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ENS Mathématiques C MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Linéarisation des séries entières complexes
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Le sujet guide le candidat vers le problème de linéarisation d'une série entière complexe. Après des résultats préliminaires sur le rayon de convergence (partie A), il étudie la composition des séries (partie B), un résultat technique sur les séries majorantes (partie C), puis la série réciproque (partie D), avant d'aborder la linéarisation proprement dite dans un cas hyperbolique (partie F) puis elliptique (partie G).

  1. 1Partie A : premières propriétésrésultats préliminaires sur le rayon de convergence d'une série entière et sur les séries majorantes.
  2. 2Partie B : compositiondéfinition et étude de la composition de deux séries entières, en distinguant séries formelles et questions de convergence.
  3. 3Partie C : série majoranteétablissement d'un résultat technique garantissant la stricte positivité d'un rayon de convergence.
  4. 4Partie D : série réciproqueexistence, unicité et rayon de convergence de la série réciproque d'une série entière.
  5. 5Partie E : linéarisation formelleconstruction formelle d'un changement de variable qui linéarise la série étudiée.
  6. 6Partie F : linéarisation, cas hyperboliquepreuve que le changement de variable construit en partie E a un rayon de convergence strictement positif lorsque le module de λ est différent de 0 et 1.
  7. 7Partie G : linéarisation, cas elliptiqueextension du résultat au cas plus délicat où λ est de module 1, à l'aide d'une méthode de convergence différente.

Difficile. le rapport indique une moyenne de 9,79/20, un problème long dont aucune copie n'est venue à bout, et une partie G qui n'a été abordée que superficiellement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,79 / 20 · écart-type 3,93 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,79/ 20
Écart-type
3,93
moyenne 9,7905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre inégalités larges et strictes · Justifications de convergence absentes · Confusion entre séries formelles et convergence
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Le sujet portait sur la linéarisation des séries entières complexes, un thème assez spécifique qui a constitué la principale difficulté. Aucune copie n'est parvenue à résoudre entièrement le sujet ; seule une poignée de candidats d'excellent niveau a traité en quasi-totalité les parties A à F, la partie G n'ayant été abordée que superficiellement. Le jury attend clarté, précision et rigueur, y compris sur les questions les plus élémentaires, et a sanctionné les justifications insuffisantes sur la convergence.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre inégalités larges et strictesQ2 et Q3

    la mauvaise utilisation d'inégalités larges à la place d'inégalités strictes, et inversement, a été sanctionnée dans l'étude du rayon de convergence.

  2. 2
    Justifications de convergence absentes

    de nombreux candidats ne semblent pas à l'aise avec des raisonnements élémentaires sur les séries, avec des justifications de convergence trop souvent absentes ou incorrectes.

  3. 3
    Confusion entre séries formelles et convergenceQ10

    il fallait distinguer les questions portant sur les séries formelles de celles faisant intervenir des passages à la limite, une distinction souvent mal maîtrisée.

  4. 4
    Utilisation imprécise des résultats précédentsQ16, Q22 et Q23

    de nombreux candidats ont invoqué un résultat antérieur sans justifier précisément son utilisation, notamment sur les rayons de convergence.

  5. 5
    Calculs de sommes qui n'aboutissent pasQ17 et Q18

    trop de candidats se sont lancés dans d'obscurs calculs de sommes qui n'ont pas abouti et n'ont pas été récompensés.

Ce qui a été bien réussi

  • la question (1) a été en général bien traitée
  • la question (7), simple et reposant sur des arguments déjà utilisés, a été globalement bien traitée
  • les récurrences de la question (5) ont été bien posées dans l'ensemble

Conseils du jury

  • utiliser un brouillon avant de rédiger, la présentation comptant pour une part importante de l'appréciation
  • dégager précisément les hypothèses nécessaires avant d'invoquer un résultat de cours
  • ne pas se cantonner aux questions les plus simples de chaque partie, mais chercher à approfondir chaque thème
  • bien distinguer les questions de séries formelles de celles nécessitant une étude de convergence

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

VENDREDI 29 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve n ^∘9
MATHEMATIQUES C (ULSR)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Le sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 .

Début du sujet.

On note ℂ[[z]] l'ensemble des séries entières complexes f = ∑(f)_k z^k. Un élément de ℂ[[z]] est donc une suite complexe (f)_k, k ∈ ℕ. L'ensemble ℂ[[z]] est muni d'une structure de ℂ-espace vectoriel avec les opérations
(f + g)_k:=(f)_k + (g)_k, (af)_k:=a(f)_k
On le munit aussi du produit de Cauchy f ⋅ g donné par
(f ⋅ g)_k:=∑_(i = 0)^k(f)_i(g)_(k − i)
pour lequel c'est une ℂ-algèbre.
Pour z ∈ ℂ et f ∈ ℂ[[z]], on note f(z) la valeur de la série
∑_(k = 0)^∞(f)_k z^k
lorsque celle-ci converge. On note ρ(f) ∈ [0, ∞] (c'est-à-dire l'ensemble des réels positifs auquel on ajoute l'élément + ∞ ) le rayon de convergence de la série f. Il est caractérisé par la propriété suivante : la série f converge en z si |z| < ρ(f), et diverge si |z| > ρ(f).
On note O_k ⊂ ℂ[[z]] l'espace des séries entières dont les k premiers coefficients sont nuls, c'est-à-dire des séries de la forme (f)_k z^k + (f)_(k + 1)z^(k + 1) + ⋯. Pour f ∈ ℂ[[z]] et d ∈ ℕ, on note
[f]_d:=(f)_0 + (f)_1 z + ⋯ + (f)_d z^d
le polynôme obtenu en tronquant f à l'ordre d. C'est un élement de ℂ[[z]], et f − [f]_d ∈ O_(d + 1).
Lorsque f : ℝ ⟶ ℝ est une fonction développable en série entière au voisinage de 0 , on note encore f la série entière correspondante. Par exemple, on note 1/(1 − z) la série 1 + z + z^2 + ⋯. On note I, ou z, l'application identité du plan complexe ainsi que la série entière associée.
Étant donné une série entière f, on note f^ la série entière dont les coefficients sont les modules des coefficients de f. Pour r ∈ [0, ∞], la somme à termes positifs f^(r) = ∑_(k ⩾ 0)|(f)_k|r^k a toujours une valeur dans [0, ∞]. On convient pour la définir sans ambiguïté que le terme |(f)_k|r^k est nul si |(f)_k| = 0, même pour r = + ∞.
On définit sur ℂ[[z]] la relation ≺ par
f≺g ⟺ (∀k ∈ ℕ, |(f)_k| ⩽ |(g)_k|).
Lorsque f ∈ O_1 vérifie (f)_1 ≠ 0, elle admet une série réciproque, qui sera définie et étudiée dans la question D , et qui sera ensuite notée f^†.
Le problème comporte 29 questions, numérotées de 1 à 29 , et regroupées par thèmes.

A Premières propriétés

(1) Soit f une série entière et z un complexe tel que f^(|z|) < ∞. Montrer alors que la série f converge en z et que |f(z)| ⩽ f^(|z|). Donner un exemple où cette inégalité est stricte.
(2) Si f et g sont deux séries entières telles que f≺g, montrer que ρ(f) ⩾ ρ(g).
(3) Montrer, pour r > 0, que
r < ρ(f) ⇒ ∃a > 0 tel que f≺a/(r − z) ⇒ r ⩽ ρ(f^)
déduire en particulier que ρ(f^) = ρ(f).
(4) Montrer que f ⋅ gˆ≺f^ ⋅ g^, déduire que ρ(f ⋅ g) ⩾ min(ρ(f), ρ(g)).

B Composition

Si f est une série entière quelconque et g une série entière sans terme constant (c'est-à-dire g ∈ O_1 ), on définit la composée f ∘ g par
(f ∘ g)_m = ∑_(k = 0)^m(f)_k(g^k)_m
où (g^k)_m est le coefficient de degré m du produit g^k = g ⋅ g⋯g ( k facteurs) pour k ⩾ 1, et g^0 = 1. On verra ci-dessous que f ∘ g(z) = f(g(z)) sous les hypothèses appropriées, ce qui justifie la notation.
(5) Si f ∈ O_n, n ⩾ 0, g ∈ O_1, h ∈ O_l, l ⩾ 1 et r ⩾ 1, montrer que h^r ∈ O_(rl), que f ∘ h ∈ O_(nl) et f ∘ (g + h) − f ∘ g ∈ O_(n + l − 1).
(6) Soit f et g des séries entières, avec g ∈ O_1. Montrer que f ∘ gˆ≺f^ ∘ g^. Déduire que, si f et g ont un rayon de convergence strictement positif, alors ρ(f ∘ g) > 0.
(7) Si f, g sont à coefficients réels positifs, h, g ∈ O_1, montrer que h≺g ⇒ f ∘ h≺f ∘ g.
(8) Montrer, si f et g ∈ O_1 sont à coefficients réels positifs et si r ∈ [0, ∞], que f ∘ g(r) = f(g(r)).
(9) Soit f et g des séries entières, avec g ∈ O_1. Pour tout z vérifiant |z| < ρ(f^ ∘ g^), montrer que la série f converge en g(z) et que f ∘ g(z) = f(g(z)).
(10) Soit f, g et h des séries entières, avec g, h ∈ O_1, montrer que (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).

C Série majorante

Dans cette partie, on considère une série entière g ∈ O_1 à coefficients réels positifs. On suppose qu'il existe a > 0, b > 0 tels que
g≺a(I + (g^2)/(b − g))
On se propose de montrer qu'alors ρ(g) > 0. On interprète ici g^2/(b − g) comme la composition f ∘ g des séries entières f(z) = z^2/(b − z) et g.
(11) Montrer qu'il existe r > 0 et une fonction h : ] − r, r[ ⟶ ℝ, développable en série entière en 0 , vérifiant h(0) = 0 et telle que
h(x) = a(x + (h(x)^2)/(b − h(x)))
pour tout x ∈ ] − r, r[. On note encore h l'élément de O_1 associé à la fonction h.
(12) Montrer, par récurrence sur k, que (g)_k ⩽ (h)_k pour tout k ∈ ℕ, conclure.

D Série réciproque

On considère dans la suite du sujet une série entière f = λz + F, F ∈ O_2, λ = (f)_1 ≠ 0. On se propose de montrer qu'il existe une unique série f^†, la série réciproque de f, telle que f^† ∘ f = I = f ∘ f^†. On montrera de plus dans cette partie que f^† a un rayon de convergence strictement positif si f a un rayon de convergence strictement positif.
(13) Montrer qu'il existe une unique série h ∈ O_1 telle que h ∘ f = I, et que (h)_1 = 1/λ.
(14) Montrer qu'il existe une unique série g ∈ O_1 telle que f ∘ g = I.
(15) Montrer que g = h.
(16) Montrer que g^≺(1/λ)(I + F^ ∘ g^), conclure à l'aide de la partie C que ρ(g) > 0 si ρ(f) > 0.
On considère maintenant le cas particulier d'une série de la forme f = I + F, F ∈ O_2. On note G:=f^† − I, G ∈ O_2.
(17) Montrer que [G]_(d + 1) + F ∘ (I + [G]_d) ∈ O_(d + 2) pour tout d ⩾ 1 (la notation [f]_d est définie dans l'introduction du sujet).
(18) On suppose qu'il existe s > 0 et α ∈ ]0, 1[ tels que F^(s) ⩽ αs. Montrer alors que pour tout d ⩾ 2, [G]_d ˆ((1 − α)s) ⩽ αs. Conclure que
G^((1 − α)s) ⩽ αs.
Toute la suite du sujet est consacrée au problème de linéarisation qui consiste, étant donné une série f ∈ O_1, à trouver une série h ∈ O_1 pour laquelle h^† ∘ f ∘ h = (f)_1 z.

E Linéarisation formelle

On pose λ = (f)_1 et on note f = λz + F, avec F ∈ O_2. On suppose que λ ≠ 0 et que λ n'est pas une racine complexe de l'unité, c'est-à-dire que λ^n ≠ 1 pour tout entier n ⩾ 1, et on se propose de montrer qu'il existe une unique série entière de la forme h = I + H, H ∈ O_2 vérifiant h^† ∘ f ∘ h = λz. On étudiera le rayon de convergence de h dans les parties suivantes.
(19) Montrer qu'il existe une unique série H ∈ O_2 telle que H ∘ (λI) − λH = F ∘ (I + H).
(20) Conclure.

F Linéarisation, cas hyperbolique

On suppose ici que |λ| ∉ {0, 1} et que ρ(f) > 0. On se propose de montrer sous ces hypothèses que les séries entières h et H de la partie précédente ont un rayon de convergence strictement positif.
(21) Montrer qu'il existe ω > 0 tel que |λ^m − λ| ⩾ ω pour tout entier m ⩾ 2.
(22) Montrer que la série H vérifie H^≺1/ωF^ ∘ (I + H^).
(23) Conclure.

G Linéarisation, cas elliptique

On étudie maintenant le problème de linéarisation dans le cas |λ| = 1. On suppose de plus que λ n'est pas une racine de l'unité, de sorte que la suite
ω_k:=|λ^k − λ|, k ⩾ 2
est strictement positive. Contrairement au cas de la partie précédente, elle n'est toutefois pas minorée par un réel strictement positif (fait qui pourra être utilisé sans vérification dans la suite), ce qui nous amène à utiliser une méthode différente pour étudier le rayon de convergence de la série entière h de la partie E . On pose, pour m ⩾ 1,
α_m:=min(1/5, ω_(m + 1), ω_(m + 2), …, ω_(2m)), γ_m:=α_m^(2/m),
de sorte que α_m ∈ ]0, 1/5] et γ_m ∈ ]0, 1[.
(24) On se donne une série F ∈ O_(m + 1), m ⩾ 1 telle que ρ(F) > 0. Montrer qu'il existe r_0 ∈ ]0, 1[ tel que F^(r) ⩽ r pour tout r ∈ [0, r_0]. Montrer alors, pour γ ∈ ]0, 1[, que
F^(r) ⩽ γ^m r
pour tout r ∈ [0, γr_0].
(25) Toujours pour F ∈ O_(m + 1), m ⩾ 1, on pose
P:=∑_(k = m + 1)^(2m)((F)_k)/(λ^k − λ)z^k ∈ O_(m + 1), R:=(I + P)^† − I
Montrer que P ∘ (λI) − λP − F ∈ O_(2m + 1) et que R + P ∈ O_(2m + 1). Montrer que P^(r) ⩽ α_m r pour tout r ∈ [0, γ_m r_0], et que
R^(r) ⩽ (α_m)/(1 − α_m)r
pour tout r ∈ [0, (1 − α_m)γ_m r_0].
(26) Pour F ∈ O_(m + 1), m ⩾ 1, montrer que
G:=(I + P)^† ∘ (λI + F) ∘ (I + P) − λI = (I + R) ∘ (λI + F) ∘ (I + P) − λI
vérifie G ∈ O_(2m + 1).
(27) Montrer que
G^(r) ⩽ (α_m + (1 + α_m)α_m^2 + (α_m(1 + α_m)(1 + α_m^2))/(1 − α_m))r ⩽ r
pour tout r tel que
0 ⩽ r ⩽ (1 − α_m)/((1 + α_m)(1 + α_m^2))γ_m r_0
(28) On considère une série entière f = λI + F avec F ∈ O_2, ρ(F) > 0. On suppose encore que λ est de module 1 et n'est pas une racine de l'unité. On considère le réel r_0 > 0 donné par la question (24) (appliquée pour m = 1 ) et la suite r_k définie par récurrence à partir de r_0 par la relation
r_(k + 1) = (1 − α_(2^k))(1 + α_(2^k)^2)^(− 1)(1 + α_(2^k))^(− 1)γ_(2^k)r_k
Montrer qu'il existe des suites F_k et P_k d'éléments de O_2, définies pour k ⩾ 0, telles que F_0 = F et, pour tout k ⩾ 0,
λI + F_(k + 1) = (I + P_k)^† ∘ (λI + F_k) ∘ (I + P_k),; F_k ∈ O_(1 + 2^k), P_k ˆ ∈ O_(1 + 2^k),; F_k ˆ(r_k) ⩽ r_k, P_k ˆ(r_(k + 1)) ⩽ r_k − r_(k + 1).
(29) On pose r_∞:=limr_k et
h_k:=(I + P_0) ∘ (I + P_1) ∘ ⋯ ∘ (I + P_(k − 1)).
Expliquer pourquoi r_∞ est bien définie, et montrer que h^_k(r_k) ⩽ r_0 pour tout k ⩾ 1. Déduire que la série h de la question E vérifie h^(r_∞) ⩽ r_0, donc que ρ(h) ⩾ r_∞.

Fin des questions.

Le nombre r_∞/r_0 ne dépend que de λ. On peut montrer qu'il est strictement positif pour de nombreux complexes λ de module 1 , on a alors ρ(h) > 0.
Fin du sujet.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Math C inter-ENS MP 2022 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Math C inter-ENS MP 2022 ?

Le sujet porte sur les séries entières complexes : rayon de convergence, composition de séries, série réciproque et problème de linéarisation.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve Math C inter-ENS MP 2022 ?

Le jury signale des justifications de convergence absentes, une confusion entre inégalités larges et strictes, et une distinction insuffisante entre séries formelles et séries convergentes.

L'épreuve Math C inter-ENS MP 2022 est-elle difficile ?

Le rapport la décrit comme longue et spécifique, avec une moyenne de 9,79/20 et aucune copie n'ayant résolu entièrement le sujet.

Quelles écoles partagent l'épreuve Math C inter-ENS MP 2022 ?

L'épreuve est commune aux ENS Lyon, Paris-Saclay, Rennes et Ulm, avec des coefficients différents selon l'école et la filière.

Pas de description pour le moment