Mines Mathématiques 1 MP 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Étude de deux endomorphismes d'un espace de fonctions de classe C∞ : continuité, inversibilité et éléments propres

Le sujet étudie deux endomorphismes u et v de l'espace des fonctions de classe C∞ sur un segment, définis par des intégrales faisant intervenir sin t. Après des préliminaires sur les intégrales de Wallis, il examine leur continuité pour deux normes, montre qu'ils sont inverses l'un de l'autre grâce à la densité des polynômes, puis détermine leurs valeurs propres et vecteurs propres.

1Partie A : préliminairesSous-espaces vectoriels, intégrales à paramètre définissant u et v, stabilité des polynômes et intégrales de Wallis.
2Partie B : étude de la continuité de u et vContinuité d'applications linéaires pour la norme infinie et pour une seconde norme, équivalence des normes et densité des polynômes via le théorème de Weierstrass.
3Partie C : étude de l'inversibilité de u et vCalcul des composées u∘v et v∘u sur les polynômes puis sur tout l'espace, applications à un calcul explicite et à la parité.
4Partie D : étude des valeurs et vecteurs propres de u et vLien entre les valeurs propres de u et v, stabilité des fonctions développables en série entière, puis détermination complète des éléments propres.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un début particulièrement simple et classique, un problème de longueur raisonnable, mais quelques questions de topologie redoutables pour le candidat moyen.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Condition non vide oubliée · Théorème de Leibniz appliqué laborieusement · Inégalité stricte après intégration

Le début simple et classique du sujet a permis de bien classer l'ensemble des candidats, tandis que quelques questions de topologie ont permis aux meilleurs de faire la différence. Le jury note une dégradation de la présentation des copies. La question ouverte 10 s'est révélée très bloquante pour la suite.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Condition non vide oubliéeQ1
Pour montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel, quelques copies oublient de vérifier qu'elle est non vide.
2
Théorème de Leibniz appliqué laborieusementQ2
Beaucoup oublient de vérifier que x sin t reste dans l'intervalle, appliquent le théorème de façon incomplète et négligent la linéarité.
3
Inégalité stricte après intégrationQ5
La décroissance stricte des intégrales de Wallis est presque toujours mal traitée : l'hypothèse de continuité est oubliée.
« l'intégration d'une inégalité, même stricte, ne donne qu'une inégalité large »
4
Continuité d'une application linéaireQ6
Partir de la définition générale de la continuité est maladroit pour une application dont on vient de montrer la linéarité.
5
Question ouverte traitée trop viteQ10
Il suffisait d'utiliser la linéarité pour se ramener à une base. Ceux qui n'ont pas vu que u∘v est l'identité ont été bloqués pour la suite.
6
Réponse négative conjecturée par réflexeQ7, Q16
Certains supposent qu'une question ouverte appelle toujours la réponse non : cela fonctionnait pour la question 7, pas pour la question 16.
« cela marchait pour la question 7, pas pour la question 16 »

Ce qui a été bien réussi

La question 1 a été très généralement traitée.
La question 3 a été bien traitée dans la grande majorité des copies.
La question 8 a été mieux réussie que les précédentes questions de topologie.
Le théorème de Weierstrass a été assez souvent cité à la question 9.

Conseils du jury

Utiliser le brouillon et rendre une copie lisible : une réponse illisible vaut zéro.
Suivre l'énoncé plutôt que réciter des résultats de mémoire non demandés.
Ne pas faire l'impasse sur la topologie et travailler les techniques de calcul.
Prendre le temps sur une question ouverte dont la réponse conditionne la suite.
S'entraîner à traiter un problème dans sa globalité plutôt que comme une suite d'exercices.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : $3$ heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 3 pages de texte.

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude d'un endormorphisme d'un espace de fonctions numériques

Soit

I

un intervalle de la forme

[ - a, a]

où

a

est un réel strictement positif. Dans tout le problème, on considère les ensembles suivants :

$E$ le $ℂ$ -espace vectoriel constitué des applications de $I$ dans $ℂ$ de classe $C^\infty$ ;
$D$ la partie de $E$ constituée de ses éléments développables en série entière sur un voisinage de 0 ;
$P$ la partie de $E$ constituée de ses éléments polynomiaux.

Pour tout

n \in ℕ

, on note

W_n = \int_0^(π/2)(sint)^n dt

et si

f \in E

, on note

u(f)

v(f)

les applications de

I

dans

ℂ

définies par les formules :

(∀x ∈ I) {u(f)(x) = 2/π∫_0^(π/2)f(xsint)dt; v(f)(x) = f(0) + x∫_0^(π/2)f^′(xsint)dt

Les candidats devront justifier leurs affirmations.

A Préliminaires

Justifier que $P$ et $D$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ .
Montrer que si $f \in E, u(f)$ et $v(f)$ sont bien définies et appartiennent à $E$ , et que l'on définit ainsi des endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ .
Montrer que $P$ est stable par $u$ et par $v$ .
Établir pour $n \in ℕ$ une relation simple entre $W_(n + 2)$ et $W_n$ . En déduire que pour tout $n \in ℕ$ ,

W_n W_(n + 1) = π/(2(n + 1))

Montrer que la suite $(W_n)_(n \in ℕ)$ est strictement décroissante. Déterminer sa limite et donner un équivalent de cette suite.

B Étude de la continuité de $u$ et $v$

On considère la norme

M

E

définie pour tout

f \in E

par la formule

M(f) = max_(x \in I)|f(x)|.

Vérifier que $M$ est bien définie et montrer que $u$ est une application continue de l'espace vectoriel normé ( $E, M$ ) dans lui-même.
L'application $v$ est-elle continue de ( $E, M$ ) dans lui-même ?
Vérifier que l'application $N : E \to ℝ$ définie par $N(f) = M(f) + M(f^')$ est une norme sur $E$ , et montrer que $v$ est continue de $(E, N)$ dans $(E, M)$ . Les normes $M$ et $N$ sont-elles équivalentes?
Si $f \in E$ et $ε > 0$ , montrer qu'il existe $p \in P$ tel que $f(0) = p(0)$ et $|f^'(x) - p^'(x)| ⩽ ε$ pour tout $x \in I$ . En déduire que $P$ est dense dans l'espace vectoriel normé $(E, N)$ .

C Étude de l'inversibilité de $u$ et $v$

Déterminer les restrictions de $u \circ v$ et $v \circ u$ à $P$ .
Déterminer $(u \circ v)(f)$ pour tout $f \in E$ . Le réel 0 est-il valeur propre de l'endomorphisme $v$ ?
Déterminer également $(v \circ u)(f)$ pour tout $f \in E$ . Conclure.

Applications.

Pour tout $f \in E$ , donner une relation liant $v(f)$ et $u(f^')$ . Calculer $u(arctan^')$ à l'aide du changement de variable $z = tant$ et en déduire $u(argsh^(''))$ .
Montrer que $f \in E$ est paire (respectivement impaire) si et seulement si $u(f)$ l'est. Qu'en est-il pour $v$ ?

D Étude des valeurs et vecteurs propres de $u$ et $v$

Montrer que $λ$ est une valeur propre de $v$ si et seulement si $1/λ$ est une valeur propre de $u$ . Qu'en est-il des vecteurs propres correspondants?
Montrer que $D$ est stable par $u$ . L'est-il par $v$ ?

On considère une valeur propre

λ

u

, de vecteur propre associé

f \in E

.
17. Vérifier que si

n \in ℕ

, le nombre

m_n = max_(t \in I)|f^((n))(t)|

est bien défini, et établir que pour tout

x \in I

|λ| \cdot |f^((n))(x)| ⩽ (2m_n W_n)/π

En déduire que

f \in P

.
18. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de

u

v

.
19. L'espace vectoriel

E

admet-il une base de vecteurs propres de

u

? de

v

? L'ensemble des valeurs propres de

u

(respectivement de

v

) est-il une partie fermée de

ℂ

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 MP 2017 ?

Sur les espaces vectoriels normés (continuité, normes, densité), les intégrales à paramètre et les intégrales de Wallis, le théorème de Weierstrass et la recherche d'éléments propres d'endomorphismes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 MP 2017 ?

Une application laborieuse du théorème de Leibniz, une décroissance stricte mal justifiée, des maladresses en topologie et une question ouverte 10 mal résolue qui bloquait la suite.

Le sujet Mines Maths 1 MP 2017 était-il long ?

Le jury l'estime de longueur raisonnable : la question 16 a encore été abordée par un nombre significatif de candidats, mais les trois dernières questions ont été très peu traitées.

Faut-il maîtriser la topologie pour Mines Maths 1 MP 2017 ?

Oui : selon le jury, quelques questions de topologie, redoutables pour le candidat moyen, ont permis aux meilleurs de faire la différence.

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CONCOURS 2017

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

MATHÉMATIQUES I - MP

Abstract

Étude d'un endormorphisme d'un espace de fonctions numériques

A Préliminaires

B Étude de la continuité de u et v

C Étude de l'inversibilité de u et v

Applications.

D Étude des valeurs et vecteurs propres de u et v

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 MP 2017 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 MP 2017 ?

Le sujet Mines Maths 1 MP 2017 était-il long ?

Faut-il maîtriser la topologie pour Mines Maths 1 MP 2017 ?

Commentaires• Mines Mathématiques 1 MP 2017

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Durée de l'épreuve : $3$ heures

B Étude de la continuité de $u$ et $v$

C Étude de l'inversibilité de $u$ et $v$

D Étude des valeurs et vecteurs propres de $u$ et $v$