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Minimisation d'une fonctionnelle de type Ginzburg-Landau et comportement asymptotique des minimiseurs
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Le problème étudie la minimisation, sur les fonctions nulles au bord, d'une fonctionnelle d'énergie combinant l'énergie de la dérivée et un terme de double puits en (1-u²)². Il établit d'abord des outils sur les fonctions continues par morceaux et leurs primitives généralisées, puis étudie les propriétés qualitatives des minimiseurs u_lambda (équation d'Euler-Lagrange, non-unicité, convergence vers ±1), avant de déterminer le comportement asymptotique exact de l'énergie minimale quand le paramètre lambda tend vers l'infini.

  1. 1Partie I : outils sur les fonctions continues par morceauxOn établit des résultats préliminaires sur les primitives de fonctions continues par morceaux, une inégalité de Cauchy-Schwarz et une caractérisation des fonctions constantes par une condition variationnelle.
  2. 2Partie II : étude du minimiseur u_lambdaOn établit l'équation d'Euler-Lagrange vérifiée par le minimiseur, sa régularité, la non-unicité du minimiseur pour lambda grand, et la convergence de son carré vers 1 presque partout quand lambda tend vers l'infini.
  3. 3Partie III : minoration asymptotique de l'énergie minimaleOn établit une minoration de l'énergie minimale en fonction de lambda à l'aide d'une inégalité de type Young et d'une fonction auxiliaire F.
  4. 4Partie IV : équivalent exact de l'énergie minimaleOn résout une équation différentielle auxiliaire pour construire une famille de fonctions tests optimales et établir l'équivalent exact de l'énergie minimale, puis on généralise à des configurations à plusieurs transitions.

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SESSION 2005

Filière MP (groupes MP/MPI et groupe I)
Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filières MP PC (groupe I)Épreuve optionnelle commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES MPI 2

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Notations

Dans tout le problème, on notera C l'ensemble des fonctions réelles définies sur [0, 1] et continues par morceaux. On rappelle que g ∈ C signifie qu'il existe une subdivision de [0, 1], {0 = x_1 < ⋯ < x_N = 1} telle que pour i ∈ {1, ⋯, N − 1}, g soit continue sur chaque intervalle de la forme ]x_i, x_(i + 1)[, et qu'en plus g admette des limites finies g(x_i + 0) et g(x_(i + 1) − 0) à gauche et à droite de chacun de ces intervalles.
Par ailleurs, on définit D l'ensemble des fonctions réelles f continues sur [0, 1] et de classe C^1 par morceaux. Cela signifie qu'il existe une subdivision de [0, 1], {0 = x_1 < ⋯ < x_N = 1} telle que pour i ∈ {1, ⋯, N − 1}, f soit continûment dérivable sur chaque intervalle de la forme ]x_i, x_(i + 1)[, et qu'en plus f^′ admette des limites finies f^′(x_i + 0) et f^′(x_(i + 1) − 0) à gauche et à droite de chacun de ces intervalles.
Dans ces deux cas la partition {0 = x_1 < ⋯ < x_N = 1} de [0, 1] est appelée partition subordonnée à f (ou à g ). On remarquera qu'il n'y a pas qu'une seule partition subordonnée à une fonction f donnée.
Enfin, on note D_0 = {u ∈ D tel que u(0) = u(1) = 0}.

Partie I

1.a Soit f ∈ D. Démontrer qu'il existe g ∈ C telle que
∀x ∈ [0, 1], f(x) = f(0) + ∫_0^x g(s)ds
Réciproquement, montrer que si g ∈ C, la fonction f définie par
∀x ∈ [0, 1], f(x) = ∫_0^x g(s)ds
est un élément de D.
1.b Soient f ∈ D et g ∈ C vérifiant (1). Montrer que si l'on note {x_1, ⋯, x_N} une partition subordonnée à f, alors g est définie de manière unique sur ∪ _(i = 1)^(N − 1)]x_i, x_(i + 1)[. Dans toute la suite du problème, une fonction g ∈ C vérifiant
(1) sera appelée une dérivée de f. Pour f ∈ D, on désignera par f^′ une dérivée de f.
1.c Montrer que si f_1 et f_2 sont deux fonctions de D possédant respectivement des dérivées g_1 et g_2, alors le produit f_1 f_2 appartient à D et admet f_1 g_2 + f_2 g_1 pour dérivée.
2. Soit g ∈ C. Démontrer que
∫_0^1 g(x)^2 dx ≥ (∫_0^1 g(x)dx)^2
Montrer aussi qu'il y a égalité si et seulement si il existe une constante C telle que g(x) = C sauf éventuellement en un nombre fini de points x de [0, 1].
3. Soit g ∈ C. Montrer que la fonction f définie par
∀x ∈ [0, 1], f(x) = ∫_0^x g(s)ds − x∫_0^1 g(s)ds
appartient à l'ensemble D_0.
4. Soit g ∈ C, démontrer que g vérifie
∀θ ∈ D_0, ∫_0^1 g(s)θ^′(s)ds = 0
si et seulement si il existe une constante C telle que g(x) = C sauf éventuellement en un nombre fini de points x de [0, 1].
5. Soient f, g ∈ C vérifiant
∀θ ∈ D_0, ∫_0^1(f(s)θ^′(s) + g(s)θ(s))ds = 0
Montrer qu'alors il existe f~ ∈ D telle que f coïncide avec f~ sauf éventuellement en un nombre fini de points et que
∀x ∈ [0, 1], f~(x) = f~(0) + ∫_0^x g(s)ds
Observer que si de plus g ∈ C^0([0, 1]) alors f~ ∈ C^1([0, 1]).

Partie II

Pour tout u ∈ D_0 et tout λ ∈ ℝ^(+ ∗), on note
E_λ(u) = 1/2∫_0^1(u^′(x))^2 dx + λ/4∫_0^1(1 − (u(x))^2)^2 dx
  1. Montrer que E_λ(u) est bien définie pour u ∈ D_0 et qu'en particulier sa valeur ne dépend pas du choix possible de u^′ parmi les dérivées de u.
A partir de maintenant, et jusqu'à la fin du problème, on admettra que pour tout λ ∈ ℝ^(+ ∗), le problème de minimisation
min_(u ∈ D_0)E_λ(u),
a au moins une solution que l'on notera u_λ. Ainsi, u_λ vérifie
{u_λ ∈ D_0,; ∀v ∈ D_0, E_λ(v) ≥ E_λ(u_λ).
Le but du problème est d'étudier u_λ et en particulier son comportement lorsque λ tend vers + ∞.
2.a Soit ψ ∈ D_0. Montrer que
lim_(ε → 0 et ε ≠ 0)(E_λ(u_λ + εψ) − E_λ(u_λ))/ε = ∫_0^1 u_λ^′(x)ψ^′(x) − λ(1 − (u_λ(x))^2)u_λ(x)ψ(x)dx.
2.b En déduire que u_λ vérifie
∀ψ ∈ D_0, ∫_0^1 u_λ^′(x)ψ^′(x) − λ(1 − (u_λ(x))^2)u_λ(x)ψ(x)dx = 0
2.c Montrer que u_λ^′ coïncide avec une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points. En déduire que u_λ est en fait de classe C^1 et que sa dérivée au sens classique vérifie encore (3). Montrer enfin que u_λ est de classe C^2 et vérifie l'équation différentielle
− u_λ^(′′)(x) = λ(1 − (u_λ(x))^2)u_λ(x),
sur ]0, 1[, puis que u_λ est de classe C^∞ sur ]0, 1[.
2.d Montrer qu'il existe une constante C_λ ∈ ℝ telle que
∀x ∈ ]0, 1[, (u_λ^′(x))^2 = λ/2(((u_λ(x))^2 − 1)^2 − C_λ).
2.e Montrer que C_λ ∈ [0, 1]. Montrer ensuite que
∀x ∈ [0, 1], u_λ(x)^2 < 1.
  1. En considérant, pour 0 < ε < 1/2, la fonction v(x) définie par
v(x) = {x/ε si x ∈ [0, ε],; 1 si x ∈ ]ε, 1 − ε[,; (1 − x)/ε si x ∈ [1 − ε, 1],
montrer qu'il existe une constante C indépendante de λ telle que pour tout λ suffisamment grand,
E_λ(u_λ) ≤ C√λ.
En constatant que pour tout u ∈ D_0, E_λ(u) = E_λ(− u), en déduire qu'il existe λ_0 > 0 tel que pour λ ≥ λ_0, la solution u_λ du problème de minimisation (2) n'est pas unique.
4.a Montrer que si l'on pose φ_λ = u_λ^2, alors
lim_(λ → + ∞)∫_0^1(φ_λ(x) − 1)^2 dx = 0
4.b Soit μ_λ = max_(x ∈ [0, 1])|u_λ(x)|. Montrer que
(μ_λ^2 − 1)^2 ≤ ∫_0^1(φ_λ(x) − 1)^2 dx,
puis que
lim_(λ → + ∞)μ_λ = 1.

Partie III

Dans cette partie, on considère une famille de fonctions (v_λ)_(λ > 0) de D_0 vérifiant
∃C > 0, ∀λ > 0, E_λ(v_λ) ≤ C√λ
  1. Justifier le fait qu'une telle famille existe.
  2. Montrer que pour tous x, y ∈ ℝ et ∀ε > 0,
εx^2 + 1/εy^2 ≥ 2xy
En déduire que
E_λ(v_λ) ≥ √(λ/2)∫_0^1|v_λ^′(x)(1 − v_λ^2(x))|dx
  1. On pose η_λ = max_(x ∈ [0, 1])|v_λ(x)|, et on définit la fonction F de ℝ^+dans ℝ^+par
F(θ) = {θ − (θ^3)/3 si 0 ≤ θ ≤ 1,; 4/3 + (θ^3)/3 − θ si θ ≥ 1.
En constatant que F est de classe C^1 sur ℝ^+et que
∀θ ∈ ℝ^+, F^′(θ) = |1 − θ^2|,
montrer que
E_λ(v_λ) ≥ √(2λ)F(η_λ).
  1. Déduire des questions précédentes que
lim_(λ_0 → + ∞)inf_(λ ≥ λ_0)(E_λ(u_λ))/(√λ) ≥ (2√2)/3.

Partie IV

  1. Résoudre l'équation différentielle
{− ψ^(′′)(x) = (1 − ψ^2(x))ψ(x) pour tout x ∈ ℝ,; ψ(0) = 0,; ψ^′(0) = 1/(√2).
Vérifier que
lim_(x → + ∞)ψ(x) = 1
  1. On pose pour 1/2 > ε > 0,
ψ_ε(x) = {ψ(x/ε), si 0 ≤ x ≤ 1/2; ψ((1 − x)/ε), si 1/2 ≤ x ≤ 1
où ψ est la solution de la question précédente.
Calculer E_λ(ψ_ε). Montrer en choisissant convenablement ε que
lim_(λ → + ∞)(E_λ(u_λ))/(√λ) = (2√2)/3.
  1. On considère une subdivision de [0, 1] de la forme 0 = x_1 < x_2 < ⋯ < x_(N − 1) < x_N = 1. Sur cette subdivision, on définit la fonction U par
∀n ∈ {1, ⋯, N − 1}, U|_({x_n, x_(n + 1)|) = (− 1)^n; U(1) = lim_(x → 1^−)U(x)
On considère enfin une famille de fonctions U_λ vérifiant
∀λ > 0, U_λ ∈ D_0; ∃C > 0, ∀λ > 0, E_λ(U_λ) ≤ C√λ; ∀n ∈ {1, ⋯, N − 1}, ∀x ∈ ]x_n, x_(n + 1)[, lim_(λ → + ∞)U_λ(x) = U(x)
3.a Montrer qu'une telle famille existe.
3.b Montrer que
lim_(λ_0 → + ∞)inf_(λ ≥ λ_0)(E_λ(U_λ))/(√λ) ≥ (2(N − 1)√2)/3.
3.c Construire une famille de fonctions V_λ vérifiant les hypothèses (4) telle que
lim_(λ → + ∞)(E_λ(V_λ))/(√λ) = (2(N − 1)√2)/3

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths MPI 2 ENS 2005 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths MPI 2 ENS 2005 ?

Il porte sur l'analyse fonctionnelle (fonctions continues par morceaux, primitives généralisées), le calcul des variations et les équations différentielles non linéaires, autour d'une fonctionnelle d'énergie de type Ginzburg-Landau.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le sujet est progressif : la partie I fournit des outils analytiques utilisés dans la partie II pour étudier le minimiseur, dont les propriétés servent ensuite aux parties III et IV pour déterminer l'équivalent asymptotique de l'énergie minimale.

Qu'est-ce que la fonctionnelle d'énergie étudiée dans ce sujet ?

C'est une fonctionnelle combinant l'énergie de la dérivée d'une fonction et un terme de double puits favorisant les valeurs +1 et -1, un modèle mathématique classique de transition de phase (théorie de Ginzburg-Landau).

Ce sujet est-il accessible sans connaître le calcul des variations ?

Oui, le sujet introduit et démontre lui-même tous les outils nécessaires, notamment l'équation d'Euler-Lagrange, à partir des notions d'intégration et d'équations différentielles du programme de classe préparatoire.

Pas de description pour le moment