WikiPrépaLivrets

X ENS Mathématiques PC 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Modèles matriciels de dynamique de populations

Pas encore noté
Logo concours X-ENS

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2023FilièrePCMatièreMathématiques
Annales X-ENS PC MathématiquesX-ENS PC 2023PC MathématiquesMathématiques 2023

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Points fixes et valeurs propres d'applications linéaires contractantes, appliqués aux processus stochastiques itératifs de type Galton-Watson
Afficher ou masquer la section

L'épreuve étudie l'existence et l'unicité de points fixes et de valeurs propres pour certaines applications linéaires, puis leur utilisation dans les processus stochastiques itératifs de type Galton-Watson. Les deux premières parties portent sur une classe de matrices contractantes, leurs points fixes et la convergence de leurs puissances. Les deux dernières appliquent ces résultats à des modèles matriciels de dynamique des populations et à leur interprétation probabiliste, notamment l'extinction presque sûre en temps fini.

  1. 1Première partie : matrices contractantes et points fixesÉtude d'une classe de matrices contractantes, de leurs itérations et de l'existence de leurs points fixes.
  2. 2Deuxième partie : convergence des puissances de matricesÉtude des suites de puissances des matrices introduites en première partie et de leur convergence.
  3. 3Troisième partie : modèles matriciels de dynamique des populationsApplication des résultats des deux premières parties à l'étude de modèles matriciels en dynamique des populations.
  4. 4Quatrième partie : interprétation probabiliste et extinction presque sûreInterprétation probabiliste des résultats précédents, avec l'étude du cas où des populations s'éteignent presque sûrement en temps fini.

Difficile. Le rapport indique que le sujet était techniquement délicat, avec une part de notations à absorber non négligeable, et que de nombreuses questions n'ont été résolues que par un nombre très limité de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,18 / 20 · écart-type 3,56 · 1 420 présents · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
8,18/ 20
Écart-type
3,56
Présents
1 420
Durée
4 h
moyenne 8,1805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 17 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre convergence de la norme et de la suite · Unicité du point fixe mal déduite · Justifications d'indépendance et de linéarité omises
Afficher ou masquer la section

Le sujet était techniquement délicat, avec des notations importantes à assimiler, mais restait globalement abordable si le temps était bien géré. La moyenne globale sur 1420 copies de candidats français était de 8,18/20 avec un écart-type de 3,56. Le jury regrette un manque de rigueur sur les bases chez de nombreux candidats, tout en appréciant les efforts de rédaction.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre convergence de la norme et de la suiteQ5

    En Q5, un nombre très limité de candidats a démontré correctement la convergence, avec beaucoup de confusion entre la convergence de la norme d'une suite et de la suite elle-même, ou entre la convergence de la série et de la suite.

  2. 2
    Unicité du point fixe mal déduiteQ6

    En Q6, la continuité de la fonction a généralement été omise lors du passage à la limite, et une majorité de candidats a incorrectement déduit l'unicité du point fixe à partir de l'unicité de la limite.

  3. 3
    Justifications d'indépendance et de linéarité omisesQ13.a, Q14

    Le jury rappelle que les arguments d'indépendance de variables aléatoires ou de linéarité de l'espérance doivent apparaître clairement à l'endroit exact où ils sont utilisés.

  4. 4
    Série convergente affirmée à tortQ21.a

    En Q21.a, une quantité non négligeable de candidats a affirmé qu'une série était convergente alors que le terme en cause n'était pas inférieur à 1.

  5. 5
    Mauvaise inégalité de probabilité utiliséeQ21.d

    En Q21.d, il fallait utiliser l'inégalité de Tchebychev et non l'inégalité de Markov, qui ne permet pas facilement d'obtenir le résultat demandé.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 2 a été réussie par la majorité des candidats
  • La question 4 a été réussie par la majorité des candidats
  • La question 8, simple, a été réussie par la majorité des candidats
  • La question 14 a été réussie par la majorité des candidats

Conseils du jury

  • Lire le sujet en entier avant de commencer pour mieux comprendre ce qui est demandé
  • Gérer son temps efficacement, ne pas s'attarder sur les questions faciles et progresser dans l'épreuve
  • Faire apparaître clairement les arguments utilisés (indépendance, linéarité) à l'endroit exact où ils interviennent
  • Énoncer correctement les théorèmes et mettre en évidence les points clés d'une démonstration
  • Bien lire les questions dans leur intégralité pour ne pas omettre une partie de la réponse attendue

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

LUNDI 17 AVRIL 2023
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve n^∘1
MATHEMATIQUES (XEULS)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

L'objectif du problème est l'étude de modèles matriciels de dynamique de populations. Nous l'illustrerons avec des populations structurées en âge.
Soit d ∈ ℕ^∗. Pour des vecteurs x = (x_1, …, x_d), y = (y_1, …, y_d) de ℝ^d (qui pourront être des vecteurs lignes ou colonnes dans la suite), on note
‖x‖_1 = ∑_(i = 1)^d|x_i|, ‖x‖_2 = √(∑_(i = 1)^d x_i^2⎷)
les normes 1 et 2 usuelles et
⟨x, y⟩ = ∑_(i = 1)^d x_i y_i
le produit scalaire canonique sur ℝ^d.
On note ℝ_+l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls et ℝ_+^∗ l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
Si m et n sont deux éléments de ℕ^∗ et si A est une partie de ℝ, on note ℳ_(m, n)(A) l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes et dont les coefficients sont dans A. Lorsque m = n, on note ℳ_m(A) l'ensemble ℳ_(m, m)(A).
Les parties 1, 2, 3 et 4 sont dépendantes. Dans l'ensemble du sujet, pour répondre à une question, on pourra admettre les résultats des questions précédentes.

Première partie

Soit 𝒫 l'ensemble des vecteurs lignes de taille d à coefficients positifs dont la somme des coordonnées vaut 1 :
𝒫 = {u ∈ ℳ_(1, d)(ℝ_+) : ∑_(j = 1)^d u_j = 1}
On considère une matrice carrée P ∈ ℳ_d(ℝ_+)telle que pour tout i ∈ {1, …, d},
∑_(j = 1)^d P_(i, j) = 1
On suppose de plus qu'il existe ν ∈ 𝒫 et c > 0 tels que pour tous i, j ∈ {1, …, d},
P_(i, j) ⩾ cν_j
  1. Justifier que c ⩽ 1.
  2. Montrer que si u ∈ 𝒫, alors uP ∈ 𝒫.
  3. Montrer que pour tous u, v ∈ 𝒫,
‖uP − vP‖_1 ⩽ (1 − c)‖u − v‖_1
(On pourra introduire R = P − cN où N = (n_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ d) avec n_(i, j) = ν_j pour tous 1 ⩽ i, j ⩽ d.)
4. Soit (x_n)_n ∈ 𝒫^ℕ définie par récurrence par x_0 ∈ 𝒫 et
x_(n + 1) = x_n P
Montrer que la série ∑_(n ⩾ 0)‖x_(n + 1) − x_n‖_1 est convergente.
5. En déduire que (x_n)_n converge vers un élément de 𝒫.
6. Montrer qu'il existe un unique élément μ de 𝒫 tel que μP = μ.
7. Montrer que pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ 𝒫,
‖xP^n − μ‖_1 ⩽ 2(1 − c)^n

Deuxième partie

Soit M ∈ ℳ_d(ℝ_+). On suppose que la matrice M possède une valeur propre λ > 0 et qu'il existe h ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ_+^∗) vecteur colonne tel que :
Mh = λh.
On suppose aussi qu'il existe ν ∈ 𝒫 et c > 0 tels que pour tous i, j ∈ {1, …, d},
M_(i, j) ⩾ cν_j
On introduit la matrice P ∈ ℳ_d(ℝ_+)définie pour 1 ⩽ i, j ⩽ d par
P_(i, j) = (M_(i, j)h_j)/(λh_i)
  1. Justifier que pour tout i ∈ {1, …, d}, ∑_(j = 1)^d P_(i, j) = 1.
  2. Soit n ⩾ 1. Donner une expression des coefficients de P^n en fonction des coefficients de M^n, h et λ.
10a. Montrer qu'il existe μ ∈ 𝒫, C > 0 et γ ∈ [0, 1[, tels que μP = μ et pour tout n ⩾ 0,
∑_(i = 1)^d∑_(j = 1)^d|λ^(− n)(M^n)_(i, j) − h_i(μ_j)/(h_j)| ⩽ Cγ^n
10b. Prouver qu'il existe un unique π ∈ 𝒫 tel que πM = λπ.
11. Considérons (c_0, …, c_(d − 1)) ∈ (ℝ_+^∗)^d et P le polynôme
X^d − c_(d − 1)X^(d − 1) − ⋯ − c_1 X − c_0.
Montrer que le polynôme P possède une unique racine dans ℝ_+^∗.
Considérons a = (a_1, …, a_d) ∈ (ℝ_+^∗)^d et b = (b_1, …, b_(d − 1)) ∈ (ℝ_+^∗)^(d − 1) et introduisons la matrice
M = (a_1, b_1, 0, …, 0, 0; a_2, 0, b_2, …, 0, 0; a_3, 0, 0, …, 0, 0; ⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; a_(d − 1), 0, 0, …, 0, b_(d − 1); a_d, 0, 0, …, 0, 0)
12a. Justifier qu'il existe un unique couple (λ, π) ∈ ℝ_+^∗ × 𝒫 tel que πM = λπ. On exprimera explicitement π en fonction de a et b et λ.
12b. Montrer qu'il existe un unique h ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ_+^∗) tel que ⟨π, h⟩ = 1 et
Mh = λh.
12c. En déduire que la suite (λ^(− n)M^n)_(n ⩾ 1) converge quand n tend vers l'infini et donner une expression de sa limite en fonction de h et μ.

Troisième partie

Dans toute la suite du sujet, ( Ω, 𝒜, ℙ ) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires du sujet. On admettra que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On notera ℙ(A) la probabilité d'un événement A ⊂ Ω et 𝔼(X) l'espérance d'une variable aléatoire X sur ( Ω, 𝒜, ℙ ) à valeurs réelles. On note également Var(X) la variance d'une telle variable aléatoire. Si A ∈ 𝒜 est un évènement, on notera 1_A la variable aléatoire définie comme la fonction indicatrice de cet évènement.
On suppose que pour tous i, j ∈ {1, …, d}, N_(i, j) est une variable aléatoire à valeurs dans ℕ et telle que N_(i, j)^2 est d'espérance finie. Pour tout i ∈ {1, …, d}, on introduit la variable aléatoire à valeurs dans ℳ_(1, d)(ℕ) :
L_i = (N_(i, 1), …, N_(i, d))
On considère maintenant une famille de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ℳ_(1, d)(ℕ) :
(L_i^(n, k) = (L_(i, 1)^(n, k), …, L_(i, d)^(n, k)))_(n ⩾ 1, k ⩾ 1)
De plus, pour tous i ∈ {1, …, d}, n ⩾ 1 et k ⩾ 1, on suppose que L_i^(n, k) a même loi que L_i. Soit X_0 = (X_(0, i))_(1 ⩽ i ⩽ d) une variable aléatoire à valeurs dans ℳ_(1, d)(ℕ) telle que X_(0, i)^2 est d'espérance finie pour tout 1 ⩽ i ⩽ d. Partant de cette valeur initiale, nous définissons par récurrence pour n ⩾ 0 une suite de variables aléatoires X_n = (X_(n, 1), …, X_(n, d)) :
X_(n + 1) = ∑_(i = 1)^d∑_(k = 1)^(X_(n, i))L_i^(n, k)
La variable X_(n, i) pourra s'interpréter comme le nombre d'individus de type i à la génération n et L_(i, j)^(n, k) comme le nombre d'enfants de type j pour le k-ième individu de type i à la génération n.
On introduit M ∈ ℳ_d(ℝ_+)la matrice définie pour i, j ∈ {1, …, d} par
M_(i, j) = 𝔼(N_(i, j)).
On introduit x_n = (x_(n, j))_(1 ⩽ j ⩽ d) ∈ ℳ_(1, d)(ℝ_+)défini pour n ⩾ 0 et j ∈ {1, …, d} par
x_(n, j) = 𝔼(X_(n, j)).
13a. Montrer que, pour tous y ∈ ℳ_(1, d)(ℕ) et 1 ⩽ j ⩽ d,
𝔼(X_(n + 1, j)1_(X_n = y)) = (yM)_j ℙ(X_n = y).
(On pourra utiliser sans démonstration le fait que les variables aléatoires L_i^(n, k) et 1_(X_n = y) sont indépendantes.)
13b. En déduire que, pour tout n ⩾ 0,
x_(n + 1) = x_n M
  1. Soit ℐ un ensemble fini et (Y_i)_(i ∈ ℐ) une famille de variables aléatoires indépendantes deux à deux, à valeurs réelles et dont les carrés sont d'espérance finie. Montrer que
𝔼((∑_(i ∈ ℐ)Y_i)^2) = (∑_(i ∈ ℐ)𝔼(Y_i))^2 + ∑_(i ∈ ℐ)Var(Y_i)
Pour u ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ), on note T(u) = (T_i(u))_(1 ⩽ i ⩽ d) ∈ ℝ^d le vecteur défini par
T_i(u) = Var(⟨L_i, u⟩) pour i ∈ {1, …, d}
15a. Montrer que pour tous u ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ), y ∈ ℳ_(1, d)(ℕ) et n ⩾ 0,
𝔼(⟨X_(n + 1), u⟩^2 1_(X_n = y)) = ℙ(X_n = y)(⟨y, Mu⟩^2 + ⟨y, T(u)⟩).
(On pourra utiliser sans démonstration le fait que, pour tout n ⩾ 0, les variables aléatoires ∑_(j = 1)^d u_j L_(i, j)^(n, k)1_(X_n = y) sont deux à deux indépendantes lorsque k et i varient.)
15b. Montrer que pour tous u ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ) et n ⩾ 0,
𝔼(⟨X_(n + 1), u⟩^2) = 𝔼(⟨X_n, Mu⟩^2) + ⟨x_0 M^n, T(u)⟩.
  1. Montrer que pour tout n ⩾ 0,
𝔼(⟨X_n, u⟩^2) = 𝔼(⟨X_0, M^n u⟩^2) + ∑_(k = 0)^(n − 1)⟨x_0 M^k, T(M^(n − 1 − k)u)⟩
(avec la convention que la somme indexée par k est nulle si n = 0 ).

Quatrième partie

On utilise les notations de la partie précédente. En particulier le symbole M désigne la matrice introduite dans la troisième partie. On suppose maintenant qu'il existe une valeur propre λ > 0 et un vecteur propre colonne associé h ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ_+^∗) :
Mh = λh
et qu'il existe ν ∈ 𝒫 et c > 0 tels que pour tous i, j ∈ {1, …, d},
M_(i, j) ⩾ cν_j
  1. Montrer qu'il existe π ∈ 𝒫 et h^′ ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ_+^∗) et C > 0 et γ ∈ [0, 1[, tels que πM = λπ et pour tout n ⩾ 0,
∑_(i = 1)^d∑_(j = 1)^d|λ^(− n)(M^n)_(i, j) − h_i^′ π_j| ⩽ Cγ^n
  1. On suppose, dans cette question uniquement, que λ ∈ ]0, 1[. Montrer alors que 𝔼(‖X_n‖_1) tend vers 0 quand n tend vers l'infini et ℙ(∃n ⩾ 0 : X_n = 0) = 1. On dit que la population s'éteint presque surement en temps fini.
19a. Montrer qu'il existe c_0 ⩾ 0 tel que pour tout u ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ), on a ‖T(u)‖_1 ⩽ c_0‖u‖_2^2.
19b. En déduire l'existence de c_1 ⩾ 0 tel que pour tout u ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ), on a ‖T(u)‖_1 ⩽ c_1‖u‖_1^2.
20a. Montrer que pour tous n ⩾ 0 et u ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ) tel que ⟨u, π⟩ = 0,
‖M^n u‖_1 ⩽ C(λγ)^n‖u‖_1
20b. En déduire qu'il existe C_1 ⩾ 0 tel que pour tous n ⩾ 0 et u ∈ ℳ_(d, 1)(ℝ) vecteur colonne tel que ⟨u, π⟩ = 0,
𝔼(⟨X_n, u⟩^2) ⩽ C_1‖u‖_1^2(λ^(2n)(∑_(k = 0)^(n − 1)λ^(− k)γ^(2n − 2k)) + (λγ)^(2n))
On suppose dans le reste de cette partie que λ > 1 et on introduit le vecteur ligne aléatoire
W_n = λ^(− n)(X_n − ‖X_n‖_1 π)
21a. Montrer que la série ∑_(n ⩾ 1)(∑_(k = 0)^(n − 1)λ^(− k)γ^(2n − 2k)) converge.
21b. Soit w ∈ (ℝ_+)^d et soit e_0 = (1, …, 1). Montrer que
⟨w − ‖w‖_1 π, π⟩ = ⟨w, π − ⟨π, π⟩e_0⟩
et que le vecteur π − ⟨π, π⟩e_0 est orthogonal à π.
21c. Montrer que la série ∑_(n ⩾ 0)𝔼(‖W_n‖_2^2) est convergente. En déduire que la suite (𝔼(‖W_n‖_2^2))_(n ⩾ 0) tend vers 0 . (On pourra par exemple décomposer X_n dans une base orthonormale bien choisie de ℝ^d.)
21d. Montrer que pour tout ε > 0,
lim_(n → ∞)ℙ(‖W_n‖_2 ⩾ ε) = 0
  1. Montrer que l'évènement {lim_(n → + ∞)W_n = 0_(ℝ^d)} est presque sûr. (On pourra commencer par calculer la probabilité de l'évènement
{∀m ⩾ 0, ∃k ⩾ m|‖W_k‖_2 ⩾ ε}
pour tout ε > 0.)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths X-ENS PC 2023 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de maths X-ENS PC 2023 ?

Le sujet porte sur les points fixes et valeurs propres d'applications linéaires contractantes, la convergence de suites de matrices, et leur application aux probabilités et aux modèles de dynamique des populations de type Galton-Watson.

Quelle est la moyenne du sujet de maths X-ENS PC 2023 ?

Sur 1420 copies de candidats français, la moyenne globale était de 8,18/20 avec un écart-type de 3,56.

Le sujet de maths X-ENS PC 2023 est-il difficile ?

Oui, le rapport le décrit comme techniquement délicat avec une part de notations importante à assimiler, et de nombreuses questions n'ont été résolues que par un nombre très restreint de candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur le sujet maths X-ENS PC 2023 ?

Le jury relève surtout des confusions entre convergence de la norme et de la suite, une déduction incorrecte de l'unicité du point fixe, et des justifications d'indépendance ou de linéarité omises dans les probabilités.

Pas de description pour le moment