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Mines Physique 1 MP 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mécanique du solide : moment d'inertie, roulement sans glissement, théorème de König
  • Lois du frottement solide
  • Conducteur ohmique et électromagnétisme en régime permanent
  • Approximation des régimes quasi stationnaires et théorème d'Ampère
  • Induction : inductance propre et mutuelle
  • Diffusion thermique et rayonnement thermique (loi de Stefan-Boltzmann)
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Annales Mines MP PhysiqueMines MP 2014MP PhysiquePhysique 2014

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
De la physique autour d'un tore : hulahoop, conducteur ohmique, pince ampèremétrique et diffusion thermique
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Le sujet comporte quatre parties indépendantes consacrées à des objets de forme torique. On étudie successivement la mécanique d'un hulahoop, la résistance orthoradiale d'un conducteur torique, le principe d'une pince ampèremétrique, puis le refroidissement d'un tore par diffusion et rayonnement thermique.

  1. 1Partie I : modélisation d'un hulahoopMoment d'inertie d'un tore, roulement sans glissement sur un cylindre, condition de non-glissement et freinage par une force d'adhérence.
  2. 2Partie II : conducteur ohmique toriqueRelaxation des charges dans un conducteur, équation de Laplace pour le potentiel et calcul de la résistance orthoradiale.
  3. 3Partie III : pince ampèremétriqueChamp magnétique d'un bobinage torique par le théorème d'Ampère, inductances propre et mutuelle, fonction de transfert du capteur.
  4. 4Partie IV : étude thermique d'un toreBilan thermique en géométrie cylindrique, séparation des variables, solution en série entière et condition aux limites radiative.

Difficulté moyenne. Le jury juge l'épreuve un peu longue pour trois heures, mais estime que les parties 2, 3 et le début de la partie 4 étaient classiques et faciles.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème de König et roulement sans glissement · Composante tangentielle de la réaction oubliée · Symétries mal formulées
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Pour le jury, un candidat maîtrisant bien son cours pouvait obtenir une très bonne note. La rédaction est jugée globalement correcte, mais des copies peu aérées, sans résultat encadré et aux formulations maladroites risquent de voir des résultats justes ignorés. Le barème a bien classé les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème de König et roulement sans glissementQ3

    La relation de roulement sans glissement comporte souvent des erreurs de signe, et l'énergie cinétique est mal écrite (terme de translation, facteur un demi ou carré oubliés).

    « écrivent une version incorrecte du théorème de König pour l'énergie cinétique »
  2. 2
    Composante tangentielle de la réaction oubliéeQ4

    Rares sont ceux qui ont vu que la réaction du cylindre possède une composante selon l'axe vertical.

  3. 3
    Symétries mal formuléesQ14

    Le jury exige de préciser que les plans de symétrie concernent les courants. L'invariance par translation selon l'axe, affirmée par presque tous, était fausse à cause du tore.

    « Le jury attendait l'argument les plans de symétrie des courants sont des plans d'antisymétrie pour le champ magnétique »
  4. 4
    Flux à travers le bobinageQ15

    Sans schéma, beaucoup prennent le mauvais élément de surface ou oublient de multiplier par le nombre N de spires, ce qui fausse les inductances.

    « La majorité des candidats ne fait pas de schéma »
  5. 5
    Surface latérale dépendant de rQ19

    Dans le bilan thermique, oublier que la surface latérale varie avec r conduit à une simplification fausse et fait disparaître le facteur r.

  6. 6
    Échanges thermiques dans le videQ23

    Beaucoup affirment qu'aucun échange thermique n'est possible dans le vide, en oubliant le rayonnement thermique pourtant au programme.

    « Beaucoup de candidats affirment qu 'il ne peut pas pas y avoir d'échanges thermiques dans le vide. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 8 à 12 sur le conducteur ohmique ont souvent été réussies.
  • La question 7 a souvent été réussie.
  • Le caractère passe-haut du filtre de la question 18 a bien été compris.
  • Le bilan thermique de la question 19 et la séparation des variables de la question 20 sont souvent bien menés.

Conseils du jury

  • Faire des schémas, par exemple pour choisir le bon élément de surface.
  • Introduire chaque calcul par une phrase qui nomme la loi ou le théorème utilisé.
  • Vérifier l'homogénéité des résultats et qu'un vecteur n'est pas égalé à un scalaire.
  • Écrire un élément différentiel dans toute intégrale.
  • Encadrer le résultat final et relire chaque réponse pour vérifier sa clarté.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2014
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP

(Durée de l'épreuve: 3 heures)L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I —MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

DE LA PHYSIQUE AUTOUR D'UN TORE

Ce sujet comporte quatre parties totalement indépendantes qui explorent les propriétés physiques d'objets de forme torique. Un tore est le volume généré par la révolution autour d'un axe d'une figure géométrique donnée (dans le problème, ce sera un rectangle ou un cercle, voir figure 1) appelée section et inscrite dans un plan passant par l'axe. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires ( uˆ_z ) ou d'une flèche dans le cas général ( p⃗ ).
Figure 1 - Deux types de tores

I. - Modélisation d'un hulahoop

Le hulahoop est un cerceau en plastique que l'on fait principalement tourner autour de la taille par un déhanchement rythmé très en vogue dans les années 1960. Pour notre modélisation, nous l'assimilerons à un tore de section rectangulaire en rotation autour d'un arbre cylindrique fixe et vertical, d'axe ( O, z ) et de rayon r, dans le référentiel terrestre supposé galiléen R_0. Le tore est de masse volumique μ homogène, ses dimensions sont les suivantes : le rayon du cercle intérieur est a, celui du cercle extérieur b et son épaisseur selon (O, z) vaut c. On note G son centre d'inertie et Δ son axe de symétrie, dont la direction reste parallèle à ( O, z ) : on peut donc identifier Δ = (G, z). On donne l'expression du moment d'inertie d'un cylindre de rayon R et de masse M par rapport à un axe de révolution confondu avec l'axe du cylindre : J = 1/2MR^2.
Figure 2 - Rotation du hulahoop
  • 1 - Justifier que le moment d'inertie autour d'un axe Δ donné de l'ensemble constitué par la superposition de deux distribution de masses S_1 et S_2 disjointes est la somme des moments d'inertie de S_1 et S_2 par rapport à cet axe.
    ◻2 - Déterminer le moment d'inertie J du tore par rapport à l'axe ( G, z ) en fonction de μ, a, b et c.
Le contact entre la paroi intérieure du tore et le cylindre vertical se répartit sur un segment vertical dont on note I le milieu. Il y a roulement sans glissement entre les deux solides. On note f le coefficient de frottement statique au niveau de ce contact. On note Ω⃗ = Ωuˆ_z le vecteur vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe Δ. La position de G est repérée par l'angle θ = (uˆ_x, OGˆˆ).
  • 3 - Établir la relation entre θ˙ et Ω associée à l'hypothèse de roulement sans glissement. En déduire l'expression de l'énergie cinétique du tore dans le référentiel R_0 en fonction de J_0 = μπc(b^2 − a^2)(3a^2 + b^2)/2 et Ω.
  • 4 - On suppose que Ω est constante. Déterminer les composantes des forces subies par le tore au contact avec le cylindre vertical. En déduire à quelle condition sur Ω l'hypothèse de roulement sans glissement est justifiée. Décrire qualitativement ce qui se passe lorsque cette condition n'est plus vérifiée.
On suppose maintenant que l'hypothèse de roulement sans glissement est vérifiée mais qu'on observe une adhérence du tore sur le cylindre qu'on modélise par la création d'une force de liaison attractive A⃗ = Auˆ_r entre le cylindre et le tore localisée en un point B représenté sur la partie droite de la figure 2 et voisin de I tel que IB^(→−) = βuˆ_θ. On donne la vitesse angulaire initiale Ω_0 du tore.
5 - En utilisant par exemple le théorème de la puissance cinétique, établir la loi d'évolution Ω(t) et conclure quant à la pratique du hulahoop.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Étude d'un conducteur ohmique torique

Figure 3 - Portion d'un conducteur torique
Un conducteur ohmique est caractérisé par une conductivité électrique γ de l'ordre de 10^8 S ⋅ m^(− 1). Il forme un tore tronqué de section rectangulaire de rayon intérieur a, de rayon extérieur b, d'épaisseur c.
On cherche à déterminer la résistance orthoradiale R d'une portion de ce conducteur comprise entre les angles θ = 0 où on applique un potentiel uniforme V = U et θ = α où on applique un potentiel V = 0.
  • 6 - On rappelle la valeur numérique de la constante ε_0 = 1/(36π) ⋅ 10^(− 9) dans les unités du système international. Rappeler le nom et l'unité pratique de cette constante.
  • 7 - Établir, dans un conducteur ohmique, l'équation différentielle vérifiée par la densité volumique de charge ρ. En déduire que ρ ≃ 0 tant que la durée T caractéristique de variation des grandeurs électromagnétiques est très supérieure à une durée τ dont on donnera l'expression en fonction de γ et ε_0 ainsi que la valeur numérique.
  • 8 - Montrer qu'un terme peut être négligé dans l'équation de Maxwell-Ampère si T≫τ.
  • 9 - Établir l'équation vérifiée en régime permanent et dans le conducteur ohmique par le potentiel électrique V.
10- On suppose que V ne dépend que de l'angle θ en coordonnées cylindriques et on donne, dans ce système de coordonnées, les expressions du gradient du potentiel gradV = 1/r(∂V)/(∂θ)uˆ_θ et de son laplacien ΔV = 1/(r^2)(∂^2 V)/(∂θ^2). Déterminer les expressions de V(θ), du champ E⃗ et de la densité de courant j⃗.
  • 11 - Déterminer l'expression de l'intensité totale I traversant une section rectangulaire droite quelconque de ce tore. En déduire sa résistance orthoradiale R en fonction de a, b, c, γ et α.
  • 12 - Rappeler l'expression de la résistance d'un conducteur filiforme de section S et de longueur L. Vérifier qu'elle est cohérente avec l'expression du conducteur torique quand b est très proche de a.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Étude d'une pince ampèremétrique

Figure 4 - Partie active de la pince
Une pince ampèremétrique est un appareil dont l'extrémité possède la forme d'un tore. En disposant ce tore autour d'un conducteur parcouru par un certain courant le dispositif équipant la pince permet d'en mesurer l'intensité.
Son principal intérêt est l'absence de contact physique avec le conducteur et le fait qu'il ne soit pas nécessaire d'ouvrir le circuit pour mesurer le courant qui le traverse contrairement à l'implantation d'un ampèremètre classique.
Le dispositif de mesure de la pince ampèremétrique est formé d'un bobinage torique comportant N spires enroulées sur un tore de section rectangulaire de rayon intérieur a, de rayon extérieur b, d'épaisseur c, d'axe ( O, z ). Le fil conducteur utilisé pour le bobinage possède une résistance linéique λ.
Un point M intérieur au tore est repéré par ses coordonnées cylindriques : OM^(→−) = ruˆ_r + zuˆ_z avec r ∈ [a, b] et z ∈ [0, c].
Un fil rectiligne infini de même axe ( O, z ) est parcouru par un courant d'intensité i(t). On note i_1(t) l'intensité du courant circulant dans la bobine torique. On se place dans l'approximation des états quasi-stationnaires.
  • 13 - Rappeler ce qu'on appelle approximation des états quasi-stationnaires. Montrer que cette approximation permet de simplifier l'équation de Maxwell-Ampère. Énoncer dans ce cas le théorème d'Ampère.
  • 14 - Montrer qu'au point M intérieur au tore, le champ magnétique peut se mettre sous la forme B⃗ = B(r)uˆ_θ où l'on précisera l'expression de B(r) en fonction de μ_0, i(t), i_1(t), N et r.
15 - Calculer le flux Φ de B⃗ à travers le bobinage et en déduire les expressions des coefficients d'autoinductance L du bobinage et de mutuelle inductance M entre le fil et le bobinage.
16-Déterminer l'expression de la résistance totale R_p du bobinage en fonction de a, b, c, N et λ.
On se place en régime sinusoïdal forcé avec i(t) = I_0√2cos(ωt) associée à l'intensité complexe i_– = I_0√2e^(jωt) et i_1(t) = I_1√2cos(ωt + φ_1) associée à l'intensité complexe i_–_1 = I_1√2e^(jωt)e^(jφ_1).
  • 17 - Le bobinage formant un circuit fermé, déterminer l'expression de la fonction de transfert H_– = (i_–_1)/(i_–) en fonction de M, ω, R_p et L.
18-Dans quel régime de pulsation ce dispositif peut-il former une pince ampèremétrique?

IV. - Étude thermique d'un objet torique

Figure 5 - Vue éclatée du système. L'axe ( O, z ) est celui du tore
Un tore de section carrée a × a et de rayon intérieur a (donc de rayon extérieur 2a ) est fabriqué dans un matériau de masse volumique μ, de capacité calorifique massique c et de conductivité thermique λ.
Le profil des températures possède la symétrie cylindrique: T ne dépend que du rayon r et du temps t soit T(r, t). La face intérieure ( r = a, θ ∈ [0, 2π[, z ∈ [0, a] ) et la face extérieure ( r = 2a, θ ∈ [0, 2π[, z ∈ [0, a] ) sont placées dans le vide.
Sur les faces parallèles ( z = 0 ou z = a ), on pose deux disques parfaitement isolants thermiquement et de surface parfaitement réfléchissantes.
  • 19 - En effectuant un bilan thermique sur la portion torique définie par l'intervalle [r, r + dr], montrer que le champ des températures vérifie l'équation
ξr(∂T)/(∂t) = (∂(r(∂T)/(∂r)))/(∂r)
où l'on exprimera ξ en fonction des grandeurs caractéristiques du matériau et l'on précisera son unité.
20 - On cherche, pour cette équation, une solution stationnaire à variables séparées sous la forme T(r, t) = ρ(r)η(t). Établir les deux équations différentielles vérifiées respectivement par ρ(r) et η(t) en faisant apparaître une constante χ commune à ces deux équations.
  • 21 - Déterminer l'expression de η(t) sans chercher à caractériser la ou les constantes d'intégration. Quel est le signe de χ ?
  • 22 - Pour la fonction ρ(r), on cherche une solution développable en série entière sous la forme ρ(r) = ∑_(n = 0)^∞α_n r^n. Après avoir rapidement justifié cette recherche, déterminer les expressions des α_(2p) et des α_(2p + 1) pour tout entier p positif ou nul.
  • 23 - En examinant tous les transferts thermiques possibles sur la face interne, justifier le fait que (dρ)/(dr)|_(r = a) = 0.
Figure 6 - La fonction ρ(r)
La fonction ρ(r) qui admet le développement en série déterminé à la question 22 et qui vérifie la condition aux limites imposée par la question 23 s'exprime en utilisant les fonctions de Bessel de première (J) et de deuxième (Y) espèces. Elle s'écrit
ρ(r) = K[J_0(r) − (J_1(a))/(Y_1(a))Y_0(r)]
où K est une constante d'intégration. La courbe représentative de cette fonction sur le domaine d'étude et pour K = 1 et a = 1 fait l'objet de la figure 6.
  • 24 - À un instant t donné, on suppose que la face externe, assimilée à un corps noir, est en quasi équilibre thermique. En utilisant la loi de Stefan-Boltzmann, établir la deuxième condition aux limites vérifiée par ρ en r = 2a. Montrer que l'on arrive alors à une contradiction. Quelle hypothèse doit-elle être remise en question?
  • 25 - En admettant que la solution précédente convienne malgré tout, décrire l'évolution de la température dans le tore au cours du temps en traçant sur un même graphique les profils des températures à diverses dates. Justifier en particulier le fait que T tend uniformément vers zéro.

FIN DE LA PARTIE IV

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines MP 2014 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines MP 2014 ?

Mécanique du solide, électromagnétisme en régime permanent, induction avec inductances propre et mutuelle, diffusion et rayonnement thermiques, le tout autour d'objets de forme torique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique 1 Mines MP 2014 ?

Un théorème de König mal écrit, des arguments de symétrie imprécis, l'oubli du nombre de spires dans le flux, une surface latérale traitée comme constante et l'oubli du rayonnement thermique dans le vide.

Le sujet physique 1 Mines-Ponts MP 2014 est-il difficile ?

Le jury le trouve un peu long pour trois heures, mais juge les parties 2, 3 et le début de la partie 4 classiques et faciles. Un candidat connaissant bien son cours pouvait obtenir une très bonne note.

Quels conseils de rédaction donne le rapport Mines MP physique 1 2014 ?

Faire des schémas, nommer la loi utilisée avant un calcul, vérifier l'homogénéité, écrire l'élément différentiel dans les intégrales et encadrer les résultats.

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