WikiPrépaLivrets

X ENS Mathématiques PC 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours X-ENS

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2021FilièrePCMatièreMathématiques
Annales X-ENS PC MathématiquesX-ENS PC 2021PC MathématiquesMathématiques 2021

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Inégalités polynomiales du type ‖Q‖‖R‖ ≤ λ‖QR‖ et mesure de Mahler d'un polynôme
Afficher ou masquer la section

L'épreuve de mathématiques PC 2021 du concours X-ENS étudie des inégalités entre la norme uniforme d'un produit de polynômes et le produit de leurs normes sur une partie fermée, bornée et infinie K de C. Après des résultats généraux et l'étude de la mesure de Mahler, le problème détermine la constante optimale lorsque K est le disque unité fermé, puis lorsque K est un segment de R.

  1. 1Partie I : résultats générauxNorme uniforme sur K dans C[X] et premières propriétés de la constante C(n,m) associée à l'inégalité.
  2. 2Partie II : mesure de MahlerIntégrales généralisées, convergence dominée et dérivation sous l'intégrale pour calculer la mesure de Mahler d'un polynôme en fonction de ses racines.
  3. 3Partie III : cas du disque unité ferméDétermination de la constante optimale lorsque K est le disque unité fermé, à l'aide des résultats de la partie II.
  4. 4Partie IV : cas d'un segment de RPartie la plus longue : transformation des polynômes, équation différentielle et formule donnant la constante optimale sur un segment.

Difficile. Le rapport signale une progression de difficulté assez rapide et une quatrième partie plus longue et plus difficile, où de nombreuses questions n'ont été résolues que par une infime portion des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,06 / 20 · écart-type 3,62 · 1 050 présents · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
9,06/ 20
Écart-type
3,62
Présents
1 050
moyenne 9,0605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Norme vérifiée trop vite · Confusions de cours élémentaires · Dérivée partielle et limite
Afficher ou masquer la section

Le jury apprécie les efforts de rédaction mais regrette un manque de rigueur sur des points élémentaires : calculs algébriques, axiomes d'une norme, bornes supérieures, récurrences simples. Environ 75 % des candidats traitent le même lot de questions ; ceux qui se distinguent mènent à bien deux ou trois questions plus longues demandant un raisonnement en plusieurs étapes. La présentation et la rédaction étaient notées sur 0,8 point.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Norme vérifiée trop vite1.2

    Une question très simple a été mal traitée par oubli de la positivité ou de la justification que la norme est bien définie.

    « qui ont généralement oublié de vérifier la positivité »
  2. 2
    Confusions de cours élémentaires

    Certains candidats pensent qu'une fonction continue périodique est d'intégrale nulle sur une période, ou qu'un polynôme est une application linéaire.

    « Il est très regrettable que certains candidats pensent qu’une fonction continue et périodique est toujours d’intégrale nulle »
  3. 3
    Dérivée partielle et limite2.12

    Le calcul de la dérivée partielle pose problème, et l'étude de la limite de la dérivée est souvent mal justifiée.

    « Le calcul de la dérivée partielle a été problématique pour beaucoup de candidats. »
  4. 4
    Interversion série et intégrale2.14

    L'échange entre somme et intégrale n'est pas toujours justifié correctement.

    « La justification de l’interversion entre série et intégrale n’a pas toujours été justifiée convenablement. »
  5. 5
    Inégalité au lieu d'égalité3.18

    À une question demandant une égalité, certains ne prouvent qu'une inégalité, et très peu s'aident d'un dessin.

    « Certains n’ont montré qu’une inégalité à la place de l’égalité. »
  6. 6
    Questions faciles de la partie IV négligées4.28, 4.29, 4.42

    Des questions simples, comme une vérification élémentaire ou une dérivation directe, ont été peu ou mal traitées.

    « Question assez facile qui a posé des difficultés inattendues à un très grand nombre de candidats. »

Ce qui a été bien réussi

  • La très grande majorité des candidats a réussi le calcul élémentaire de la question 1.3.
  • La question 2.10 a été bien traitée par une bonne partie des candidats.
  • À la question 2.11, une partie non négligeable des candidats a vérifié correctement les conditions d'application du théorème 2 de l'énoncé.
  • Une partie non négligeable des candidats a su obtenir l'inégalité de la question 3.19.

Conseils du jury

  • Lire le sujet intégralement avant de commencer.
  • Énoncer entièrement les théorèmes, vérifier toutes leurs hypothèses et ne pas omettre les quantificateurs aux passages cruciaux.
  • Mettre en évidence les points clés d'une démonstration et citer proprement les questions précédentes utilisées.
  • Traiter avec soin quelques questions plus difficiles plutôt que survoler toutes les questions faciles, sans bâcler les premières questions.
  • Suivre les indications de l'énoncé, qui étaient d'une grande aide dans plusieurs questions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

LUNDI 12 AVRIL 2021
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve n^∘1
MATHEMATI QUES (XEULC)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Problème

Dans tout le problème, ℝ désigne l'ensemble des nombres réels et ℂ l'ensemble des nombres complexes. Par segment de ℝ, on entend un intervalle de la forme [a, b] avec a < b. On note 𝔻 le disque unité fermé dans ℂ :
𝔻 = {z ∈ ℂ||z|≤1}.
L'intérieur et la frontière de 𝔻 sont notés 𝔻^∘ et ∂𝔻 respectivement.
On note ℂ[X] le ℂ-espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes. Pour n ≥ 0, on désigne par ℂ_n[X] le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plus n. Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1 .
Étant donné une partie K de ℂ et un polynôme P ∈ ℂ[X], on pose :
‖P‖_K = sup{|P(z)||z ∈ K} ∈ ℝ ∪ { + ∞}
Le but de ce problème consiste à établir des inégalités de la forme :
‖Q‖_K‖R‖_K ≤ λ‖QR‖_K
où λ ∈ ℝ et Q et R sont des polynômes dans ℂ[X].
Le problème est divisé en quatre parties. Les deux premières parties permettent d'établir quelques résultats préliminaires qui sont utiles dans la suite. La troisième partie porte sur la situation où K est le disque unité fermé 𝔻 dans ℂ et la quatrième partie est consacrée au cas où K est un segment de ℝ.
Dans chaque partie, les définitions et résultats utiles qui ont été introduits antérieurement sont rappelés. Chaque partie peut donc être traitée de manière indépendante. On notera de plus que :
  • les parties I et II sont complètement indépendantes,
  • la partie III utilise les résultats de la partie II mais pas ceux de la partie I,
  • la partie IV utilise les résultats de la partie I mais pas ceux des parties II et III.

Partie I

Soit K une partie fermée, bornée et infinie de ℂ.
1.1. Montrer que ‖P‖_K appartient à ℝ pour tout P ∈ ℂ[X].
1.2. Vérifier que ‖.‖_K est une norme sur ℂ[X].
Dans la suite de cette partie, on fixe deux entiers naturels n et m non nuls, et on pose :
C_(n, m)^K = sup{(‖Q‖_K‖R‖_K)/(‖QR‖_K)| Q ∈ ℂ_n[X]∖{0}, R ∈ ℂ_m[X]∖{0}} ∈ ℝ ∪ { + ∞}.
1.3. Soient Q et R deux polynômes non nuls dans ℂ[X]. Montrer que :
‖Q‖_K‖R‖_K ≥ ‖QR‖_K.
1.4. Montrer que, si l'inégalité précédente est une égalité, alors il existe z_0 ∈ K tel que :
|Q(z_0)| = ‖Q‖_K, |R(z_0)| = ‖R‖_K et |Q(z_0)R(z_0)| = ‖QR‖_K.
1.5. Montrer que C_(n, m)^K > 1.
Pour ce faire, on pourra se donner deux éléments distincts a et b dans K et vérifier que, pour ρ ∈ ℝ assez grand, on a ‖Q_ρ R_ρ‖_K < ‖Q_ρ‖_K‖R_ρ‖_K avec Q_ρ(X) = X − (ρ(b − a) + a) et R_ρ(X) = X − (ρ(a − b) + b).
1.6. On introduit le ℂ-espace vectoriel V = ℂ_n[X] × ℂ_m[X] ainsi que l'ensemble :
E = {(Q, R) ∈ V|‖Q‖_K = ‖R‖_K = 1}.
Montrer qu'il existe un couple (Q_0, R_0) ∈ E tel que :
‖Q_0 R_0‖_K = inf{‖QR‖_K|(Q, R) ∈ E}.
Pour ce faire, on pourra munir V de la norme définie par
‖(Q, R)‖ = ‖Q‖_K + ‖R‖_K
pour (Q, R) ∈ V, puis étudier l'application
f : E, → ℝ; (Q, R), ↦ ‖QR‖_K.
1.7. En déduire qu'il existe deux polynômes unitaires Q_1 ∈ ℂ_n[X] et R_1 ∈ ℂ_m[X] tels que :
(‖Q_1‖_K‖R_1‖_K)/(‖Q_1 R_1‖_K) = C_(n, m)^K.
Les questions 1.5 et 1.7 montrent en particulier que C_(n, m)^K ∈ ]1, + ∞[.

Partie II

Dans cette partie, il sera utile de calculer des intégrales de certaines fonctions qui ne sont pas nécessairement continues par morceaux. On généralise donc la notion d'intégrale absolument convergente de la manière suivante :
Définition 1. Étant donné deux réels a < b et une application f allant d'une partie de [a, b] dans ℝ, on dit que l'intégrale ∫_a^b f(t)dt converge absolument ou que f est intégrable sur [a, b] s'il existe un entier n ≥ 1 et des réels x_0, …, x_n tels que a = x_0 < x_1 < … < x_n = b et, pour tout i ∈ {0, …, n − 1}, la fonction f est bien définie, continue et intégrable sur ]x_i, x_(i + 1)[. On pose alors :
∫_a^b f(t)dt = ∑_(i = 0)^(n − 1)∫_(x_i)^(x_(i + 1))f(t)dt
On admettra que la définition précédente coïncide avec la définition de l'intégrabilité au programme pour les fonctions continues par morceaux. De plus, si besoin, on pourra utiliser librement, sans preuve, les versions améliorées suivantes de certains théorèmes au programme :
Théorème 1 (Théorème de convergence dominée). Soient a < b deux réels. Soient f et φ deux fonctions intégrables sur [a, b] au sens de la Définition 1 et soient D_f et D_φ leurs domaines de définition respectifs. Si ( f_n ) est une suite de fonctions continues par morceaux sur [a, b] convergeant simplement vers f sur le domaine D_f et telle que |f_n(t)| ≤ φ(t) pour tout n ≥ 1 et tout t ∈ D_φ, alors chaque terme de la suite ( f_n ) est intégrable et:
∫_a^b f_n(t)dt→−_(n → + ∞)^∫_a^b f(t)dt
Théorème 2 (Théorème de dérivation sous le signe intégrale). Soient a < b deux réels et I un intervalle de ℝ. Soit φ une fonction intégrable sur [a, b] au sens de la Définition 1 et soit D_φ son domaine de définition. Si f est une fonction définie sur I × [a, b] telle que :
(i) pour tout x ∈ I, la fonction t ↦ f(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur [a, b],
(ii) pour tout t ∈ [a, b], la fonction x ↦ f(x, t) est de classe 𝒞^1 sur I,
(iii) pour tout x ∈ I, la fonction t ↦ (∂f)/(∂x)(x, t) est continue par morceaux sur [a, b],
(iv) pour tout (x, t) ∈ I × D_φ, on a |(∂f)/(∂x)(x, t)| ≤ φ(t),
alors la fonction g : x ↦ ∫_a^b f(x, t)dt est de classe 𝒞^1 sur I et, pour tout x ∈ I :
g^′(x) = ∫_a^b(∂f)/(∂x)(x, t)dt
Soit Q ∈ ℂ[X] un polynôme non nul.
2.8. Vérifier que l'intégrale :
∫_0^(2π)ln|Q(e^(iθ))|dθ
converge absolument au sens de la Définition 1.
On pourra utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss.
On pose:
M(Q) = exp(1/(2π)∫_0^(2π)ln|Q(e^(iθ))|dθ)
et pour p > 0 :
M_p(Q) = 1/(2π)∫_0^(2π)|Q(e^(iθ))|^p dθ
2.9. Expliquer pourquoi M_p(Q) est strictement positif pour tout p > 0.
On définit la fonction :
φ : [0, + ∞[, → ℝ; p, ↦ {ln(M_p(Q)), si p > 0; 0, si p = 0
2.10. Montrer que φ est continue sur [0, + ∞[.
2.11. Montrer soigneusement que φ est dérivable sur ]0, + ∞[ et calculer sa dérivée sur cet intervalle.
2.12. Calculer la limite de φ^′ en 0^+puis déduire que :
M_p(Q)^(1/p) ⟶ _(p → 0^+)M(Q)
La quantité M(Q) est appelée la mesure de Mahler de Q. Le reste de cette partie vise à calculer la mesure de Mahler de Q en fonction des racines de Q. On rappelle que 𝔻 désigne le disque unité fermé dans ℂ et que l'on note 𝔻^∘ et ∂𝔻 l'intérieur et la frontière de 𝔻 respectivement.
2.13. Pour chaque nombre complexe w, on note Re(w) la partie réelle de w. Montrer que, pour tout z ∈ 𝔻^∘ :
ln|1 − z| = − Re(∑_(n = 1)^∞(z^n)/n)
Pour ce faire, on pourra écrire z = re^(iθ) avec 0 ≤ r < 1 et θ ∈ ℝ, puis étudier la fonction :
F : [0, 1[, → ℝ; ρ, ↦ ln|1 − ρe^(iθ)|.
2.14. Soit z ∈ 𝔻^∘. Déduire de la question précédente que la mesure de Mahler du polynôme X − Z est 1 et, dans le cas où Z ≠ 0, que celle du polynôme X − z^(− 1) est |z|^(− 1).
2.15. En utilisant la question précédente, montrer que, pour tout z ∈ ∂𝔻, la mesure de Mahler de X − z est 1 .
Pour ce faire, on pourra s'intéresser à la fonction :
g : [0, 1[, → ℝ; r, ↦ M(X − rz)
et remarquer que, pour tous r ∈ [0, 1[ et θ, ψ ∈ ℝ, on a l'inégalité |e^(iθ) − re^(iψ)| ≥ |sin(θ − ψ)|.
2.16. Soit λ le coefficient dominant de Q et soient α_1, …, α_n les racines de Q comptées avec multiplicité. Déduire des questions précédentes que :
M(Q) = |λ|∏_(i = 1)^n max{1, |α_i|}

Partie III

Pour que cette partie puisse être traitée indépendamment des précédentes, on commence par rappeler la Définition 1 qui a été introduite au début de la partie II :
Définition 1 (rappel). Étant donné deux réels a < b et une application f allant d'une partie de [a, b] dans ℝ, on dit que l'intégrale ∫_a^b f(t)dt converge absolument ou que f est intégrable sur [a, b] s'il existe un entier n ≥ 1 et des réels x_0, …, x_n tels que a = x_0 < x_1 < … < x_n = b et, pour tout i ∈ {0, …, n − 1}, la fonction f est bien définie, continue et intégrable sur ]x_i, x_(i + 1)[. On pose alors :
∫_a^b f(t)dt = ∑_(i = 0)^(n − 1)∫_(x_i)^(x_(i + 1))f(t)dt
On fournit également l'encadré suivant, qui résume les résultats obtenus dans la partie II et qui sont utiles dans la suite :
D'après la question 2.8, étant donné un polynôme non nul Q ∈ ℂ[X], l'intégrale ∫_0^(2π)ln|Q(e^(iθ))|dθ converge absolument au sens de la Définition 1. On peut donc définir la mesure de Mahler de Q par :
M(Q) = exp(1/(2π)∫_0^(2π)ln|Q(e^(iθ))|dθ)
D'après la question 2.16, si λ est le coefficient dominant de Q et α_1, …, α_n sont les racines de Q comptées avec multiplicité, alors :
M(Q) = |λ|∏_(i = 1)^n max{1, |α_i|}.
On rappelle que 𝔻 désigne le disque unité fermé dans ℂ et que l'on note 𝔻^∘ et ∂𝔻 l'intérieur et la frontière de 𝔻 respectivement. On se donne un polynôme P ∈ ℂ[X] et on note d son degré.
3.17. Montrer que, pour tout z ∈ ℂ et tout r ∈ ℝ, on a:
P(z) = 1/(2π)∫_0^(2π)P(z + re^(iθ))dθ.
3.18. En déduire que :
‖P‖_𝔻 = ‖P‖_(∂𝔻).
On pourra appliquer la question 3.17 à un élément z ∈ 𝔻 tel que |P(z)| = ‖P‖_𝔻.
3.19. Montrer que, pour tout z ∈ ℂ :
|P(z)| ≤ ‖P‖_(∂𝔻)max{1, |z|}^d.
On pourra appliquer la question 3.18 aux polynômes P(X) et Q(X) = X^d P(X^(− 1)).
On fixe jusqu'à la fin de cette troisième partie deux entiers naturels non nuls n et m ainsi que deux polynômes Q ∈ ℂ[X] et R ∈ ℂ[X] de degrés respectifs n et m. On introduit le polynôme P = QR et on note λ son coefficient dominant et α_1, …, α_(n + m) ses racines comptées avec multiplicité.
3.20. Montrer qu'il existe u et v dans ∂𝔻 tels que :
‖Q‖_𝔻‖R‖_𝔻 ≤ |λ| ⋅ ∏_(i = 1)^(n + m)max{|u − α_i|, |v − α_i|}.
3.21. En déduire que :
‖Q‖_𝔻‖R‖_𝔻 ≤ M(S)
où S est le polynôme défini par:
S(X) = (X − 1)^(m + n)P((uX − v)/(X − 1))
3.22. On pose w = v/u. Montrer que :
M(S) ≤ ‖P‖_𝔻 exp((n + m)/(2π)∫_0^(2π)ln(max{|e^(iθ) − 1|, |e^(iθ) − w|})dθ)
3.23. On pose C = exp(I/(2π)) avec :
I = ∫_0^(2π)ln(max{|e^(iθ) − 1|, |e^(iθ) + 1|})dθ
En utilisant les questions précédentes, montrer que:
‖Q‖_𝔻‖R‖_𝔻 ≤ C^(n + m)‖P‖_𝔻.
Les deux questions qui suivent portent sur le calcul de la constante C.
3.24. Montrer que :
I = 4∑_(k = 0)^∞((− 1)^k)/((2k + 1)^2)
On pourra utiliser le résultat de la question 2.13.
3.25. La calculatrice donne :
exp(2/π∑_(k = 0)^5((− 1)^k)/((2k + 1)^2)) ≈ 1, 78774486868; exp(2/π∑_(k = 0)^6((− 1)^k)/((2k + 1)^2)) ≈ 1, 79449196958
Peut-on en déduire l'arrondi de C à 10^(− 2) près? Si oui, donner la valeur de cet arrondi. Dans tous les cas, justifier proprement la réponse.
Dans la dernière question de cette troisième partie, on cherche à montrer que, dans l'inégalité de la question 3.23, la constante C est optimale.
3.26. Pour chaque entier naturel k ≥ 2, on pose:
Q_k(X) = ∏_(ζ ∈ U)(X − ζ),; R_k(X) = ∏_(ζ ∈ V)(X − ζ),
où U désigne l'ensemble des racines k-ièmes de l'unité ζ telles que |ζ − 1| ≤ |ζ + 1| et V l'ensemble des racines k-ièmes de l'unité qui ne sont pas dans U. En minorant le quotient:
(‖Q_k‖_𝔻‖R_k‖_𝔻)/(‖Q_k R_k‖_𝔻)
montrer que :
C = inf{λ ∈ ℝ| ∀Q ∈ ℂ[X]∖{0}, ∀R ∈ ℂ[X]∖{0}; ‖Q‖_𝔻‖R‖_𝔻 ≤ λ^(deg(QR))‖QR‖_𝔻},
où deg(QR) désigne le degré de QR.

Partie IV

Soit I = [a, b] un segment de ℝ, et soient n et m deux entiers naturels non nuls. On rappelle que, dans la partie I, on a introduit la constante :
C_(n, m)^I = sup{(‖Q‖_I‖R‖_I)/(‖QR‖_I)| Q ∈ ℂ_n[X]∖{0}, R ∈ ℂ_m[X]∖{0}} ∈ ℝ ∪ { + ∞}
4.27. On se donne deux réels distincts c et d et on pose :
J = {[c, d] si c < d; [d, c] si d < c
Soient A ∈ ℂ_n[X] et B ∈ ℂ_m[X] deux polynômes non nuls. Montrer qu'il existe des polynômes C ∈ ℂ_n[X] et D ∈ ℂ_m[X] vérifiant les propriétés suivantes:
‖A‖_I = ‖C‖_J, ‖B‖_I = ‖D‖_J, ‖AB‖_I = ‖CD‖_J; A(a) = C(c), B(b) = D(d)
4.28. En déduire que la quantité C_(n, m)^I ne dépend pas du segment I.
Dans la suite de cette partie, on choisit I = [ − 1, 1] et on note C_(n, m) à la place de C_(n, m)^I. On dit qu'une paire de polynômes (Q, R) ∈ ℂ_n[X] × ℂ_m[X] est extrémale si Q et R sont unitaires et :
(‖Q‖_I‖R‖_I)/(‖QR‖_I) = C_(n, m).
On dit qu'une paire extrémale ( Q, R ) est bonne si Q et R sont de degrés respectifs n et m, et si :
‖Q‖_I = |Q(− 1)| et ‖R‖_I = |R(1)|.
On dit qu'une paire extrémale ( Q, R ) est très bonne si elle est bonne et si toutes les racines complexes de Q et R sont contenues dans I.
On rappelle que, d'après la partie I, les paires extrémales existent (question 1.7) et que C_(n, m) > 1 (question 1.5). On peut donc fixer dans la suite une paire extrémale ( Q_0, R_0 ).
4.29. Soit J un segment contenu dans I tel que ‖Q_0‖_J = ‖Q_0‖_I et ‖R_0‖_J = ‖R_0‖_I. Montrer que:
‖Q_0 R_0‖_J = ‖Q_0 R_0‖_I.
4.30. Déduire des questions 4.27 et 4.29 qu'il existe une paire extrémale ( Q_1, R_1 ) telle que :
‖Q_1‖_I = |Q_1(− 1)| et ‖R_1‖_I = |R_1(1)|.
4.31. Soient n_1 et m_1 les degrés respectifs de Q_1 et R_1. On pose Q_2 = X^(n − n_1)Q_1 et R_2 = X^(m − m_1)R_1. Montrer que ( Q_2, R_2 ) est une bonne paire extrémale.
4.32. Soit w une racine de Q_2 et soit S ∈ ℂ[X] tel que :
Q_2(X) = (X − w)S(X)
En posant:
S_2(X) = (X + 1 − |w + 1|)S(X)
montrer que ( S_2, R_2 ) est une bonne paire extrémale.
4.33. Déduire de la question précédente qu'il existe un polynôme Q_3 dont toutes les racines sont dans [ − 1, + ∞[ et tel que le couple ( Q_3, R_2 ) forme une bonne paire extrémale.
4.34. Montrer qu'il existe un polynôme Q_4 dont toutes les racines sont dans I et tel que le couple ( Q_4, R_2 ) forme une bonne paire extrémale.
Pour ce faire, étant donné une racine w de Q_3 qui n'est pas dans I, on pourra introduire le polynôme :
S_3(X) = (X − 1)/(X − w)Q_3(X)
puis on pourra s'inspirer de la méthode utilisée dans les deux questions précédentes.
4.35. Expliquer brièvement pourquoi il existe un polynôme R_4 tel que le couple ( Q_4, R_4 ) forme une très bonne paire extrémale.
Dans la suite de cette partie, on fixe une très bonne paire extrémale quelconque (Q, R). Une telle paire existe bien d'après la question 4.35. On pose P = QR et on note x_1 ≤ … ≤ x_(n + m) les racines de P comptées avec multiplicité.
4.36. Montrer que:
Q = ∏_(k = m + 1)^(n + m)(X − x_k) et R = ∏_(k = 1)^m(X − x_k).
4.37. Vérifier que, pour tout x ∈ ] − ∞, − 1[, on a |Q(x)| > |Q(− 1)|.
4.38. En procédant par l'absurde, montrer que |P(− 1)| = ‖P‖_I.
Pour ce faire, on pourra choisir un réel ε > 0, introduire le segment I_ε = [ − 1 − ε, 1] et encadrer la quantité :
(‖Q‖_(I_ε)‖R‖_(I_ε))/(‖P‖_(I_ε))
grâce à la question 4.37.
On admet dans la suite que la méthode mise en place dans la question précédente permet également de montrer que |P(1)| = ‖P‖_I.
4.39. On se donne un entier k ∈ {m + 1, m + 2, …, m + n − 1} et on pose:
S(X) = (X − x_k)(X − x_(k + 1)).
Montrer que, pour tout ε > 0, il existe un polynôme T ∈ ℝ[X] tel que S − T est de degré 1 et:
‖S − T‖_I ≤ ε; |T(− 1)| = |S(− 1)|; ∀x ∈ ] − 1, 1]∖]x_k − ε, x_(k + 1) + ε[, |T(x)| < |S(x)|.
En déduire qu'il existe y ∈ ]x_k, x_(k + 1)[ tel que |P(y)| = ‖P‖_I.
Pour traiter ce dernier point, on pourra procéder par l'absurde, écrire Q sous la forme SU pour un certain polynôme U, puis vérifier que si ε est choisi convenablement, le couple (TU, R) forme une très bonne paire extrémale.
On admet dans la suite que la méthode mise en place dans la question précédente permet également de montrer que pour chaque entier k ∈ {1, 2, …, m − 1}, il existe y ∈ ]x_k, x_(k + 1)[ tel que |P(y)| = ‖P‖_I.
4.40. En s'inspirant de la méthode utilisée dans la question 4.39, montrer qu'il existe un élément y ∈ ]x_m, x_(m + 1)[ tel que |P(y)| = ‖P‖_I.
4.41. Montrer que P vérifie l'équation différentielle :
‖P‖_I^2 − P^2 = 1/((n + m)^2)(1 − X^2)P^(′2).
4.42. En déduire que :
(1 − X^2)P^(′′) − XP^′ + (n + m)^2 P = 0.
4.43. En considérant la fonction :
f : ℝ, → ℝ; y, ↦ P(cosy),
vérifier que, pour tout x ∈ [ − 1, 1],
P(x) = ‖P‖_I cos((n + m)Arccosx).
4.44. En déduire que :
C_(n, m) = 2^(n + m − 1) ⋅ [∏_(k = 1)^n(1 + cos((2k − 1)/(2(n + m))π))] ⋅ [∏_(k = 1)^m(1 + cos((2k − 1)/(2(n + m))π))].

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths X-ENS PC 2021 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quoi porte le sujet de maths X-ENS PC 2021 ?

Il étudie des inégalités entre normes uniformes de polynômes et de leur produit, avec la mesure de Mahler, sur le disque unité fermé puis sur un segment de R.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths X-ENS PC 2021 ?

La moyenne des 1050 candidats français est de 9,06 sur 20 avec un écart-type de 3,62 ; celle des 61 candidats étrangers est de 8,48.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths X-ENS PC 2021 ?

Manque de rigueur sur les axiomes d'une norme, les bornes supérieures et les récurrences, interversions série-intégrale non justifiées, et confusions comme croire qu'une fonction périodique continue est d'intégrale nulle sur une période.

Quelle partie du sujet de maths X-ENS PC 2021 était la plus difficile ?

La quatrième partie, sur le cas d'un segment de R, était la plus longue et la plus difficile ; elle pesait aussi le plus lourd dans le barème.

Pas de description pour le moment