Mines Physique 2 PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2011
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II—PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.

L'épreuve est constituée de trois parties indépendantes. La première partie concerne l'étude de la propagation de la lumière dans une fibre optique dans le cadre de l'optique géométrique. La deuxième partie complète la première en étudiant la structure transverse d'une onde électromagnétique dans la fibre, et les conditions d'obtention d'une fibre monomode. Enfin, la dernière partie traite des effets non linéaires dans la fibre, notamment de l'effet Kerr optique. Après une modélisation microscopique de ce dernier, on s'intéresse au phénomène d'auto-modulation de phase et à l'existence possible de solitons optiques. Les applications numériques seront données avec 3 chiffres significatifs.
Une fibre optique à saut d'indice, représentée sur la figure 1 est formée d'un cœur cylindrique en verre d'axe ( Ox ), de diamètre 2a et d'indice n entouré d'une gaine optique d'indice n_1 légèrement inférieur à n. Les deux milieux sont supposés homogènes, isotropes, transparents et non chargés. Un rayon situé dans le plan ( Oxy ) entre dans la fibre au point O avec un angle d'incidence θ. Afin de ne pas confondre l'angle i d'incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module 1 , on notera ce dernier j tel que j^2 = − 1. Quelques constantes sont données en fin d'épreuve. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau, uˆ_x, s'ils sont unitaires ou d'une flèche, E⃗, dans le cas général.

Dans cette partie, les rayons lumineux sont supposés issus d'une radiation monochromatique de fréquence f, de pulsation ω et de longueur d'onde λ dans le milieu constituant le cœur.
◻1 - Les différents angles utiles sont représentés sur la figure 1. À quelle condition sur i, angle d'incidence à l'interface cœur/gaine, le rayon reste-t-il confiné à l'intérieur du cœur? On note i_ℓ l'angle d'incidence limite.

2- Montrer que la condition précédente est vérifiée si l'angle d'incidence θ est inférieur à un angle limite θ_ℓ dont on exprimera le sinus en fonction de n et i_ℓ. En déduire l'expression de l'ouverture numérique ON = sinθ_ℓ de la fibre en fonction de n et n_1 uniquement.
◻3 - Donner la valeur numérique de ON pour n = 1, 50 et n_1 = 1, 47.
On considère une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d'incidence θ variable compris entre 0 et θ_ℓ. On note c la vitesse de la lumière dans le vide.
◻4 - Pour quelle valeur de l'angle θ, le temps de parcours de la lumière dans la fibre est-il minimal ? maximal ? Exprimer alors l'intervalle de temps δt entre le temps de parcours minimal et maximal en fonction de L, c, n et n_1.
◻5 - On pose 2Δ = 1 − (n_1/n)^2. On admet que pour les fibres optiques Δ≪1. Donner dans ce cas l'expression approchée de δt en fonction de L, c, n et Δ. On conservera cette expression de δt pour la suite du problème.

On injecte à l'entrée de la fibre une impulsion lumineuse d'une durée caractéristique t_0 = t_2 − t_1 formée par un faisceau de rayons ayant un angle d'incidence compris entre 0 et θ_ℓ. La figure 2 ci-contre représente l'allure de l'amplitude A du signal lumineux en fonction du temps t.

Le codage binaire de l'information consiste à envoyer des impulsions lumineuses (appelées «bits ») périodiquement

◻7 - En supposant t_0 négligeable devant δt, quelle condition portant sur la fréquence d'émission F exprime le non-recouvrement des impulsions à la sortie de la fibre optique ?

Pour une fréquence F donnée, on définit la longueur maximale L_(max) de la fibre optique permettant d'éviter le phénomène de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le produit B = L_(max) ⋅ F.
◻8 - Exprimer la bande passante B en fonction de c, n et Δ.
◻9 - Calculer la valeur numérique de Δ et de la bande passante B (exprimée en MHz ⋅ km ) avec les valeurs de n et n_1 données dans la question 3. Pour un débit d'information de F = 100Mbits.s^(− 1) = 100 MHz , quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal? Commenter la valeur de L_(max) obtenue.

10 - À quelle condition sur λ et a l'étude géométrique de la fibre menée dans la partie précédente cesse-t-elle d'être valable ? Dans ce cas, une approche ondulatoire de la propagation est nécessaire.

En lumière monochromatique, seules certaines formes d'ondes, appelées «modes », peuvent se propager dans la fibre. Chaque mode se propage à une vitesse différente, ce qui engendre l'étalement des impulsions lumineuses et donc réduit la bande passante. Pour améliorer les performances, les fabricants de fibres optiques ont été amenés à élaborer des fibres à saut d'indice dites «monomodes »: un seul mode peut s'y propager, ce qui a pour effet de diminuer considérablement l'étalement des impulsions. La bande passante des fibres monomodes est ainsi beaucoup plus élevée que celle calculée à la question 9. Cette partie se propose d'étudier les conditions d'obtention d'une fibre optique à saut d'indice monomode.

On étudie donc la propagation d'un champ électromagnétique de pulsation ω dans la direction des x positifs. Pour simplifier, on se limite aux solutions pour lesquelles E⃗ est polarisé suivant uˆ_z, avec ( uˆ_x, uˆ_y, uˆ_z ) trièdre direct. On note

En notation complexe, et en simplifiant la géométrie du système, les champs sont recherchés sous la forme :

◻11 - En utilisant les relations de passage à la traversée d'un dioptre entre deux milieux diélectriques non chargés, montrer que k_(x, 1) = k_(x, 2) = k_(x, 3) = k_x.
◻12 - En utilisant l'équation de propagation du champ E⃗ dans un milieu diélectrique d'indice n, montrer que les fonctions e_s(y) sont solutions de l'équation différentielle

On donnera l'expression de μ_s pour chacune des trois régions en fonction de k_x, ω, c et n ou n_1.
Afin que la fibre optique soit effectivement un guide d'onde, on doit fixer les paramètres μ_s de cette équation de telle manière que ses solutions soient des ondes stationnaires suivant ( Oy ) dans le cœur, et évanescentes suivant (Oy) dans la gaine. Dans les trois régions considérées, les fonctions e_s(y) s'écriront donc sous la forme

où α et β sont deux réels positifs. Les coefficients A et B sont fixés grâce aux conditions aux limites du problème et le paramètre ε = ± 1 permet d'obtenir les deux familles de solutions. On posera k = nω/c et k_x = kcosr où l'angle r ∈ [0, π/2] correspond à l'angle de réflexion représenté sur la figure 1 .
◻13 - Exprimer β en fonction de k et r, puis α en fonction de k, r, n et n_1.
14- Pour n et n_1 donnés, quelle est la valeur maximale r_ℓ de r ? En déduire la valeur minimale i_ℓ de i et commenter le résultat obtenu.
◻15 - À partir des équations de Maxwell, déterminer l'expression de la représentation complexe du champ magnétique dans chacun des trois milieux.
◻16 - On pose δ = e^(αa) et γ = e^(jβa). En utilisant les relations de continuité des champs en y = a, obtenir deux équations liant A, B, ε, α, β, γ et δ.
17 - En déduire, dans chacun des cas ε = + 1 ou ε = − 1, la relation que doivent vérifier α, β et a. Montrer que la réunion des deux cas se résume en la condition βa + arctan(β/α) = pπ/2 avec p ∈ ℤ. On rappelle que si θ > 0, alors arctan(θ) = π/2 − arctan(θ^(− 1)).
Comme β et α sont des fonctions de r, on pose βa + arctan(β/α) = f(r). Pour a donné, on admet que la fonction r ⟼ f(r) est strictement croissante sur [0, r_ℓ]. Quand elle existe, la solution de l'équation f(r) = pπ/2 est donc unique.
On souhaite réaliser une fibre monomode, c'est-à-dire une fibre dans laquelle l'angle r ne puisse prendre qu'une seule valeur pour la radiation de longueur d'onde λ = 2π/k utilisée. Pour les applications numériques, on prendra λ = 709 nm.
◻18 - Déterminer la valeur maximale f_(max) de f(r) sur l'intervalle [0, r_ℓ]. Montrer que si p = 1, la fibre est monomode quelles que soient les valeurs de a et λ. Montrer que si p ≥ 2, l'équation f(r) = pπ/2 n'a de solution que si a > a_ℓ où a_ℓ est un rayon minimal que l'on exprimera en fonction de p, λ, n et n_1.
19-Dans la pratique, afin de réaliser une fibre monomode, on prendra un rayon a < a_ℓ et seul le mode associé à p = 1 se propagera dans la fibre. Calculer la valeur de a_ℓ pour p = 2 et commenter le résultat obtenu.

Même dans une fibre monomode, un autre phénomène provoque l'étalement des impulsions lumineuses. En effet, le cœur de silice est un milieu dispersif, c'est-à-dire que son indice optique dépend de la fréquence du rayonnement. Aux fréquences optiques, les fibres optiques sont généralement le siège d'une dispersion dite «anomale», pour laquelle les composantes haute fréquence se propagent plus vite que les composantes basse fréquence.
Or, la durée finie des paquets d'onde émis par les sources implique que l'onde qui se propage dans la fibre n'est jamais strictement monochromatique. Toutes les composantes fréquentielles du paquet d'onde ne se propageant pas à la même vitesse dans la fibre, un élargissement temporel de l'impulsion apparaît au cours de la propagation. Ce phénomène est appelé «dispersion intramodale» ou «dispersion chromatique 》.

20 - La figure 3 représente le profil temporel du champ électrique scalaire E(0, t) d'un paquet d'onde «gaussien» injecté à l'entrée x = 0 de la fibre. L'origine des temps est choisie telle que le centre du paquet d'onde passe en x = 0 à t = 0.
Représenter l'allure du profil temporel du champ électrique scalaire E(x_(fixé), t) du paquet d'onde après propagation dans la fibre.

Quand l'amplitude du champ électrique de l'onde se propageant dans le cœur de la fibre n'est plus négligeable (i. e. ≥ 1% ) devant le champ électrique intra-atomique assurant la cohésion de l'atome, des phénomènes optiques non linéaires peuvent apparaître.
◻21 - On rappelle que la puissance par unité de surface transportée dans un milieu d'indice n par une onde plane progressive d'amplitude E_0, aussi appelée intensité lumineuse, s'écrit I = nε_0 cE_0^2/2. Déterminer l'ordre de grandeur de l'intensité lumineuse au delà de laquelle la propagation peut donner lieu à des phénomènes optiques non linéaires? Quelle invention du XX ^e siècle a-t-elle permis d'atteindre de telles puissances surfaciques?

Dans cette partie, on propose une modélisation microscopique des interactions lumière/matière permettant d'expliquer l'effet Kerr optique, c'est-à-dire l'apparition d'une variation d'indice dans le milieu proportionnelle à l'intensité du faisceau lumineux qui s'y propage. Le modèle microscopique de l'électron lié suffit ici à rendre compte des propriétés essentielles que l'on cherche à mettre en évidence. On note z(t) l'écart à la position d'équilibre d'un électron de masse m et de charge − e. Sous l'action de la force exercée par un champ électrique E⃗ = E_0 cos(ωt − kx)uˆ_z de forte puissance polarisé suivant Oz, on suppose que l'électron est, par réaction, soumis à une force de rappel comportant un terme harmonique et un terme de correction anharmonique :

où ω_0 est la pulsation de résonance de l'atome et ℏ = h/(2π) la constante de Planck réduite. Dans toute cette partie, on suppose que la pulsation de l'onde incidente est différente de la pulsation de résonance du système mais suffisament proche de celle-ci soit ω ≠ ω_0 mais ω ≃ ω_0. On note également :

22-Quelle est la dimension du coefficient κ traduisant l'importance du phénomène non linéaire?
◻23 - Établir l'équation vérifiée par la fonction z(t).
Pour résoudre cette équation, on utilise un développement perturbatif aux différentes puissances de κ. On pose alors z(t) = z_0(t) + κz_1(t) avec z_0(t) solution de l'équation différentielle linéaire obtenue pour κ = 0, et z_1(t) perturbation obtenue en ne conservant dans l'équation différentielle que les termes du premier ordre en κ.
◻24 - Déterminer l'expression de z_0(t).
◻25 - Déterminer l'équation différentielle vérifiée par z_1(t). On admettra que si ω est suffisament proche de ω_0 la solution de cette équation s'écrit

Quelle est l'origine mathématique du terme en cos(3(ωt − kx)) contenu dans cette solution?
◻26 - On note χ la susceptibilité électrique du milieu et P_z la composante selon l'axe Oz du vecteur polarisation P⃗. Déterminer les expressions de P_z en fonction de N, e, z_0, κ et z_1 d'une part, et ε_0, χ et E_0 cos(ωt − kx) d'autre part. On supposera le milieu isotrope et linéaire, cette approximation n'est pas en désaccord avec le développement perturbatif étudié ici.
◻27 - En ne conservant que le terme de pulsation ω dans z_0(t) et z_1(t), déduire de la question précédente l'expression de l'indice n du milieu en fonction de n_L, χ_L et ξ.

Dans le visible ( ω≪ω_0 ), on peut supposer que les différents indices ne varient pas avec la fréquence. Cette hypothèses revient à supposer que le milieu est non dispersif. La structure transverse de l'onde se propageant dans la fibre a été étudiée dans la partie II. Dans cette partie on se propose d'étudier l'influence des non linéarités optiques sur la structure longitudinale de l'onde. On suppose qu'en notation complexe le champ électrique dans la fibre peut se mettre sous la forme E⃗_– = E_–(x, t)uˆ_z avec

On admet que dans les conditions du problème, l'enveloppe A_–(x, t) de l'impulsion est solution de l'équation

où Γ dépend de l'indice du milieu de propagation mais pas du temps t.
◻28 - Montrer que le module de A_–(x, t) ne dépend pas de x.
◻29 — On pose A_–(0, t) = a(t). On admettra que a(t) est réel. Donner les expressions de l'enveloppe A_–(x, t) puis du champ E_–(x, t).
◻30 - On note E_–(x, t) = |E_–(x, t)|e^(jφ(x, t)). Pour un paquet d'onde gaussien centré sur t = 0 de profil temporel a(t) = a_0 e^(− t^2/2τ_0^2), déterminer l'expression de la pulsation instantanée ω(x, t) = (∂φ)/(∂t)(x, t) puis tracer son allure en fonction du temps pour une valeur fixée non nulle de x.
◻31 - La courbe tracée à la question précédente donne la distribution spectrale autour de la pulsation centrale ω_0 du paquet d'onde gaussien pour le front montant ( t < 0 ) et descendant ( t > 0 ) de ce paquet. En déduire comment est déformé un paquet d'onde gaussien (représenté sur la figure 3) au cours de sa propagation dans un milieu présentant un effet Kerr optique. Ce phénomène est appelé automodulation.

◻32 - On considère que la fibre optique étudiée est à la fois le siège d'un phénomène de dispersion intramodale (cf. partie II.B) et d'un phénomène d'automodulation (cf. partie III.B). Montrer qualitativement qu'on peut envisager la propagation d'un paquet d'onde sans déformation. Un tel mode de propagation est appelé soliton optique.