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ENS Mathématiques D MP MPI 2024Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass pour des exposants rationnels : séries entières, opérateurs différentiels et fonctions E
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Le sujet démontre que, pour des rationnels distincts a₁, …, a_r, les nombres e^{a₁}, …, e^{a_r} sont linéairement indépendants sur Q. Il avance en 45 questions réparties en 7 parties relativement indépendantes : séries entières de fractions rationnelles, action des opérateurs différentiels, transformée de Laplace, arithmétique fine des coefficients, puis généralisation aux fonctions E.

  1. 1Partie A : quelques conséquences (Q1, Q2)Irrationalité de log(a) et transcendance de e^a déduites du théorème.
  2. 2Partie B : séries entières et fractions rationnelles (Q3 à Q10)Développement en série entière d'une fraction rationnelle à coefficients rationnels, propriété d'intégralité et fractions dont la primitive est rationnelle.
  3. 3Partie C : séries entières et opérateurs différentiels (Q11 à Q17)Équivalence entre être solution d'une équation différentielle et avoir des coefficients vérifiant une récurrence linéaire à coefficients polynomiaux.
  4. 4Partie D : stratégie de la démonstration (Q18 à Q23)Transformée de Laplace et pôles des fractions rationnelles pour montrer qu'une certaine série v n'est pas rationnelle.
  5. 5Partie E : arithmétique des coefficients v_n (Q24 à Q33)Dénominateurs communs, bornes et divisibilité des coefficients par récurrence, lien avec des intégrales.
  6. 6Partie F : démonstration de la proposition 1 (Q34 à Q36)Synthèse des inégalités de la partie E pour conclure à la rationalité de v.
  7. 7Partie G : fonctions E (Q37 à Q45)Rayon de convergence des fonctions E et de leurs transformées de Laplace, caractérisation des polynômes exponentiels et exemple de la fonction de Bessel J₀.

Difficile. Le jury qualifie l'épreuve de longue et difficile, avec peu d'applications classiques du cours et une moyenne de 5,94.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 5,94 / 20 · écart-type 3,53 · 1 465 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
5,94/ 20
Écart-type
3,53
Présents
1 465
Médiane
5
moyenne 5,9405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Refaire les calculs au lieu d'utiliser les résultats · Arguments alambiqués ou mal ciblés · Justification de non-rationalité
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Le sujet était particulièrement long et il n'était pas nécessaire de tout traiter pour obtenir une excellente note. La plupart des questions demandaient un effort de recherche plutôt que l'application directe du cours. Le jury déplore des copies souvent peu lisibles et peu soignées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Refaire les calculs au lieu d'utiliser les résultatsQ5, Q7

    Plusieurs copies recommencent le raisonnement des questions précédentes au lieu d'invoquer l'inverse de Q ou le résultat de la question 6.

    « Beaucoup de copies ont perdu du temps en refaisant les calculs de la question 4 »
  2. 2
    Arguments alambiqués ou mal ciblésQ3, Q8

    La question 3 appelait un argument court sur un entier de valeur absolue inférieure à 1. En question 8, dire que la série n'est pas globalement bornée ne répond pas.

  3. 3
    Justification de non-rationalitéQ9

    L'exemple de 1/(1 − x) est trouvé par presque tous, mais la non-rationalité de sa primitive est rarement bien justifiée.

  4. 4
    Récurrence et équation différentielle mal reliéesQ13, Q14, Q15

    Peu de copies montrent qu'une récurrence induit une équation différentielle. Une équation d'ordre 1 ne donne pas une récurrence de longueur 1.

  5. 5
    Fonction non nulle et pôlesQ18, Q22

    Après le calcul de la transformée de Laplace, très peu justifient que f n'est pas nulle ; l'étude de l'ordre des pôles d'une somme et d'une dérivée a été rarissime.

  6. 6
    Gratter des points sur la partie facileQ27, Q40

    En questions 27 et 40, beaucoup ne traitent que l'implication évidente ou les conditions de croissance et passent sous silence la stabilité par somme et produit.

    « Aucune copie n'y est parvenu »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 4 est résolue correctement par la grande majorité des copies et la question 6 est presque toujours juste.
  • Les questions 19 et 20 ont été réussies par presque toutes les copies.
  • La question 25 est bien résolue, y compris par des copies ayant sauté les passages difficiles des parties B, C et D.
  • La question 37, facile, a été traitée correctement par des copies par ailleurs moyennes.

Conseils du jury

  • Écrire lisiblement, raturer proprement et encadrer les résultats.
  • Faire les calculs au brouillon avant de les recopier.
  • Réutiliser explicitement les résultats des questions précédentes plutôt que de refaire les calculs.
  • Répondre de façon claire et concise dès les premières questions, signe selon le jury d'une bonne copie.
  • Ne pas chercher à tout traiter : le sujet était long et une excellente note ne l'exigeait pas.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

JEUDI 18 AVRIL 2024
08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve n^∘7
MATHEMATIQUES D (U)

Le sujet comprend 10 pages, numérotées de 1 à 10.

Début de l'épreuve

Tout au long de ce sujet, la notation A = ^(déf)B indique que le symbole A est défini comme étant égal à B. Rappelons que la série numérique
∑_(n = 0)^∞(α^n)/(n!)
converge, pour tout nombre réel α ∈ R, vers un nombre réel strictement positif que l'on note e^α et que l'on appelle l'exponentielle de α. L'application α ⟼ e^α établit une bijection de R dans R_(> 0) qui satisfait à la relation : pour tous α, β ∈ R,
e^(α + β) = e^α e^β
Le but de ce sujet est de donner une preuve ^1 du résultat suivant, qui est un cas particulier du théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass :
Théorème 1. Soit r ≥ 2 un entier. Si a_1, …, a_r ∈ Q sont des nombres rationnels distincts, alors les nombres réels e^(a_1), …, e^(a_r) sont linéairement indépendants sur Q.
Chemin faisant, nous établirons quelques propriétés de nature arithmétique des séries entières à coefficients rationnels qui sont solutions d'une équation différentielle.

A. Quelques conséquences

  1. Pour un nombre rationnel strictement positif a ∈ Q_(> 0), notons log(a) le seul nombre réel satisfaisant à e^(loga) = a. Déduire du théorème 1 que log(a) est irrationnel pour tout nombre rationnel strictement positif a ≠ 1.
  2. Soit a ∈ Q^×un nombre rationnel non nul. Déduire du théorème 1 que, pour tout polynôme non nul P ∈ Q[x], on a P(e^a) ≠ 0.
On dit que le nombre e^a est transcendant.

B. Séries entières et fractions rationnelles

Une série entière à coefficients rationnels est une suite (c_n)_(n ≥ 0) de nombres rationnels. On munit l'ensemble des telles suites des opérations d'addition et de multiplication
(c_n)_(n ≥ 0) + (d_n)_(n ≥ 0), = (c_n + d_n)_(n ≥ 0); (c_n)_(n ≥ 0) ⋅ (d_n)_(n ≥ 0), = (∑_(k = 0)^n c_k d_(n − k))_(n ≥ 0)
L'élément neutre pour l'addition est la suite (0)_(n ≥ 0) et l'élément neutre pour la multiplication est la suite (1, 0, 0, ⋯). En pratique, plutôt que comme une suite on pensera à une série entière à coefficients rationnels (c_n)_(n ≥ 0) comme une expression de la forme
f(x) = ∑_(n = 0)^∞c_n x^n
On voit x comme une variable "formelle", c'est-à-dire que l'on ne se soucie pas des propriétés de convergence (si l'on remplace x par un nombre réel α, la série numérique ∑_(n = 0)^∞c_n α^n peut être convergente ou divergente). Avec cette notation, les opérations d'addition et multiplication de deux séries entières f(x) = ∑_(n = 0)^∞c_n x^n et g(x) = ∑_(n = 0)^∞d_n x^n deviennent
(f + g)(x), = ∑_(n = 0)^∞(c_n + d_n)x^n; (f ⋅ g)(x), = ∑_(n = 0)^∞(∑_(k = 0)^n c_k d_(n − k))x^n
On écrit simplement 0 et 1 pour les éléments neutres pour l'addition et la multiplication. La dérivée d'une série entière f comme ci-dessus est la série entière
f^′(x) = ∑_(n = 0)^∞(n + 1)c_(n + 1)x^n
L'opération de dériver une série entière est linéaire et satisfait à la règle de Leibniz
(fg)^′ = f^′ g + fg^′
On note Q[ [x] ] l'ensemble des séries entières à coefficients rationnels. On peut voir les polynômes à coefficients rationnels comme le sous-ensemble Q[x] ⊂ Q[ [x] ] formé des séries entières telles qu'il existe un entier d ≥ 0 satisfaisant à c_n = 0 pour tout n > d.
3. Soit f(x) = ∑_(n = 0)^∞c_n x^n ∈ Q[ [x] ] une série entière dont les coefficients c_n sont des nombres entiers. Montrer que s'il existe un nombre réel α ≥ 1 tel que la série numérique ∑_(n = 0)^∞c_n α^n converge, alors f est un polynôme.
4. Soit Q ∈ Q[x] un polynôme à coefficients rationnels dont 0 n'est pas racine. Montrer qu'il existe une unique série entière f ∈ Q[ [x] ] satisfaisant à Q ⋅ f = 1.
Montrer que si Q est à coefficients entiers et que son terme constant c_0 vaut 1 ou -1 , alors cette unique série entière f est à coefficients entiers.
Rappelons que C(x) désigne l'ensemble des fractions rationnelles P/Q avec P, Q ∈ C[x] et Q non nul. On considérera le sous-ensemble Q(x) ⊂ C(x) formé des fractions rationnelles P/Q avec P, Q ∈ Q[x], que l'on appellera fractions rationnelles à coefficients rationnels. Pour un nombre complexe α et un polynôme non nul R ∈ Q[x], posons
ord_α(R) = {0, si α n'est pas racine de R; multiplicité de α, si α est racine de R
Soit P/Q une fraction rationnelle non nulle. On dit que α ∈ C est un pôle de P/Q si l'inégalité ord_α(Q) > ord_α(P) est satisfaite. L'entier ord_α(Q) − ord_α(P) s'appelle alors l'ordre du pôle. La fraction rationnelle nulle n'a pas de pôle.
5. Montrer que si 0 n'est pas un pôle de P/Q ∈ Q(x), alors il existe une unique série entière à coefficients rationnels g ∈ Q[ [x] ] telle que P = Q ⋅ g.
Montrer que l'application P/Q ⟼ g est compatible avec l'addition et la multiplication dans Q(x) et dans Q[ [x] ], et qu'elle envoie la dérivée (P/Q)^′ = (P^′ Q − PQ^′)/Q^2 sur la série entière dérivée g^′.
On dit que g est le développement en série entière (parfois abrégé développement en série ou encore développement) de la fraction rationnelle P/Q et on écrit g = P/Q.
6. Soit Q ∈ Q[x] un polynôme à coefficients rationnels de terme constant égal à 1 . Montrer qu'il existe un entier b ≥ 1 tel que Q(bx) soit à coefficients entiers.
On dit qu'une série entière f(x) = ∑_(n = 0)^∞c_n x^n ∈ Q[ [x] ] est globalement bornée s'il existe des entiers A, B ≥ 1 tels que
Af(Bx) = ^(déf)∑_(n = 0)^∞(B^n Ac_n)x^n
soit une série entière à coefficients entiers.
7. Montrer que si f ∈ Q[ [x] ] est le développement en série entière d'une fraction rationnelle à coefficients rationnels, alors f est globalement bornée.
8. Montrer que la série entière
∑_(m = 0)^∞x^(m^2) = ∑_(n = 0)^∞c_n x^n
où c_n = 1 si n est le carré d'un entier m ≥ 0 et c_n = 0 autrement, n'est pas le développement en série entière d'une fraction rationnelle.
On définit la primitive d'une série entière f(x) = ∑_(n = 0)^∞c_n x^n comme la série entière
∫_0^x f(t)dt = ^(déf)∑_(n = 0)^∞(c_n)/(n + 1)x^(n + 1)
  1. Donner un exemple d'un développement en série entière d'une fraction rationnelle dont la primitive n'est pas le développement d'une fraction rationnelle.
  2. (Question plus difficile) Soit f le développement en série entière d'une fraction rationnelle P/Q ∈ Q(x) dont tous les pôles sont des nombres rationnels. Supposons que la primitive ∫_0^x f(t)dt soit globalement bornée. Montrer que ∫_0^x f(t)dt est alors le développement en série entière d'une fraction rationnelle dans Q(x).

C. Séries entières et opérateurs différentiels

Dans ce qui suit, on appelera opérateur différentiel (sous-entendu : à coefficients polynomiaux à coefficients rationnels) toute expression de la forme
L = R_μ(x)(d/(dx))^μ + ⋯ + R_1(x)(d/(dx)) + R_0(x)
où μ ≥ 0 est un entier et R_0, …, R_μ ∈ Q[x] sont des polynômes à coefficients rationnels. Si R_μ n'est pas nul, on dit que L est d'ordre μ. Un tel opérateur différentiel agit sur une série entière f ∈ Q[ [x] ] par la formule
(L ⋅ f)(x) = R_μ(x)f^((μ))(x) + ⋯ + R_1(x)f^′(x) + R_0(x)f(x)
où f^((k)) désigne la dérivée k ème d'une série entière.
11. Montrer l'égalité : pour tous m ≥ 0 et μ ≥ 0,
(d/(dx))^μ ⋅ (x^m f) = (x^m(d/(dx))^μ + ∑_(i = 1)^(min(μ, m))(m(m − 1)⋯(m − i + 1)μ(μ − 1)⋯(μ − i + 1))/(i!)x^(m − i)(d/(dx))^(μ − i)) ⋅ f.
On dit qu'une série entière f ∈ Q[ [x] ] est solution d'une équation différentielle (d'ordre μ ) s'il existe un opérateur différentiel non nul L (d'ordre μ ) comme ci-dessus tel que L ⋅ f = 0.
12. Montrer que le développement en série entière de toute fraction rationnelle à coefficients rationnels est solution d'une équation différentielle d'ordre 1.
13. Montrer qu'une série entière f(x) = ∑_(n = 0)^∞c_n x^n ∈ Q[ [x] ] est solution d'une équation différentielle si et seulement s'il existe un entier d ≥ 0 et des polynômes non tous nuls S_0, …, S_d ∈ Z[x] tels que : pour tout n ≥ 0,
S_0(n)c_n + ⋯ + S_d(n)c_(n + d) = 0
  1. Donner une nouvelle preuve, basée sur les questions 12 et 13 ci-dessus, du fait que la série entière ∑_(m = 0)^∞x^(m^2) n'est pas le développement d'une fraction rationnelle.
  2. Montrer que la série entière
h(x) = ∑_(n = 0)^∞((2n)!(3n)!)/((n!)^5)x^n
est solution d'une équation différentielle, puis en expliciter une.
16. Montrer que h(x) ci-dessus est à coefficients entiers.
17. Montrer qu'une série entière f(x) = ∑_(n = 0)^∞(c_n)/(n!)x^n ∈ Q[ [x] ] est solution d'une équation différentielle si et seulement si sa transformée de Laplace
fˆ(x) = ^(déf)∑_(n = 0)^∞c_n x^n
est solution d'une équation différentielle.

D. Stratégie de la démonstration du théorème 1

Soient r ≥ 2 un entier et a_1, …, a_r ∈ Q des rationnels distincts. Soient b_1, …, b_r ∈ Q^×des rationnels non nuls. Posons e^(a_i x) = ^(déf)∑_(n = 0)^∞(a_i^n)/(n!)x^n et considérons la série entière
f(x) = ∑_(n = 0)^∞(u_n)/(n!)x^n = ^(déf)b_1 e^(a_1 x) + ⋯ + b_r e^(a_r x)
  1. Montrer que la transformée de Laplace fˆ(x) = ∑_(n = 0)^∞u_n x^n est le développement en série entière de la fraction rationnelle
∑_(i = 1)^r(b_i)/(1 − a_i x).
En déduire que f n'est pas la série entière nulle.
Considérons la suite (v_n)_(n ≥ 0) définie en termes des coefficients u_n par la formule
v_n = n!∑_(i = 0)^n(u_i)/(i!)
et la série entière
v(x) = ∑_(n = 0)^∞v_n x^n ∈ Q[ [x] ].
  1. Montrer l'égalité des séries entières
∑_(n = 0)^∞(v_n − nv_(n − 1))x^n = ∑_(n = 0)^∞u_n x^n
  1. Montrer que l'opérateur différentiel L = − x^2(d/(dx)) + (1 − x) agit sur v(x) par
(L ⋅ v)(x) = ∑_(i = 1)^r(b_i)/(1 − a_i x)
  1. En déduire que si v(x) est le développement en série d'une fraction rationnelle P/Q, alors tout élément de l'ensemble non vide {1/a_i|a_i ≠ 0} est un pôle de P/Q.
  2. Montrer que v(x) n'est pas le développement en série d'une fraction rationnelle.
Nous avons ainsi réduit la démonstration du théorème 1 à celle de la proposition suivante, qui fera l'objet des parties E et F du sujet.
Proposition 1. Si b_1 e^(a_1) + ⋯ + b_r e^(a_r) = 0, alors la série entière v(x) est le développement en série entière d'une fraction rationnelle à coefficients rationnels.
On appelle polynôme exponentiel toute série entière à coefficients rationnels de la forme
f(x) = ∑_(i = 1)^s P_i(x)e^(c_i x)
où c_1, …, c_s ∈ Q sont des rationnels et P_1, …, P_s ∈ Q[x] sont des polynômes.
23. Montrer que le théorème 1 est équivalent à l'énoncé suivant :
Soit f(x) ∈ Q[ [x] ] un polynôme exponentiel tel que f(1) = ∑_(i = 1)^s P_i(1)e^(c_i) s'annule. Alors f(x)/(x − 1) est encore un polynôme exponentiel.

E. L'arithmétique des coefficients v_n

Rappelons l'hypothèse b_1 e^(a_1) + ⋯ + b_r e^(a_r) = 0 de la proposition 1 . Quitte à remplacer le polynôme exponentiel f(x) = b_1 e^(a_1 x) + ⋯ + b_r e^(a_r x) par un multiple entier, on peut supposer sans perte de généralité que les coefficients u_0, …, u_(r − 1) sont des entiers.
On fait cette hypothèse dorénavant.
Définissons des nombres rationnels s_1, …, s_r par la formule
(T − a_1)⋯(T − a_r) = T^r − s_1 T^(r − 1) − ⋯ − s_(r − 1)T − s_r
  1. Montrer l'égalité : pour tout n ≥ 0,
u_(n + r) = s_1 u_(n + r − 1) + ⋯ + s_r u_n.
Soit D un dénominateur commun des nombres rationnels a_1, …, a_r et soit
A = max(1, |a_1|, …, |a_n|).
  1. Montrer que D^n u_n ∈ Z pour tout n ≥ 0.
  2. Montrer qu'il existe un nombre réel c_1 > 0 tel que : pour tout n ≥ 0,
|v_n| ≤ c_1(A^(n + 1))/(n + 1)
Pour tous entiers n, k ≥ 0, définissons le nombre rationnel v_n(k) comme le coefficient en degré n de la série entière
(1 − s_1 x − ⋯ − s_r x^r)^k v(x) = ∑_(n = 0)^∞v_n(k)x^n
  1. Montrer que v(x) est le développement en série entière d'une fraction rationnelle si et seulement s'il existe un entier k ≥ 0 tel que ∑_(n = 0)^∞v_n(k)x^n soit un polynôme.
  2. Observer l'égalité : pour tous n ≥ r et k ≥ 0,
v_n(k + 1) = v_n(k) − s_1 v_(n − 1)(k) − ⋯ − s_r v_(n − r)(k).
Posons C = 1 + |s_1| + ⋯ + |s_r|.
29. Montrer que D^n v_n(k) ∈ Z et qu'il existe un nombre réel c_2 > 0 tel que
|v_n(k)| ≤ c_2 A^n C^k pour tous n ≥ kr.
  1. Soit ℓ ≥ 0 un entier. Montrer qu'il existe un polynôme P_ℓ ∈ Q[x] de degré < r(ℓ + 1) satisfaisant à
∑_(n = 0)^∞n(n − 1)⋯(n − ℓ + 1)u_(n − ℓ)x^n = (P_ℓ(x))/((1 − s_1 x − ⋯ − s_r x^r)^(ℓ + 1))
  1. Définissons deux suites (w_(n, k))_(n, k ≥ 0) et (w_n(k))_(n, k ≥ 0) par les formules
w_(n, k) = n!∑_(i = 0)^(n − k)(u_i)/(i!) et ∑_(n = 0)^∞w_n(k)x^n = (1 − s_1 x − ⋯ − s_r x^r)^k∑_(n = 0)^∞w_(n, k)x^n
Montrer l'égalité w_n(k) = v_n(k) pour tous n et k tels que n ≥ kr.
32. En déduire que k! divise D^n v_n(k) pour tous n et k tels que n ≥ kr.
33. Montrer l'égalité
v_n(k) = ∑_(i = 1)^r b_i e^(a_i)∫_(a_i)^∞e^(− t)t^(n − kr)(t − a_1)^k⋯(t − a_r)^k dt

F. Démonstration de la proposition 1

Dans cette partie, nous démontrons la proposition 1 , concluant ainsi la démonstration du théorème 1 . Il nous suffira de prouver qu'il existe un entier k_0 ≥ 0 tel que la série entière
∑_(n = 0)^∞v_n(k_0)x^n
soit un polynôme (d'après la question 27 ).
34. Montrer que si v_n(k) n'est pas nul et n ≥ kr, alors
k! ≤ |D^n v_n(k)| ≤ c_2(AD)^n C^k
  1. En déduire qu'il existe un entier k_0 tel que
v_n(k) = 0 pour tous k ≥ k_0 et kr ≤ n ≤ 10kr.
  1. Conclure que v_n(k_0) = 0 pour tout n ≥ k_0 r.
Le théorème est démontré !

G. Fonction E

Dans cette dernière partie, on présente une généralisation à une classe plus large de séries entières à coefficients rationnels de l'énoncé de la question 23 , à savoir le fait que le quotient par x − 1 d'un polynôme exponentiel s'annulant en 1 est encore un polynôme exponentiel. Une fonction E (sous-entendu : à coefficients rationnels) est une série entière
f(x) = ∑_(n = 0)^∞(b_n)/(n!)x^n ∈ Q[ [x] ]
satisfaisant aux conditions suivantes :
(a) f est solution d'une équation différentielle;
(b) il existe un nombre réel C > 0 tel que
|b_n| ≤ C^n et dén(b_0, …, b_n) ≤ C^n pour tout n ≥ 1,
où dén (b_0, …, b_n) désigne le plus petit entier d ≥ 1 tel que db_0, …, db_n soient des entiers ( ≪ le dénominateur commun de b_0, …, b_n≫ ).
Les polynômes à coefficients rationnels sont des exemples "triviaux" de fonctions E. Rappelons que fˆ(x) désigne la transformée de Laplace introduite dans la question 17.
37. Montrer que si f est une fonction E, alors la série numérique ∑_(n = 0)^∞(b_n)/(n!)α^n converge pour tout nombre réel α. On note f(α) sa valeur.
38. Soit f une fonction E qui n'est pas un polynôme. Montrer qu'il existe R > 0 tel que la série numérique ∑_(n = 0)^∞b_n α^n diverge pour tout nombre réel α avec |α| > R.
39. Quelles sont les fonctions E telles que fˆ est aussi une fonction E ?
40. Démontrer que les fonctions E sont stables par addition et multiplication.
41. Soit f un polynôme exponentiel. Montrer que f est une fonction E telle que fˆ est le développement en série entière d'une fraction rationnelle à pôles rationnels.
42. Montrer que si ∑_(n = 0)^∞b_n x^n est le développement en série entière d'une fraction rationnelle à pôles rationnels, alors ∑_(n = 0)^∞(b_n)/(n!)x^n est une fonction E.
43. Montrer que la fonction de Bessel
J_0(x) = ^(déf)∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/((n!)^2)(x/2)^(2n)
est une fonction E telle que J_0 ˆ(x) satisfait à l'équation (1 + x^2)Jˆ_0(x)^2 = 1. En déduire que J_0(x) n'est pas un polynôme exponentiel.
44. Montrer que les zéros réels de la fonction de Bessel J_0(x) sont simples, c'est-à-dire si J_0(α) = 0, alors J_0^′(α) ≠ 0.
45. Soit f(x) une fonction E telle que f(1) = 0. Montrer que la série entière f(x)/(x − 1) est encore une fonction E.
Ce dernier résultat est l'un des ingrédients sur lesquels repose la méthode mise en place par Y. André à la fin des années 90 pour démontrer le théorème de Siegel-Shidlovskii. Il s'agit d'un énoncé de transcendance pour les valeurs des fonctions E en des nombres rationnels, qui généralise le théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass et implique, par exemple, que le nombre J_0(α) est transcendant pour tout rationnel non nul α.

Fin du sujet

  1. ^1 suivant l'article ≪ An Alternative Proof of the Lindemann-Weierstrass Theorem ≫ de F. Beukers, J. P. Bézivin et P. Robba (Amer. Math. Monthly 97 (1990), 193-197).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths D ENS MP MPI 2024 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths D ENS MP MPI 2024 ?

Sur une démonstration du théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass dans le cas d'exposants rationnels, à l'aide de séries entières, d'équations différentielles, de la transformée de Laplace et d'arithmétique.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths D ENS 2024 ?

La moyenne est de 5,94 avec un écart-type de 3,53 ; 1465 candidats ont composé sur 2170 inscrits.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths D ENS MP 2024 ?

Des calculs refaits au lieu de réutiliser les questions précédentes, des arguments alambiqués, un lien mal établi entre récurrence et équation différentielle, et des réponses limitées aux implications faciles.

Faut-il finir le sujet de maths D ENS 2024 pour avoir une bonne note ?

Non. Le jury précise que le sujet, long de 45 questions, n'avait pas besoin d'être traité en entier pour obtenir une excellente note.

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