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Décomposition de Littlewood-Paley, espaces de Hölder et caractérisation fonctionnelle de la régularité
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Le problème construit un outil d'analyse harmonique, la décomposition de Littlewood-Paley, pour caractériser la régularité höldérienne d'une fonction à partir du comportement de sa transformée de Fourier localisée en fréquence. La partie I construit une partition de l'unité dyadique C∞ à support compact en fréquence et les opérateurs de troncature Δq associés. La partie II caractérise les espaces de Hölder C^(0,α) par la décroissance en 2^(-qα) de la norme sup des blocs Δq u. La partie III établit une caractérisation analogue de la régularité C¹ pour les fonctions à support compact.

  1. 1Partie I : construction de la décomposition de Littlewood-PaleyConstruction de fonctions plateau C∞ à support compact, d'une partition dyadique de l'unité en fréquence, puis des opérateurs de troncature Δq et de leurs noyaux de convolution associés, avec estimation de leurs normes.
  2. 2Partie II : caractérisation des espaces de Hölder C^(0,α)Définition de la norme de Hölder, étude de ses propriétés (norme complète, produit de deux fonctions höldériennes), puis démonstration de l'équivalence entre appartenance à C^(0,α) et décroissance géométrique de la norme sup des blocs de Littlewood-Paley.
  3. 3Partie III : caractérisation de la régularité C¹Étude de l'espace C*¹ défini par une condition de décroissance linéaire sur les blocs de Littlewood-Paley, comparaison avec l'espace C¹ classique et obtention d'une estimation logarithmique de continuité.

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Filière MP (groupes MP/MPI et groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filières MP PC (groupe I)Épreuve optionnelle commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES MPI 2

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Sujet

Notations

Toutes les fonctions considérées dans ce sujet vont de ℝ vers ℂ.
Une fonction continue u de ℝ vers ℂ est dite "à support compact" si u est nulle en dehors d'un intervalle borné. En particulier si u est une fonction continue à support compact, ∫_(− ∞)^(+ ∞)|u(x)|dx et ∫_(− ∞)^(+ ∞)|u(x)|^2 dx convergent.
Si u est une fonction continue telle que ∫_(− ∞)^(+ ∞)|u(x)|dx converge, on définit sa transformée de Fourier Fu par
Fu(ξ) = 1/(√(2π))∫_ℝ u(x)e^(− iξx)dx
La transformée de Fourier Fu est alors une fonction de ℝ vers ℂ.
On définit de même
Su(y) = 1/(√(2π))∫_ℝ u(x)e^(ixy)dx
qui est une fonction de ℝ vers ℂ.
Si u est une fonction de ℝ vers ℂ on note
‖u‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|u(x)|
et
‖u‖_2 = (∫_(− ∞)^(+ ∞)|u(x)|^2 dx)^(1/2)
ces quantités étant infinies respectivement si u n'est pas bornée ou si |u|^2 n'est pas intégrable sur ℝ.
On admettra les deux résultats suivants que l'on pourra utiliser en particulier aux questions 1.6 et 2.6: pour toute fonction continue u telle que ∫_ℝ|u(x)|dx et ∫_ℝ|u(x)|^2 dx convergent on a
‖Fu‖_2 = ‖u‖_2
et
F(Su)(ξ) = u(ξ)
pour tout ξ ∈ ℝ.

Partie I

1.1) Soit φ_0 la fonction définie par φ_0(x) = e^(− 1/x^2) si x > 0 et φ_0(x) = 0 si x ≤ 0. Montrer que pour x > 0 et k ∈ ℕ, d^k φ_0/dx^k est de la forme P_k(x)e^(− 1/x^2)/Q_k(x) où P_k et Q_k sont deux polynômes. En déduire que φ_0 est une fonction C^∞ sur ℝ.
1.2) Vérifier que φ_0(x)φ_0(1 − x) est une fonction C^∞ sur ℝ, nulle en dehors de [0, 1]. Montrer que pour tout intervalle [a, b](a < b) il existe une fonction de classe C^∞, strictement positive sur ]a, b[ et nulle en dehors de [a, b].
1.3.a) Soit ψ une fonction strictement positive sur ]3/4, 8/3[, nulle en dehors de cet intervalle. Montrer que pour tout x ∈ ℝ,
∑_(q ≥ 0)ψ(2^(− q)|x|)
ne comporte qu'au plus deux termes non nuls. Soit φ(x) défini par
φ(x) = (ψ(|x|))/(ψ(2|x|) + ψ(|x|) + ψ(2^(− 1)|x|))
si ψ(|x|) ≠ 0 et par φ(x) = 0 sinon. Montrer
∑_(q = 0)^(+ ∞)φ(2^(− q)|x|) = 1
pour |x| ≥ 3/2.
1.3.b) Montrer qu'il existe deux fonctions C^∞ sur ℝ, χ(x) (paire et nulle en dehors de l'intervalle [ − 2, 2] ) et φ(x) (nulle en dehors de l'intervalle [ 3/4, 8/3 ]) telles que
χ(x) + ∑_(q = 0)^(+ ∞)φ(2^(− q)|x|) = 1
1.3.c) Montrer que χ^2(x) + ∑_(q = 0)^(+ ∞)φ^2(2^(− q)|x|) est minoré par une constante strictement positive sur ℝ.
1.4) Soit u une fonction continue à support compact. On définit pour q ∈ ℕ
Δ_q u = S(φ(2^(− q)|ξ|)Fu(ξ))
et
Δ_(− 1)u = S(χ(ξ)Fu(ξ))
Vérifier que Δ_q u et Δ_(− 1)u définissent des fonctions C^∞ sur ℝ.
1.5) Soit q ∈ ℕ. Montrer que Δ_q u peut se mettre sous la forme
Δ_q u(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)h_q(x − y)u(y)dy
où
h_q(z) = 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)φ(2^(− q)|ξ|)e^(izξ)dξ
1.6) Vérifier que h_q est une fonction C^∞ sur ℝ. Montrer que |h_q(x)|, |h_q(x) ⋅ x| et |h_q(x) ⋅ x^2| sont bornées sur ℝ. Montrer que
∫_(− ∞)^(+ ∞)h_q(y)dy = 0
(on pourra utiliser (2)), et montrer que ∫_(− ∞)^(+ ∞)|h_q(y)|dy est indépendant de q.
1.7) Montrer que Δ_(− 1)u peut se mettre sous la forme
Δ_(− 1)u(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)g(x − y)u(y)dy
où g est une fonction C^∞ sur ℝ. Vérifier que |g(x)|, |g(x).x| et |g(x).x^2| sont bornées sur ℝ.
1.8) Montrer qu'il existe une constante C (ne dépendant pas de u ) telle que pour tout q ∈ ℕ on ait
‖Δ_q u‖_∞ ≤ C‖u‖_∞
et
‖(Δ_q u)^′‖_∞ ≤ C2^q‖u‖_∞
(le ' désignant la dérivée en x ).

Partie II

Pour 0 < α < 1 on définit l'espace de Hölder C^(0, α) comme étant l'ensemble des fonctions continues u(x) telles que
‖u‖_(C^(0, α)) = sup_(x ∈ ℝ)|u(x)| + sup_(x < y)(|u(y) − u(x)|)/(|y − x|^α) < + ∞
2.1) Montrer que ‖ ⋅ ‖_(C^(0, α)) est une norme sur C^(0, α). Montrer que C^(0, α) muni de la norme ‖ ⋅ ‖_(C^(0, α)) est complet.
2.2) Montrer que si u ∈ C^(0, α) et v ∈ C^(0, α) alors uv ∈ C^(0, α) et
‖uv‖_(C^(0, α)) ≤ C(‖u‖_∞‖v‖_(C^(0, α)) + ‖v‖_∞‖u‖_(C^(0, α)))
pour une certaine constante C indépendante de u et de v.
2.3) Est ce que C^1 (ensemble des fonctions continûment dérivables sur ℝ ) est l'ensemble des fonctions continues sur ℝ telles que
sup_(x ∈ ℝ)|u(x)| + sup_(x < y)(|u(y) − u(x)|)/(|y − x|) < + ∞?
2.4) Soit α > 1. Montrer que
{u ∈ C^0 | sup_(x ∈ ℝ)|u(x)| + sup_(x < y)(|u(y) − u(x)|)/(|y − x|^α) < + ∞}
est l'ensemble des fonctions constantes.
2.5) Soit 0 < α < 1. Soit u ∈ C^(0, α). Montrer que les formules (3) et (4) définissent bien des fonctions bornées Δ_q u, et que
sup_(− 1 ≤ q < + ∞)2^(qα)‖Δ_q u‖_∞ < ∞
Indication: montrer que pour q ≥ 0, Δ_q u peut s'écrire sous la forme
Δ_q u(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(u(y) − u(x))h_q(x − y)dy
2.6) Soit 0 < α < 1. Soit u une fonction continue à support compact. On suppose que
sup_(q ≥ − 1)2^(qα)‖Δ_q u‖_∞ < + ∞
Soit p ≥ 0. Posons S_p u = ∑_(q = − 1)^(p − 1)Δ_q u et R_p u = ∑_(q = p)^(+ ∞)Δ_q u.
2.6.1) Montrer que R_p u est bien définie et est une fonction continue et bornée.
2.6.2) Montrer que ‖u − S_p u‖_2 tend vers 0 quand p tend vers l'infini (on pourra utiliser (1) et (2)). En déduire que
u = ∑_(q = − 1)^∞Δ_q u
c'est-à-dire u = S_p u + R_p u.
2.6.3) Montrer qu'il existe une constante C_0 telle que pour tout q ≥ 0,
‖(Δ_q u)^′‖_∞ ≤ C_0 2^q‖Δ_q u‖_∞
2.6.4) Montrer qu'il existe une constante C_1 telle que pour tout p ≥ 0,
‖(S_p u)^′‖_∞ ≤ C_1 2^(p(1 − α))
2.6.5) Vérifier
|u(x) − u(y)| ≤ |x − y| ⋅ ‖(S_p u)^′‖_∞ + 2‖R_p‖_∞
2.6.6) Montrer que u ∈ C^(0, α) en choisissant astucieusement p.

Partie III

On note C_⋆^1 l'ensemble des fonctions u continues et à support compact sur ℝ telles que sup_(− 1 ≤ q < + ∞)2^q‖Δ_q u‖_∞ < + ∞.
3.1) Soit u ∈ C_⋆^1. Montrer que
|u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)| ≤ |y|^2∑_(q < p)‖(Δ_q u)^(′′)‖_∞ + 4∑_(q ≥ p)‖Δ_q u‖_∞
En déduire qu'il existe une constante C telle que
|u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)| ≤ C|y|
pour tous x et y.
3.2) Enoncer et démontrer une réciproque de la question précédente.
3.3) Montrer que si u ∈ C_⋆^1 alors il existe une constante C telle que pour tous x et y tels que |x − y| < 1 on ait
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|(1 − log|x − y|)
3.4) Comparer C_⋆^1 et C^1 (pour les fonctions à support compact).

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 ENS MP-PC 2006 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 ENS MP-PC 2006 ?

Le sujet porte sur l'analyse de Fourier avancée (transformée de Fourier, décomposition en blocs de fréquence) et les espaces fonctionnels höldériens, pour caractériser la régularité d'une fonction par le comportement de ses composantes fréquentielles.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties II et III s'appuient directement sur les constructions et résultats établis dans la partie I (fonctions plateau, opérateurs de troncature Δq), qui sert de socle technique à tout le problème.

Qu'est-ce que la décomposition de Littlewood-Paley étudiée dans ce sujet ?

C'est une méthode qui décompose une fonction en une somme de blocs Δq u, chacun concentré sur une bande de fréquences dyadique, permettant de traduire des propriétés de régularité (Hölder, C¹) en conditions de décroissance sur la taille de ces blocs.

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