Le problème étudie la norme d'opérateur d'une matrice carrée dont les coefficients sont des variables aléatoires sous-gaussiennes indépendantes. Il combine algèbre linéaire (norme d'opérateur, matrices symétriques), analyse et topologie élémentaire (compacité, recouvrements de la sphère unité) et probabilités discrètes (inégalité de Markov, indépendance) pour majorer la probabilité que cette norme soit grande.

1A. Norme d'opérateur d'une matriceExistence et propriétés de la norme d'opérateur, cas des matrices symétriques, étude de la matrice Jn et matrices à coefficients bornés par 1 (questions 1 à 7).
2B. Variables aléatoires sous-gaussiennesMajoration de ch(t), inégalité de convexité, stabilité par combinaison de variables indépendantes et inégalités de concentration (questions 8 à 14).
3C. Recouvrements de la sphèreRecouvrement fini d'un compact par des boules, parties ε-séparées et majoration de leur cardinal par un argument de volume (questions 15 à 18).
4D. Norme d'une matrice aléatoireSynthèse des parties précédentes pour majorer la probabilité que la norme d'opérateur dépasse 2r√n (questions 19 et 20).

Difficulté moyenne. Le jury estime la longueur et la difficulté du sujet adaptées au niveau moyen des candidats, avec un bon étalement des notes.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Compacité et existence d'un maximum · Axiomes d'une norme incomplets · Matrice symétrique sans base orthonormée

Le jury juge le sujet réussi : abordable, classant et aboutissant à un résultat significatif. Les questions de probabilités, nouvelles au programme, ont été traitées aussi bien que les autres. Les justifications des calculs et des raisonnements restent en revanche nettement perfectibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Compacité et existence d'un maximumQuestion 1
Les arguments fermé, borné, dimension finie sont oubliés, tout comme la continuité de x ↦ ‖Mx‖ avant d'invoquer la compacité.
« Notons que cela n’a guère de sens de parler du maximum d’une fonction vectorielle (donc non numérique) sur un compact. »
2
Axiomes d'une norme incompletsQuestion 2
Les quatre propriétés ne sont pas toutes établies et le caractère défini est affirmé plus que démontré.
« La positivité était souvent oubliée »
3
Matrice symétrique sans base orthonorméeQuestion 3
Le raisonnement exige de se placer dans une base orthonormée de vecteurs propres, et de vérifier que l'image de la sphère par une matrice orthogonale est toute la sphère.
« il était essentiel de mentionner le fait qu’une telle matrice est diagonalisable dans une base orthonormée »
4
Diagonalisation de Jn trop lourdeQuestion 4
Le rang égal à 1, le théorème du rang et la trace suffisaient, sans polynôme caractéristique. Beaucoup n'ont pas donné les sous-espaces propres.
« de nombreux candidats n’ont même pas donné les sous-espaces propres associés. »
5
Inégalités faussesQuestion 6
Des démonstrations utilisent des égalités valables seulement pour une matrice symétrique, alors que l'inégalité de Cauchy-Schwarz suffisait.
6
Raisonnement par l'absurde viciéQuestion 15
Modifier l'ensemble fini en cours de raisonnement ne produit aucune contradiction : le résultat demandé n'est pas démontré.
« Et surtout, on n’a absolument pas prouvé le résultat demandé. »

Ce qui a été bien réussi

Les probabilités ont été traitées aussi valablement que les autres parties du programme.
La question 8 d'analyse a généralement été bien traitée.
La question 14 a souvent été traitée correctement, tout comme la question 18 par un grand nombre de candidats.
Un nombre conséquent de candidats a réussi la question 19, et certains ont traité le sujet en entier.

Conseils du jury

Justifier chaque étape de calcul : existence d'une espérance, croissance et linéarité de l'espérance, indépendance.
Préférer les arguments courts (rang, trace, symétrie) aux calculs lourds.
Préciser pourquoi un volume de réunion est la somme des volumes : les boules sont deux à deux disjointes.
Réutiliser explicitement les résultats des questions précédentes dans les questions de synthèse.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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CONCOURS 2015

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP.L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Norme d'une matrice aléatoire

L'objectif de ce problème est d'étudier une inégalité de concentration pour la norme opérationnelle d'une matrice aléatoire dont les coefficients sont mutuellement indépendants et «uniformément sous-gaussiens».

Soit

n

un entier strictement positif. On identifie

ℝ^n

à l'espace

ℳ_(n, 1)(ℝ)

des vecteurs colonnes à

n

coordonnées réelles. Pour tout

x = ^t(x_1, \dots, x_n)

dans

ℝ^n

on note :

‖x‖ = \sqrt(\sum_(i = 1)^n(x_i)^2⎷)

La sphère unité de

ℝ^n

est notée

S^(n − 1) = {x ∈ ℝ^n, ‖x‖ = 1}

. On identifie une matrice carrée

M \in ℳ_n(ℝ)

à l'endomorphisme de

ℝ^n

canoniquement associé et on note

σ(M)

l'ensemble de ses valeurs propres réelles.

Les parties $A, B$ et $C$ sont mutuellement indépendantes.

A. Norme d'opérateur d'une matrice

Soit

M \in ℳ_n(ℝ)

Montrer que $S^(n - 1)$ est un compact de $ℝ^n$ et en déduire l'existence de:

‖M‖_(op) = max{‖Mx‖; x ∈ S^(n − 1)}.

Montrer que l'application qui à $M \in ℳ_n(ℝ)$ associe $‖M‖_(op)$ est une norme sur $ℳ_n(ℝ)$ . Montrer en outre que pour tous $x$ et $y$ dans $ℝ^n$ , on a l'inégalité $‖Mx - My‖ ⩽ ‖M‖_(op)‖x - y‖$ .
Si $M$ est symétrique, établir l'égalité $‖M‖_(op) = max{|λ|; λ ∈ σ(M)}$ . On pourra commencer par le cas où $M$ est diagonale.
On note $J_n$ la matrice de $ℳ_n(ℝ)$ dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $J_n$ en précisant la dimension des espaces propres. En déduire la valeur de $‖J_n‖_(op)$ .
Soit $M = (M_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in ℳ_n(ℝ)$ .
Démontrer l'inégalité $‖M‖_(op) ⩾ max{|M_(i, j)|; 1 ⩽ i, j ⩽ n}$ .
Etablir que :

‖M‖_(op) ⩽ \sqrt(\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n(M_(i, j))^2⎷)

et donner une condition nécessaire et suffisante sur le rang de

M

pour que cette inégalité soit une égalité.

On note

Σ_n

l'ensemble des matrices

M = (M_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

ℳ_n(ℝ)

telles que

|M_(i, j)| ⩽ 1

pour tous

i, j

dans

{1, \dots, n}

.
7) Montrer que pour tout

M \in Σ_n, ‖M‖_(op) ⩽ n

. Caractériser et dénombrer les matrices

M

Σ_n

pour lesquelles

‖M‖_(op) = n

B. Variables aléatoires sous-gaussiennes

Dans toute la suite du problème, toutes les variables aléatoires considérées sont réelles et discrètes, définies sur un espace probabilisé (

Ω, 𝒜, P

) . Soit

α > 0

. On dit que la variable aléatoire

X

est

α

-sous-gaussienne si :

\forallt \in ℝ, E(exp(tX)) ⩽ exp((α^2 t^2)/2)

On rappelle la notation :

ch(t) = (exp(t) + exp(- t))/2

.
8) Montrer que pour tout

t \in ℝ

, on a

ch(t) ⩽ exp((t^2)/2)

. On pourra au préalable établir le développement de la fonction ch en série entière sur

ℝ

.
9) Soit

t \in ℝ

. Démontrer que si

x \in [ - 1, 1]

, on a l'inégalité de convexité :

exp(tx) ⩽ (1 + x)/2exp(t) + (1 - x)/2exp(- t)

Soit $X$ une variable aléatoire réelle bornée par 1 et centrée. Montrer que $X$ est 1-sous-gaussienne. En déduire que, si $X$ est une variable aléatoire bornée par $α > 0$ et centrée, alors elle est $α$ -sous-gaussienne.
Soit $X_1, \dots, X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes et $α$ -sous-gaussiennes, et $μ_1, \dots, μ_n$ des nombres réels tels que $\sum_(i = 1)^n(μ_i)^2 = 1$ . Montrer que la variable aléatoire $\sum_(i = 1)^n μ_i X_i$ est $α$ -sous-gaussienne.
Soit $X$ une variable aléatoire $α$ -sous-gaussienne et $λ > 0$ . Montrer que pour tout $t > 0$ :

P(X ⩾ λ) ⩽ exp((α^2 t^2)/2 - tλ)

En déduire que :

P(|X| ⩾ λ) ⩽ 2exp(- (λ^2)/(2α^2)).

Dans la suite du problème, on admet qu'une variable aléatoire

X

à valeurs dans

ℕ

est d'espérance finie si et seulement si la série

\sumP(X ⩾ k)

converge et que, dans ce cas :

E(X) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)P(X ⩾ k).

Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $ℝ^+$ , montrer que $X$ est d'espérance finie si et seulement si la série de terme général $P(X ⩾ k)$ converge et que, dans ce cas :

\sum_(k = 1)^(+ \infty)P(X ⩾ k) ⩽ E(X) ⩽ 1 + \sum_(k = 1)^(+ \infty)P(X ⩾ k)

On pourra pour cela considérer la partie entière

⌊X⌋

.
Pour tout

s \in ]1, + \infty[

, on note

ζ(s) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)k^(- s)

.
14) Soit

X

une variable aléatoire

α

-sous-gaussienne et

β > 0

. Montrer que pout tout entier

k > 0

P(exp((β^2 X^2)/2) ⩾ k) ⩽ 2k^(- η)

où on a posé

η = α^(- 2)β^(- 2)

. En déduire que si

αβ < 1

, la variable aléatoire

exp((β^2 X^2)/2)

est d'espérance finie majorée par

1 + 2ζ(η)

.
En particulier, en prenant

αβ = 1/(\sqrt2)

et en utilisant l'inégalité

1 + 2ζ(2) ⩽ 5

(que l'on ne demande pas de justifier), on obtient immédiatement, et on l'admet, que si

X

est une variable aléatoire

α

-sous-gaussienne, on a l'inégalité d'Orlicz:

E(exp((X^2)/(4α^2))) ⩽ 5

C. Recouvrements de la sphère

a \in ℝ^n

, on note

B_(a, r) = {x ∈ ℝ^n; ‖x − a‖ ⩽ r}

la boule fermée de centre

a

et de rayon

r

. Soit

K

une partie compacte non vide de

ℝ^n

, et soit

ε > 0

.
15) Montrer que l'on peut trouver un sous-ensemble fini

A

K

tel que :

K \subset ⋃_(a \in A)B_(a, ε/2)

On pourra raisonner par l'absurde en utilisant le théorème de BolzanoWeierstrass.
16) Soit

Λ

un sous-ensemble de

K

tel que pour tous

x, y

distincts dans

Λ

‖x - y‖ > ε

. Montrer que

Λ

est fini et que son cardinal est majoré par celui d'un ensemble

A

du type considéré à la question précédente. Si de plus

Λ

est de cardinal maximal, montrer que :

K \subset ⋃_(a \in Λ)B_(a, ε)

On admet l'existence d'une fonction

μ

, appelée volume, définie sur l'ensemble des parties compactes de

ℝ^n

et vérifiant les propriétés suivantes.
(i) Pour tout vecteur

a

ℝ^n

et tout nombre réel

r > 0, μ(B_(a, r)) = r^n

.
(ii) Pour toute famille finie

K_1, \dots, K_m

de compacts de

ℝ^n

deux à deux disjoints, on a:

μ(⋃_(i = 1)^m K_i) = \sum_(i = 1)^m μ(K_i).

(iii) Pour tous compacts

K, K^'

ℝ^n, K \subset K^'

implique

μ(K) ⩽ μ(K^')

Soit

Λ

une partie finie de

S^(n - 1)

telle que pour tous

x, y

distincts dans

Λ, ‖x - y‖ > ε

.
17) Vérifier que les boules

B_(a, ε/2)

pour

a \in Λ

sont toutes contenues dans

B_(0, 1 + ε/2)

. Montrer alors que le cardinal de

Λ

est majoré par

((2 + ε)/ε)^n

.
18) Justifier l'existence d'une partie finie

Λ_n

S^(n - 1)

, de cardinal majoré par

5^n

, et telle que :

S^(n - 1) \subset ⋃_(a \in Λ_n)B_(a, 1/2)

D. Norme d'une matrice aléatoire

On fixe un nombre réel

α > 0

et on pose

γ = 1/(4α^2)

.
Soit

n

un entier strictement positif. On définit une famille de variables aléatoires réelles

M_(i, j)^((n))

, indexées par

i, j \in {1, 2, \dots, n}

, mutuellement indépendantes et

α

-sous-gaussiennes. On note

M^((n))

la matrice aléatoire

(M_(i, j)^((n)))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

x \in S^(n - 1)

, on note

y = M^((n))x

qui est ainsi un vecteur aléatoire dont les composantes

y_1, \dots, y_n

sont des variables aléatoires réelles.
19) Montrer que pour tout

i \in {1, \dots, n}

, la variable aléatoire

y_i

est

α

-sousgaussienne. En déduire que

E(exp(γ‖y‖^2)) ⩽ 5^n

et que pour tout réel

r > 0

P(‖y‖ ⩾ r\sqrtn) ⩽ (5e^(- γr^2))^n

Soit $Λ_n$ une partie de $S^(n - 1)$ vérifiant les conditions de la question 18). Pour tout réel $r > 0$ , montrer que $‖M^((n))‖_(op) ⩾ 2r\sqrtn$ implique l'existence d'un $a \in Λ_n$ tel que $‖M^((n))a‖ ⩾ r\sqrtn$ . En déduire que :

P(‖M^((n))‖_(op) ⩾ 2r\sqrtn) ⩽ (25e^(- γr^2))^n

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines MP 2015 ?

Sur la norme d'opérateur d'une matrice aléatoire dont les coefficients sont des variables sous-gaussiennes indépendantes. Il mêle algèbre linéaire, topologie élémentaire, analyse et probabilités.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths 2 Mines MP 2015 ?

La compacité en dimension finie, les normes, la réduction des matrices symétriques réelles, les séries entières, la convexité et les variables aléatoires discrètes avec l'inégalité de Markov et l'indépendance.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 Mines MP 2015 ?

Des justifications insuffisantes : compacité mal établie, axiomes de norme incomplets, oubli de la base orthonormée pour les matrices symétriques, inégalités fausses et raisonnements par l'absurde qui ne démontrent rien.

Le sujet de maths 2 Mines MP 2015 est-il difficile ?

Selon le rapport, sa longueur et sa difficulté étaient adaptées au niveau moyen des candidats, et certains l'ont traité en entier.

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SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Norme d'une matrice aléatoire

Les parties A, B et C sont mutuellement indépendantes.

A. Norme d'opérateur d'une matrice

B. Variables aléatoires sous-gaussiennes

C. Recouvrements de la sphère

D. Norme d'une matrice aléatoire

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines MP 2015 ?

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths 2 Mines MP 2015 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 Mines MP 2015 ?

Le sujet de maths 2 Mines MP 2015 est-il difficile ?

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Les parties $A, B$ et $C$ sont mutuellement indépendantes.