Mines Physique 2 PC 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Ondes acoustiques et coefficients de réflexion/transmission
Écoulements incompressibles et irrotationnels, potentiel des vitesses
Loi de Hooke et associations de ressorts
Statique et dynamique du point matériel
Analyse dimensionnelle et lois d'échelle

Explorer les annales

BanqueMines Année2012 FilièrePC MatièrePhysique

Annales Mines PC Physique Mines PC 2012 PC Physique Physique 2012

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé sur Discord

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficile

Acoustique de l'air vers l'eau, clapotis d'une piscine, élasticité d'un fil de toile d'araignée et lois d'échelle du vol des papillons

Le sujet de physique 2, Mines-Ponts PC 2012, réunit trois études indépendantes autour d'un soir d'été. La partie I étudie la propagation d'une onde acoustique de l'air vers l'eau d'une piscine, puis les ondes de clapotis à la surface libre. La partie II modélise l'élasticité d'un fil de toile d'araignée puis les oscillations d'une toile soumise au poids d'un insecte piégé. La partie III analyse, par des lois d'échelle, la relation entre la taille des papillons et la fréquence de battement de leurs ailes.

1Partie I.A : parler dans l'air, entendre dans l'eauCompressibilité isentropique, équation de propagation acoustique linéarisée, réfraction d'une onde sonore à l'interface air-eau, coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale.
2Partie I.B : le clapotis de l'eau dans la piscineÉcoulement incompressible et irrotationnel de l'eau, introduction du potentiel des vitesses, établissement de la relation de dispersion des ondes de surface et de leur vitesse de groupe.
3Partie II.A : modélisation d'un fil élastiqueAssociation de ressorts en série et en parallèle, loi de Hooke généralisée à un fil élastique caractérisé par son module d'Young, mesure expérimentale de ce module sur un fil d'araignée.
4Partie II.B : oscillations de la toile complèteÉquation du mouvement vertical d'un insecte piégé au centre d'une toile modélisée par des fils radiaux et circulaires, puis étude des petites oscillations autour de la position d'équilibre.
5Partie III : le vol des papillonsLois d'échelle entre dimensions caractéristiques des papillons à partir de données expérimentales, analyse dimensionnelle de la force de poussée hydrodynamique due au battement des ailes, comparaison des forces de surface et de volume.

Difficile. Le rapport signale beaucoup de très mauvaises copies, dans lesquelles même les définitions de cours sont absentes, parfois seulement 3 ou 4 questions abordées, et une rédaction souvent approximative qui ne démontre pas les résultats pourtant demandés.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Force de pesanteur crue déjà comptabilisée dans la pression · Indices optiques utilisés pour un problème acoustique · Incidence normale non respectée

Le rapport relève beaucoup de très mauvaises copies, où même les définitions de cours sont absentes et où parfois seules 3 ou 4 questions sont abordées. La rédaction est souvent approximative : quand l'énoncé demande de « montrer » ou « déterminer », il ne suffit pas d'énoncer un résultat, celui-ci devant être démontré, sous peine de perdre beaucoup de points. Quelques copies sont à peine lisibles, voire indéchiffrables, ce à quoi le correcteur est sensible.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Force de pesanteur crue déjà comptabilisée dans la pressionQuestion 2
Ce développement limité, rarement bien traité, consiste à considérer les termes au même ordre en epsilon ; une simple analyse dimensionnelle ne suffit pas, et de nombreux candidats ont cru à tort que la force de pesanteur était déjà comptabilisée dans l'expression donnée de la pression.
« De nombreux candidats ont cru, à tort, que la force de pesanteur était déjà comptabilisée dans l'expression donnée de la pression. »
2
Indices optiques utilisés pour un problème acoustiqueQuestion 5
Cette question sur la réfraction acoustique a donné lieu à beaucoup de réponses hors sujet, de nombreux candidats ayant utilisé à tort des indices optiques.
« de nombreux candidats ont utilisé des indices optiques »
3
Incidence normale non respectéeQuestion 6
Une erreur fréquente a été de ne pas se placer en incidence normale, alors que l'énoncé le précisait pourtant clairement pour cette question.
« Une erreur fréquente a été de ne pas se placer en incidence normale, alors que l'énoncé le disait clairement ! »
4
Écoulement incompressible confondu avec écoulement irrotationnelQuestion 10
Cette question, très rarement bien traitée en entier, révèle que beaucoup de candidats confondent un écoulement incompressible, de divergence nulle, avec un écoulement irrotationnel, de rotationnel nul.
« Beaucoup de candidats confondent un écoulement incompressible (divergence nulle) avec un écoulement irrotationnel (rotationnel nul). »
5
Composante normale de la vitesse confondue avec la vitesse nulle au fondQuestion 11
Ce n'est pas la vitesse qui est nulle au fond de la piscine, le fluide étant non visqueux et pouvant glisser, mais bien sa composante normale.
« ce n'est pas la vitesse qui est nulle au fond de la piscine (le fluide est non visqueux donc peut glisser), c'est sa composante normale »
6
Ressorts en série mal traités et système non définiQuestions 17 et 18
Beaucoup d'erreurs apparaissent sur les ressorts en série, pour lesquels les forces ne s'additionnent pas ; de trop nombreux candidats appliquent en outre le principe fondamental de la dynamique sans définir le système, ce qui conduit à des équations fausses.
« Beaucoup d'erreurs sur les ressorts en série, pour lesquels les forces de s'additionnent pas »

Ce qui a été bien réussi

La question 3 sur l'équation de propagation acoustique est plutôt bien traitée.
La question 16 sur la loi de Hooke d'un ressort, simple, est bien traitée.
La question 20 sur l'équilibre du fil est relativement bien traitée.
Les questions 28, 29 et 30 sur les lois d'échelle des papillons sont souvent correctes ou assez bien traitées lorsqu'elles sont abordées.

Conseils du jury

Démontrer systématiquement les résultats demandés (association de ressorts, coefficients de réflexion et transmission) plutôt que de se contenter de les énoncer.
Respecter scrupuleusement les hypothèses données par l'énoncé, par exemple l'incidence normale.
Toujours définir précisément le système avant d'appliquer le principe fondamental de la dynamique.
Ne pas négliger les applications numériques, qui rapportent aussi des points.
Soigner l'écriture et la présentation de la copie, dont dépend la lisibilité et l'appréciation du correcteur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2012
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

UN SOIR D'ÉTÉ

Même dans la douceur d'un soir d'été, un physicien cherche à modéliser les phénomènes qui l'entourent : l'eau de la piscine (partie I), les mouvements d'un insecte pris au piège d'une toile d'araignée (partie II) ou les battements des ailes des papillons (partie III).
Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires :

e_x ˆ

; ou d'une flèche dans le cas général:

r⃗, v⃗

. Pour les applications numériques, trois chiffres significatifs sont recquis. Les nombres complexes sont soulignés mis à part

i^2 = - 1

I. - L'eau dans la piscine

L'eau contenue dans une piscine rectangulaire est assimilée à un fluide parfait (non visqueux) caractérisé par une masse volumique au repos

ρ_e = 1, 00 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

. On note

g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)

l'accélération de la pesanteur. Dans cette partie, on s'intéresse à deux questions I.A (est-il possible, lorsqu'on parle au bord de la piscine, d'être entendu par un nageur plongé sous l'eau?) et I.B (quelle est l'origine du << clapotis >> à la surface libre de l'eau ?) qui sont d'ailleurs totalement indépendantes.

I.A. - Parler dans l'air, entendre dans l'eau?

Dans cette partie I.A, on tient compte de la compressibilité isentropique

χ_e = 4, 60 \times 10^(- 10)

SI de l'eau, supposée constante dans les conditions de la propagation des ondes acoustiques (ondes de compression de faible amplitude). On note

γ = c_p/c_v

le rapport des capacités thermiques massiques à pression constante

c_p

et à volume constant

c_v

. Pour un gaz de molécules diatomiques rigides on rappelle que

c_p = 7R/2

c_v = 5R/2

◻1

- Rappeler la définition et l'unité de mesure de la compressibilité

χ

. Comparer, dans les conditions normales de température et de pression, les valeurs de

χ_e

et celle de la compressibilité isentropique

χ_(gp, 2)

d'un gaz parfait diatomique.

On note (

Oz

) la verticale ascendante,

p_0

la pression atmosphérique. En présence d'une onde acoustique, en un point repéré par le vecteur

r⃗

à l'instant

t

on admet que la pression

p

, la densité volumique de masse

ρ

et le champ de vitesse

v⃗(r⃗, t)

dans le fluide se mettent sous la forme

p(r⃗, t) = p_0 - ρ_e gz + επ_e(r⃗, t) + o(ε); ρ(r⃗, t) = ρ_e + ερ_(e1)(r⃗, t) + o(ε); v⃗(r⃗, t) = v_0^(\to-) + εv_e\to(r⃗, t) + o(ε) avec ε≪1

La vitesse

v_0^(\to-)

correspond à celle des particules de fluide à l'équilibre dans le référentiel galiléen considéré. On peut donc choisir un référentiel dans lequel le fluide est au repos à l'équilibre et donc

v_0^(\to-) = 0\to

2 - En utilisant l'équation d'Euler, exprimer, à l'ordre $ε$ , la dérivée $\partial/(\partialt)v_e\to$ en fonction de $π_e$ , $χ_e, ρ_e$ et $g$ . On suppose que l'onde acoustique est harmonique de longueur d'onde $λ$ . Déterminer l'expression d'une longueur $λ_0$ telle que

Si λ≪λ_0 alors (\partialv_e\to)/(\partialt) ≃ - 1/(ρ_e)grad^(\to-)(π_e).

On exprimera

λ_0

en fonction de

g, ρ_e

χ_e

. Calculer la valeur numérique de

λ_0

. Que peut-on en conclure?
-3-En exprimant, au même ordre, la loi locale de conservation de la masse, établir l'équation aux dérivées partielles du second ordre vérifiée par

π_e(r⃗, t)

. Quelle signification donner à

c_e = 1/\sqrt(ρ_e χ_e)

? Calculer sa valeur numérique.
L'air a pour masse volumique au repos

ρ_a = 1, 3 kg \cdot m^(- 3)

et pour compressibilité isentropique

χ_a = 5, 7 \times 10^(- 6)

SI. L'appel du professeur (dans l'air) au nageur (dans l'eau) est modélisé par la propagation d'une onde acoustique plane progressive, de fréquence

f

, qui atteint la surface horizontale de l'eau sous l'incidence

θ > 0

; elle donne lieu à la propagation d'une onde réfractée sous l'angle

θ^' > 0

. La géométrie du problème est représentée sur la figure 1 .

Figure 1 - Réfraction d'une onde acoustique à la surface de l'eau

4 - Déterminer la représentation complexe $π_a(r⃗, t)$ de l'onde de pression associée à l'onde incidente. On exprimera $π_a_-(r⃗, t)$ en fonction de $x¯, z, t, f, θ$ et $c_a = 1/\sqrt(ρ_a χ_a)$ , on notera $Π_a$ son amplitude et on choisira la phase de cette onde nulle au point origine des coordonnées.
5 - Montrer que l'onde réfractée possède la même fréquence que l'onde incidente et déterminer la direction $θ^'$ de la propagation de cette onde. Que dire de l'onde réfractée si $θ = 45^\circ$ ? A quelle condition nécessaire sur $θ$ l'appel du professeur peut-il être entendu?

Afin de préciser les conditions de transfert de la puissance acoustique de l'air dans l'eau, on étudie dans les questions 6 à 8 une onde acoustique se propageant en incidence normale (

θ = 0

) depuis l'air vers l'interface

z = 0

qui sépare l'eau de l'air.

6 - Déterminer les expressions des représentations complexes des ondes réfléchie (notée $π_r$ ) et transmise (notée $π_e$ ) en fonction de $Π_a, f, t, z, c_a$ ou $c_e$ et des coefficients de réflexion $r¯$ ou de transmission $t¯$ de l'onde de pression incidente.
7 - Déterminer les expressions des représentations complexes des vitesses de déplacement de fluide associées à ces trois ondes; on les écrira en fonction de $Π_a, (ρ_a, c_a)$ ou $(ρ_e, c_e), r¯$ ou $t¯$ et $f, t, z$ . En déduire les expressions des coefficients $r¯$ et $t¯$ à l'interface air-eau, en admettant la continuité de la pression de part et d'autre de cette interface.
$◻8$ - Définir le coefficient de transmission $T_(1/2)$ de l'intensité acoustique d'un milieu 1 vers un milieu 2. Montrer que dans le cas de la transmission d'une onde sonore de l'air vers l'eau

T_(a/e) ≃ (4ρ_a c_a)/(ρ_e c_e)

Calculer la valeur numérique de

T_(a/e)

. Que peut-on en conclure?

I.B. - Le clapotis de l'eau dans la piscine

On mène à présent l'étude des oscillations de la surface de l'eau de la piscine. Cette dernière est un parallélépipède de longueur

L

, de largeur

ℓ

et de profondeur

H

. L'air qui la surmonte sera considéré comme un fluide de pression uniformément égale à

p = p_0

z = 0

; l'accélération de la pesanteur est

g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)

.
Pour étudier les oscillations de sa surface, on assimile l'eau à un fluide incompressible, non visqueux dont la densité volumique de masse

ρ_e = 1, 00 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

est constante. On néglige toutes les forces autres que de pesanteur et de pression.
Dans ces conditions, on recherche des solutions aux équations de l'hydrodynamique sous la forme d'ondes planes caractérisées par une vitesse de propagation (vitesse de phase)

u⃗ = unˆ

, où

u > 0

nˆ

est un vecteur unitaire du plan horizontal (

Oxy

). Les ondes planes associées aux champs de pression

p(r⃗, t)

et de vitesse

v⃗(r⃗, t)

ont pour pulsation

ω

et pour vecteur d'onde

k⃗ = ω/unˆ

◻9

- Dans le cadre du modèle proposé, rappeler l'expression générale du champ d'accélération

a⃗(r⃗, t)

dans l'eau. Montrer que l'approximation

‖v⃗‖ = v≪u

permet d'en proposer une forme simplifiée que l'on utilisera dans la suite de cette partie.

◻10

- Justifier que l'écoulement non stationnaire de l'eau peut alors être décrit comme irrotationnel ou potentiel:

v⃗(r⃗, t) = grad^(\to-)[φ(r⃗, t)]

. Montrer qu'à un choix près de l'origine des potentiels (que l'on justifiera avec soin), on peut établir en

z = 0

l'équation

(\partial^2 φ)/(\partialt^2) + g(\partialφ)/(\partialz) = 0

11 - On cherche le potentiel des vitesses sous la forme

φ(r⃗, t) = ξ(z)exp(iω[t - 1/ur⃗ \cdot n^])

. Expliciter, sous cette hypothèse, la condition aux limites en

z = 0

, à la limite de la surface libre de l'eau; puis, justifier la condition décrivant l'écoulement au fond de la piscine :

(dξ)/(dz)|_(z = - H) = 0

◻12

- En considérant l'équation locale de conservation de la matière, établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par

ξ(z)

. En utilisant la condition sur le fond de la piscine déterminer l'expression de

ξ(z)

en fonction de

ξ(0), ω, u, H

z

. On utilisera la fonction cosinus hyperbolique.

◻13

- En utilisant la condition sur la surface libre, établir enfin l'expression reliant la vitesse de phase

u(ω)

des ondes de surface et la pulsation

ω

avec les paramètres

g

H

14 - Le clapotis de l'eau dans la piscine se traduit par un bruit parfaitement audible car la fréquence

f

des oscillations peut se trouver dans le même domaine que les ondes sonores audibles dans l'air. Proposer une valeur raisonnable pour

f

et en déduire, dans une approximation de grande profondeur (que l'on vérifiera et que l'on conservera dans la suite) la valeur correspondante de

u

15 - En justifiant votre réponse, diriez-vous que ces ondes de surface sont dispersées ou non dispersées? Montrer que, dans l'approximation retenue, la vitesse de groupe $u^'$ de ces ondes est telle que $u^' = βu$ où l'on déterminera $β \in ℚ$ .

FIN DE LA PARTIE I

II. - La toile de l'araignée

Ayant abandonné l'idée d'être entendu d'un nageur dans la piscine, le physicien commence une promenade dans le jardin qui l'amène à s'arrêter en admiration devant une toile d'araignée. Les fils en sont-ils aussi solides qu'on le dit? Cette partie se propose de répondre à la question.

II.A. - Modélisation d'un fil élastique

◻16

- On considère d'abord un ressort élastique, régi par la loi de Hooke, dont on note

k

la raideur et

ℓ_0

la longueur à vide; on note aussi

s = 1/k

la souplesse du ressort. Quelle est la force exercée par ce ressort sur son extrémité lorsqu'il acquiert la longueur

ℓ

? On précisera le sens de cette force sur un schéma.

◻17

- On associe en série (cf. figure 2-a) deux ressorts élastiques, alignés, de raideurs

k_1

k_2

, de longueur à vide

ℓ_(01)

ℓ_(02)

, formant un système élastique unique de longueur totale

ℓ = ℓ_1 + ℓ_2

. Montrer que l'ensemble est équivalent à un ressort élastique unique de longueur à vide

ℓ_0 = ℓ_(01) + ℓ_(02)

dont on exprimera la constante de raideur

k

en fonction de

k_1

k_2

. Ce ressort est-il plus souple ou plus raide que chacun des deux ressorts dont il est formé ?

Figure 2 - Association de deux ressorts en série (a) et en parallèle (b)

◻18

- On associe maintenant en parallèle (cf. figure 2-b) les deux ressorts élastiques de la question précédente formant un système élastique unique de longueur

ℓ = ℓ_1 = ℓ_2

. Déterminer la raideur

k

et la longueur à vide

ℓ_0

du ressort élastique unique équivalent à cette association; Commenter sa souplesse.

◻19

- En vous appuyant sur les résultats des questions 17 et 18, expliquez pourquoi la force exercée sur une de ses extrémités par un fil élastique de longueur

ℓ_0

, de section

s

, peut être décrite par une loi analogue à celle qui régit les ressorts élastiques (loi de Hooke) avec pour constante de raideur du fil

k = Es/ℓ_0

, la constante

E

, caractéristique du matériau dont il est constitué, est appelée module d'Young du fil. Montrer l'analogie de cette expression avec une relation, issue de votre programme, liée aussi aux lois d'association en série ou en parallèle.

Pour mesurer le module d'Young d'un fil d'araignée, le physicien procède à l'expérience suivante :
il prélève sur une toile un fil d'araignée cylindrique, de rayon

r_0

, de section constante

s = πr_0^2

, de longueur à vide

ℓ_0

, et il le fixe en deux points fixes situés sur une même horizontale, distants de

ℓ_0

. Il attache alors, en un point du fil, un hameçon muni d'un ou plusieurs plombs de pêche; le module du poids de l'ensemble est noté

P

(cf. figure 3). Le fil élastique se tend et prend à l'équilibre une forme en

V

, les deux segments du fil, de longueurs

ℓ_1

ℓ_2

, formant avec l'horizontale les angles

α_1

α_2

positifs et dans l'intervalle

[0, π/2[

. On peut aussi noter

h

la flèche du fil, c'est-à-dire la hauteur du

Figure 3 - Mesure du module d'Young d'un fil

point d'attache de l'hameçon sous l'horizontale, à l'équilibre.

◻20

- Établir, à l'équilibre du fil, les expressions des modules

F_1

F_2

des forces

F_1^(\to-)

F_2^(\to-)

exercées par les deux brins de fil, de longueurs respectives

ℓ_1

ℓ_2

, sur le point d'attache de l'hameçon, en fonction de

P, α_1

α_2

◻21

- Établir les expressions de

cosα_1

cosα_2

en fonction de

ℓ_0, ℓ_1

ℓ_2

◻22

- On suppose que la section

s

du fil reste constante pendant l'étirement et que les forces

F_1^(\to-)

F_2^(\to-)

peuvent être modélisées par la loi de Hooke décrite à la question 19. Montrer que la grandeur

x = (Es)^(- 1)

est solution de l'équation

ℓ_0 = ℓ_1(1 + xF_1)^(- 1) + ℓ_2(1 + xF_2)^(- 1)

. Exprimer

x

en fonction des paramètres

a = F_1 F_2, b = F_1(1 - (ℓ_2)/(ℓ_0)) + F_2(1 - (ℓ_1)/(ℓ_0)) et c = 1 - (ℓ_1 + ℓ_2)/(ℓ_0)

Pour chaque mesure, on note, en fonction du nombre

n

de plombs de pêche attachés à l'hameçon, les valeurs de

P, ℓ_1

ℓ_2

(mesurés), de

α_1

α_2

(calculés comme à la question 21), de

F_1

F_2

(calculés comme à la question 20) avant d'en déduire la valeur de

Es

(en résolvant l'équation du second degré proposée à la question 22). Le tableau proposé ci-après correspond à

ℓ_0 = 3, 52 cm

$n$	$P(mN)$	$ℓ_1(cm)$	$ℓ_2(cm)$	$α_1(^\circ)$	$α_2(^\circ)$	$F_1(mN)$	$F_2(mN)$	$Es(mN)$
1	0,711	1,84	1,79	13,9	14,3	1,45	1,46	46,6
3	2,07	1,68	2,01	19,2	15,9	3,46	3,40	71,1
4	2,74	1,45	2,30
5	3,42	1,56	2,24	26,8	18,3	4,59	4,31	55,7
6	4,10	1,62	2,24	28,8	20,4	5,08	4,75	50,6
7	4,77	2,32	1,56	20,1	30,7	5,29	5,78	53,7

23 - Compléter la ligne manquante du tableau.

◻24

- Le rayon du fil utilisé est mesuré au microscope :

r_0 = 5, 00 \pm 0, 25μ m

. En déduire une estimation du module d'Young du fil, et la précision de cette estimation. Quelle est la dimension ou l'unité de

E

II.B. - Oscillations de la toile complète

On étudie maintenant la toile complète, qui sera, dans la situation de repos, modélisée comme une structure circulaire horizontale comportant des fils radiaux disposés aux angles

θ_k = 2kπ/N

, avec

k = 0, 1, 2, \dots, N - 1

; le nombre de rayons de la toile est donc

N

. Ces fils sont tramés avec des fils circulaires disposés régulièrement aux rayons

r_p = pa

où

p = 0, 1, 2, \dots

, le tout est représenté sur la figure 4. Le bord circulaire (

𝒞

) de la toile est horizontal, rigidement fixé à la végétation, de rayon

R = 20 cm

Figure 4 - Modèle de toile d'araignée au repos (a) ou déformée (b)

On ne s'intéresse qu'aux oscillations de la toile respectant la symétrie de révolution; les fils de la toile sont tous au repos lorsque la toile est plane. Un insecte, pris au piège au centre de la toile, provoque la déformation de la toile; on suppose qu'elle forme alors un cône d'axe vertical (

Oz

) et d'angle au sommet

α

. On notera

m

la masse de l'insecte fixé au centre de la toile (donc au sommet du cône et on négligera la masse des fils de la toile.

◻25

- Au cours du mouvement, comment évolue la longueur des fils circulaires (de longueur au repos

ℓ_(0, c) = 2πr_p

)? Même question pour les

N

fils radiaux (de longueur au repos égale au rayon de la toile :

ℓ_(0, r) = R

).
Chacun des fils de la toile, de longueur au repos

ℓ_0

, exerce sur chacune de ses extrémités, lorsqu'il est étiré à la longueur

ℓ

, une force de rappel de norme

F = k(ℓ - ℓ_0)

où

k = Es/ℓ_0

ne dépend que de la section constante

s

du fil et de son module d'Young

E

◻26

- Montrer que la position

z

de l'insecte sur la toile vérifie l'équation différentielle

(d^2 z)/(dt^2) + g = (NEs)/mf(α)

où on précisera la fonction

f(α)

◻27

- Montrer que l'étude des petits mouvements de l'insecte autour de sa position d'équilibre, repérée par

α = α_0

, conduit à l'équation différentielle

(d^2 α)/(dt^2) = g/Rh(α_0)(α - α_0) avec h(α) = sin^2(α)(dln|f(α)|)/(dα)

Pour

α_0 = π/4

, on obtient

h(α_0) = - 2, 21

; que peut-on en conclure? La période des petites oscillations dépend-elle de la masse de l'insecte?

FIN DE LA PARTIE II

III. - Le vol des papillons

Attristé peut-être par le sort de l'insecte piégé au centre de la toile, notre physicien s'intéresse enfin au vol des papillons. Ceux-ci, de taille et de forme variée, présentent, à l'œil exercé du physicien (et entomologiste amateur) une propriété remarquable : plus ils sont petits, plus le battement de leurs ailes est rapide. Nous nous proposons de rendre compte de cette propriété dans le cadre d'une simple analyse de facteurs significatifs. Ainsi, l'étude d'une famille d'animaux de même forme (homothétiques) mais de dimensions variables conduit à affirmer que la surface

S

des ailes est simplement proportionnelle au carré de leur dimension caractéristique

ℓ

, ce qu'on écrira

S \propto ℓ^2

; cette notation signifie que

S = kℓ^2

, où

k

est une certaine constante (fonction par exemple de la forme des ailes) qu'on ne cherche pas à déterminer.
L'étude des facteurs significatifs peut être menée par une étude de diagrammes logarithmiques, à partir par exemple du tableau de données expérimentales ci-après qui donne, pour différentes espèces, des mesures de l'envergure

R

des ailes (plus grande distance de l'aile au point milieu de l'abdomen), de la longueur

L

du corps (de la tête à la queue) et de la fréquence

f_b

du battement des ailes en vol (mesurée par des caméras rapides).

Espèce	$R[ mm]$	$L[ mm]$	$f_b[ Hz]$	Photo
Troides radamantus	65	46	9
Papilio rumanzovia	61	35	10
Pachliopta hector	44	27	13
Graphium sarpedon	39	25	16
Precis iphita	33	21	19
Calospila idmon	15	11	32

28 - Par une étude précise (le tracé d'un diagramme logarithmique par exemple), montrer l'existence d'un exposant a décrivant, pour l'ensemble des espèces citées dans ce tableau, une relation entre dimensions, sous la forme $R \propto L^a$ . Commenter la valeur de $a$ ainsi déterminée.
29 - Le papillon en vol équilibre les forces de volume $F_v$ (pesanteur, poussée d'Archimède) et les forces de surface (forces de contact des pattes avec les supports) par une force de poussée hydrodynamique. Les forces de surface $F_s$ suivent bien une loi d'échelle avec pour facteur significatif $L$ , dont on admettra qu'on peut l'écrire $F_s \propto L^2$ . Justifier l'existence d'une relation du type $F_v \propto L^c$ et préciser la valeur de $c$ .
$◻30$ - La force de poussée hydrodynamique $Π$ due aux battements des ailes ne dépend que de la masse volumique $ρ_a$ de l'air, de la surface $S$ des ailes et de la fréquence $f_b$ du battement des ailes. En admettant une expression du type $Π \propto ρ_a^p S^q f_b^r$ , déterminer les entiers $p, q$ et $r$ par analyse dimensionnelle.
$◻31$ - Le vol (stationnaire) du papillon est régi par une loi mécanique du type $Π = F_v + F_s$ , où l'un des deux termes (de surface $F_s$ ou de volume $F_v$ ) est prépondérant. En supposant que $f_b \propto L^k$ , déterminer les valeurs de $k$ correspondant au fait que $F_v$ ou $F_s$ soit prépondérant.
$◻32$ - A partir des données expérimentales déterminer celui des deux termes $F_v$ ou $F_s$ qui est effectivement prépondérant.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2012 ?

Le sujet porte sur l'acoustique (propagation air-eau, réflexion et transmission), les ondes de surface (clapotis), l'élasticité d'un fil (module d'Young, associations de ressorts) et les lois d'échelle du vol des papillons.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2012 ?

Le rapport ne communique aucune moyenne ni écart-type chiffrés pour cette épreuve.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2012 ?

Le jury relève une confusion entre écoulement incompressible et irrotationnel, une incidence normale non respectée, des erreurs sur les ressorts en série, et un principe fondamental de la dynamique appliqué sans définir le système.

Cette épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2012 est-elle difficile ?

Le rapport la juge difficile : il signale beaucoup de très mauvaises copies, parfois limitées à 3 ou 4 questions traitées, et une rédaction souvent approximative qui ne démontre pas les résultats pourtant demandés.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 2 PC 2012

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...