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Mines Mathématiques 2 MP 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Points fixes et opérateurs à noyau : théorèmes de Picard et de Schauder, équations intégrales de Fredholm
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Le sujet part du théorème du point fixe de Picard dans un espace de Banach, puis établit l'invariance par homotopie de l'existence d'un point fixe. Il applique ces résultats à des opérateurs intégraux à noyau, généralise au cas non contractant grâce au théorème de Schauder (admis) et termine par l'existence de solutions pour une équation intégrale de Fredholm.

  1. 1Partie A : théorème du point fixeDémonstration du théorème de Picard pour une application contractante d'un fermé dans lui-même, via une suite de Cauchy.
  2. 2Partie B : invariance par homotopieÉtude de l'ensemble des paramètres pour lesquels un point fixe existe, montré fermé puis ouvert, et application à un cas particulier.
  3. 3Partie C : étude de certains opérateurs à noyauMajoration d'un opérateur intégral sur les fonctions continues et existence d'un point fixe intérieur.
  4. 4Partie D : une généralisationConstruction d'une fonction auxiliaire à l'aide de distances à des fermés et utilisation du théorème de Schauder.
  5. 5Partie E : application aux intégrales de FredholmInégalité de Cauchy-Schwarz, équicontinuité, extraction diagonale et conclusion sur l'existence d'un point fixe.

Difficulté moyenne. Le jury juge la longueur et la difficulté adaptées au niveau moyen des candidats, avec un bon étalement des notes.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Unicité du point fixe mal rédigée · Suite de Cauchy mal établie · Théorèmes faux inventés
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Le sujet a permis d'évaluer à la fois la connaissance du cours, la rigueur logique et la compréhension des objectifs d'un problème. Le jury a lu d'excellentes copies, mais beaucoup présentent les mêmes défauts : hypothèses négligées, quantificateurs mal maîtrisés et théorèmes faux inventés pour les besoins de la cause.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Unicité du point fixe mal rédigéeQuestion 1

    Valeurs absolues oubliées, inégalité large au lieu de stricte et deux points fixes supposés sans les dire distincts. La conclusion doit être leur égalité.

    « les candidats se donnaient souvent deux points fixes sans préciser qu'ils étaient distincts »
  2. 2
    Suite de Cauchy mal établieQuestions 2 et 6

    Majorer l'écart entre deux termes par une quantité dépendant de p ne suffit pas. L'interversion des quantificateurs dans la définition d'une suite de Cauchy est aussi fréquente.

  3. 3
    Théorèmes faux inventésQuestions 6 et 13

    Une fonction séparément continue en chaque variable n'est pas forcément continue, et en dimension infinie l'image d'un fermé borné par une application continue n'est pas forcément fermée bornée.

    « une propension à inventer des théorèmes certes pratiques mais hélas faux »
  4. 4
    Stabilité par f oubliéeQuestions 9, 11 et 13

    Avant d'appliquer le théorème de Picard, il faut vérifier que l'ensemble de départ est stable par f. Beaucoup de candidats ne précisent même pas cet ensemble.

  5. 5
    Majoration d'intégrale impréciseQuestion 12

    Oubli de valeur absolue, sup mal placé, confusion entre les variables t et x : une question élémentaire a souvent perdu des points par manque de précaution.

    « Un minimum de précautions permettait d'obtenir tous les points à cette question »
  6. 6
    Convergence dominée et uniformité ignoréesQuestions 19 à 21

    Beaucoup ignorent l'hypothèse de domination pour intégrer une suite de fonctions. En question 20, le module de continuité doit être indépendant de n.

Ce qui a été bien réussi

  • Certains candidats ont justement utilisé qu'une partie non vide, ouverte et fermée d'un connexe est l'ensemble entier, ou ont bien manié la borne supérieure (question 10).
  • Une bonne partie des candidats a correctement enchaîné les raisonnements de la question 16.
  • Quelques copies ont bien décrit l'extraction successive sur une partie dense dénombrable comme les rationnels (question 22).

Conseils du jury

  • Vérifier toutes les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, en particulier la stabilité de l'ensemble de départ.
  • Écrire soigneusement les quantificateurs, notamment dans la définition d'une suite de Cauchy.
  • Réécrire une preuve voisine d'une question précédente plutôt que d'y renvoyer si elle n'est pas identique (question 8).
  • Pour montrer qu'un ensemble est fermé, prendre une suite convergente d'éléments et vérifier que sa limite y appartient, sans fixer abusivement un paramètre commun (question 14).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2014

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Points fixes et opérateurs à noyau

On considère un espace réel E de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel sur ℝ muni d'une norme notée ‖‖ et complet pour cette norme. Si A est une partie de E, on note A¯ son adhérence, A^∘ son intérieur, ∂A = A¯∖A^∘ sa frontière, et d(x, A) = inf_(y ∈ A)‖x − y‖ sa distance à un point x ∈ E. On note respectivement B(x, r) = {y ∈ E; ‖y − x‖ < r} et B¯(x, r) = {y ∈ E; ‖y − x‖ ⩽ r} les boules ouverte et fermée de centre x et de rayon r.
Étant données deux parties A et B de E, et une application f : A → B, on rappelle que x ∈ E est un point fixe de f si c'est une solution de l'équation x = f(x). L'application f est dite contractante si elle est k-lipschitzienne de rapport k ∈ [0, 1[, c'est-à-dire si pour tous x, y ∈ A, il existe un réel k < 1 tel que
‖f(x) − f(y)‖ ⩽ k‖x − y‖.
On rappelle qu'une application lipschitzienne est continue.
Dorénavant et dans tout le problème, A désigne une partie fermée non vide de E.

A. Théorème du point fixe

Dans cette partie préliminaire, on établit le
Théorème (Picard). Toute application contractante f : A → A admet un unique point fixe x ∈ A.
Soit donc f : A → A une application contractante.
  1. Montrer que si f admet un point fixe x, celui-ci est unique.
Soit x_0 ∈ A et (x_n)_(n ∈ ℕ) la suite d'éléments de A définie par la relation de récurrence x_(n + 1) = f(x_n) pour tout entier naturel n.
2) Montrer que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) est de Cauchy.
3) Conclure.

B. Invariance par homotopie

Soit f : A → E et g : A → E deux applications contractantes. On suppose que f et g sont homotopes, c'est-à-dire qu'il existe une application h : A × [0, 1] → E telle que pour tout x ∈ A, on a h(x, 0) = f(x) et h(x, 1) = g(x), et qui vérifie en outre les trois propriétés suivantes :
a il existe k ∈ [0, 1[ tel que pour tous x, y ∈ A et tout t ∈ [0, 1], on a
‖h(x, t) − h(y, t)‖ ⩽ k‖x − y‖;
b il existe un réel k^′ > 0 tel que pour tout x ∈ A et tous t, u ∈ [0, 1],
‖h(x, t) − h(x, u)‖ ⩽ k^′|t − u|;
c pour tous t ∈ [0, 1] et x ∈ ∂A, on a x ≠ h(x, t).
On suppose en outre que f admet un point fixe dans A et on pose
T = {t ∈ [0, 1]; ∃x ∈ A, x = h(x, t)}
  1. Vérifier que T n'est pas vide.
Soit (t_n)_(n ∈ ℕ) une suite d'éléments de T qui converge vers un réel t ∈ [0, 1]. On choisit une suite (x_n)_(n ∈ ℕ) d'éléments de A tels que pour tout entier naturel n, on a la relation x_n = h(x_n, t_n).
5) Vérifier qu'une telle suite (x_n)_(n ∈ ℕ) existe et que pour tous entiers naturels n et m, on a
‖x_n − x_m‖ ⩽ (k^′)/(1 − k)|t_n − t_m|
  1. Montrer alors que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) est de Cauchy et en déduire que T est fermée.
Soit encore t ∈ T et x ∈ A tels que x = h(x, t).
7) Vérifier que d(x, ∂A) > 0.
Soit r et ε deux nombres réels strictement positifs tels que ε ⩽ ((1 − k)r)/(k^′) et r < d(x, ∂A), et soit u ∈ [0, 1] tel que |t − u| < ε.
8) Montrer que pour tout y ∈ B¯(x, r) ∩ A, on a ‖x − h(y, u)‖ ⩽ r.
9) En déduire, en utilisant le théorème de Picard ci-dessus, que l'application y ↦ h(y, u) possède un point fixe intérieur à A.
10) En déduire que T est un ouvert relatif à [0, 1]. Conclure alors que g possède un unique point fixe intérieur à A (on pourra considérer une borne supérieure de T ).
Une application. On ne suppose plus que l'application contractante f : A → E admet un point fixe, mais on fait les trois hypothèses suivantes :
d le vecteur nul 0 est intérieur à A;
θ l'image f(A) de A par f est bornée;
f pour tout x ∈ ∂A et tout t ∈ [0, 1], on a x ≠ tf(x).
11) Montrer que f possède un unique point fixe intérieur à A.

C. Étude de certains opérateurs à noyau

Soit a < b deux réels et f : [a, b] × ℝ → ℝ une application continue. On suppose qu'il existe un sous-ensemble D ⊂ ℝ contenant 0 et un réel K_0 > 0 vérifiant pour tous (t, u) et (t, v) dans [a, b] × D,
|f(t, u) − f(t, v)| ⩽ K_0|u − v|
L'espace de Banach C([a, b]) des fonctions continues φ : [a, b] → ℝ est muni de la norme ‖φ‖ = sup_(t ∈ [a, b])|φ(t)|.
Soit K : [a, b] × [a, b] → ℝ une fonction continue. On définit l'application F de C([a, b]) dans lui-même par la formule :
F(φ)(t) = ∫_a^b K(t, x)f(x, φ(x))dx
et on pose α = sup_(t ∈ [a, b])∫_a^b|K(t, x)|dx.
12) Pour toutes fonctions y, z ∈ C([a, b]) telles que pour tout t ∈ [a, b], on a y(t) ∈ D et z(t) ∈ D, démontrer l'inégalité
‖F(y) − F(z)‖ ⩽ αK_0‖y − z‖.
Soit A une partie fermée et bornée de C([a, b]) contenant la fonction nulle dans son intérieur et telle que pour tous φ ∈ A et t ∈ [a, b], on a φ(t) ∈ D. On suppose en outre que αK_0 < 1 et que pour tous φ ∈ ∂A et λ ∈ [0, 1], on a φ ≠ λF(φ).
13) Montrer que F admet un unique point fixe intérieur à A.

D. Une généralisation

Soit C une partie convexe fermée de E contenant A. On considère une application continue f : A → C, pas nécessairement contractante, telle que
g le vecteur nul 0 est intérieur à A;
h l'ensemble f(A)^– est compact;
i pour tout x ∈ ∂A et tout t ∈ [0, 1], on a x ≠ tf(x).
On pose
X = {x ∈ A; ∃t ∈ [0, 1]; x = tf(x)}.
  1. Montrer que X est non vide et fermé. En déduire que la fonction μ : A → [ 0,1 ] définie par la formule
μ(x) = (d(x, ∂A))/(d(x, ∂A) + d(x, X))
est bien définie et continue. Déterminer μ(x) lorsque x ∈ X et lorsque x ∈ ∂A.
On définit une fonction g : C → C par:
g(x) = {μ(x)f(x), si x ∈ A; 0, si x ∈ C∖A
  1. Montrer que g est continue sur C et que g(C)^– est compact.
On admet le
Théorème (Schauder). Si C est une partie convexe fermée de E, toute application f : C → C continue telle que f(C)^– est compact possède au moins un point fixe.
16) Conclure, à l'aide du théorème de Schauder, que f admet un point fixe intérieur à A.

E. Application aux intégrales de Fredholm

On considère dans cette partie l'espace de Banach E = C([0, 1]) des fonctions φ : [0, 1] → ℝ continues muni de la norme ‖φ‖_0 = sup_(t ∈ [0, 1])|φ(t)|. On note également L^2 l'espace des fonctions φ : [0, 1] → ℝ continues muni de la norme ‖φ‖_2 = (∫_0^1|φ(t)|^2 dt)^(1/2).
Soit g : [0, 1] × ℝ → ℝ, h : [0, 1] → ℝ et K : [0, 1] × [0, 1] → ℝ des fonctions continues. On pose, pour tout φ ∈ E et t ∈ [0, 1] :
F(φ)(t) = h(t) + ∫_0^1 K(t, x)g(x, φ(x))dx
On fait les hypothèses suivantes:
j pour tout réel r ⩾ 0, il existe μ_r ∈ L^2 tel que |y| ⩽ r implique |g(x, y)| ⩽ μ_r(x) pour tout x ∈ [0, 1].
|k la fonction K_t définie pour tout t ∈ [0, 1] par la formule K_t(x) = K(t, x) est dans L^2, et l'application t ↦ K_t est continue de [0, 1] dans L^2.
On suppose en outre qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout λ ∈ [0, 1] et toute solution φ de l'équation φ(t) = λF(φ)(t), on a ‖φ‖_0 ≠ M.
17) Déterminer pour chaque φ ∈ E, une constante c_φ telle que pour tous t, u ∈ [0, 1],
{|F(φ)(t)| ⩽ ‖h‖_0 + c_φ ⋅ sup_(s ∈ [0, 1])‖K_s‖_2; |F(φ)(t) − F(φ)(u)| ⩽ |h(t) − h(u)| + c_φ ⋅ ‖K_t − K_u‖_2
  1. En déduire que F est une application de E dans E.
On note A = B¯(0, M) et on considère une suite (φ_n)_(n ∈ ℕ) d'éléments de A.
19) Montrer que si φ_n → φ dans E quand n → + ∞, on a la convergence simple F(φ_n) → F(φ) sur [0, 1].
20) Montrer que pour tout réel ε > 0, il existe un réel δ > 0 tel que pour tout n ∈ ℕ et tous t, u ∈ [0, 1], |t − u| < δ implique |F(φ_n)(t) − F(φ_n)(u)| < ε.
On rappelle que pour tout δ > 0, il existe une famille finie t_1, t_2, …, t_N ∈ [0, 1] telle que le segment [0, 1] soit inclus dans la réunion des intervalles ]t_i − δ, t_i + δ[ pour i ∈ {1, 2, …, N}.
21) Montrer que si la suite (F(φ_n))_(n ∈ ℕ) converge simplement sur [0, 1], alors elle converge dans E. En déduire que F est continue sur A.
22) Soit (φ_n)_(n ∈ ℕ) une suite de A. Montrer que la suite (F(φ_n))_(n ∈ ℕ) admet une sous-suite qui converge simplement sur [0, 1] (on pourra commencer par établir la convergence simple sur une partie dense de [ 0,1 ]).
23) Conclure : F admet un point fixe de norme strictement inférieure à M.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 MP 2014 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 MP 2014 ?

Sur les théorèmes de point fixe dans un espace de Banach : théorème de Picard, invariance par homotopie, théorème de Schauder admis, puis application aux opérateurs à noyau et aux équations intégrales de Fredholm.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 Mines MP 2014 ?

Des hypothèses de théorèmes non vérifiées, des quantificateurs mal placés dans la définition d'une suite de Cauchy et des théorèmes faux inventés, comme la continuité d'une fonction séparément continue en chaque variable.

Le sujet Mines maths 2 MP 2014 était-il difficile ?

Le jury le juge adapté au niveau moyen des candidats, en longueur comme en difficulté. Il a bien étalé les notes.

Le sujet Mines maths 2 MP 2014 est-il encore au programme ?

Le jury indique que c'était la dernière année qu'un tel sujet était possible, car plusieurs notions de topologie comme les suites de Cauchy disparaissaient du programme de MP.

Pas de description pour le moment