Mines Mathématiques 1 PC 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Quelques inégalités de convexité autour du déterminant

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Inégalités de convexité sur les matrices symétriques positives : Minkowski et concavité logarithmique du déterminant

Le sujet établit des inégalités portant sur des fonctions définies sur les matrices symétriques positives et définies positives. Après des préliminaires proches du cours (caractérisation spectrale, convexité, racine carrée, inégalité de Jensen), il compare trace et déterminant, démontre l'inégalité de Minkowski et la concavité logarithmique du déterminant, puis étudie le comportement de det(A+tM) au voisinage de t = 0.

1Partie 1 : questions préliminairespremière et deuxième annéesCaractérisation spectrale des matrices symétriques positives, convexité de S_n^+(ℝ) et S_n^{++}(ℝ), racine carrée d'une matrice définie positive et inégalité de Jensen.
2Partie 2 : une première inégalité de convexitédeuxième annéeOn compare Tr(M)/n et det(M)^(1/n) puis on raffine cette inégalité à l'aide de la norme ‖·‖₂.
3Partie 3 : on continue avec de la convexitédeuxième annéePar réduction simultanée de deux matrices symétriques, on démontre l'inégalité de Minkowski et la concavité de ln∘det sur S_n^{++}(ℝ).
4Partie 4 : encore de la convexitédeuxième annéeOn majore ln(det(I_n + tA)) par Tr(A)t à l'aide des valeurs propres.
5Partie 5 : et pour finir, de la convexitédeuxième annéeOn étudie la régularité et le développement limité de det(A+tM) et de det^(-α)(A+tM) au voisinage de 0.

Difficulté moyenne. Le jury décrit des questions de difficultés très variées : partie 1 proche du cours, parties 2 et 4 élémentaires ou faciles, partie 3 plus délicate, et une question 8 difficile dans le cadre du programme de la filière.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,33 / 20 · écart-type 4,82 · 3 447 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,33/ 20
Écart-type: 4,82
Présents: 3 447
Coefficient: 4
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Théorème spectral cité de façon incomplète · Racine carrée sans vérifications · Récurrence de Jensen mal menée

Le sujet demande une bonne maîtrise des matrices symétriques, du théorème spectral, de la convexité et des fonctions vectorielles. La diversité des niveaux de questions a permis un classement efficace, et les meilleurs candidats ont traité une grande partie de l'épreuve. Beaucoup de copies révèlent toutefois une très mauvaise connaissance du cours et de grosses lacunes en dérivation et en calcul matriciel.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Théorème spectral cité de façon incomplèteQ1
Il fallait préciser le caractère orthogonal de la matrice de passage ou orthonormé de la base propre. La positivité sur les vecteurs propres n'entraîne pas directement la positivité pour tout vecteur.
« la positivité de <Ax,x> pour x vecteur propre n’entraîne pas directement la positivité pour tout vecteurx. »
2
Racine carrée sans vérificationsQ3
La matrice obtenue par diagonalisation doit être vérifiée symétrique et définie positive, ce qui repose sur l'orthogonalité de la matrice de passage.
« Noter une matriceD1/2 sans explication ne constitue pas un argument. »
3
Récurrence de Jensen mal menéeQ4
Peu de candidats ont tenu compte de la condition sur la somme des coefficients égale à 1 dans la récurrence. Cette question s'est révélée très discriminante.
4
Convexité étudiée sans dérivée secondeQ5, Q9
Une minorité non négligeable n'a pas pensé à la dérivée seconde et a produit des calculs qui n'aboutissent pas.
5
Concavité et définition oubliéesQ12
Après le passage au logarithme, il fallait vérifier que le déterminant est strictement positif et conclure à la concavité, non à la convexité.
6
Ouverture de S_n^{++}(ℝ) admiseQ16
Utiliser le caractère ouvert de S_n^{++}(ℝ) supposait de le vérifier, car ce n'est pas un résultat du programme. La question 8 offrait une approche plus directe.

Ce qui a été bien réussi

La convexité de S_n^+(ℝ) est assez souvent correctement établie (question 2).
Beaucoup de copies donnent la bonne expression de ‖M‖₂ (question 6).
La question 9 est bien traitée dans beaucoup de copies.
Les questions 13 et 15 ont souvent été bien traitées par ceux qui les ont abordées.

Conseils du jury

Apprendre le cours en profondeur et connaître précisément le champ d'application des théorèmes.
S'entraîner intensivement au calcul, notamment à la dérivation et au calcul matriciel.
Lire soigneusement l'énoncé, préambule compris.
Relire la copie pour éliminer les erreurs de typage, comme les confusions entre vecteurs et scalaires.
Soigner la présentation, qui est prise en compte dans l'évaluation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : $3$ heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et résultats admis

Dans tout le problème, $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note $M_n(R)$ (resp. $M_(n, 1)(R)$ ) l'ensemble des matrices de taille $n \times n$ (resp. $n \times 1$ ) à coefficients réels.
La matrice identité de $M_n(R)$ est notée $I_n$ .
Si $A \in M_n(R), det(A)$ est le déterminant de la matrice $A, Tr(A)$ sa trace, $Sp(A)$ son spectre et $A^⊤$ sa transposée.
On note $S_n(R)$ l'ensemble des matrices symétriques à coefficients réels de taille $n \times n$ .
Sur $M_(n, 1)(R)^2$ , on définit l'application $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ par

\forall(X, Y) \in M_(n, 1)(R)^2, ⟨X, Y⟩ = X^⊤Y

où

X^⊤

est la transposée de

X

. On admet que l'on définit ainsi un produit scalaire sur

M_(n, 1)(R)

. On note

‖ \cdot ‖

la norme associée.

On admet que l'application $A \in M_n(R) \mapsto ‖A‖_2 = \sqrt(Tr(A^⊤A))$ est une norme sur $M_n(R)$ .
On note $S_n^+(R)$ (resp. $S_n^(+ +)(R)$ ) l'ensemble des matrices symétriques $S \in S_n(R)$ telles que

∀X ∈ M_(n, 1)(R)∖{0}, ⟨SX, X⟩ ≥ 0(resp. > 0).

Soit $C$ une partie non vide d'un $R$ -espace vectoriel $E$ . On dit que $C$ est convexe si : pour tous $x, y \in C$ et pour tout $t \in [0, 1], (1 - t)x + ty \in C$ .
On admet que si $C$ est une partie convexe d'un $R$ -espace vectoriel $E$ , alors pour tout $p \in N^⋆$ , pour tout $(x_1, \dots, x_p) \in C^p$ et pour tout $(λ_1, \dots, λ_p) \in (R_+)^p$ tel que $\sum_(i = 1)^p λ_i = 1$ , alors $\sum_(i = 1)^p λ_i x_i \in C$ .
Une application $f : C \to R$ définie sur une partie convexe $C$ d'un $R$ -espace vectoriel
$E$ est dite convexe si

\forall(x, y) \in C^2, \forallt \in [0, 1], f((1 - t)x + ty) \leq (1 - t)f(x) + tf(y).

Une application $f : C \to R$ définie sur une partie convexe $C$ d'un $R$ -espace vectoriel $E$ est dite concave si son opposé, $- f$ , est convexe, c'est-à-dire

\forall(x, y) \in C^2, \forallt \in [0, 1], f((1 - t)x + ty) \geq (1 - t)f(x) + tf(y)

Partie 1 : Questions préliminaires

1▹

Montrer qu'une matrice

S \in S_n(R)

appartient à

S_n^+(R)

si, et seulement si,

Sp(S) \subset R_+

De même, on admettra dans la suite du problème que :

S \in S_n^(+ +)(R)

si, et seulement si,

Sp(S) \subset R_+^⋆

2▹

Montrer que

S_n^+(R)

S_n^(+ +)(R)

sont des parties convexes de

M_n(R)

. Sont-elles des sous-espaces vectoriels de

M_n(R)

3▹

Montrer que, si

A \in S_n^(+ +)(R)

, il existe

S \in S_n^(+ +)(R)

telle que

A = S^2

4▹

Soit

I

intervalle de

R

. Soit

f : I \to R

une fonction convexe. Montrer que, pour tout

p \in N^⋆

, pour tout

(λ_1, \dots, λ_p) \in (R_+)^p

tel que

\sum_(i = 1)^p λ_i = 1

et pour tout

(x_1, \dots, x_p) \in I^p

, on a :

f(\sum_(i = 1)^p λ_i x_i) \leq \sum_(i = 1)^p λ_i f(x_i)

Indication : On pourra procéder par récurrence sur

p

Partie 2 : Une première inégalité de convexité

Soit

M \in S_n^+(R)

une matrice non nulle.

5▹

Montrer l'inégalité

(Tr(M))/n \geq det^(1/n)(M)

.
Indication : On pourra montrer que

x \mapsto - ln(x)

est convexe sur

R_+^⋆

On pourra dans la suite de cette partie utiliser, sans la prouver, l'inégalité ci-dessous

∀(x_1, …, x_n) ∈ (R_+)^n; 2max{x_1, …, x_n}(1/n∑_(k = 1)^n x_k − ∏_(k = 1)^n x_k^(1/n)) ≥ 1/n∑_(k = 1)^n(x_k − ∏_(j = 1)^n x_j^(1/n))^2

6▹

Exprimer

‖M‖_2

en fonction des valeurs propres de

M

7▹

En déduire que

(Tr(M))/n - det^(1/n)(M) \geq (‖M - det^(1/n)(M)I_n‖_2^2)/(2n‖M‖_2).

Partie 3 : On continue avec de la convexité

8▹

Soient

A \in S_n^(+ +)(R)

B \in S_n(R)

. Montrer qu'il existe une matrice diagonale

D \in M_n(R)

Q \in GL_n(R)

telles que

B = QDQ^⊤

A = QQ^⊤

. Que dire des éléments diagonaux de

D

B \in S_n^(+ +)(R)

Indication : On pourra utiliser la question 3.

9▹

Étudier la convexité de la fonction

t \mapsto ln(1 + e^t)

10▹

Montrer l'inégalité

\forall(A, B) \in S_n^(+ +)(R)^2, det^(1/n)(A + B) \geq det^(1/n)(A) + det^(1/n)(B).

11▹

Montrer que, si

A

B

appartiennent

S_n^(+ +)(R)

, alors :

\forallt \in [0, 1], det((1 - t)A + tB) \geq det(A)^(1 - t)det(B)^t.

Justifier que cette inégalité reste valable pour

A

B

seulement dans

S_n^+(R)

12▹

Que peut-on en déduire sur la fonction

ln \circ detsurS_n^(+ +)(R)

Partie 4 : Encore de la convexité !

Soit

A \in S_n^(+ +)(R)

et soit

g : t \in R \mapsto det(I_n + tA)

13▹

Exprimer, pour tout

t \in R, g(t)

à l'aide des valeurs propres de

A

. En déduire que

g

est de classe

C^\infty

sur

R

14▹

Soit

f : t \mapsto ln(det(I_n + tA))

. Montrer que

\forallt \in R_+, ln(det(I_n + tA)) \leq Tr(A)t

Partie 5 : Et pour finir... de la convexité !

Soient

A \in S_n^(+ +)(R)

M \in S_n(R)

. Soit l'application

f_A

définie sur

R

par

f_A(t) = det(A + tM)

15▹

Montrer que

f_A

est de classe

C^\infty

sur

R

16▹

Montrer qu'il existe

ε_0 > 0

tel que, pour tout

t \in ] - ε_0, ε_0[, A + tM \in S_n^(+ +)(R)

17▹

Montrer que

f_A(t) = _(t \to 0)det(A) + det(A)Tr(A^(- 1)M)t + o(t)

.
Indication : On pourra commencer par traiter le cas où

A = I_n

18▹

Déterminer

f_A^'(t)

pour tout

t \in ] - ε_0, ε_0[

19▹

On admet que la fonction

Φ : t \mapsto (A + tM)^(- 1)

est de classe

C^1

sur

] - ε_0, ε_0

[. En remarquant que

Φ(t) \times (A + tM) = I_n

, montrer que

Φ(t) = _(t \to 0)A^(- 1) - A^(- 1)MA^(- 1)t + o(t)

Soit

α \in ] - 1/n, + \infty[∖{0}

. On définit l'application

φ_α

par

\forallt \in ] - ε_0, ε_0[, φ_α(t) = 1/αdet^(- α)(A + tM).

20▹

Montrer que

φ_α

est dérivable sur

] - ε_0, ε_0[

et que

\forallt \in ] - ε_0, ε_0[, φ_α^'(t) = - Tr((A + tM)^(- 1)M)det^(- α)(A + tM).

21▹

Montrer que

φ_α

est deux fois dérivable en 0 et que

φ_α^('')(0) = det^(- α)(A)(αTr^2(A^(- 1)M) + Tr((A^(- 1)M)^2)).

22▹

Montrer que

A^(- 1)M

est semblable à une matrice symétrique réelle.
Indication : On pourra utiliser la question 3.

23▹

En déduire que

φ_α^('')(0) \geq 0

24▹

Montrer que, si

φ_α^('')(0) > 0

, alors il existe

η > 0

, tel que pour tout

t \in ] - η, η[

1/αdet^(- α)(A + tM) \geq 1/αdet^(- α)(A) - Tr(A^(- 1)M)det^(- α)(A)t

Fin du problème

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Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PC 2023 ?

Le sujet porte sur les matrices symétriques réelles et le théorème spectral, la convexité des fonctions d'une variable réelle, le déterminant et la trace, ainsi que les fonctions vectorielles et les développements limités.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 PC 2023 ?

Le jury relève un théorème spectral cité sans l'orthogonalité de la matrice de passage, des vérifications oubliées pour la racine carrée, des récurrences mal menées pour l'inégalité de Jensen et l'oubli de la dérivée seconde pour étudier la convexité.

Quelle question était la plus difficile en Mines maths 1 PC 2023 ?

Le jury juge la question 8, sur la réduction simultanée de deux matrices symétriques, difficile dans le cadre du programme de la filière ; seule une poignée de candidats l'a traitée. Les questions 23 et 24 n'ont pratiquement pas reçu de réponse valable.

Quelles parties du sujet Mines maths 1 PC 2023 sont les plus abordables ?

D'après le rapport, la partie 1 est proche du cours, la partie 2 est élémentaire et la partie 4 est courte et facile. La partie 3 est plus délicate.

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