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Mines Physique 1 MP 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

1,0(2 votes)
  • Électrocinétique (dipôles R, L, C)
  • Induction et équation de Maxwell-Faraday
  • Conduction électrique, mobilité et loi d'Ohm locale
  • Puissance électrique
  • Mécanique quantique (équation de Schrödinger, marche de potentiel)
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Présentation du sujet

Les memristors : électrocinétique, conduction électrique et falaise de potentiel
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Le sujet étudie un composant électronique particulier, le memristor, en 29 questions. Il en dégage d'abord les caractéristiques électrocinétiques et électromagnétiques, puis modélise le memristor à film de dioxyde de titane des HP Labs, et termine par une étude quantique d'une falaise de potentiel. Plusieurs questions demandent d'interpréter des graphes fournis dans l'énoncé.

  1. 1Partie I : généralités sur les memristorsRelations fonctionnelles des dipôles, loi de Faraday, réponse du memristor à un courant sinusoïdal, puis conductivité d'un milieu conducteur en régime permanent et variable.
  2. 2Partie II : le memristor des HP LabsRésistance d'un film de dioxyde de titane, mouvement de la frontière entre zones dopée et non dopée, expression de la memristance et commentaire d'une courbe expérimentale.
  3. 3Partie III : une falaise de potentielÉquation de Schrödinger, fonctions d'onde de part et d'autre de la marche, coefficients de réflexion et de transmission, puis retour critique sur le memristor.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Relations des dipôles et unités · Loi de Faraday et convention · Paraphrase de l'énoncé
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Le sujet contenait de nombreuses questions de cours et de calculs élémentaires, souvent traitées de façon fausse. Le jury s'inquiète d'une baisse des capacités calculatoires, non compensée par un meilleur sens physique, et relève de nombreuses paraphrases dans les questions d'interprétation de documents. Certaines copies sont néanmoins remarquables.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Relations des dipôles et unitésQ1

    Trop de candidats ignorent ou confondent les relations fonctionnelles des dipôles de base et se trompent sur les unités de résistance, inductance et capacité.

  2. 2
    Loi de Faraday et conventionQ2

    Le passage de l'équation de Maxwell-Faraday à la loi de Faraday en convention récepteur pose problème, et la question de la convention est souvent éludée, parfois masquée.

  3. 3
    Paraphrase de l'énoncéQ8, Q9, Q10

    Pour les interprétations de graphes, beaucoup recopient l'énoncé sur une dizaine de lignes et donnent la même réponse à trois questions.

  4. 4
    Conditions initiales omisesQ6, Q7, Q21

    Les conditions initiales sont souvent absentes lors de l'intégration, et les tracés de courbes sont négligés.

  5. 5
    Bilan des forces et homogénéitéQ11, Q12, Q13, Q19

    Oubli de la force de frottement ou de la force électrique, confusion entre régimes permanent et transitoire, et vitesse limite non homogène, erreur qui se propage à la mobilité, à la conductivité et à la résistance.

  6. 6
    Courants de probabilité oubliésQ27, Q28

    Des candidats confondent r et R, t et T, et se trompent sur T faute de prendre en compte les courants de probabilité.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 25, établissant l'équation vérifiée par la fonction d'onde spatiale, a en général été correctement abordée.
  • Certaines copies montrent une bonne réflexion physique et une réelle maîtrise des outils et concepts du sujet.
  • Des applications directes du cours de mécanique quantique sont parfois bien traitées.

Conseils du jury

  • Répondre aux questions d'interprétation par un discours synthétique, argumenté et clair.
  • Vérifier systématiquement l'homogénéité des formules obtenues.
  • Contrôler les tracés de courbes par quelques analyses rapides de bon sens.
  • Soigner la présentation : rédaction claire et concise, résultats mis en valeur, copie lisible.
  • Donner les résultats sous une forme usuelle ou à partir des unités du système international.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

A2017 - PHYSIQUE I MP

CONCOURS MINES COMMUN PONTS

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

LES MEMRISTORS

En 1971, le professeur Leon Chut - qui exerça à l'Université de Berkeley - prédit l'existence d'un dipôle passif nouveau capable de servir de mémoire ^1. Ce dipôle venant complèter la liste des trois dipôles fondamentaux de l'électricité à savoir le résistor, la bobine et le condensateur. Le terme de memristor qu'il inventa résulte de la contraction des deux termes memory et resistor.
En 2008, des chercheurs ^2 des HP Labs ont publié un article ^3 dans la revue Nature ^® intitulé The missing memristor is found, dans lequel ils annoncent avoir mis au point un memristor présentant les propriétés prévues par Leon Chuf en 1971. La photographie de la figure 1 montre un ensemble de ces memristors.
En 2015, HP ^® et SanDisk ^® se sont associés pour développer la technologie des mémoires à base de memristors. Les atouts espérés de ce type de mémoires peuvent laisser rêveur : 1000 fois plus rapides que les mémoires flashs actuelles, 1000 fois plus de cycles lecture-écriture qu'actuellement et, pour couronner le tout, une densité inégalée au point de pouvoir doter un smartphone d'une mémoire de 100 To en 2020!
Figure 1 - Un ensemble de memristors (échelle nanométrique) © HP Labs
Le problème proposé comporte 3 parties largement indépendantes qui abordent différents aspects des memristors. A toutes fins utiles un formulaire est fourni à la fin du sujet.

I. - Généralités sur les memristors

I.A. - Le quatrième dipôle

Les quatre grandeurs fondamentales de l'électrocinétique sont la charge q, le courant i, le flux propre magnétique φ à travers le circuit et la tension u. Elles sont en général dépendantes du temps t. On considère les trois dipôles classiques que sont le résistor de résistance R, la bobine
Figure 2 - Carré fondamental
d'inductance L et le condensateur de capacité C. Ces trois dipôles seront supposés parfaits. Il est possible de représenter les quatre grandeurs fondamentales de l'électrocinétique au sommet d'un graphe - carré en l'occurrence - où les arêtes représentent des relations fondamentales ou des relations fonctionnelles des dipôles. Ce carré est représenté sur la figure 2. Avant 1971, on connaissait cinq relations entre les sommets de ce graphe et une était manquante. On se placera systématiquement en convention récepteur pour tout dipôle étudié dans la suite du problème.
  • 1 - Rappeler les relations fonctionnelles de proportionnalité caractérisant les trois dipôles parfaits classiques. Ces relations correspondent aux arêtes 1, 2 et 3 du carré fondamental de la figure 2. On précisera l'unité usuelle de chaque coefficient de proportionnalité.
    ◻2 - Rappeler la relation fondamentale liant q, i et t. A partir d'une équation de Maxwell, justifier que u = (dφ)/(dt).
  • 3 - Déduire des deux questions précédentes une écriture de chaque relation 1 à 5 du carré fondamental de la figure 2 sous la forme dx = y dz.
    ◻4 - Dans son article de 1971, Leon Chus prédit l'existence d'une relation f(φ, q) = 0 que l'on peut soit expliciter sous la forme φ = φ(q), on dit que l'on a un memristor contrôlé par la charge; soit sous la forme q = q(φ), on dit alors que l'on a un memristor contrôlé par le flux. La sixième relation différentielle est posée sous la forme dφ = M(q)dq où M(q) est la memristance. Quelle unité rencontrée fréquemment en électricité est aussi celle de la memristance? On justifiera précisément sa réponse.
  • 5 - On associe deux memristors de memristances M_1 et M_2 en série. Quelle est la memristance M du dipôle équivalent? On justifiera sa réponse. Même question si on associe M_1 et M_2 en parallèle.
Afin de concrétiser la notion de memristor, on propose de le modéliser par la relation φ(q) = αq + β/3q^3 où α et β sont des coefficients réels positifs. On impose dans le memristor une intensité i(t) = i_0 sinωt pour t ≥ 0 et on suppose que pour t < 0, i = 0. Enfin, on considère qu'à la date t = 0, on a q(t = 0) = 0.
Figure 3 - Graphe de φ(t)
  • 6 - Déterminer l'expression de q(t) et tracer sur un même graphique les courbes représentatives de i(t) et q(t).
  • 7 - On donne sur la figure 3 la courbe représentative de φ(t). Reproduire cette courbe en y rajoutant sans calcul l'allure de la courbe représentative de u(t).
  • 8 - En analysant la courbe u(i) du memristor précédent représentée sur la figure 4, pourquoi peut-on dire, en simplifiant un peu, que le memristor étudié présente deux régimes de fonctionnement : l'un dans lequel il laisse passer le courant et l'autre dans lequel ce n'est pas le cas?
  • 9 - La courbe u(i) de la figure 4 présente donc un phénomène particulier. De quoi dépend la résistance du memristor ? Expliquer la possibilité d'utiliser le memristor pour mémoriser une information.
  • 10 - Leon Chua qualifia le memristor de non volatile memory, c'est-à-dire de mémoire permanente. Quel élément sur le graphique de la figure 4 permet de dire que le memristor est une telle mémoire?
Figure 4 - Courbe u(i) du memristor proposé

I.B. - Conductivité

On considère un milieu conducteur où les porteurs de charge possèdent chacun une charge q et une masse m. Ils sont présents dans le milieu conducteur supposé homogène et isotrope à raison d'une densité volumique n en m^(− 3). Ces porteurs sont soumis à un champ électrique qui va les mettre en mouvement pour créer un courant. Lorsqu'elles se déplacent, ces charges interagissent avec d'autres porteurs en mouvement mais aussi avec leur environnement fixe constitué par le réseau cristallin du conducteur. Elles subissent alors des interactions que l'on peut assimiler à des chocs. Il résulte de l'ensemble des interactions une force de type − m/τv⃗ où v⃗ est la vitesse des porteurs mobiles et τ la durée moyenne qui sépare deux chocs successifs subis par une charge q. Cette durée est de l'ordre de 10^(− 12) s. Le poids des charges sera négligé.
On étudie un conducteur cylindrique de section S, de rayon a et de longueur ℓ constitué du milieu conducteur défini ci-dessus. Ce conducteur est soumis à une différence de potentiel U_0 indépendante du temps qui impose un champ électrique E⃗_0 uniforme et indépendant du temps.
  • 11 - Établir l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse des porteurs de charge. Donner la solution v⃗(t) sans se préoccuper de déterminer la constante d'intégration. Quelle est l'expression de la vitesse en régime permanent? Sauf précision contraire, on considère que l'on est en régime permanent. Cette hypothèse est-elle contraignante?
  • 12 - La mobilité μ des porteurs de charge est définie de telle sorte que v⃗ = μE_0^(→−). Donner l'expression de la mobilité d'une charge q. Après avoir rappelé la définition de la densité volumique de courant j⃗_0, établir l'expression de la conductivité électrique γ_0 du conducteur définie par la loi j⃗_0 = γ_0 E_0^(→−). Quel est le nom de la loi précédente?
  • 13 - Déterminer l'expression de la résistance électrique R_0 du cylindre conducteur en fonction de γ_0, ℓ et S.
  • 14 - Leon Chua indiqua dans son article fondateur que la résistance était un dipôle memory less ^4 car le signal associé à la tension suivait instantanément les évolutions du signal associé au courant. Justifier cette affirmation.
  • 15 - On impose maintenant au dipôle non plus le champ électrique E⃗_0 mais un champ électrique E⃗_1 toujours uniforme mais dépendant du temps selon E⃗_1 = E⃗_(1m)cosωt. Montrer que le dipôle peut être décrit au moyen d'une impédance complexe Z_– correspondant à l'association de deux dipôles et que la tension ne suit plus instantanément les évolutions de l'intensité. On exprimera Z_– en fonction, entre autres, de R_0. À quelle condition retrouve-t-on la situation où le dipôle est un résistor de résistance R_0 ? Qualifier le comportement du conducteur et l'interpréter.
On revient à la situation où le champ électrique E⃗_0 imposé est indépendant du temps. On étudie à nouveau la situation du régime permanent.
  • 16 - Quelle est la puissance transférée à la charge q par le champ électrique E⃗_0 ? Quelle est la puissance volumique associée à ce transfert d'énergie ?
  • 17 - En considérant l'ensemble du conducteur cylindrique, montrer que la puissance qu'il reçoit est p = ui. Cette expression peut être généralisée aux régimes lentement variables puisque la puissance instantanée p(t) est alors donnée par : p(t) = u(t)i(t).
  • 18 - Dans le cas où le dipôle est un memristor, exprimer la puissance qu'il reçoit en fonction de sa memristance et de l'intensité du courant.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Le memristor des HP Labs

Le memristor mis au point aux HP Labs est constitué par un mince film de dioxyde de titane de 5 nm d'épaisseur et de longueur ℓ = 10 nm. À chaque extrémité de ce dipôle, le contact électrique est assuré par 2 électrodes de platine. La particularité de ce memristor est que le dioxyde de titane présente dans une zone des lacunes en oxygène, la formule brute du dioxyde de titane étant alors TiO_(2 − x) si x représente les lacunes. On admet que cette situation est équivalente à celle d'un milieu dopé dans lequel les charges mobiles portent deux charges élémentaires positives q = + 2e. Dans le reste du film, on trouve du dioxyde de titane sans lacune de formule TiO_2. Si le film est totalement dopé, sa résistance électrique est faible et vaut R_(on) ≃ 1kΩ. Au contraire, si le film n'est pas dopé du tout alors sa résistance électrique est élevée : R_(off) ≃ 100R_(on). Supposons que la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée soit située à l'abscisse z, voir le schéma de la figure 5 .
Figure 5 - Représentation schématique du memristor des HP Labs
  • 19 - Donner l'expression de la résistance électrique du memristor lorsque la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée se situe à l'abscisse z_0, on notera cette résistance R_(mem _o).
La particularité du film de dioxyde de titane est que la position de la frontière évolue au cours du temps en fonction de l'intensité du courant qui est passée mais aussi en fonction du sens de ce courant. C'est cela qui en fait un memristor. On peut donc passer d'un dispositif bon conducteur à un autre presque isolant. On note dorénavant z(t) la position de la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée.
Pour le déplacement de la frontière, on reprend le modèle linéaire de la mobilité étudié à la question 12 où l'on note toujours μ la mobilité des charges mobiles. On propose alors d'écrire la relation (dz)/(dt) = μ(R_(on)i(t))/ℓ dans laquelle le courant i(t) est algébrique et son sens conventionnel précisé sur la figure 5.
  • 20 - Interpréter la relation précédente.
    ◻21 - On suppose que i(t < 0) = 0, puis que i(t ≥ 0) ≠ 0 et enfin qu'à la date t = 0, la frontière est située en z = z_0. Établir l'expression de z(t) en fonction, entre autres, de la charge q(t) qui a circulé depuis la date t = 0. Quelle est la charge minimale Q_(min) nécessaire, dans le cas le plus défavorable, pour que le memristor soit dans l'état le plus conducteur possible?
22 - Établir l'expression de la memristance M(q) en fonction, entre autres, de R_(mem _o). Expliquer pourquoi le memristor a été réalisé pour la première fois avec un système nanométrique.
  • 23 - Pour simplifier les calculs, on considère que R_(off)≫R_(on), z_0 = 0 et φ(t = 0) = 0. On impose dans le memristor, à partir de la date t = 0, un courant d'intensité i(t) = i_0 sinωt. Établir les expressions de q(t), φ(t) et u(t).
Figure 6 - Courbe i(u) expérimentale du film de TiO_2
  • 24 - Dans leur article de 2008 , les chercheurs ^5 des HP Labs ont obtenu expérimentalement la courbe i(u) de la figure 6. Commenter cette courbe.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Une falaise de potentiel ?

On étudie l'évolution d'un quanton de masse m qui aborde, avec une énergie E > 0, une falaise de potentiel de hauteur V_0 constante située en x = 0, voir le schéma de la figure 7. L'étude est undimensionnelle conduite sur un axe Ox.
Figure 7 - Falaise de potentiel et énergie du quanton
  • 25 - À partir de l'équation de Schrödinger, établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction d'onde spatiale φ(x) associée au quanton.
    26 - Dans le cas où le quanton arrive depuis x → − ∞, établir les expressions de la fonction d'onde φ_1(x) dans le milieu 1 et φ_2(x) dans le milieu 2 . Il n'est pas nécessaire de déterminer les constantes d'intégration.
  • 27 - Établir l'expression du coefficient r rapport de l'amplitude de la fonction d'onde spatiale correspondant à l'onde réfléchie et de l'amplitude de l'onde incidente. De la même façon, établir l'expression du coefficient t rapport de l'amplitude de la fonction d'onde spatiale correspondant à l'onde transmise et de l'amplitude de l'onde incidente.
  • 28 - En déduire les coefficients R et T de réflexion et de transmission de la densité de courant de probabilité. Faire l'application numérique lorsque 8E = V_0.
Dans le cas du memristor des HP Labs, les charges constituant le courant i(t) traversent le film de dioxyde de titane facilement dans un sens et beaucoup plus difficilement dans l'autre sens. On s'interroge pour savoir si ces charges peuvent être décrites comme le quanton des questions précédentes abordant une falaise de potentiel par un côté ou bien par l'autre pour expliquer la différence de conductivité du memristor en fonction du sens du courant.
◻29 - Qu'en pensez-vous? Que proposeriez-vous?

FIN DE LA PARTIE III

Formulaire

Formules de Green

Soit S une surface fermée entourant un volume τ. Le flux d'un vecteur sur la surface S orientée vers l'extérieur est égal à l'intégrale de la divergence de ce vecteur sur tout le volume τ :
Théorème de Green - Ostrogradski ∫∯ _S A⃗ ⋅ dS⃗ = ∭_(τ/S)divA⃗ dτ
Soit C une courbe fermée sur laquelle s'appuie une surface Σ. La circulation d'un vecteur le long de C est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers Σ orientée selon la règle du tire-bouchon.
Théorème de Stokes ∮ _C A⃗ ⋅ dℓ⃗ = ∬_(Σ/C)rotA⃗ ⋅ dΣ⃗

Mécanique quantique

On note ℏ = h/2π avec h la constante de Planck. On rappelle l'équation de Schrödinger pour un quanton de masse m possédant l'énergie E, évoluant en milieu unidimensionnel d'axe
Ox dans un potentiel ^6 V(x) indépendant du temps. Le quanton est représenté par la fonction d'onde ψ(x, t). On a :
iℏ(∂ψ(x, t))/(∂t) = − (ℏ^2)/(2m)(∂^2 ψ(x, t))/(∂x^2) + V(x)ψ(x, t)
Dans le cas d'un potentiel V(x) indépendant du temps, les états stationnaires du quanton sont décrits par la fonction d'onde ψ_(es)(x, t) telle que :
ψ_(es)(x, t) = φ(x)exp − iE/ℏt
où φ(x) est la fonction d'onde spatiale.
On rappelle enfin que la densité de courant de probabilité de présence est définie par :
J⃗ = ± (ℏk)/m|φ(x)|^2 e⃗_x
où k est le module du vecteur d'onde associé au quanton et e⃗_x est un vecteur unitaire.

FIN DE L'ÉPREUVE

    1. IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-18, №5, September, 1971.
    2. Dmitri Strukov, Gregory Snider, Duncan Stewart et Stanley Williams
    3. Nature, Vol 453-1 May 2008- doi :10.1038/nature06932
    1. sans mémoire
    2. D. Strukov, G. Snider, D. Stewart & S. Williams The missing memristor is found Nature Vol 453-1 May 2008-doi :10.1038/nature06932
    1. Attention : en Mécanique quantique, on nomme potentiel V(x) en réalité une énergie potentielle.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 1 MP 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 1 MP 2017 ?

Sur l'électrocinétique et l'induction (questions 1 à 10), l'électromagnétisme et la conduction électrique (questions 11 à 24) et la mécanique quantique (questions 25 à 29), autour du memristor.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Physique 1 MP 2017 ?

Des questions de cours fausses, des relations de dipôles et unités mal connues, des erreurs d'homogénéité, des conditions initiales oubliées et des paraphrases de l'énoncé dans les questions d'interprétation.

Le sujet Mines Physique 1 MP 2017 demande-t-il de la mécanique quantique ?

Oui, la dernière partie étudie une falaise de potentiel avec l'équation de Schrödinger. Elle est indépendante du reste, seule la dernière question revenant au memristor.

Combien de questions compte le sujet Mines Physique 1 MP 2017 ?

Le sujet comporte 29 questions, réparties entre électronique et induction, études électromagnétiques et mécanique quantique.

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