Centrale Mathématiques 2 PC 2007Sujet et rapport du jury

Préliminaires et notations :

On rappelle que E = K^n est un espace vectoriel sur K de dimension n pour les lois usuelles. On munit de plus E d'une multiplication notée × et définie par:
Pour tout x = (x_1, …, x_n) et y = (y_1, …, y_n) dans E, x × y = (x_1 ⋅ y_1, …, x_n ⋅ y_n).
I.A - Soit x = (x_1, …, x_n) fixé dans E. Pour P ∈ K[X], on notera :

I.A.1) Vérifier que Φ : P ↦ P(x) est une application linéaire de K[X] vers E, telle que Φ(P ⋅ Q) = Φ(P) × Φ(Q) pour tout P, Q ∈ K[X].
I.A.2) Montrer que A_x = {P(x), P ∈ K[X]} est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que A_x est stable pour ×, c'est-à-dire que, si y, z ∈ A_x alors y × z ∈ A_x.
I.A.3) On suppose ici x_i ≠ x_j pour tout i, j ∈ [[1, n]] tels que i ≠ j.

On note K_(n − 1)[X] l'ensemble des polynômes de K[X] dont le degré est inférieur ou égal à n − 1.
Montrer que la restriction de Φ à K_(n − 1)[X] est injective.
Montrer que A_x est de dimension n.
I.B - Soit y = (y_1, …, y_n) donné dans E, ainsi que P ∈ K[X] fixé de degré ≥ 1.

On s'intéresse à l'ensemble noté R_(y, P) : R_(y, P) = {x ∈ E/P(x) = y}.
I.B.1) Montrer que si K = ℂ, R_(y, P) n'est jamais vide.
I.B.2) Montrer que si K = ℝ, R_(y, P) peut être vide : donner un exemple.
I.B.3) On suppose K = ℂ, et P(X) = X^p avec p ∈ ℕ^∗.

Déterminer le cardinal de R_(y, P), noté Card(R_(y, P)), en fonction de p et de m_y = Card({i ∈ [ [1, n] ]]/y_i ≠ 0}).

I.B.4) D'une façon générale, donner un majorant de Card(R_(y, P)) en fonction de n et du degré de P.
I.C - Pour Γ partie non vide de E, et P ∈ K[X] fixé de degré ≥ 1, on s'intéresse à l'ensemble noté R_(Γ, P) = {x ∈ E/P(x) ∈ Γ}.
I.C.1) Exemple 1 : On prend K = ℝ, n = 2, P(X) = X^2. Déterminer et dessiner Γ et R_(Γ, P), dans chacun des cas suivants :
i) Γ = {(x, y) ∈ ℝ^2/2x + y = 1},
ii) Γ = {(x, y) ∈ ℝ^2/x − y = 1},
iii) Γ = {(x, y) ∈ ℝ^2/x^2 − y^2 = 1}.
I.C.2) Exemple 2 : On prend K = ℝ, n = 3, P(X) = X^2. Déterminer et donner la nature géométrique de Γ et R_(Γ, P), dans chacun des deux cas suivants :
i) Γ = {(x, y, z) ∈ ℝ^3/x + y − z = 1},
ii) Γ = {(x, y, z) ∈ ℝ^3/x − y = 1}.
I.C.3) Exemple 3 : On prend K = ℝ, n = 2, P(X) = X^3 − X et soit:

Déterminer et dessiner Γ et R_(Γ, P).
I.D - Pour cette question, on pourra utiliser sur E la norme infinie définie par :

I.D.1) On suppose que Γ est de cardinal fini. Donner un majorant de Card(R_(Γ, P)) en fonction de Card(Γ), de n et du degré de P.
I.D.2) Si Γ est borné, montrer que R_(Γ, P) est borné. Lorsque K = ℝ, donner un exemple pour lequel Γ est non borné et R_(Γ, P) est borné. Lorsque K = ℂ, si R_(Γ, P) est borné, montrer que Γ est borné.

Soit V un espace vectoriel sur K de dimension finie N ≥ 1 et ℒ(V) l'espace vectoriel sur K des endomorphismes de V, qui est aussi muni de la loi de composition o.
On note id_V l'application identité de V dans V.
II.A - Soit n ∈ ℕ^∗, n ≤ N.

On considère n projecteurs non nuls p_1, p_2, …, p_n de ℒ(V) tels que :

On pose 𝒜 = {∑_(k = 1)^n x_k p_k/(x_1, …, x_n) ∈ K^n}.
II.A.1) Montrer que 𝒜 est un K-espace vectoriel de dimension n, stable pour ∘.
II.A.2) Montrer que l'application Ψ de E vers 𝒜, définie par :

est un isomorphisme tel que, pour tout x, y ∈ E, Ψ(x × y) = Ψ(x) ∘ Ψ(y).
II.A.3) Montrer que, pour tout x ∈ E et P ∈ K[X], Ψ(P(x)) = P(Ψ(x)).
II.B - Soit f ∈ 𝒜, avec f = ∑_(k = 1)^n λ_k p_k, où (λ_1, …, λ_n) ∈ K^n.

On suppose λ_i ≠ λ_j pour tout i, j ∈ [[1, n]] tels que i ≠ j.
II.B.1) Soit g ∈ 𝒜 avec g = ∑_(k = 1)^n μ_k p_k, et P ∈ K[X].

Montrer que g = P(f) si et seulement si P(λ_k) = μ_k pour tout k ∈ [[1, n]].
II.B.2) Montrer que pour tout j ∈ [[1, n]], il existe P_j ∈ K[X] tel que p_j = P_j(f).
II.B.3) Montrer que f est diagonalisable, et préciser ses valeurs propres.
II.C - Soit f ∈ ℒ(V) supposé diagonalisable. On note λ_1, …, λ_n ses valeurs propres distinctes et on pose λ = (λ_1, …, λ_n).
Pour P ∈ K[X] donné, on note R_(f, P) = {g ∈ ℒ(V)/f = P(g)}.
II.C.1) Donner n projecteurs non nuls p_1, p_2, …, p_n tels que ∑_(k = 1)^n p_k = id_V, p_i ∘ p_j = 0 pour tout i, j ∈ [ [1, n] ] tels que i ≠ j, et f = ∑_(k = 1)^n λ_k p_k.
On dispose ainsi de l'application Ψ définie en II.A.
II.C.2) Soit g ∈ R_(f, P).

Montrer que f ∘ g = g ∘ f.
Montrer que chaque sous-espace V_j = ker(f − λ_j id_V) est stable par g, pour tout j ∈ [[1, n]].
On suppose que g est diagonalisable. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres pour f et propres pour g.
II.C.3) Montrer que Ψ(R_(λ, P)) ⊂ R_(f, P) et que, si toutes les valeurs propres de f sont simples, on a l'égalité Ψ(R_(λ, P)) = R_(f, P).
On suppose que K = ℂ et que P(X) = X^r avec r ∈ ℕ^∗. Déterminer le cardinal de R_(f, P) lorsque toutes les valeurs propres de f sont simples.
II.C.4) On suppose que K = ℂ et que P(X) = X^r avec r ∈ ℕ et r ≥ 2.

Lorsque N ≥ 2, montrer que R_(id_V, P) est de cardinal infini.
Montrer que R_(f, P) est de cardinal infini si et seulement si f admet au moins une valeur propre multiple.
II.C.5) On suppose que K = ℂ et que P(X) = X^r avec r ∈ ℕ^∗.

Si l'on suppose que les complexes λ_1, …, λ_n sont tous non nuls, montrer que si g ∈ R_(f, P), alors g est diagonalisable.
Si l'on suppose que λ_1 = 0 et que g ∈ R_(f, P), montrer que g est diagonalisable si et seulement si f et g ont le même rang.
II.D - Exemple 4 : On prend K = ℝ, et f ∈ ℒ(ℝ^3) de matrice dans la base canonique :

Déterminer, par leur matrice G dans la base canonique, toutes les applications g ∈ ℒ(ℝ^3), telles que g^2 = f.

Dans cette partie on considère un espace vectoriel euclidien V de dimension N ≥ 1, muni d'un produit scalaire noté ⟨.,. ⟩, lanormeeuclidienneassociéeétant notée ‖. ‖.
On note O(V) le groupe (pour la loi ∘ ) des automorphismes orthogonaux de V. On note de plus S(V) l'ensemble des endomorphismes symétriques de V.

Soit r ∈ ℕ^∗ donné. Pour f ∈ ℒ(V), on s'intéresse à R_r(f) = {g ∈ ℒ(V)/f = g^r} et aux sous-ensembles S(V) ∩ R_r(f) ou O(V) ∩ R_r(f).

III.A.1) Montrer que si S(V) ∩ R_r(f) est non vide alors f ∈ S(V).
III.A.2) On suppose ici que r est pair et f ∈ S(V). Montrer que S(V) ∩ R_r(f) est non vide si et seulement si toutes les valeurs propres de f sont dans ℝ_+.
III.A.3) On suppose ici que r est impair et f ∈ S(V). Montrer que S(V) ∩ R_r(f) est non vide et est réduit à un seul élément.
III.A.4) Exemple 5 :

Soit A = [1, 1; 1, 1].
Déterminer toutes les matrices B ∈ ℳ_2(ℝ) telles que B^2 = A.
Déterminer toutes les matrices B ∈ ℐ_2(ℝ) symétriques telles que B^3 = A.

III.B.1) Montrer que si O(V) ∩ R_r(f) est non vide, alors f ∈ O(V).
III.B.2) Soit g ∈ O(V). Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de V stable par g, il en est de même de son orthogonal F^⊥.
III.B.3) On suppose ici N = 2 et V orienté, et on suppose que f est la rotation d'angle de mesure θ, avec θ ∈ ℝ. Déterminer O(V) ∩ R_r(f).
III.B.4) Exemple 6 :

Soit A = [0, − 1; 1, 0].
Déterminer toutes les matrices B ∈ ℳ_2(ℂ) telles que B^2 = A.
Déterminer toutes les matrices B ∈ ℳ_2(ℝ) orthogonales telles que B^2 = A.
III.C - Soit F un sous-espace vectoriel de V de dimension m, et f la symétrie orthogonale par rapport à F.
III.C.1) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur r et m pour que R_r(f) soit non vide, et exhiber dans ce cas un élément g ∈ O(V) ∩ R_r(f).
III.C.2) Étudier S(V) ∩ R_r(f).
III.D - On suppose ici que N = 3, et on considère l'espace euclidien V = ℝ^3 orienté, muni de son produit scalaire canonique, la base canonique étant orthonormale directe.

Soir r ∈ ℕ^∗, et soit f la rotation d'angle de mesure θ, avec θ ∈ ℝ∖2πℤ, d'axe D = ℝu, où ‖u‖ = 1; f ≠ id_V.
III.D.1) Déterminer O(V) ∩ R_r(f).
III.D.2) Déterminer O(V) ∩ R_r(− f).
III.D.3) Exemple 7 :

Déterminer, par leur matrice dans la base canonique, toutes les rotations g de V, telles que g^3 soit la rotation d'axe dirigé par u = 1/(√2)(0, 1, 1) et d'angle de mesure π/2.