus généralement

u^k(x) \in L^⊥

pour tout

k \in N

et tout

u \in V

.
17. Justifier que

λx \notin Vx

pour tout

λ \in R^*

, et déduire alors des deux questions précédentes que

dimVx + dimL \leq n - 1

Soit $u \in W$ . Montrer que $(u¯)^k(z) = π(u^k(z))$ pour tout $k \in N$ et tout $z \in H$ . En déduire que $V^-$ est un sous-espace vectoriel nilpotent de $L(H)$ .
Démontrer que

dimV \leq (n(n - 1))/2

Dans toute la suite du problème, on suppose que

dimV = (n(n - 1))/2

.
20. Démontrer que

dimV^- = ((n - 1)(n - 2))/2, dim(Vect(x) \oplus Vx) + dimL = n

L^⊥ = Vect(x) \oplus Vx.

En déduire que

Vect(x) \oplus Vx

contient

v^k(x)

pour tout

v \in V

et tout

k \in N

.
21. En appliquant l'hypothèse de récurrence, montrer que le nilindice générique de

V

est supérieur ou égal à

n - 1

, et que si en outre

Vx = {0}

alors il existe une base de

E

dans laquelle tout élément de

V

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

Compte tenu du résultat de la question 21 , il ne nous reste plus qu'à établir que l'on peut choisir le vecteur

x

de telle sorte que

Vx = {0}

On choisit

x

dans

V^∙∖{0}

(l'ensemble

V^∙

a été défini dans la partie III). On note

p

le nilindice générique de

V

, et l'on fixe

u \in V

tel que

x \in Imu^(p - 1)

. On rappelle que

p \geq n - 1

d'après la question 21.
22. Soit

v \in V

tel que

v(x) \neq 0

. Montrer que

Imv^(p - 1) \subset Vect(x) \oplus Vx

. On pourra utiliser les résultats des questions 5 et 20.
23. On suppose qu'il existe

v_0

dans

V

tel que

v_0(x) \neq 0

. Soit

v \in V

. En considérant

v + tv_0

pour

t

réel, montrer que

Imv^(p - 1) \subset Vect(x) \oplus Vx

.
24. Conclure.

Fin du problème

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Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 MP 2020 ?

Sur l'algèbre linéaire : endomorphismes nilpotents, trace, endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien et théorème du rang, jusqu'à la démonstration du théorème de Gerstenhaber.

Le sujet Mines-Ponts maths 1 MP 2020 est-il faisable en première année ?

En bonne partie : le rapport indique qu'une grande partie du problème ne fait appel qu'au programme de première année. Certaines questions difficiles évaluent cependant la maîtrise de l'abstraction attendue en deuxième année.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 MP Mines 2020 ?

Des propriétés fausses de la trace, des égalités d'ensembles prouvées par une seule inclusion, la formule du binôme appliquée à des endomorphismes qui ne commutent pas, et des questions à plusieurs résultats traitées incomplètement.

Faut-il finir le sujet Mines maths 1 MP 2020 pour avoir une bonne note ?

Non. Le jury juge le sujet trop long pour trois heures et a attribué très peu de points aux dernières questions. Les questions 20 à 24 n'ont quasiment pas été abordées, sans effet sur le classement.

Pas de description pour le moment

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