Mines Mathématiques 2 MP 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Théorème taubérien de Hardy-Littlewood-Karamata

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CONCOURS 2016

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le problème,

I

désigne l'intervalle

]0, + \infty[

A Une intégrale à paramètre

Pour tout

x \in ℝ

on pose, sous réserve d'existence,

F(x) = \int_0^(+ \infty)(e^(- u))/(\sqrtu(u + x))du et K = \int_0^(+ \infty)(e^(- u))/(\sqrtu)du

Montrer que la fonction $ψ : u \mapsto (e^(- u))/(\sqrtu)$ est intégrable sur $I$ .
Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)$ est définie.
Montrer que la fonction $F$ est de classe $C^1$ sur $I$ et exprimer $F^'(x)$ sous forme intégrale.
En déduire que pour tout $x \in I, xF^'(x) - (x - 1/2)F(x) = - K$ .
Pour tout $x \in I$ , on pose $G(x) = \sqrtxe^(- x)F(x)$ . Montrer qu'il existe une constante réelle $C$ telle que pour tout $x \in I, G(x) = C - K \cdot \int_0^x(e^(- t))/(\sqrtt)dt$ .
Déterminer les limites de $G$ en 0 et $+ \infty$ , et en déduire la valeur de $K$ .

B Étude de deux séries de fonctions

Dans toute cette partie, on pose

f(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(e^(- nx))/(\sqrtn)

g(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)\sqrtne^(- nx)

.
7. Montrer que

f

g

sont définies et continues sur

I

.
8. Montrer que pour tout

x \in I, \int_1^(+ \infty)(e^(- ux))/(\sqrtu)du ⩽ f(x) ⩽ \int_0^(+ \infty)(e^(- ux))/(\sqrtu)du

. En déduire un équivalent de

f(x)

lorsque

x \to 0

.
9. Montrer que la suite

(\sum_(k = 1)^n 1/(\sqrtk) - 2\sqrtn)_(n ⩾ 1)

converge.
10. Démontrer que pour tout

x > 0

, la série

\sum_(n ⩾ 1)(\sum_(k = 1)^n 1/(\sqrtk))e^(- nx)

converge et exprimer sa somme

h(x)

en fonction de

f(x)

pour tout

x \in I

.
11. En déduire un équivalent de

h(x)

lorsque

x \to 0

. Montrer alors que

g(x)

est équivalent à

(\sqrtπ)/(2x^(3/2))

lorsque

x \to 0

C Séries de fonctions associées à des ensembles d'entiers

À tout ensemble

A \subseteq ℕ

on associe la suite (

a_n

) définie par

a_n = {1, si n ∈ A; 0, sinon

Soit

I_A

l'ensemble des réels

x ⩾ 0

pour lesquels la série

\sum_(n ⩾ 0)a_n e^(- nx)

converge. On pose

f_A(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n e^(- nx)

pour tout

x \in I_A

. Enfin, sous réserve d'existence, on pose

Φ(A) = lim_(x \to 0)xf_A(x)

et on note

S

l'ensemble des parties

A \subseteq ℕ

pour lesquelles

Φ(A)

existe.
12. Quel est l'ensemble

I_A

A

est fini? Si

A

est infini, montrer que l'on peut extraire une suite (

b_n

) de la suite (

a_n

) telle que pour tout

n \in ℕ, b_n = 1

. Déterminer

I_A

dans ce cas.
13. Soit

A \in S

(a_n)

la suite associée. Pour tout entier naturel

n

, on note

A(n)

l'ensemble des éléments de

A

qui sont

⩽ n

. Vérifier que pour tout

x > 0

la série

\sum_(n ⩾ 0)Card(A(n))e^(- nx)

converge et que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)Card(A(n))e^(- nx) = (f_A(x))/(1 - e^(- x))

Dans la question suivante,

A = A_1

désigne l'ensemble des carrés d'entiers naturels non nuls.
14. Montrer que si

x > 0, (f_(A_1)(x))/(1 - e^(- x)) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)⌊\sqrtn⌋e^(- nx)

où

⌊ \cdot ⌋

désigne la partie entière. En déduire un encadrement de

\sum_(n = 0)^(+ \infty)\sqrtne^(- nx) - (f_(A_1)(x))/(1 - e^(- x))

, puis un équivalent de

f_(A_1)

en 0 . Prouver alors que

A_1 \in S

et donner

Φ(A_1)

Dans la question suivante,

A = A_2

désigne l'ensemble constitué des entiers qui sont la somme des carrés de deux entiers naturels non nuls. On admet que

A_2 \in S

, et on désire majorer

Φ(A_2)

Soit

v(n)

le nombre de couples d'entiers naturels non nuls (

p, q

) pour lesquels

n = p^2 + q^2

.
15. Montrer que pour tout réel

x > 0

, la série

\sum_(n ⩾ 0)v(n)e^(- nx)

converge et établir que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)v(n)e^(- nx) = (f_(A_1)(x))^2

Montrer alors que pour tout

x > 0, f_(A_2)(x) ⩽ (f_(A_1)(x))^2

. En déduire un majorant de

Φ(A_2)

D Un théorème taubérien

Soit

(α_n)_(n ⩾ 0)

une suite de nombres réels positifs tels que pour tout réel

x > 0

, la série

\sum_(n ⩾ 0)α_n e^(- nx)

converge. On suppose que

lim_(x \to 0)(x\sum_(n = 0)^(+ \infty)α_n e^(- nx)) = ℓ \in [0, + \infty[

On note

F

l'espace vectoriel des fonctions de

[0, 1]

dans

ℝ, E

le sous-espace de

F

des fonctions continues par morceaux et

E_0

le sous-espace de

E

des fonctions continues sur

[0, 1]

. On munit

E

de la norme

‖‖_\infty

définie par la formule

‖ψ‖_\infty = sup_(t \in [0, 1])|ψ(t)|

ψ \in E

, on note

L(ψ)

l'application qui à

x > 0

associe

(L(ψ))(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)α_n e^(- nx)ψ(e^(- nx)).

Montrer que $L(ψ)$ est bien définie pour tout $ψ \in E$ et que l'application $L$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ . Vérifier que, pour tous $ψ_1, ψ_2$ dans $E$ , $ψ_1 ⩽ ψ_2$ entraîne $L(ψ_1) ⩽ L(ψ_2)$ .

On note

E_1

l'ensemble des

ψ \in E

pour lesquels

lim_(x \to 0)x(L(ψ))(x)

existe et si

ψ \in E_1

, on pose

Δ(ψ) = lim_(x \to 0)x(L(ψ))(x)

Vérifier que $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et que l'application $Δ$ est une forme linéaire continue de ( $E_1, ‖‖_\infty$ ).
Montrer que pour tout $p \in ℕ, e_p : t \in [0, 1] \mapsto t^p$ appartient à $E_1$ et calculer $Δ(e_p)$ . En déduire que $E_0 \subseteq E_1$ et calculer $Δ(ψ)$ pour tout $ψ \in E_0$ .

Pour tous

a, b \in [0, 1]

tel que

a < b

, on note

1_([a, b]) : [0, 1] → {0, 1}

la fonction définie par

1_([a, b])(x) = {1, si x ∈ [a, b]; 0, sinon .

Soit

a \in ]0, 1[

ε \in ]0, min(a, 1 - a)[

. On note

g_−(x) = {1, si x ∈ [0, a − ε]; (a − x)/ε, si x ∈ ]a − ε, a[; 0, si x ∈ [a, 1]

g_+(x) = {1, si x ∈ [0, a]; (a + ε − x)/ε, si x ∈ ]a, a + ε[; 0, si x ∈ [a + ε, 1]

Vérifier que $g_-$ et $g_+$ appartiennent à $E_0$ et calculer $Δ(g_-)$ et $Δ(g_+)$ . Montrer alors que $1_([0, a]) \in E_1$ et calculer $Δ(1_([0, a]))$ . En déduire que $E_1 = E$ et donner $Δ(ψ)$ pour tout $ψ \in E$ .

On considère maintenant la fonction

ψ

définie sur

[0, 1]

par la formule :

ψ(x) = {0, si x \in [0, 1/e[; 1/x, si x \in [1/e, 1].

Calculer $(L(ψ))(1/N)$ pour tout entier $N > 0$ et en déduire la limite

lim_(N \to + \infty)1/N\sum_(k = 0)^N α_k

(théorème taubérien).
On rappelle que

v(n)

est le nombre de couples d'entiers naturels non nuls (

p, q

) tels que

n = p^2 + q^2

.
21. Si

A \in S

, que vaut

lim_(n \to + \infty)1/nCard(A(n))

? Déterminer alors

lim_(n \to + \infty)1/n\sum_(k = 1)^n v(k)

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