Navigation côtière (compas, radiophare) et comparaison des sillages d'un avion et d'un bateau
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Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier étudie deux techniques de navigation côtière, à l'aide d'un compas puis d'un signal radioélectrique émis par un radiophare modélisé comme un dipôle oscillant. Le second compare le sillage supersonique d'un avion à celui d'un bateau, en s'appuyant sur l'étude des ondes sonores puis des ondes de surface libre d'un liquide.
1I.A : navigation à vueChamp magnétique terrestre et déclinaison pour repérer la position du navire.
2I.B : navigation par temps de brouillardRayonnement d'un dipôle oscillant puis réception du signal par un cadre détecteur.
3II.A : propagation du sonApproximation acoustique, aspect énergétique et ordres de grandeur d'une onde sonore.
4II.B : ondes à la surface libre d'un liquideMise en équations et relation de dispersion pour une onde de surface, en profondeur finie puis infinie.
5II.C : sillage d'un avionEffet Doppler en vol subsonique puis onde de choc et bang supersonique en vol supersonique.
6II.D : sillage d'un bateauRelation de dispersion des ondes de surface et détermination de la forme du sillage d'un bateau.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Ordres de grandeur fantaisistes pour le champ magnétique terrestre · Confusion entre champ de pesanteur et champ magnétique terrestre · Manque d'honnêteté intellectuelle face à une erreur
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Le sujet, dont de nombreuses questions étaient proches du cours, visait à encourager les candidats à approfondir leur cours et à pratiquer l'analyse dimensionnelle de façon régulière. Les dernières parties, sur le sillage de l'avion et du bateau, ont manifestement souffert d'un manque de temps et ont été moins abordées que les précédentes.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Ordres de grandeur fantaisistes pour le champ magnétique terrestreI.A.1
Les candidats qui ignorent l'ordre de grandeur du champ magnétique terrestre proposent parfois des valeurs et des unités aberrantes.
« des résultats d'ordres de grandeurs étonnants (jusqu'à 1023 T), et parfois avec des unités tout à fait fantaisistes »
2
Confusion entre champ de pesanteur et champ magnétique terrestreI.A.2
Dans certaines copies très faibles, le champ de pesanteur est confondu avec le champ magnétique terrestre.
« la confusion peut aller jusqu'à confondre champ de pesanteur et champ magnétique terrestre »
3
Manque d'honnêteté intellectuelle face à une erreurI.B.1
Certains candidats maintiennent une expression erronée de la surface élémentaire tout en affichant malgré tout la formule de Larmor correcte, ce qui trahit une tentative de camouflage de l'erreur.
« tenter de camoufler une erreur est une faute bien plus grave que l'erreur elle-même »
4
Confusion sur la signification de μ0 dans le second problèmeII.A.2.b
Certains candidats ne réalisent pas que, dans le problème sur les ondes dans les fluides, le symbole désigne la masse volumique de l'air au repos et non la perméabilité du vide.
« ne désigne pas la perméabilité du vide, mais la masse volumique de l'air à l'état de repos »
5
Faute d'homogénéité dans la comparaison de grandeursII.B
Comparer une largeur de bassin à la célérité des ondes constitue une faute d'homogénéité, ces deux grandeurs n'ayant pas la même dimension.
« Dire qu'une largeur de bassin est très grande devant la célérité des ondes constitue une faute d'homogénéité »
6
Réponse incohérente sur le bang supersoniqueII.C.2
Certaines réponses mal maîtrisées sur le sillage de l'avion supersonique relèvent de l'incohérence physique.
« l'avion va plus vite que le son, donc on entend l'avion avant d'entendre le son »
Ce qui a été bien réussi
La partie sur la propagation du son est sans doute celle qui a été la mieux traitée, les défaillances sévères ne concernant que les candidats les plus faibles.
La forme générale des lignes de champ magnétique terrestre et leur orientation sont souvent connues.
La plupart des candidats a bien identifié le phénomène d'induction dans le cadre détecteur.
L'étude de la solution progressive en eau profonde, bien que plus rarement abordée, a été traitée avec un taux de réussite raisonnable.
Conseils du jury
Ne pas faire d'économie sur les schémas, en particulier pour les relations trigonométriques du sillage de l'avion.
Faire preuve d'honnêteté intellectuelle plutôt que de camoufler une erreur détectée en cours de résolution.
Vérifier systématiquement l'homogénéité dimensionnelle avant de comparer deux grandeurs.
Ne pas éviter systématiquement les questions comportant des applications numériques.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Le premier problème, plus court, s'intéresse à deux techniques de navigation côtière, l'une à l'aide d'un compas, l'autre à l'aide du signal émis par un radiophare. Le second problème a pour objectif la comparaison du sillage d'un avion ou d'un obus supersonique à celui d'un bateau. Les calculatrices sont autorisées. On rappelle les identités
Un navire, à l'approche du port, doit nécessairement effectuer une navigation précise afin d'éviter les dangers de la côte (rochers, haut-fonds, courants, etc...). Nous allons étudier quelques outils de la navigation côtière. Les parties I.A et I.B sont indépendantes.
I.A - Navigation à vue
Par temps clair, il est possible de repérer à l'œil des balises (bouées ou phares). Une boussole appelée compas de relèvement, pointée sur la balise, indique la direction de celle-ci par rapport au nord magnétique.
I.A.1) Le champ magnétique terrestre
a) Représenter la terre et les lignes du champ magnétique terrestre orientées.
b) Quel est l'ordre de grandeur de l'intensité du champ magnétique terrestre ? À l'aide d'un schéma, représenter ce vecteur champ en un point de l'hémisphère nord.
I.A.2) La déclinaison
a) Pour reporter sur la carte la position du navire, il faut ajouter à la valeur magnétique lue sur le compas, l'angle de déclinaison. En effet le Nord magnétique et le Nord géographique ne sont pas confondus. On appelle déclinaison en un point, l'angle que fait la direction du Nord magnétique avec celle du Nord géographique. Cet angle est noté positivement dans le sens Nord-Est. La valeur de la déclinaison est-elle constante? uniforme? Si ce n'est pas le cas, de quoi dépend-elle?
b) Actuellement, en Bretagne, la déclinaison est égale à − 4^∘. À l'aide d'un schéma, indiquer les positions respectives du navire, des balises (1) et (2) sachant que les mesures effectuées sur le navire à l'aide du compas donnent 49^∘ pour la balise (1) et 94^∘ pour la balise (2).
I.B - Navigation par temps de brouillard
Par temps de brouillard, il n'est plus possible de repérer à vue les balises. Certains phares importants, par exemple le phare de Cordouan à l'entrée de la Gironde, émettent des
Filière PC
signaux électromagnétiques codés que l'on peut détecter et ainsi positionner le navire par rapport au phare.
I.B.1) Rayonnement d'un dipôle oscillant
L'atmosphère terrestre a les propriétés électriques du vide : ε_0 = (1/36π)10^(− 9) F ⋅ m^(− 1); μ_0 = 4π10^(− 7)H ⋅ m^(− 1)
Un dipôle oscillant de moment dipolaire p⃗(t) = p⃗_0 cosωt est placé à l'origine O de l'espace le long de l'axe Oz. On étudie le rayonnement émis en un point M repéré par ses coordonnées sphériques r, θ, φ (figure 1).
a) Sous certaines conditions, le champ magnétique créé au point M par le dipôle s'écrit :
c est la vitesse de la lumière dans le vide. Cette formule est obtenue sous certaines conditions ; les préciser et dégager leur contenu physique.
b) En notation complexe p⃗_–(t) = p⃗_0 e^(jωt); donner alors B⃗_–(M, t) en notation complexe en introduisant le nombre d'onde k = ω/c.
c) Préciser la zone de rayonnement du phare si celui-ci émet un signal de fréquence 100 kHz . Conclure.
d) Sachant que le champ électromagnétique ( E⃗, B⃗ ) possède localement la structure d'une onde plane progressive dans la direction e⃗_r, en déduire l'expression complexe E⃗_–(M, t).
e) Définir le vecteur de Poynting Π⃗(M, t) et préciser sa signification physique.
Calculer Π⃗(M, t) en notation réelle, puis sa valeur moyenne dans le temps.
f) Calculer la puissance moyenne ⟨dP⟩ rayonnée par le dipôle à travers la surface élémentaire de largeur angulaire dθ selon e⃗_θ et dφ selon e⃗_φ, tracée sur la sphère de centre O et de rayon r ( r≫λ ). Interpréter physiquement ce résultat ainsi que la dépendance en 1/r du champ électromagnétique dans la zone de rayonnement. En déduire la puissance moyenne rayonnée.
I.B.2) Réception du signal
Le navire est suffisamment éloigné du radiophare pour considérer que l'onde électromagnétique reçue par le détecteur a localement la structure d'une onde plane progressive à polarisation rectiligne.
L'expression complexe du champ électrique peut alors s'écrire E⃗_–(M, t) = E_0 e^(j(ωt − kx))e_z→.
a) À partir des équations de Maxwell, établir les équations de propagation des champs E⃗(M, t) et B⃗(M, t). En déduire l'équation de dispersion dans le vide.
b) Déterminer le champ B⃗(M, t).
c) Calculer la valeur moyenne dans le temps du vecteur de Poynting en fonction de c, ε_0 et E_0.
d) Le détecteur est un cadre carré de coté a = 10 cm sur lequel on a enroulé N = 100 spires de fil conducteur.
Expliquer pourquoi il apparaît en circuit ouvert une tension électrique aux bornes A et B du fil enroulé sur le cadre. Vues les dimensions du cadre, que pouvez-vous conclure sur la valeur du champ magnétique en tout point intérieur au cadre?
Quelle doit être l'orientation du cadre pour obtenir une tension efficace maximale?
Figure 2 : cadre détecteur
Déterminer alors cette tension efficace maximale U aux bornes A, B du fil en fonction de N, a, ω, c et E_0.
e) Le navire est à 30 milles marins du radiophare. Celui-ci émet une onde monochromatique de fréquence 100 kHz avec une puissance moyenne ⟨P⟩ = 20 kW. On suppose que les caractéristiques d'émission du radiophare sont analogues à celles du dipôle oscillant étudié en I.B.1. Calculer la valeur efficace U obtenue entre les bornes A et B. (1 mille marin = 1852 m).
Partie II - Ondes dans les fluides
Tout le monde a pu observer le V se formant à la surface de l'eau dans le sillage d'un bateau ou d'un animal (canard...) ; d'autre part, on peut trouver de très belles photographies faisant apparaître un sillage en V créé par un avion rapide, un obus ou une balle de fusil. L'objet de ce problème est de comparer les deux phénomènes et d'en fournir des modèles théoriques élémentaires.
Photo 4 : sillage d'un catamaran
Dans les deux premières parties, on étudie les ondes qui vont servir de support à ces modèles théoriques (ondes sonores pour le sillage de l'avion et ondes de surface libre pour le sillage du bateau). Malgré cela, les deux dernières parties peuvent, dans une large mesure, être abordées de façon indépendante.
II.A - Propagation du son
On cherche à étudier la propagation du son dans l'air que l'on assimilera à un gaz parfait. On note respectivement μ, P, T, v⃗ la masse volumique, la pression, la température et la vitesse locale d'écoulement. Les valeurs correspondantes sont μ_0, P_0, T_0, 0 à l'équilibre. Les écarts de ces grandeurs par rapport à l'équilibre sont les grandeurs acoustiques. Les effets de la pesanteur sont négligés devant ceux de l'onde sonore.
II.A.1) Approximation acoustique
a) On supposera la température uniforme à l'équilibre. Justifier que la masse volumique à l'équilibre est également uniforme.
b) L'approximation acoustique permet de se limiter à des équations d'ordre 1 . À quoi se réduit alors l'équation d'Euler?
c) Écrire de même la forme approchée à l'ordre 1 de l'équation de bilan massique.
d) Le coefficient de compressibilité isentropique est défini par
χ_s = 1/μ((∂μ)/(∂P))_s.
En déduire une relation de proportionnalité entre la surpression acoustique p = P − P_0 et l'écart de masse volumique μ − μ_0.
e) Montrer que p est solution d'une équation de d'Alembert. Préciser la célérité c correspondante.
f) Montrer que la dérivée locale de la vitesse par rapport au temps est un champ de gradient. En déduire que l'écoulement est potentiel.
g) Montrer que v⃗ est solution d'une équation de d'Alembert. Préciser la célérité correspondante.
h) Le milieu étudié est-il dispersif ?
II.A.2) Aspect énergétique
a) On définit le vecteur J⃗ = pv⃗. Quelle est la signification du flux de J⃗ à travers une surface Σ ? Quel est le vecteur jouant le même rôle pour les ondes électromagnétiques?
b) On pose e = 1/2μ_0 v^2 + αp^2.
Quelle doit être la dimension physique de α pour que l'expression de e soit homogène ? Indiquer la nature physique de e.
c) Montrer que l'on peut trouver α de telle sorte que (∂e)/(∂t) + divJ⃗ = 0.
Vérifier la dimension physique de α et indiquer la signification physique de l'équation ainsi établie.
II.A.3) Ordres de grandeur
L'air est assimilé à un gaz parfait diatomique ; conformément à l'usage, on note γ le rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant et R la cons-
tante molaire des gaz parfaits. γ = 1, 4 et R = 8, 314 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1). La masse molaire moyenne de l'air est M = 29 g ⋅ mol^(− 1). La température d'équilibre est T_0 = 300 K et la pression d'équilibre est P_0 = 1, 013 ⋅ 10^5 Pa.
a) Rappeler la valeur numérique de μ_0 et préciser son unité.
b) Exprimer le coefficient de compressibilité χ_s en fonction de la pression et du coefficient γ.
c) En déduire l'expression de la célérité du son dans l'air en fonction de γ, R, T_0 et M. Calculer numériquement cette célérité.
d) On définit l'intensité sonore comme la valeur moyenne de la puissance sonore surfacique. On choisit une valeur de référence I_0 = 10^(− 12) W ⋅ m^(− 2), valeur qui correspond au seuil d'audition d'une oreille moyenne à la fréquence de 1 kHz . Déterminer, pour une onde plane progressive ayant cette intensité sonore, les amplitudes de la surpression et de la vitesse acoustique. Quelle est l'amplitude du déplacement du fluide lié à l'onde sonore? La comparer à la longueur d'onde. Montrer que l'approximation acoustique est valable. Vérifier que les effets de la pesanteur sont bien négligeables devant ceux de l'onde sonore.
e) On utilise souvent une échelle logarithmique pour indiquer un niveau sonore. Le niveau sonore correspondant à une onde d'intensité I est indiqué en décibels; il s'obtient par I_(dB) = 10log(I/I_0).
Le seuil de douleur correspond à I_(dB) = 120 dB. Comparer l'amplitude du déplacement acoustique à la longueur d'onde pour une onde sonore de 120 dB à 1 kHz . Conclure.
II.B - Ondes à la surface libre d'un liquide
Un plan d'eau est surmonté d'une atmosphère au repos où règne une pression uniforme P_0. Il est soumis à un champ de pesanteur uniforme g⃗ = − ge⃗_z. Au repos, la surface libre est un plan horizontal d'équation z = 0. On envisage un mouvement de cette surface décrit par une élongation verticale Z; l'équation de la surface libre devient alors z = Z(x, y, t).
II.B.1) Mise en équations
a) Dans l'hypothèse d'un écoulement incompressible, donner l'équation aux dérivées partielles reliant les dérivées partielles de la vitesse. À quelle condition cette hypothèse est-elle valide ? On supposera dans la suite que la masse volumique ρ de l'eau est uniforme et indépendante du temps.
b) Montrer que, si l'on néglige les termes d'ordre 2 dans l'équation d'Euler, la dérivée partielle de la vitesse par rapport au temps est un champ de gradient. En déduire qu'il est naturel d'introduire un potentiel des vitesses φ tel que v⃗ = gradφ^(→−).
c) Donner l'équation aux dérivées partielles satisfaite par φ, qui traduit la condition d'incompressibilité.
d) Montrer qu'avec les approximations précédentes, on a ∂φ/∂t + gz + P/ρ = e(t), où e(t) est une fonction du temps dont on précisera la dimension physique.
e) Justifier le fait que l'on peut imposer e(t) = 0 sans modifier la nature du mouvement.
II.B.2) Solution progressive sur un plan d'eau de profondeur finie
Le plan d'eau est de grandes dimensions dans les directions x et y. Le fond du bassin est modélisé par un plan horizontal d'équation z = − h.
L'écoulement s'effectue dans la direction Ox et les phénomènes étudiés sont indépendants de y.
a) Préciser à quelles longueurs caractéristiques du problème les dimensions du bassin doivent être comparées pour qu'il soit légitime de les considérer comme grandes.
b) Montrer que les conditions aux limites conduisent à :
où la seconde équation est une équation approchée.
c) On cherche dans la suite une solution progressive dérivant du potentiel des vitesses φ(x, z, t) = f(z)cos(kx − ωt). Établir l'équation différentielle à laquelle satisfait f et donner la forme générale des solutions.
d) Montrer que f^′(− h) = 0 et que − ω^2 f(0) + gf^′(0) = 0.
e) En déduire la relation de dispersion. Le milieu est-il dispersif ?
II.B.3) Solution progressive en eau profonde
a) Que devient la relation de dispersion lorsque la profondeur h devient très grande devant la longueur d'onde λ ? Donner alors les expressions en fonction de g et de k des vitesses de groupe et de phase.
b) Quelle est l'expression en eau profonde du potentiel des vitesses ?
c) Soient ( x, z ) les coordonnées d'une particule de fluide en mouvement et ( x_0, z_0 ) ses coordonnées au repos. L'amplitude du mouvement reste faible devant la longueur d'onde. Établir les expressions de x − x_0 et z − z_0. En déduire les caractéristiques géométriques des trajectoires.
d) Quelle est la forme de la surface libre ?
II.C - Sillage d'un avion
II.C.1) Vol subsonique
Un avion A émet un signal sonore de période T en se déplaçant dans le sens des x croissants, à la vitesse v inférieure à la célérité c du son sur une droite horizontale (y = 0, z = h). Un observateur est situé au point O(0, 0, 0). On note θ = (Ox^(→−), OA^(→−)) l'inclinaison par rapport à l'horizontale de la direction observateur-avion. On suppose que cet angle varie peu pendant une période.
a) Quelle est la période T^′ du signal perçu par l'observateur ? On commentera l'expression obtenue selon les valeurs de θ et on précisera le cas θ = π/2.
b) Quelle est la région de l'espace qui peut être atteinte à un instant donné par une onde sonore provenant de l'avion?
II.C.2) Vol supersonique
Un avion A émet un signal sonore de période T en se déplaçant à la vitesse v supérieure à la célérité c du son sur une droite horizontale ( y = 0, z = h ).
Un observateur est situé au point O(0, 0, 0).
a) Le son émis par A à l'instant t est perçu par l'observateur à l'instant t^′ = f(t); déterminer la fonction f(t) si l'avion passe à l'instant t = τ à la verticale de l'observateur ( x = 0 ). Pour simplifier cette fonction, on posera τ = 0 et les valeurs de t inférieures à τ seront comptées négativement. Représenter graphiquement f(t) pour t ∈ ] − ∞, + ∞[. On interprétera physiquement la pente des asymptotes.
b) Pourquoi le son perçu est-il particulièrement intense si dt^′/dt = 0 ? Ce phénomène, appelé «bang supersonique», traduit la présence d'une onde de choc.
c) On donne h = 1000 m; v = 500 m ⋅ s^(− 1); c = 340 m ⋅ s^(− 1). On note t_0^′ l'instant auquel le bang est perçu par l'observateur et t_0 l'instant auquel les sons perçus à l'instant t_0^′ ont été émis par l'avion. Déterminer en fonction de ces données :
l'instant t_0;
l'instant t_0^′;
les positions de A aux instants t_0 et t_0^′.
d) L'observateur entend-il l'avion avant d'entendre le bang? Quelle est la durée Δt d'émission des sons perçus entre t_0^′ et t_0^′ + Δt^′ ? (Pour répondre, on pourra effectuer un développement limité de f(t) au voisinage de t_0 ). Calculer Δt pour Δt^′ = 0, 1 s et commenter.
e) Déterminer l'ensemble des points recevant l'onde de choc à un instant donné.
f) Quelle est la région de l'espace qui peut être atteinte à un instant donné par une onde sonore provenant de l'avion?
g) En conservant la valeur de la célérité du son de la question II.C.2-c), estimer la vitesse de l'obus sur la photographie 3.
II.D - Sillage d'un bateau
II.D.1) Relation de dispersion
a) Montrer que l'on peut trouver une relation de dispersion ω = f(k) telle que les vitesses de groupe et de phase sont reliées par la relation simple v_g = ηv_φ, où η est une constante.
b) Pour un bateau naviguant sur un bassin suffisamment profond, on peut estimer que la propagation des ondes de surface sera indépendante de la profondeur. On cherche alors une relation de dispersion de la forme ω = ag^α k^β, où a est une constante sans dimension. Déterminer les exposants α et β. Comparer la relation de dispersion ainsi obtenue à celles qui ont été obtenues précédemment. Dans la suite on prendra a = 1.
II.D.2) Forme du sillage
Le bateau est assimilé à un point matériel B de masse m. Le vent lui permet d'avoir un mouvement pratiquement rectiligne uniforme de vitesse v⃗. Il émet un paquet d'ondes, spatialement très concentré, de pulsation moyenne ω et dont le vecteur d'onde k⃗ fait un angle θ avec la vitesse v⃗.
On suppose que le paquet d'onde est émis vers l'avant du navire, soit
− π/2 < θ < π/2.
On admet que ce paquet d'onde transporte une énergie Hω et une quantité de mouvement Hk⃗, où H est une constante.
a) Donner la dimension physique de H. Citer une constante physique fondamentale qui a la même dimension physique que H et qui apparaît dans les expressions de l'énergie et de la quantité de mouvement d'un paquet d'ondes dans un autre domaine de la physique.
b)L'émission par le bateau d'un paquet d'ondes s'effectue avec conservation de l'énergie cinétique et conservation du vecteur quantité de mouvement. Au cours de cette émission la vitesse du bateau varie de v⃗ à v^′→. En négligeant les termes d'ordre 2 en H, montrer que ω = kvcosθ.
c) En déduire, en utilisant la relation de dispersion établie à la question II.D. 1 - b), les expressions des vitesses de groupe et de phase en fonction de la vitesse v et de l'angle θ.
d) Le bateau se déplace à la vitesse v⃗ selon l'axe Ox dans le sens des x croissants. Montrer qu'à l'instant t, les paquets d'ondes émis antérieurement par le bateau dans la direction θ sont répartis sur une demi-droite de sommet B faisant avec la vitesse v⃗ un angle φ tel que
tanφ = (sinθcosθ)/(cos^2 θ − 2) avec cosφ < 0.
e) Étudier la fonction φ(θ); en déduire que le sillage du bateau est limité par deux demi-droites faisant un angle 2α que l'on exprimera et que l'on calculera numériquement.
f) Le résultat est-il en accord avec ce que l'on peut observer sur la photographie 4 ? Peuton estimer la vitesse du catamaran?
g) Comparer ce résultat au résultat obtenu pour le sillage d'un avion supersonique.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte Centrale physique 2 PC 2007 ?
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Sur quels chapitres porte Centrale physique 2 PC 2007 ?
+
Le premier problème porte sur le champ magnétique terrestre et le rayonnement dipolaire d'un radiophare, le second sur les ondes acoustiques et de surface, jusqu'au sillage supersonique d'un avion et d'un bateau.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Centrale physique 2 PC 2007 ?
+
Des ordres de grandeur fantaisistes pour le champ magnétique terrestre, une confusion sur la signification de μ0 dans le second problème, et un manque d'honnêteté intellectuelle face à une erreur de calcul.
Centrale physique 2 PC 2007 est-il long ?
+
Le rapport signale un manque de temps manifeste sur les dernières parties, consacrées au sillage de l'avion puis du bateau, moins abordées que le reste du sujet.
Ce sujet porte-t-il sur le cours de première ou deuxième année ?
+
Le rapport ne précise pas de niveau de programme particulier pour les différentes parties du sujet.
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