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Le groupe SL_n(Z) : générateurs, réduction modulo p et sous-groupes finis

Le problème étudie le groupe des matrices entières de déterminant 1, SL_n(Z). Il établit d'abord que ce groupe est engendré par les matrices élémentaires M_i,j = I_n + E_i,j, à l'aide d'opérations élémentaires sur les colonnes, puis que la réduction modulo un nombre premier p définit un morphisme surjectif vers SL_n(Z/pZ).

1Le groupe SL_n(Z)Montrer que SL_n(Z) est un sous-groupe de SL_n(Q), que les matrices élémentaires M_i,j l'engendrent, et que la réduction modulo un nombre premier p définit un morphisme surjectif vers SL_n(Z/pZ).
2Sous-groupes finis de SL_n(Z)Montrer que tout élément d'un sous-groupe fini de GL_n(R) est diagonalisable sur C, construire un produit scalaire invariant par le groupe, classifier les sous-groupes finis de SL_2(Z) selon leur cardinal, et établir des majorations générales du cardinal d'un sous-groupe fini de SL_n(Z) à l'aide de la trace.
3Morphismes de groupes et SL_n(Z)Montrer que tout morphisme de SL_n(Z) vers un groupe commutatif est constant, et que tout morphisme de groupes surjectif de SL_n(Z) sur lui-même est bijectif.

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SESSION 2006

Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 6 heures

L'usage de calculatrice est interdit

NOTATIONS ET CONVENTIONS

Soit

G

un groupe et soit

S

une partie de

G

. On appelle sous-groupe de

G

engendré par

S

l'intersection de tous les sous-groupes de

G

qui contiennent

S

. On dit que

S

engendre

G

si le sous-groupe de

G

engendré par

S

est

G

.
Un élément

g

G

est d'ordre fini si le sous-groupe de

G

engendré par

{g}

est fini. On appelle alors ordre de

g

le cardinal de ce sous-groupe. Si

G

est fini, le cardinal de tout sous-groupe de

G

divise le cardinal de

G

; en particulier, tout élément de

G

est d'ordre fini et son ordre divise le cardinal de

G

Dans tout le problème,

n

est un entier naturel non nul. Soit k un corps; on note

$ℳ_n(k)$ la $k$ -algèbre des matrices carrées à $n$ lignes à coefficients dans $k$ ;
$GL_n(k)$ le groupe des éléments inversibles de $ℳ_n(k)$ ;
$I_n$ l'élément neutre de $GL_n(k)$ , c'est-à-dire la matrice identité de taille $n$ ;
$SL_n(k)$ le sous-groupe de $GL_n(k)$ formé des matrices de déterminant 1;
$SL_n(Z)$ l'ensemble des matrices de $SL_n(Q)$ à coefficients dans $Z$ .

Pour tous éléments distincts

i

j

{1, \dots, n}

, on note

E_(i, j)

l'élément de

ℳ_n(Q)

dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la

i

-ième ligne et de la

j

-ième colonne, qui vaut 1 . On pose

M_(i, j) = I_n + E_(i, j)

; c'est un élément de

SL_n(Z)

Le groupe $SL_n(Z)$

Montrer que $SL_n(Z)$ est un sous-groupe de $SL_n(Q)$ (on pourra utiliser l'expression de l'inverse d'une matrice en fonction de sa comatrice).
Pour tous entiers distincts $i$ et $j$ dans ${1, \dots, n}$ et tout entier relatif $m$ , calculer $(M_(i, j))^m$ .
Soit $M$ une matrice à $n$ colonnes, non nécessairement carrée, à coefficients dans Z. On appelle opération élémentaire restreinte sur les colonnes de $M$ la multiplication à droite de $M$ par une matrice $(M_(i, j))^m$ , où $m \in Z$ et où $i$ et $j$ sont des éléments distincts de ${1, \dots, n}$ . Comment s'expriment les colonnes de la matrice $M(M_(i, j))^m$ en fonction de celles de $M$ ?
On suppose $n ⩾ 2$ . Soient $a_1, \dots, a_n$ des entiers relatifs. Montrer que l'on peut, par des opérations élémentaires restreintes sur ses colonnes, transformer la matrice ligne

(a_1, a_2, \dots, a_n)

en la matrice ligne

(d, 0, \dots, 0)

où

d

est le pgcd positif de

a_1, a_2, \dots, a_n

.
5. Montrer que l'ensemble des matrices

M_(i, j)

, pour

i

j

distincts dans

{1, \dots, n}

, engendre le groupe

SL_n(Z)

.
6. Soit

p

un nombre premier, de sorte que

Z/pZ

est un corps.
a) Montrer que la réduction modulo

p

des coefficients d'une matrice permet de définir un morphisme de groupes

φ_(n, p) : SL_n(Z) \to SL_n(Z/pZ)

b) Montrer que

φ_(n, p)

est surjectif (on pourra utiliser la question 4 et raisonner par récurrence sur

n

Sous-groupes finis de $SL_n(Z)$

Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(R)$ .
a) Montrer que tout élément $M$ de $G$ est diagonalisable sur $C$ et que

Tr(M) = Tr(M^(- 1)) |Tr(M)| ⩽ n

Quels sont les éléments de

G

de trace

n

? Quels sont ceux de trace

- n

?
b) Montrer que la matrice

U = \sum_(M \in G)^t MM

est symétrique définie positive.
c) On munit

R^n

du produit scalaire de matrice

U

dans la base canonique. Montrer que les endomorphismes de

R^n

dont la matrice dans la base canonique est un élément de

G

sont orthogonaux pour ce produit scalaire.
8. Soit

G

un sous-groupe fini de

SL_2(Z)

.
a) Montrer que le groupe

G

est cyclique (on pourra utiliser la question 7.c)).
b) Montrer que le cardinal de

G

est

1, 2, 3, 4

ou 6 .
c) Déterminer tous les éléments de

SL_2(Z)

d'ordre 2 .
d) Caractériser les éléments de

SL_2(Z)

d'ordre 3, puis 4, puis 6, à l'aide de leur trace.
e) Pour chaque

g \in {1, 2, 3, 4, 6}

, donner un exemple de sous-groupe

de_2(Z)

de cardinal

g

.
9. Soit

M

un élément de

SL_3(Z)

d'ordre fini. Déterminer les valeurs possibles de sa trace et déterminer l'ordre de

M

en fonction de celle-ci.
10. Considérons des matrices carrées, à coefficients dans un corps k , dont les lignes et les colonnes sont indexées par un ensemble fini

I

pas nécessairement ordonné. Si

M = (a_(i, j))_(i, j \in I)

N = (b_(i, j))_(i, j \in I)

sont de telles matrices, on définit la trace de

M

comme

\sum_(i \in I)a_(i, i)

, la somme

M + N

comme la matrice

(a_(i, j) + b_(i, j))_(i, j \in I)

et le produit

MN

comme la matrice

(c_(i, j))_(i, j \in I)

, où

c_(i, j) = \sum_(k \in I)a_(i, k)b_(k, j)

. On définit ainsi une k-algèbre; on notera

ℳ_I(k)

cette algèbre et

GL_I(k)

le groupe de ses éléments inversibles. Si

I

est de cardinal

n

, le choix d'une bijection entre

I

{1, \dots, n}

induit un isomorphisme de k-algèbres entre

ℳ_I(k)

ℳ_n(k)

. On identifiera en particulier

GL_({1, …, n})(k)

GL_n(k)

Soient

I

I^'

des ensembles finis, soit

M = (a_(i, j))_(i, j \in I)

un élément de

ℳ_I(R)

et soit

M^' = (b_(i^', j^'))_(i^', j^' \in I^')

un élément de

ℳ_(I^')(R)

. On définit un élément

M⋆M^' = (c_((i, i^'), (j, j^')))

ℳ_(I \times I^')(R)

en posant

c_((i, i^'), (j, j^')) = a_(i, j)b_(i^', j^')

pour tous

i, j \in I

i^', j^' \in I^'

.
Enfin, pour tout entier

r

strictement positif, on définit un élément

M^(⋆r)

ℳ_(I^r)(R)

par récurrence sur

r

en posant

M^(⋆1) = M

M^(⋆r) = M^(⋆(r - 1))⋆M

.
a) Calculer la trace de

M⋆M^'

en fonction de celles de

M

et de

M^'

.
b) Soient

N

un élément de

ℳ_I(R)

N^'

un élément de

ℳ_(I^')(R)

. Exprimer la matrice

(MN)⋆(M^' N^')

en fonction des matrices

M⋆M^'

N⋆N^'

.
c) Soit

r

un entier strictement positif. Montrer qu'en associant à

M

la matrice

M^(⋆r)

, on définit un morphisme de groupes

ψ_r : GL_I(R) \to GL_(I^r)(R)

Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(R)$ de cardinal $g$ . On pose

S = \sum_(M \in G)M

a) Montrer que la trace de

S

est un entier divisible par

g

(on pourra calculer

S^2

).
b) Soit

r

un entier strictement positif. Décrire le noyau de la restriction à

G

du morphisme de groupes

ψ_r : GL_n(R) → GL_({1, …, n}^r)(R)

défini dans la question 10.c) (on pourra étudier la trace des éléments de ce noyau).
c) Montrer que pour tout entier naturel

r

, la somme

\sum_(M \in G)Tr(M)^r

est un entier divisible par

g

.
12. Soit

G

un sous-groupe fini de

SL_n(Z)

de cardinal

g

.
a) Soit

{t_0, t_1, …, t_s}

l'ensemble des traces (distinctes) des éléments de

G

, avec

t_0 = n = Tr(I_n)

. Montrer que

(n - t_1)\dots(n - t_s)

est un entier divisible par

g

(on pourra poser

P(X) = (X - t_1)\dots(X - t_s)

et considérer la somme

\sum_(M \in G)P(Tr(M))

).
b) En déduire que

g

divise (

2n

)! et que si

n

est impair,

g

divise (

2n - 1

)!.
c) Si

n = 3

, montrer que

g

divise 24 (on pourra utiliser la question 9 ).
13. a) Construire pour chaque entier

n ⩾ 2

un sous-groupe de

SL_n(Z)

de cardinal

2^(n - 1)n

! (si

T

est l'ensemble des vecteurs colonnes à

n

lignes dont tous les coefficients sont nuls sauf un qui vaut

\pm 1

, on pourra considérer les matrices qui appliquent l'ensemble

T

dans lui-même).
b) En déduire le cardinal maximal d'un sous-groupe fini de

SL_3(Z)

.
14. Soit

p

un nombre premier et soit

M

un élément de

SL_n(Z)

d'ordre

p

. On note

m

le pgcd positif de tous les coefficients de

M - I_n

.
a) Montrer que

m

divise

p

(on pourra écrire

M = I_n + mN

et développer

(I_n + mN)^p

).
b) Montrer que soit

m = 1

, soit

m = p = 2

.
15. Soit

G

un sous-groupe fini de

SL_n(Z)

de cardinal

g

.
a) Montrer que la restriction à

G

du morphisme de groupes

φ_(n, 3) : SL_n(Z) \to SL_n(Z/3Z)

défini dans la question 6.a) est injective.
b) En déduire que

g

divise

1/2(3^n - 1)(3^n - 3)\dots(3^n - 3^(n - 1))

.
c) Si

n = 4

, montrer que

g

divise 5760 .
16. Montrer que tout groupe fini de cardinal

g

est isomorphe à un sous-groupe

de_(SL_g(Z).)

Morphismes de groupes et $SL_n(Z)$

Montrer qu'il existe un morphisme de groupes surjectif

SL_2(Z) \to Z/2Z

(on pourra montrer que

SL_2(Z/2Z)

est isomorphe à un groupe de permutations).
18. On suppose dans cette question

n ⩾ 3

.
a) Soient

i, j

k

des éléments deux à deux distincts de

{1, \dots, n}

. Calculer le produit

M_(i, j)M_(j, k)(M_(i, j))^(- 1)(M_(j, k))^(- 1)

b) Soit

G

un groupe commutatif. Montrer que tout morphisme de groupes

SL_n(Z) \to G

est constant.
19. Soit

G

un groupe engendré par une partie finie et soit

H

un groupe fini.
a) Montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de morphismes de groupes de

G

dans

H

.
b) Soit

u : G \to G

un morphisme de groupes surjectif. Montrer que pour tout morphisme de groupes

v : G \to H

, on a

Ker(u) \subset Ker(v)

.
20. En déduire que tout morphisme de groupes surjectif

SL_n(Z) \to SL_n(Z)

est bijectif.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 des ENS MP 2006 ?

Il porte sur la théorie des groupes (générateurs, morphismes), l'algèbre linéaire sur les entiers (matrices élémentaires, réduction modulo p) et la réduction des matrices (diagonalisation, trace), autour du groupe SL_n(Z).

Ce sujet demande-t-il de connaître la réduction des endomorphismes ?

Oui, la partie sur les sous-groupes finis utilise la diagonalisabilité sur C des éléments d'ordre fini et des majorations faisant intervenir la trace de ces matrices.

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

La première partie établit des résultats de base (générateurs, réduction modulo p) réutilisés dans les parties suivantes consacrées aux sous-groupes finis et aux morphismes de groupes.

Que démontre la dernière partie de ce sujet sur les morphismes de groupes ?

Elle montre que tout morphisme de groupes de SL_n(Z) dans un groupe commutatif est constant, puis en déduit que tout morphisme surjectif de SL_n(Z) sur lui-même est nécessairement bijectif.

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MATHÉMATIQUES MPI 1

NOTATIONS ET CONVENTIONS

Le groupe SL_n(Z)

Sous-groupes finis de SL_n(Z)

Morphismes de groupes et SL_n(Z)

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 des ENS MP 2006 ?

Ce sujet demande-t-il de connaître la réduction des endomorphismes ?

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

Que démontre la dernière partie de ce sujet sur les morphismes de groupes ?

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Le groupe $SL_n(Z)$

Sous-groupes finis de $SL_n(Z)$

Morphismes de groupes et $SL_n(Z)$