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Mines Physique 1 PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mécanique des fluides : bilans de quantité de mouvement, portance et traînée
  • Thermodynamique industrielle : transformations d’un gaz parfait, premier principe industriel
  • Formule de Laplace, diagrammes P-V et T-S
  • Électronique : filtres, multiplieur, réponse en fréquence
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Annales Mines PC PhysiqueMines PC 2011PC PhysiquePhysique 2011

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Présentation du sujet

Accessible
Un peu d’aviation, beaucoup de physique : ailes, turboréacteur et altimètre
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Le problème comporte trois parties indépendantes autour des progrès de l’aviation. La première étudie la portance et la traînée d’une aile d’avion par un bilan de mécanique des fluides sur un modèle simplifié. La deuxième traite de thermodynamique en analysant le principe d’un turboréacteur. La troisième propose de comprendre le fonctionnement d’un altimètre par une étude électronique.

  1. 1I. Les premiers avions, quelques connaissances de baseOn établit, sur un modèle simplifié d’aile rectangulaire par bilan de quantité de mouvement, les coefficients de traînée et de portance, la polaire de l’aile, l’incidence critique et le phénomène de décrochage.
  2. 2II. La propulsion des avions contemporainsOn analyse le principe d’un turboréacteur en modélisant l’air comme un gaz parfait diatomique, avec les transformations dans le compresseur, la chambre de combustion, la turbine et la tuyère, jusqu’au calcul de la poussée.
  3. 3III. Le guidage des avions : l’altimètreOn étudie le principe d’un altimètre radioélectrique à modulation de fréquence, le signal reçu après réflexion sur le sol, puis le choix d’un filtre adapté pour en extraire l’altitude.

Accessible. Le rapport indique que l’ensemble des questions ne nécessite pas de calculs longs et difficiles à suivre, mais plutôt fluides, faisant intervenir un grand nombre de points de cours et le bon sens physique.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Bilan de quantité de mouvement non abouti · Principe des actions réciproques oublié · Rapport portance/traînée rarement analysé
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Le rapport insiste sur l’importance d’une démarche constructive enchaînant les questions d’une partie, plutôt que de chercher à grappiller des points. Les très bonnes copies se distinguent par des démarches simples mais efficaces, des réponses claires accompagnées de commentaires pertinents, et l’analyse critique des résultats a été récompensée par le jury.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bilan de quantité de mouvement non aboutiQ6

    De nombreux candidats ne parviennent pas à mener à terme un bilan de quantité de mouvement sur un système correctement choisi, ce qui a souvent marqué l’arrêt de la première partie.

    « Un certain nombre de candidat s a été incapable de mener à terme un bilan de quantité de mouvement sur un système convenablement choisi. »
  2. 2
    Principe des actions réciproques oubliéQ7

    L’oubli de ce principe conduit à des erreurs de signe fréquentes.

    « Le principe d’action réaction a été trop souvent oublié conduisant à des erreurs de signe. »
  3. 3
    Rapport portance/traînée rarement analyséQ10

    Cette analyse, pourtant utile pour optimiser le vol de l’aile, a été très rarement effectuée par les candidats.

    « L’analyse du rapport entre portance et traînée n’a été que très rarement effectuée. »
  4. 4
    Absence de vision globale des transformationsQ12

    Cette question, très mal traitée, demandait de considérer l’ensemble des transformations subies par le système, y compris leur caractère adiabatique.

    « Question très mal traitée par l’absence d’une vision globale de l’ensemble des transformations subies par le système. »
  5. 5
    Choix du filtre pour l’altimètreQ22

    Un filtre passe-bande n’est pas adapté, car il pose problème aux faibles altitudes ; un filtre passe-bas devait être privilégié après comparaison des fréquences en jeu.

    « Un filtre passe bande n’es t pas approprié car il se pose le problème des faibles altitudes »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1, qualitative, a été convenablement traitée par la plupart des candidats grâce à l’utilisation du théorème de Bernoulli.
  • Les questions 2 à 5, assez simples, ont mis en évidence une maîtrise des bases de la mécanique du solide et des fluides et ont été généralement bien rédigées.
  • L’utilisation d’un développement limité et le calcul de l’incidence critique à la question 9 ont été bien traités par les candidats ayant les bonnes expressions des coefficients.

Conseils du jury

  • Adopter une démarche constructive en enchaînant les questions d’une partie plutôt que de chercher à grappiller des points isolés.
  • Travailler les fondamentaux du cours comme on prépare une course d’endurance, avant d’aborder les exercices plus difficiles.
  • Rester lucide sur ses résultats pour repérer les erreurs de signe ou de calcul plutôt que de continuer avec des expressions paradoxales.
  • Limiter l’analyse critique d’un résultat à une phrase ou deux par question, sans développement excessif.
  • Toujours accompagner une application numérique de son unité, seule condition pour qu’elle soit comptée juste.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC

(Durée de l'épreuve: 3 heures)L'usage de la calculatrice est autoriséSujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.

  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

UN PEU D'AVIATION, BEAUCOUP DE PHYSIQUE...

Le sujet comporte trois partie indépendantes. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires ( e_x ˆ ) ou d'une flèche dans le cas général ( V⃗ ). Pour les applications numériques on utilisera 3 chiffres significatifs.
L'aviation vit le jour à la fin du siècle dernier avec des moyens pratiquement nuls, que ce soit dans le domaine de la théorie, celui de la technique ou encore celui des matériaux. Mais très vite, dès les premiers vols, l'aviation bénéficia des résultats d'un grand nombre de chercheurs et connut des progrès accélérés dans tous les domaines...

I. - Les premiers avions, quelques connaissances de base

Les premiers pionniers de l'aviation (Clément Ader, les frères Wright, Santos-Dumont ) ont effectué des essais avec des gros planeurs à la structure légère mais suffisamment robuste pour supporter sans dommage le poids et les vibrations d'un moteur actionnant une hélice.
Quelle que soit sa forme, un avion est toujours constitué par un ensemble d'éléments correspondant à diverses fonctions : on retiendra principalement les ailes destinées à soutenir 1'appareil et l'organe de propulsion qui lui donne la vitesse nécessaire à la sustentation et à la translation. La figure 1 représente un schéma élémentaire du profil d'une aile d'avion
Le segment de droite Σ qui joint le bord d'attaque au bord de fuite est appelé corde de profil. L'angle α entre ce segment et la direction que suit l'avion est appelé incidence. L'air immobile attaqué par une aile se déplaçant à la vitesse V⃗ se sépare en deux parties : l'une longe l'extrados, l'autre l'intrados. Dans le cas d'un mouvement rectiligne et uniforme de l'aile, on peut se placer dans le référentiel de l'aile et considérer que c'est l'air qui se déplace autour de celle-ci.
Fig. 1 - Profil d'une aile d'avion
L'étude dynamique d'une aile d'avion montre que celle-ci est soumise à deux forces d'origine aérodynamique :
  • la traînée F⃗_t, dirigée en sens inverse de la vitesse V⃗. En vol sous incidence nulle ( α = 0 ), cette force doit être équilibrée par la force de traction de l'hélice ou des réacteurs;
  • la portance F⃗_p qui équilibre le poids de l'avion.
L'air sera supposé incompressible.
◻1 - La portance est due au fait que le débit d'air est plus important au voisinage de l'extrados qu'au voisinage de l'intrados. Justifier le fait que cette portance s'oppose à l'effet du poids.
Des expériences effectuées notamment en soufflerie, montrent que les modules respectifs F_t et F_p de la traînée et de la portance peuvent se mettre sous la forme :
F_t = C_T(α)(μV^2)/2S et F_p = C_P(α)(μV^2)/2S
La quantité S représente la surface de la projection des ailes sur le plan perpendiculaire à la corde. Les coefficients de traînée C_T(α) et de portance C_P(α) dépendent de l'angle d'incidence et μ = 1, 20kg.m^(− 3) représente la masse volumique de 1'air.
On considère un avion de masse m = 1, 80 ⋅ 10^4 kg, en vol sous incidence nulle la projection de ses ailes représente une surface S = 50, 0 m^2. Le moteur de cet avion développe une puissance 𝒫 = 2, 70MW qui lui permet de se déplacer avec une vitesse de module V = 300 km ⋅ h^(− 1). Le champ de gravitation terrestre a pour module g = 9, 80 m.s^(− 2) dans toutes les régions considérées.
◻2 - Déterminer l'expression du coefficient de portance en vol sous incidence nulle C_P(0). Calculer sa valeur numérique.
◻3 - Déterminer, toujours en vol sous incidence nulle, l'expression de la traînée F_t due aux ailes sachant que la traînée totale de l'avion est due pour les deux tiers aux ailes. En déduire la valeur numérique du coefficient C_T(0) associé.
On se propose maintenant de calculer les expressions de C_T(α) et C_P(α) dans le cas d'une aile rectangulaire qui se déplace à la vitesse constante V⃗ = − Ve_x ˆ. On travaillera dans le référentiel ℛ, supposé galiléen, associé au repère ( O, e_x ˆ, e_y ˆ, e_z ˆ ) lié à l'aile et représenté sur la figure 2 ; dans celui-ci l'air semble provenir de l'infini avec la vitesse V⃗ = Ve_x ˆ. La largeur de l'aile est notée ℓ, sa longueur, étendue selon eˆ_z est notée L, son épaisseur est supposée négligeable.
On adoptera les hypothèses simplificatrices suivantes :
  • le fluide est dévié de manière uniforme sur une hauteur h^′. Après la déviation, il présente une vitesse uniforme V⃗^′ parallèle à 1'aile ;
  • on néglige les frottements, c'est-à-dire que la force de contact exercée par l'aile sur l'air est normale à sa surface ;
  • dans les divers bilans, on utilisera le volume de contrôle dont les sections d'entrée S et de sortie S^′ sont des rectangles de largeur L et de hauteurs respectives h et h^′. Ces deux sections sont représentées en trait pointillé sur la figure 2;
  • on se place en régime stationnaire.
Ce modèle est très simplifié mais il permet de rendre compte des grandeurs étudiées dans ce problème.
Les données proposées ne sont cependant pas suffisantes pour utiliser le théorème de Bernoulli.
Fig. 2 - Vue de profil de la modélisation de l'écoulement
◻4 - Déterminer le débit massique D_m de fluide dévié par l'aile. On pourra faire le calcul en entrée de l'aile où le champ des vitesses est connu.
◻5 - En écrivant la conservation du débit massique entre l'entrée et la sortie de l'aile, exprimer V^′ = |V⃗^′| en fonction de V et α.
◻6 - En effectuant un bilan de quantité de mouvement, calculer la force F⃗_(a/e) exercée par l'aile sur l'écoulement.
  • 7 - On admet que la force F⃗_(e/a) exercée par l'écoulement sur l'aile est de la forme
F⃗_(e/a) = (μLℓV^2)/2(C_x e_x ˆ + C_y e_y ˆ)
Déduire de la question 6 les expressions de C_x et C_y en fonction de α et λ = h/ℓ.
◻8 - On appelle polaire de l'aile la courbe représentant C_y en fonction de C_x. Déterminer une relation entre C_x, C_y et λ. En déduire la représentation de la polaire de cette aile rectangulaire.
Des essais en soufflerie illustrent deux propriétés importantes des ailes en aéronautique :
  • pour des angles α petits correspondant à des incidences faibles, le coefficient de portance est une fonction linéaire de α;
  • au dessus d'une certaine incidence critique α_c, la portance est décroissante et provoque un décrochage aérodynamique.
    ◻9 - Retrouver ces deux propriétés à partir des expressions de C_x et C_y obtenues à la question 7. On déterminera en particulier la valeur de α_c.
    ◻10 - Dans quels domaines d'incidences (proches de α_c ou petites devant α_c ) doit-on opérer si l'on veut optimiser la portance tout en réduisant la traînée afin que les ailes ne soient pas soumises à une trop forte résistance de l'air?
    ◻11 - Pour procéder à l'atterrissage l'avion doit perdre de l'altitude. Quels paramètres permettent au pilote de contrôler cette opération? Justifier votre réponse.

FIN DE LA PARTIE I

II. - La propulsion des avions contemporains

L'une des prouesses techniques du 20^e siècle a été la mise au point du turbo-réacteur qui permet aux avions d'être propulsés à des vitesses considérables (soniques ou même supersoniques); le turboréacteur est utilisé par l'aviation civile (A380, B757) ainsi que par l'aviation militaire (Rafale, F16). Bien qu'il existe plusieurs types de turbo-réacteur, le principe général de ceux-ci est le même ; ils sont notamment composés de plusieurs parties :
  • une entrée d'air (air inlet);
  • une zone de compression comprenant une première roue, de grande taille appelée soufflante (fan) puis de plusieurs étages de compresseurs axiaux (compressors);
  • une chambre de combustion (combustion chamber) où air et carburant sont mélangés en présence d'une flamme permanente dont le rôle est d'augmenter la température des gaz;
  • une zone de détente des gaz, composée d'une turbine montée sur l'arbre tournant de la zone de compression ; son rôle est de récupérer une partie du travail des gaz après la combustion pour faire tourner les roues du compresseur situé à l'avant du turbo-réacteur;
  • une tuyère d'éjection (exhaust nozzle) qui par sa forme continue la détente et transforme l'énergie de pression en énergie cinétique avant d'éjecter le flux d'air .
L'ensemble du système est représenté sur la figure 3.
Dans toute cette partie, on assimile l'air à un gaz parfait diatomique de capacité thermique massique à pression constante c_p = 1, 00 ⋅ 10^3 J.kg^(− 1).K^(− 1) et d'exposant adiabatique γ = 1, 4. Toutes les transformations subies par les gaz sont supposées quasi-statiques et réversibles. Enfin, dans toute cette partie la température est représentée par la lettre θ quand sa valeur est exprimée en ^∘C et par la lettre T quand sa valeur est exprimée en K .
L'air se trouve initialement à la pression atmosphérique P_0 = 10^5 Pa et à température ambiante θ = 20^∘C. Il entre, avec un débit massique D_m = 65 kg.s^(− 1), dans le compresseur qui le porte à la pression P_1 = 5 ⋅ 10^5 Pa.
FIG. 3 - Schéma de principe d'un turboréacteur
Une fois dans la chambre de combustion, l'air comprimé est mélangé au carburant, ce mélange est alors brûlé sous pression constante; cette combustion s'effectue avec un excès d'air suffisant qui permet d'admettre qu'il n'y a pas de modification de la nature et du nombre de moles de gaz (hypothèse de conservation). Les gaz se détendent ensuite dans la turbine puis dans la tuyère jusqu'à la pression atmosphérique P_0. On notera respectivement T_2 et T_3 les températures en entrée et en sortie de la turbine et T_4 la température en sortie de la tuyère. On fera l'hypothèse que chaque section de l'écoulement est homogène ( « hypothèse des tranches »).
12-Représenter les diagrammes pression-volume, puis température-entropie de l'ensemble des transformations subies par le gaz lors de son passage dans le turbo-réacteur.
◻13 - Déterminer la valeur de la température T_1 de l'air au niveau de la sortie du compresseur ainsi que la puissance 𝒫_c absorbée par celui-ci.
Pour sa bonne tenue aux basses températures, le carburant utilisé est à base de kérosène, son pouvoir calorifique moyen est q = 43, 1MJ.kg^(− 1). En régime permanent, un système de contrôle permet de fixer la température en entrée de la turbine à la valeur θ_2 = 860^∘C.
14- Déterminer l'expression et la valeur numérique de la quantité de carburant injectée par seconde en régime permanent. On vérifiera que ce débit est bien compatible avec l'hypothèse de conservation.
La turbine et le compresseur sont mécaniquement reliés au même arbre. On peut donc supposer que la turbine fournit exactement la puissance nécessaire au fonctionnement du compresseur. On se place en régime permanent.
◻15 - Déterminer l'expression et la valeur numérique de la température T_3 de l'air à la sortie de la turbine. En déduire la pression P_3 correspondante.
◻16 - Déterminer l'expression et la valeur numérique de la température T_4 de l'air à la sortie de la tuyère.
On note respectivement v_(e, t) et v_(s, t) le module de la vitesse des gaz en entrée et en sortie de la tuyère dans le référentiel du turbo-réacteur. On admettra que v_(s, t)≫v_(e, t).
◻17 - Déterminer l'expression de v_(s, t) en fonction de c_p, T_3 et T_4 puis la valeur numérique de la poussée Π du turbo-réacteur.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Le guidage des avions, un instrument essentiel : l'altimètre.

FIG. 4 - Principe de l'altimètre
Le principe général d'un altimètre est très simple. Il est décrit sur la figure 4. Un oscillateur embarqué dans l'avion émet un signal sinusoïdal s(t) modulé en fréquence. Ce signal se propage verticalement à la vitesse c = 3, 00 ⋅ 10^8 m.s^(− 1). Il ne sera pas tenu compte du déphasage dû à la réflexion ni également de l'effet Doppler. Une antenne fixée sur l'avion permet à l'altimètre de mesurer son altitude z à partir du temps mis par l'onde radioélectrique pour effectuer l'aller-retour entre le sol et l'avion. La fréquence f_s(t) du signal s(t) émis par l'oscillateur de l'altimètre varie périodiquement au cours du temps selon le graphe représenté sur la figure 5.
  • 18 - À partir du graphe de la figure 5, établir la loi de variation de la fréquence f_s(t) sur une période, en fonction de t, f_0, δ_f et t_0.
La quantité f_s(t) est en fait la fréquence instantanée du signal s(t) émis par l'altimètre. Cela signifie ici que s(t) = Acos(θ(t)) avec
f_s(t) = 1/(2π)(dθ(t))/(dt).
  • 19 - Sachant que s(0) = A, déterminer l'expression de s(t) en fonction de A, t, ω_0 = 2πf_0 et ω_1 = δ_f/(2f_0 t_0). Tracer l'allure du graphe de s(t) sur une période.
    On admet que le signal réfléchi par le sol puis capté par l'antenne de l'altimètre peut se mettre sous la forme r(t) = a × s(t − τ) où le paramètre τ est positif
FIG. 5 - Fréquence du signal émis par l'avion
20 - Après avoir donné la signification physique des paramètres a et τ, déterminer l'expression de τ en fonction de l'altitude z de l'avion et de la vitesse de propagation c de l'onde radioélectrique qu'il émet. Quelle est la valeur numérique de τ si l'altitude de l'avion est z = 3000 m.
Le schéma bloc décrivant le fonctionnement de l'altimètre est décrit sur la figure 6. On admet que δ_f≪f_0 et τ≪t_0.
FIG. 6 - Schéma de principe de l'altimètre
21 - Montrer que le signal de sortie du multiplieur n(t) peut s'écrire comme la somme de deux signaux sinusoïdaux dont l'un possède une fréquence instantanée f_1 qui ne dépend pas de t et l'autre une fréquence instantanée f_2(t) qui varie avec t. On donnera l'expression de ces deux fréquences en fonction de τ, δ_f et t_0 dans le cas de f_1 et t, τ, δ_f, t_0 et f_0 dans le cas de f_2.
◻22 - Pour les avions standards on a toujours τ ≤ 100μ s. Quel type de filtre doit on utiliser et comment calibrer ce dernier pour pouvoir obtenir un signal de sortie u(t) qui permette de déterminer facilement la valeur de l'altitude z de l'avion. On justifiera la réponse et on pourra proposer un moyen effectif pour obtenir cette valeur.
23 - Parmi les filtres dont les schémas sont représentés sur la figure 7, quel est celui qui vous paraît le plus adapté à l'application d'altimétrie étudiée précédemment? On justifiera sa réponse en commentant les caractéristiques de chacun d'entre eux.
Fig. 7 - Différents filtres

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Physique 1 Mines PC 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Physique 1 Mines PC 2011 ?

Le sujet porte sur la mécanique des fluides (portance et traînée d’une aile), la thermodynamique d’un turboréacteur et l’électronique d’un altimètre radioélectrique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Physique 1 Mines PC 2011 ?

Le rapport cite un bilan de quantité de mouvement souvent non abouti, l’oubli du principe des actions réciproques, une absence de vision globale des transformations thermodynamiques et un choix de filtre inadapté pour l’altimètre.

Le sujet Physique 1 Mines PC 2011 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme comportant des calculs plutôt fluides, ne nécessitant pas de développements longs, et mobilisant surtout le cours et le bon sens physique.

La calculatrice est-elle autorisée en Physique 1 Mines PC 2011 ?

Oui, l’énoncé précise que l’usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Pas de description pour le moment