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Mines Mathématiques 1 MP 2015Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Opérateur de Volterra et équations différentielles de type Sturm-Liouville, avec le théorème d'approximation de Weierstrass
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Le problème étudie un opérateur de Volterra sur les fonctions continues pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre dont les conditions portent sur y en un point et sur y' en un autre (problème de Sturm-Liouville). Il démontre en chemin le théorème de Weierstrass par une méthode probabiliste, développe l'opérateur en série trigonométrique, puis donne des conditions d'existence des solutions.

  1. 1Partie A : opérateur de VolterraAdjoint de l'opérateur, caractère symétrique défini positif de V*∘V et détermination de ses valeurs propres par une équation différentielle.
  2. 2Partie B : théorème d'approximation de WeierstrassLoi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et convergence uniforme des polynômes de Bernstein.
  3. 3Partie C : développement en série trigonométriqueFamille orthonormée des cosinus, caractère total, projections orthogonales et développement de V*∘V(f).
  4. 4Partie D : équations de type Sturm-LiouvilleCaractérisation des solutions par leurs coefficients, série normalement convergente et cas d'une infinité de solutions.

Difficile. Selon le jury, la première partie était abordable mais la difficulté croissait ensuite, et le passage de topologie n'a été traité correctement que par de très rares candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Raisonner comme en dimension finie · Invoquer le théorème de Cauchy hors de propos · Raisonnement par découpage inabouti
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Le problème couvre largement le programme de MP : algèbre euclidienne, équations différentielles, probabilités, topologie et séries de fonctions. La première partie, fondée sur des notions de base d'intégration et d'équations différentielles, a bien départagé les candidats. Le jury estime que l'épreuve a correctement classé les candidats, surtout la première moitié.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Raisonner comme en dimension finieQuestion 2

    Pour le signe des valeurs propres, diagonaliser V*∘V à l'aide d'une matrice n'a pas de sens dans cet espace de fonctions.

    « Le problème, c’est que l’espace vectoriel E est de dimension infinie. »
  2. 2
    Invoquer le théorème de Cauchy hors de proposQuestions 3 et 16

    Les conditions portent sur deux points distincts : le théorème d'existence et d'unicité du problème de Cauchy ne s'applique pas. La question 16 montre d'ailleurs un cas avec une infinité de solutions.

    « Il ne fallait surtout pas invoquer l’existence et l’unicité de la solution d’un problème de Cauchy »
  3. 3
    Raisonnement par découpage inaboutiQuestion 7

    La convergence uniforme des polynômes de Bernstein a été très classante, avec une fin de rédaction souvent trop rapide.

    « il y avait un tiers environ des candidats capables jusqu’au bout de mener ce raisonnement par découpe »
  4. 4
    Orthogonalité oubliée et caractère total affirméQuestion 9

    L'orthogonalité de la suite n'est pas vérifiée, et le caractère total est présenté comme conséquence immédiate de la question 8, ce qui ne rapporte aucun point.

  5. 5
    Deux normes mal géréesQuestion 10

    La question, très peu réussie, demandait de manier simultanément deux normes sur le même espace.

  6. 6
    Calculs mal organisésQuestion 11

    Des calculs interminables et rarement achevés pour une question dont le résultat était donné.

    « Rappelons que savoir mener intelligemment un calcul en l'organisant de manière optimale est une compétence attendue »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 4 est plutôt bien réussie, même si la réciproque manque souvent.
  • La loi de S_n (question 5) et l'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (question 6) posent peu de problèmes.
  • Les raisonnements par récurrence de la question 8 sont en général rédigés avec précision.
  • La question 13 est traitée par de très nombreux candidats, la plupart en réutilisant la question 4.
  • La question ouverte 16, rarement abordée, est le plus souvent réussie par ceux qui s'y sont essayés.

Conseils du jury

  • Lire tout le sujet au calme avant de commencer pour assimiler les notations.
  • Quand le résultat est donné, citer précisément les théorèmes et les numéros des questions utilisées, sans sauter d'étape.
  • Séparer clairement sens direct et réciproque plutôt que de raisonner par équivalences.
  • Construire chaque démonstration au brouillon avant de la recopier.
  • Indiquer nettement qu'on admet le résultat d'une question non traitée pour continuer.
  • Écrire lisiblement et encadrer les résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2015

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Opérateur de Volterra et équations différentielles

L'objectif de ce problème est l'étude d'un opérateur de Volterra appliqué notamment à la résolution de certaines équations différentielles.
On considère l'espace vectoriel E des fonctions réelles définies et continues sur l'intervalle [0, π/2], muni du produit scalaire défini pour tous f, g dans E par :
⟨f, g⟩ = ∫_0^(π/2)f(t)g(t)dt
On note ‖f‖ = √(⟨f, f⟩) la norme associée à ce produit scalaire. Un endomorphisme V de l'espace E est dit symétrique défini positif si pour tous f, g dans E, on a ⟨V(f), g⟩ = ⟨f, V(g)⟩ et si de plus, ⟨V(f), f⟩ > 0 pour tout f ∈ E non nul.

Les parties A et B sont mutuellement indépendantes.

A. Opérateur de Volterra

On note V et V^∗ les endomorphismes de E défini par les formules :
V(f)(x), = ∫_0^x f(t)dt; V^∗(f)(x), = ∫_x^(π/2)f(t)dt
pour tous f ∈ E et x ∈ [0, π/2].
  1. En observant que V(f) et − V^∗(f) sont des primitives de f, montrer que pour tous f, g dans E, on a ⟨V(f), g⟩ = ⟨f, V^∗(g)⟩.
  2. Montrer que l'endomorphisme V^∗ ∘ V est symétrique défini positif. En déduire que ses valeurs propres sont strictement positives.
Soit λ une valeur propre de V^∗ ∘ V et f_λ un vecteur propre associé à λ.
3) Montrer que f_λ est de classe C^2 et est solution de l'équation différentielle: y^(′′) + 1/λy = 0 avec les conditions y(π/2) = 0 et y^′(0) = 0.
4) En déduire que λ est une valeur propre de V^∗ ∘ V si et seulement s'il existe n ∈ ℕ tel que λ = 1/((2n + 1)^2). Préciser alors les vecteurs propres associés.

B. Théorème d'approximation de Weierstrass

Soit n un entier strictement positif, x ∈ [0, 1] et f : [0, 1] → ℝ une fonction continue. On note X_1, X_2, …, X_n des variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées selon la loi de Bernoulli de paramètre x. On note également S_n = X_1 + X_2 + … + X_n, Z_n = (S_n)/n et B_n(f)(x) = E(f(Z_n)).
5) Rappeler, sans démonstration, la loi de S_n. En déduire, avec démonstration, les valeurs de l'espérance et de la variance de S_n en fonction de n et de x.
6) En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout α > 0 :
∑_(0 ⩽ k ⩽ n; |k/n − x| ⩾ α)(n/k)x^k(1 − x)^(n − k) ⩽ 1/(4nα^2)
  1. Montrer que :
B_n(f)(x) − f(x) = ∑_(k = 0)^n(n/k)x^k(1 − x)^(n − k)(f(k/n) − f(x))
et en déduire que la suite (B_n(f))_(n ∈ ℕ) converge uniformément vers f sur [0, 1]. On pourra utiliser le résultat de la question précédente ainsi que le théorème de Heine.
On a donc établi le théorème d'approximation de Weierstrass sur le segment [0, 1] : toute fonction continue sur [0, 1] y est limite uniforme d'une suite de polynômes. On en déduit aisément, et on l'admet, le théorème d'approximation de Weierstrass sur un segment quelconque [a, b].

C. Développement de V^∗ ∘ V(f) en série trigonométrique

On considère maintenant l'espace vectoriel G des fonctions réelles définies et continues sur l'intervalle [0, π], muni du produit scalaire défini pour tous f, g dans G par :
⟨f, g⟩_G = ∫_0^π f(t)g(t)dt
On note ‖f‖_G = √(⟨f, f⟩_G) la norme associée à ce produit scalaire.
Pour n ∈ ℕ, on définit la fonction c_n ∈ G par la formule c_n(t) = cos(nt) et on note F_n = Vect(c_0, c_1, …, c_n) le sous-espace vectoriel de G engendré par {c_0, c_1, …, c_n}. On note également P_(F_n) la projection orthogonale de G sur F_n.
8) Montrer que si p est un polynôme de degré n ∈ ℕ, la fonction t ↦ p(cos(t)) définie sur [0, π] appartient à F_n.
9) Trouver une suite (α_n)_(n ∈ ℕ) de nombres réels strictement positifs telle que la suite (α_n c_n)_(n ∈ ℕ) soit orthonormée. Déduire du théorème d'approximation de Weierstrass que la suite orthonormée (α_n c_n)_(n ∈ ℕ) est totale.
10) Soit f ∈ G. Démontrer que ‖f − P_(F_n)(f)‖_G tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Si, de plus, la suite (P_(F_n)(f))_(n ∈ ℕ) converge uniformément sur [0, π] vers une fonction g, montrer que g = f.
Pour tout x ∈ [0, π/2], on définit la fonction g_x sur [0, π] par la formule :
g_x(t) = {π/2 − max(x, t), si 0 ⩽ t ⩽ π/2; − g_x(π − t), si π/2 ⩽ t ⩽ π
  1. Soit n ∈ ℕ. Déterminer les coordonnées de P_(F_n)(g_x) sur la base (c_0, c_1, …, c_n) de F_n. En déduire que pour tout t ∈ [0, π/2] :
π/2 − max(x, t) = 4/π∑_(n = 0)^(+ ∞)(cos((2n + 1)x))/((2n + 1)^2)cos((2n + 1)t)
  1. Montrer que pour tous f ∈ E et x ∈ [0, π/2] :
V^∗ ∘ V(f)(x) = ∫_0^(π/2)(π/2 − max(x, t))f(t)dt
et en déduire la suite des coefficients (a_n(f))_(n ∈ ℕ) pour laquelle on a:
V^∗ ∘ V(f)(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n(f)cos((2n + 1)x)

D. Équations différentielles du type Sturm-Liouville

Soit h ∈ E, λ ∈ ℝ et l'équation différentielle:
S{y^(′′) + λy + h = 0; y(π/2) = 0 et y^′(0) = 0
On définit φ_n ∈ E pour tout n ∈ ℕ par la formule φ_n(t) = 2/(√π)cos((2n + 1)t).
13) Montrer que pour tous f ∈ E et n ∈ ℕ, ⟨V^∗ ∘ V(f), φ_n⟩ = 1/((2n + 1)^2)⟨f, φ_n⟩.
14) Montrer que g est solution de l'équation différentielle S si et seulement si g = λ ⋅ V^∗ ∘ V(g) + V^∗ ∘ V(h) et que dans ce cas, on a les formules suivantes pour tout n ∈ ℕ :
(1 − λ/((2n + 1)^2))⟨g, φ_n⟩ = 1/((2n + 1)^2)⟨h, φ_n⟩
et
g = ∑_(n = 0)^(+ ∞)⟨g, φ_n⟩φ_n
  1. On suppose dans cette question que λ n'est pas égal au carré d'un entier impair. Montrer que la série :
∑1/((2n + 1)^2 − λ)⟨h, φ_n⟩φ_n
est normalement convergente. Exhiber alors une solution de S.
On suppose maintenant qu'il existe p ∈ ℕ tel que λ = (2p + 1)^2.
16) Montrer que si ⟨h, φ_p⟩ = 0 alors S a une infinité de solutions, puis exhiber l'une d'entre elles. Que peut-on dire si ⟨h, φ_p⟩ ≠ 0 ?
Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines-Ponts MP 2015 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines-Ponts MP 2015 ?

Sur un opérateur de Volterra et la résolution d'équations différentielles de type Sturm-Liouville, avec une démonstration probabiliste du théorème de Weierstrass et un développement en série trigonométrique.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines MP 2015 ?

Des raisonnements matriciels dans un espace de dimension infinie, l'usage injustifié du théorème de Cauchy, l'orthogonalité non vérifiée, des calculs mal organisés et des réciproques oubliées.

Le sujet Mines maths 1 MP 2015 est-il difficile ?

La première partie est jugée abordable par tout élève sérieux, puis la difficulté augmente. Le passage faisant intervenir la topologie n'a été correctement traité que par de très rares candidats.

Comment bien rédiger à l'épreuve de maths Mines MP selon le rapport 2015 ?

Chercher au brouillon, citer précisément les théorèmes et les questions utilisées, séparer sens direct et réciproque, et signaler honnêtement les résultats admis.

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