WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 2 PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Oscillations linéaires et un théorème ergodique

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2011FilièrePCMatièreMathématiques
Annales Mines PC MathématiquesMines PC 2011PC MathématiquesMathématiques 2011

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Oscillations linéaires et théorème ergodique : l'hypothèse ergodique de Boltzmann
Afficher ou masquer la section

Ce problème de mathématiques II, filière PC, démontre l'hypothèse ergodique du physicien Boltzmann, énoncée comme un théorème ergodique reliant la moyenne temporelle et la moyenne spatiale d'une fonction doublement périodique. Il part de l'étude des oscillations d'un système linéaire, établit des résultats intermédiaires de majoration d'intégrales, avant de conclure sur les fonctions de deux variables doublement périodiques.

  1. 1I. Oscillations d'un certain système linéaireÉtude d'algèbre bilinéaire et d'équations différentielles linéaires du second ordre décrivant un système oscillant.
  2. 2II. Résultats intermédiairesCalculs et majorations d'intégrales à une variable, préparant la démonstration du théorème ergodique.
  3. 3III. Un théorème ergodiqueExtension aux fonctions de deux variables doublement périodiques et démonstration du théorème ergodique reliant moyenne temporelle et moyenne spatiale.

Difficulté moyenne. Le jury note que l'ensemble des questions, à l'exception des trois dernières, a été abordé dans la quasi-totalité des copies, mais que les questions d'algèbre linéaire ont été très discriminantes et que le saut conceptuel vers les fonctions doublement périodiques n'a été réalisé que par la bonne première moitié des copies.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Utilisation implicite d'une hypothèse non vérifiée · Confusion entre linéarité et homogénéité · Confusion entre endomorphisme auto-adjoint et matrice symétrique
Afficher ou masquer la section

Le jury relève des copies globalement bien présentées mais des confusions récurrentes en algèbre linéaire et bilinéaire, où les candidats manipulent parfois des objets mathématiques sans en comprendre la nature exacte (multiplication par une matrice d'une égalité entre scalaires, confusion entre linéarité et homogénéité). Le saut conceptuel entre fonctions périodiques d'une variable et fonctions doublement périodiques n'a été réussi que par une partie des candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Utilisation implicite d'une hypothèse non vérifiéeQ2

    Un bon tiers des candidats démontre le résultat attendu sans utiliser l'hypothèse de positivité donnée, ce qui revient en fait à montrer que toute matrice est inversible.

  2. 2
    Confusion entre linéarité et homogénéitéQ4

    Tous les candidats connaissent les conditions à vérifier pour la linéarité, mais une proportion importante ne sait pas ce que signifie réellement être linéaire.

  3. 3
    Confusion entre endomorphisme auto-adjoint et matrice symétriqueQ5

    Beaucoup de candidats parlent à juste titre d'endomorphisme auto-adjoint pour le produit scalaire considéré, mais en déduisent à tort que la matrice associée est symétrique, ce qui suppose implicitement une base orthonormée.

  4. 4
    Majoration indépendante du paramètre mal maîtriséeQ9

    Seules les meilleures copies parviennent à majorer l'expression indépendamment du paramètre t, en fonction de epsilon.

  5. 5
    Saut conceptuel vers la double périodicité non réaliséQ13

    Le passage des fonctions périodiques d'une variable aux fonctions de deux variables doublement périodiques n'est réalisé que par la majorité des candidats dans la bonne première moitié des copies.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions Q6 et Q7 de la première partie sont généralement bien traitées.
  • La question Q14, de nature calculatoire, est assez largement abordée avec un certain succès.
  • Les candidats qui réalisent le saut conceptuel de la double périodicité en Q13 réussissent systématiquement à utiliser la compacité du carré [0,2 pi]².

Conseils du jury

  • Bien vérifier que toutes les hypothèses utiles sont effectivement mobilisées dans une démonstration.
  • Connaître précisément la définition d'une notion (linéarité, endomorphisme auto-adjoint) avant de l'appliquer.
  • Traduire la symétrie d'un endomorphisme dans une base quelconque plutôt que de se limiter au cas orthonormé.
  • Pour une majoration, chercher à faire apparaître la différence entre deux objets qui se ressemblent.
  • Ne pas négliger l'aspect calculatoire du programme et savoir mener les calculs sans erreur de signe.
  • Si une réponse devient longue et complexe, chercher une indication directe ou indirecte dans les questions adjacentes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2011

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Oscillations linéaires et un théorème ergodique.

On désigne par ℕ l'ensemble des entiers naturels et par ℕ^∗ l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Soit k ∈ ℕ et n ∈ ℕ^∗. On note C^k([0, + ∞[; ℝ^n) l'ensemble des fonctions de classe C^k sur [0, + ∞[ à valeurs dans ℝ^n. Pour chaque fonction x ∈ C^2([0, + ∞[; ℝ^n), on notera x^′(t) la dérivée première de x au point t et x^(′′)(t) sa dérivée seconde.
On désignera C_(2π)(ℝ; ℂ) l'ensemble des fonctions continues h : ℝ → ℂ qui sont 2π-périodiques ; ∀t ∈ ℝ, h(t + 2π) = h(t). Pour h ∈ C_(2π)(ℝ; ℂ) on posera:
‖h‖ = sup_(t ∈ ℝ)|h(t)|.
On désigne par ⟨; ⟩ le produit scalaire euclidien canonique de ℝ^n. On identifiera chaque vecteur x de ℝ^n à un vecteur colonne, encore noté x, de M_(n, 1)(ℝ). On considère deux matrices A et K de M_(n, n)(ℝ) symétriques d'ordre n à coefficients réels. On suppose que pour tout vecteur colonne non nul x de ℝ^n on a :
⟨Ax; x⟩ > 0, ⟨Kx; x⟩ > 0.

I. Oscillations d'un certain système linéaire.

◻ Q1 - Prouver que la matrice symétrique réelle A est inversible. (On pourra considérer le noyau de l'application x ↦ Ax ).
◻ Q2 - Prouver que ∀x, y ∈ ℝ^n, ⟨A^(− 1)x; y⟩ = ⟨x; A^(− 1)y⟩. En déduire que la matrice A^(− 1) est symétrique.
Pour x, y ∈ ℝ^n, on pose: (x; y)_A = ⟨Ax; y⟩. On désigne par E l'endomorphisme de l'espace vectoriel ℝ^n défini par ∀x ∈ ℝ^n, E(x) = A^(− 1)Kx.
◻ Q3 - Prouver que (;)_A définit un produit scalaire de ℝ^n. Puis montrer que
∀x, y ∈ ℝ^n, (E(x); y)_A = (x; E(y))_A.
◻ Q4 - Montrer qu'il existe une base (e_i)_(1 ≤ i ≤ n) de ℝ^n et n réels strictement positifs λ_i ∈ ℝ^(+ ∗)(1 ≤ i ≤ n) tels que
∀i ∈ {1, …, n}, A^(− 1)Ke_i = λ_i e_i
On considère l'équation différentielle :
∀t ∈ [0, + ∞[, Ax^(′′)(t) = − Kx(t)
de fonction inconnue x ∈ C^2([0, + ∞[; ℝ^n).
Q5 - Montrer que x ∈ C^2([0, + ∞[; ℝ^n) est solution de l'équation différentielle (1) si et seulement si il existe 2n nombres réels (a_i)_(1 ≤ i ≤ n), (b_i)_(1 ≤ i ≤ n) tels que :
∀t ∈ [0, + ∞[, x(t) = ∑_(i = 1)^n(a_i cos(t√(λ_i)) + b_i sin(t√(λ_i)))e_i
En déduire que l'ensemble des solutions de (1) est un espace vectoriel de dimension finie dont on précisera la dimension.
◻ Q6 - Soient x, y ∈ C^1([0, + ∞[; ℝ^n). Prouver que
∀t ∈ [0, + ∞[, d/(dt)(⟨Ax; y⟩)(t) = ⟨Ax^′(t); y(t)⟩ + ⟨Ax(t); y^′(t)⟩
◻ Q7 - Soit x ∈ C^2([0, + ∞[; ℝ^n) une solution de l'équation différentielle (1). Pour chaque réel t ≥ 0 on pose, T(x^′)(t) = 1/2⟨Ax^′(t); x^′(t)⟩ et U(x)(t) = 1/2⟨Kx(t); x(t)⟩. Montrer alors que la quantité T(x^′)(t) + U(x)(t) ne dépend pas de t ∈ [0, + ∞[.
Les solutions de (1) interviennent en physique ; l'objet de la partie III est d'étudier leur comportement quand t → + ∞ dans le cas n = 2. Les quantités T(x^′)(t) et U(x)(t) représentent respectivement une énergie cinétique et une énergie potentielle.

II. Résultats intermédiaires.

Soit k ∈ ℕ^∗. On désigne par c_k le réel positif tel que : c_k∫_0^(2π)((1 + cost)/2)^k dt = 1, et pour tout réel t on pose R_k(t) = c_k((1 + cost)/2)^k.
◻Q8 − Calculer ∫_0^π((1 + cost)/2)^k sintdt. En déduire que c_k ≤ (k + 1)/4.
◻Q9 − Soit ε ∈ ]0, π[. On pose : d_k(ε) = sup_(t ∈ [ε, 2π − ε])R_k(t). Prouver alors que
lim_(k → + ∞)d_k(ε) = 0
Q10 - Soit ε ∈ ]0, π[, et k ∈ ℕ. Prouver que pour toute h ∈ C_(2π)(ℝ; ℂ) qui est de classe C^1 sur ℝ et tout réel u, on a :
∫_0^(2π)R_k(u − t)h(t)dt = ∫_0^(2π)R_k(t_1)h(u − t_1)dt_1, et; |∫_0^(2π)R_k(u − t)h(t)dt − h(u)| ≤ 2‖h^′‖ε + 4π‖h‖d_k(ε)
(On rappelle que ∫_0^(2π)R_k(t_1)dt_1 = 1 et que ‖h‖ est défini au début de l'énoncé. Pour établir l'inégalité, on pourra utiliser que h(u − t_1) = h(u − t_1 + 2π) lorsque t_1 ∈ [2π − ε, 2π] ).

III. Un théorème ergodique.

Dans toute la suite on se limite au cas n = 2 de la partie I.
◻ Q11 - Soit x ∈ C^2([0, + ∞[; ℝ^2) une solution de l'équation (1). Montrer qu'il existe quatre réels c_1, c_2, φ_1, φ_2 tels que:
∀t ∈ [0, + ∞[, x(t) = ∑_(i = 1)^2 c_i cos(t√(λ_i) + φ_i)e_i
(On rappelle que les deux vecteurs e_1, e_2 sont introduits dans la Question 4 ).
Dans la suite on fixe deux réels φ_1, φ_2 et on pose:
∀t ∈ [0, + ∞[, θ(t) = (t√(λ_1) + φ_1, t√(λ_2) + φ_2).
Jusqu'à la fin de l'énoncé, on suppose que (√(λ_1))/(√(λ_2)) n'est pas un nombre rationnel. On suppose donc qu'il n'existe pas d'entiers naturels m_1, m_2 ∈ ℕ^∗ tels que (√(λ_1))/(√(λ_2)) = (m_1)/(m_2).
On désigne par C_(2π, 2π)(ℝ^2; ℂ) l'ensemble des fonctions continues f : ℝ^2 → ℂ telles que :
∀(θ_1, θ_2) ∈ ℝ^2, f(θ_1 + 2π, θ_2) = f(θ_1, θ_2) = f(θ_1, θ_2 + 2π).
On désigne par C_(2π, 2π)^1(ℝ^2; ℂ) l'ensemble des fonctions f ∈ C_(2π, 2π)(ℝ^2; ℂ) telles que les deux dérivées partielles (∂f)/(∂θ_1)(θ_1, θ_2), (∂f)/(∂θ_2)(θ_1, θ_2) existent en tout point de ℝ^2 et définissent toutes deux des fonctions continues sur ℝ^2.
◻ Q12 - Soit f ∈ C_(2π, 2π)(ℝ^2; ℂ). Prouver que
sup_((θ_1, θ_2) ∈ ℝ^2)|f(θ_1, θ_2)| = sup_((θ_1, θ_2) ∈ [0, 2π]^2)|f(θ_1, θ_2)|.
En déduire que (θ_1, θ_2) ↦ |f(θ_1, θ_2)| est majorée sur ℝ^2 et atteint sa borne supérieure.
Avec les notations de la question précédente, on posera ‖f‖ = sup_((θ_1, θ_2) ∈ ℝ^2)|f(θ_1, θ_2)|.
Soit f ∈ C_(2π, 2π)^1(ℝ^2; ℂ). On sait que θ_2 ↦ ∫_0^(2π)f(θ_1, θ_2)dθ_1 est continue sur ℝ. On pose alors :
∫_0^(2π)∫_0^(2π)f(θ_1, θ_2)dθ_1 dθ_2 = ∫_0^(2π)(∫_0^(2π)f(θ_1, θ_2)dθ_1)dθ_2
Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant :
Théorème 1. (Théorème Ergodique) Soit f ∈ C_(2π, 2π)^1(ℝ^2; ℂ). Alors,
lim_(T → + ∞)1/T∫_0^T f ∘ θ(t)dt = (2π)^(− 2)∫_0^(2π)∫_0^(2π)f(θ_1, θ_2)dθ_1 dθ_2
(On rappelle que θ(t) est défini dans (3) et que (√(λ_1))/(√(λ_2)) n'est pas un nombre rationnel).
◻ Q13 - Soit j, l ∈ ℤ. Prouver le Théorème Ergodique dans le cas particulier de la fonction (θ_1, θ_2) ↦ f(θ_1, θ_2) = e^(iθ_1 j)e^(iθ_2 l). (Dans le cas où (j, l) ≠ (0, 0) on pourra vérifier que j√(λ_1) + l√(λ_2) est non nul puis on pourra calculer séparément chaque membre de (4) dans ce cas particulier).
Dans les trois questions suivantes on fixe un élément quelconque f ∈ C_(2π, 2π)^1(ℝ^2; ℂ). Pour chaque k ∈ ℕ^∗ on pose :
∀(u, v) ∈ ℝ^2, f_k(u, v) = ∫_0^(2π)∫_0^(2π)R_k(u − θ_1)R_k(v − θ_2)f(θ_1, θ_2)dθ_1 dθ_2
◻ Q14 - Soit k ∈ ℕ^∗. Prouver qu'il existe (2k + 1)^2 nombres complexes (a_(j, l))_(− k ≤ j, l ≤ k) tels que pour tout (u, v) ∈ ℝ^2 : f_k(u, v) = ∑_(− k ≤ j, l ≤ k)a_(j, l)e^(iuj)e^(ivl). Justifier que la fonction f_k vérifie le Théorème Ergodique.
◻ Q15 - Soit ε ∈ ]0, π[ et k ∈ ℕ^∗. En écrivant f_k(u, v) − f(u, v) comme somme de deux termes et en appliquant la Question 10, prouver que pour tout (u, v) ∈ ℝ^2 :
|f_k(u, v) − f(u, v)| ≤ 2ε(‖(∂f)/(∂θ_1)‖ + ‖(∂f)/(∂θ_2)‖) + 8π‖f‖d_k(ε).
On rappelle que ‖f‖ est défini juste après la Question 12.
◻ Q16 - Prouver le Théorème Ergodique pour la fonction f. (On pourra poser M = 2(‖(∂f)/(∂θ_1)‖ + ‖(∂f)/(∂θ_2)‖) + 8π‖f‖. Pour ε > 0 donné, on pourra choisir k ∈ ℕ^∗ tel que d_k(ε) < ε. Ensuite, on pourra appliquer la Question 14 à f_k et considérer T_0 > 0 tel que pour tout T ≥ T_0 :
|1/T∫_0^T f_k ∘ θ(t)dt − (2π)^(− 2)∫_0^(2π)∫_0^(2π)f_k(θ_1, θ_2)dθ_1 dθ_2| < ε.)
Soient a, b ∈ ]0, 2π[ tels que a < b. On désigne par φ_(a, b) : ℝ → ℝ la fonction continue 2π-périodique définie comme suit. La fonction φ_(a, b) est nulle sur [0, a] et [b, 2π]. Pour tout t ∈ [a, b], φ_(a, b)(t) = sin^2(π/(b − a)(t − a)).
On rappelle que tout ouvert non vide de ] − 1, 1[^2 contient un pavé de la forme ]cosb, cosa[ × ]cosd, cosc[ où 0 < a < b < π et 0 < c < d < π.
◻ Q17 - On considère la solution x(t) = ∑_(i = 1)^2 cos(t√(λ_i) + φ_i)e_i de (1) obtenue en prenant c_1 = c_2 = 1 dans (2). Soit Ω un ouvert non vide de {ue_1 + ve_2/u, v ∈ ] − 1, 1[}. Prouver qu'il existe t ∈ [0, + ∞[ tel que x(t) ∈ Ω. (On pourra raisonner par l'absurde et justifier alors l'existence d'une fonction du type (θ_1, θ_2) ↦ φ_(a, b)(θ_1)φ_(c, d)(θ_2) = Φ(θ_1, θ_2) telle que Φ(θ(t)) est nulle pour tout t ∈ [0, + ∞[).

Fin de l'épreuve.

Le Théorème 1 dit que la moyenne temporelle de la grandeur physique f coincide avec la moyenne spatiale de f. Il s'agit de l'hypothèse ergodique du physicien Boltzmann. La Question 17 est alors une illustration du fait que toute trajectoire du système (hamiltonien) ergodique rencontre tout ouvert de l'espace des phases.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques II des Mines PC 2011 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques II des Mines PC 2011 ?

Elle porte sur l'algèbre bilinéaire, les équations différentielles linéaires du second ordre et les majorations d'intégrales à une et deux variables, pour démontrer l'hypothèse ergodique de Boltzmann.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths II Mines PC ?

Le jury signale des confusions entre linéarité et homogénéité, entre endomorphisme auto-adjoint et matrice symétrique, ainsi qu'un saut conceptuel vers les fonctions doublement périodiques non réalisé par de nombreux candidats.

Ce sujet des Mines PC 2011 sur le théorème ergodique de Boltzmann est-il difficile ?

Le sujet a été largement abordé dans son ensemble, mais les questions d'algèbre linéaire ont été très discriminantes et les trois dernières questions ont été très peu traitées.

Faut-il bien maîtriser l'algèbre bilinéaire pour ce sujet des Mines PC sur le théorème ergodique ?

Oui, le jury indique que les questions d'algèbre linéaire et bilinéaire ont fortement discriminé les candidats, notamment sur la notion d'endomorphisme auto-adjoint.

Pas de description pour le moment