Centrale Mathématiques 2 PC 2008Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Suites récurrentes linéaires, matrices compagnon et puissances de matrices

Le sujet étudie les suites récurrentes linéaires d'ordre k à l'aide de la matrice compagnon associée au polynôme caractéristique correspondant. La première partie détaille des exemples d'ordre 2 puis des cas plus généraux, tandis que la seconde partie généralise l'étude aux récurrences linéaires quelconques, en abordant convergence, périodicité et produits de matrices.

1Partie I : Récurrences linéairesÉtude des récurrences linéaires d'ordre 2 puis d'ordre supérieur à l'aide de matrices compagnons, avec plusieurs exemples de convergence ou de périodicité de suites de matrices.
2Partie II : De la récurrence linéaire en généralRésultats d'existence et d'unicité des solutions d'une récurrence linéaire générale, étude d'un exemple, puis des équations avec second membre.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que la plupart des questions sont élémentaires et que les correcteurs n'ont pas relevé de lacune particulièrement grave, mais que la Partie II a permis à un quart des candidats de se distinguer nettement.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion sur le corollaire du théorème du rang · Décomposition de Jordan hors programme invoquée à tort · Notation produit incorrecte pour des matrices

La plupart des questions ne demandent que des rudiments d'algèbre linéaire et les correcteurs n'ont pas relevé de lacune particulièrement grave et générale. Les copies ont été assez longues et les qualités de méthode et d'ordre ont beaucoup compté. La longue Partie I a été abordée par la plupart des copies, tandis que la Partie II a permis à un quart des candidats de se distinguer nettement.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion sur le corollaire du théorème du rangI.B.2
L'injectivité est souvent testée sous une forme peu rigoureuse, et le corollaire liant injectivité et bijectivité n'est valable qu'en dimension finie, ce qui est parfois oublié.
« le corollaire du théorème du rang qui affirme que l’ injectivité implique la bijectivité quand les deux espaces vecto riels ont même dimension »
2
Décomposition de Jordan hors programme invoquée à tortI.C.3.b
Pour montrer qu'une matrice n'est pas diagonalisable, il fallait se ramener à l'étude du noyau d'une matrice associée, la décomposition de Jordan n'étant pas au programme.
« pour montrer que A n’est pas diagonalisable, la décomposition de Jordan (et son unicité) n’étant pas au programme, il fallait se ramener »
3
Notation produit incorrecte pour des matricesII.A
Une écriture de produit sous forme de notation compacte est à proscrire lorsqu'on ne travaille pas dans un anneau commutatif, ce qui est le cas pour des matrices.
« est à proscrire lorsqu’on ne travaille pas dans un anneau commutatif »
4
Théorème de Cauchy-Lipschitz invoqué à tortII.A
De nombreux candidats invoquent le théorème de Cauchy-Lipschitz, propre aux équations différentielles, alors que le problème posé ici porte sur des suites récurrentes, de nature différente.
« Beaucoup de candidats ont invoqué le théorème de Cauchy-Lipschitz sur les équations différentielles, peut-être abusés par le terme de « condition initiale »
5
Cas particulier pris pour une condition nécessaireI.A.5
Les candidats connaissent bien le cas d'une matrice à polynôme minimal scindé à racines simples, mais en font parfois à tort une condition nécessaire de diagonalisabilité.

Ce qui a été bien réussi

Une bonne moitié des candidats paraît dotée de connaissances solides sur les rudiments d'algèbre linéaire : produit de matrices d'ordre 2 ou 3, valeurs propres, indépendance linéaire.
Beaucoup de candidats ont bien vu que la corrélation entre les coordonnées successives empêchait la surjectivité de l'application étudiée en I.B.2.

Conseils du jury

Vérifier ses formules générales sur les premiers termes connus de la suite pour détecter une erreur.
Ne pas généraliser un cas particulier bien connu du cours en condition nécessaire.
Bien vérifier en dimension finie avant d'utiliser le corollaire du théorème du rang reliant injectivité et bijectivité.
Rester attentif à la nature exacte du problème posé avant d'invoquer un théorème du cours qui ne s'applique pas.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Notations

Dans ce problème, $S(ℂ)$ désigne l'espace vectoriel sur $ℂ$ des suites de complexes $(x_n)_(n \in ℕ)$ .
Pour $k \in ℕ, k ⩾ 2, S(ℂ^k)$ représente l'espace vectoriel des suites $(X_n)_(n \in ℕ)$ formées de vecteurs de $ℂ^k$ .
On note $M_k(ℂ)$ l'espace vectoriel des matrices carrées à $k$ lignes à coefficients dans $ℂ$ .
Enfin, si $M$ est une matrice, $^t M$ désigne sa transposée.

Question préliminaire

Soit une matrice

M

M_2(ℂ), M = [a, b; c, d]

.
On note

e = det(M)

. On suppose

e \neq 0

Calculer le produit matriciel

M[d, - b; - c, a]

En déduire l'expression de la matrice $M^(- 1)$ en fonction de $a, b, c, d, e$ .

Partie I - Récurrences linéaires

I.A - Récurrences linéaires d'ordre 2

On considère ici les suites

(x_n)_(n \in ℕ)

S(ℂ)

pour lesquelles il existe des complexes

a_1

a_0

vérifiant la propriété suivante :

\foralln \in ℕ, x_(n + 2) + a_1 x_(n + 1) + a_0 x_n = 0

On associe à une telle suite de

S(ℂ)

la suite

(X_n)_(n \in ℕ)

S(ℂ^2)

définie par :

\foralln \in ℕ, X_n = [x_n; x_(n + 1)]

I.A.1) Déterminer une matrice

A

M_2(ℂ)

telle que pour tout entier positif

n

, on ait :

X_(n + 1) = AX_n.

I.A.2) Montrer que

λ

est valeur propre de

A

si et seulement si :

λ^2 + a_1 λ + a_0 = 0

I.A.3) On suppose que

A

admet deux valeurs propres distinctes

λ_1

λ_2

et on note

D = [λ_1, 0; 0, λ_2]

a) Déterminer les matrices

Q

inversibles de

M_2(ℂ)

telles que

AQ = QD

.
b) Exprimer

A^n

pour tout entier naturel

n

, en fonction des matrices

Q, Q^(- 1)

, des complexes

λ_1, λ_2

et de l'entier

n

.
I.A.4) On suppose maintenant que

A

admet une seule valeur propre

λ

et on note

T = [λ, 1; 0, λ]

a) Exprimer

a_1

a_0

en fonction de

λ

.
b) Montrer que la matrice

A

est semblable à la matrice

T

et déterminer les matrices

Q

inversibles de

M_2(ℂ)

telles que:

Q^(- 1)AQ = T

c) Exprimer

A^n

pour tout entier naturel

n

, en fonction des matrices

Q, Q^(- 1)

, du complexe

λ

et de l'entier

n

.
I.A.5) Montrer que l'on a l'alternative suivante:

soit $A$ admet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable;
soit $A$ admet une seule valeur propre et elle n'est pas diagonalisable.
I.A.6) Deux exemples numériques

Dans les deux exemples qui suivent, il est demandé de :

expliciter la matrice $A$ ,
donner une matrice de passage $Q$ telle que $T = Q^(- 1)AQ$ soit d'une forme simple comme ci-dessus,
en déduire $X_n$ puis $x_n$ en fonction de $x_0, x_1$ et $n$
(il sera tenu compte de la simplicité et de la clarté des choix effectués).
a) Exemple 1
$(x_n)_(n \in ℕ)$ vérifie la propriété suivante :

\foralln \in ℕ, x_(n + 2) - 3x_(n + 1) + 2x_n = 0

b) Exemple 2

(x_n)_(n \in ℕ)

vérifie la propriété suivante :

\foralln \in ℕ, x_(n + 2) - 4x_(n + 1) + 4x_n = 0

I.B - Vers un ordre supérieur, à petits pas

On note

Φ

l'application qui à

(x_n)_(n \in ℕ)

élément de

S(ℂ)

associe la suite des vecteurs

(X_n)_(n \in ℕ)

S(ℂ^3)

définie par

X_n = [x_n; x_(n + 1); x_(n + 2)]

pour tout

n \in ℕ

.
Ainsi, les trois premiers termes de la suite

Φ((x_n)_(n \in ℕ))

sont

[x_0; x_1; x_2], [x_1; x_2; x_3], [x_2; x_3; x_4]

.
À tout polynôme unitaire de

ℂ_3[X]

P(X) = X^3 + a_2 X^2 + a_1 X + a_0

on associe le sous-espace

R_P

S(ℂ)

formé des suites

(x_n)_(n \in ℕ)

telles que pour tout

n \in ℕ

x_(n + 3) + a_2 x_(n + 2) + a_1 x_(n + 1) + a_0 x_n = 0

ainsi que la matrice

A = [0, 1, 0; 0, 0, 1; - a_0, - a_1, - a_2]

.
I.B.1) Calculer le polynôme caractéristique de

A

.
I.B.2) Vérifier que

Φ : S(ℂ) \to S(ℂ^3)

est linéaire et injective. Est-elle surjective? I.B.3)
a) Soit

(x_n)_(n \in ℕ) \in R_P

. Montrer que son image

(X_n)_(n \in ℕ)

par

Φ

vérifie :
b) Montrer que réciproquement, toute suite de

S(ℂ^3)

pour laquelle on a

X_n = A^n X_0

pour tout

n \in ℕ

, est élément de

Φ(R_P)

.
I.B.4) Montrer que

Φ(R_P)

est le sous-espace de

S(ℂ^3)

engendré par les suites de vecteurs

(A^n e_1)_(n \in ℕ), (A^n e_2)_(n \in ℕ), (A^n e_3)_(n \in ℕ)

, où

(e_1, e_2, e_3)

désigne la base canonique de

ℂ^3

.
En déduire la dimension de

R_P

.
I.C - Des exemples (quasi) numériques

On introduit ici quelques exemples de polynômes

P(X)

et on se propose d'étudier le comportement à l'infini des suites

(x_n)_(n \in ℕ)

R_P

.
I.C.1) Exemple 1

On considère ici le polynôme :

P(X) = X^3 - 2X^2 + 3/2X - 1/2

.
a) Écrire la matrice

A

qui lui est associée. Justifier qu'elle est diagonalisable dans

M_3(ℂ)

.
b) Choisir une valeur explicite simple de

X_0 \in ℝ^3

. Après un calcul effectif des premiers termes de la suite

(X_n)_(n \in ℕ)

, conjecturer la limite de cette suite de vecteurs.
c) Vérifier que

Q^(- 1)AQ = T

où

Q = [1, 0, 2; 1, 1, 1; 1, 1, 0]

T = [1, 0, 0; 0, 1/2, - 1/2; 0, 1/2, 1/2]

.
d) Calculer

T^2, T^3

T^4

En déduire la valeur de

T^(4p + k)

pour

p \in ℕ

k \in {0, 1, 2, 3}

.
e) Exprimer pour tout entier naturel

n

le vecteur

Y_n = Q^(- 1)X_n

en fonction de

Y_0 = Q^(- 1)X_0

.
En déduire que les suites

(X_n)_(n \in ℕ)

(x_n)_(n \in ℕ)

Φ(R_P)

et de

R_P

convergent.
Attention :

(Y_n)_(n \in ℕ)

n'est pas dans

Φ(R_P)

I.C.2) Exemple 2

Dans cette question, on considère le polynôme:

P(X) = X^3 - 2X^2 + 2X - 1

.
a) Déterminer les valeurs propres de la matrice

A

associée à

P(X)

.
b) En déduire que les suites

(x_n)_(n \in ℕ)

appartenant à

R_P

sont périodiques et que, à toute suite

(x_n)_(n \in ℕ)

appartenant à

R_P

, on peut associer trois nombres complexes

α, β, γ

tels que:

\foralln \in ℕ, x_n = α + βcos((nπ)/3) + γsin((nπ)/3)

\foralln \in ℕ, X_n = A^n X_0.

I.C.3) Exemple 3

Dans cette question, on considère le polynôme :

P(X) = (X - λ)(X - μ)^2

où

λ

μ

désignent deux nombres réels distincts.
a) Préciser la matrice

A

associée à ce polynôme.
b) On admet que

Q^(- 1)AQ = T

avec

Q = [1, 1, 0; λ, μ, 1; λ^2, μ^2, 2μ]

T = [λ, 0, 0; 0, μ, 1; 0, 0, μ]

En déduire que si le polynôme

P

admet une racine double, la matrice

A

qui lui est associée n'est pas diagonalisable.
c) À quelles conditions sur

λ

μ

a-t-on chacune des propriétés suivantes:

pour tout $X_0 \in ℝ^3, lim_(n \to \infty)X_n = 0$ ?
pour tout $X_0 \in ℝ^3, (X_n)_(n \in ℕ)$ converge?

Partie II-De la récurrence linéaire en général

Cette partie aborde l'étude des systèmes d'équations de la forme

(H) : \foralln \in ℕ, X_(n + 1) = A_n X_n

dans lesquelles

(X_n)_(n \in ℕ)

désigne un élément inconnu de

S(ℂ^k)

(A_n)_(n \in ℕ)

est une suite de matrices de

M_k(ℂ)

.
Dans la suite de cette partie, la suite

(A_n)_(n \in ℕ)

est fixée et on lui associe la suite de matrices

(P_n)_(n \in ℕ)

définie par

P_0 = I_k

(matrice unité d'ordre

k

) et

P_(n + 1) = A_n P_n

pour tout entier naturel

n

II.A - Résultats d'existence et d'unicité des solutions

II.A.1) Soit

(X_n)_(n \in ℕ)

une solution de

(H)

Exprimer

X_n

en fonction de

X_0

et de la suite

(P_n)_(n \in ℕ)

.
II.A.2) Montrer que le système avec condition initiale

(H_a) : {X_(n + 1) = A_n X_n pour tout n ∈ ℕ,; X_0 = a

admet une solution et une seule pour tout

a \in ℂ^k

.
II.A.3) On note

S

l'ensemble des solutions du système

(H)

.
a) Vérifier que

S

est un sous-espace vectoriel de

S(ℂ^k)

.
b) On considère l'application

Ψ : S \to ℂ^k

telle que

Ψ((X_n)_(n \in ℕ)) = X_0

.
Montrer que

Ψ

est isomorphisme.
En déduire que

S

est de dimension

k

.
c) En déduire que la famille des

k

solutions des

k

systèmes

{X_(n + 1), =, A_n X_n; X_0, =, e_i

(où

(e_i)_(1 ⩽ i ⩽ k)

désigne la base canonique de

ℂ^k

) forme une base de l'ensemble

S

des solutions du système

(H)

II.B - Étude d'un exemple

On considère ici le système

X_(n + 1) = A_n X_n

dans lequel, pour

n \in ℕ

A_n = [(n + 1)/(n + 2), 0; - 1, 1]

II.B.1) On introduit la notation suivante :

\foralln ⩾ 1, h_n = \sum_(p = 1)^n 1/p,

h_0 = 0

. Déterminer la matrice

P_n

en fonction de

n

et de

h_n

.
II.B.2) Expliciter les solutions

(X_n)_(n \in ℕ) = ([x_n; y_n])_(n \in ℕ)

de ce système en fonction de

n

et de

x_0, y_0

.
II.B.3) Donner une base de l'espace des solutions du système.
II.B.4) Que peut on dire du comportement à l'infini de

(X_n)_(n \in ℕ)

?
II.C - Problème avec condition initiale au temps

n_0

Soient

n_0 \in ℕ^*, a \in ℂ^k, k ⩾ 2

. On se propose d'étudier le système avec condition initiale

(H_(n_0, a)) : {X_(n + 1) = A_n X_n, pour tout n ∈ ℕ,; X_(n_0) = a

II.C.1) On suppose que pour tout

p \in [0, n_0 - 1]

la matrice

A_p

est inversible et on considère

(X_n)_(n \in ℕ) \in S(ℂ^k)

, une solution de

(H_(n_0, a))

.
a) Exprimer d'une façon générale

X_(n_0 + p)

(pour

p \in ℕ^*

) et

X_(n_0 - p)

(lorsque

1 ⩽ p ⩽ n_0

) à l'aide de la suite

(A_n)_(n \in ℕ)

.
b) Justifier que le système (

H_(n_0, a)

) admet une solution et une seule.
II.C.2) On suppose qu'il existe

p \in [0, n_0 - 1]

tel que

A_p

ne soit pas inversible.
a) Le système

(H_(n_0, a))

peut il ne pas avoir de solution?
b) Le système (

H_(n_0, a)

) peut il avoir plus d'une solution?

II.D - Équations avec second membre

Cette question aborde l'étude de systèmes de la forme

(G) : X_(n + 1) = A_n X_n + b_n

ou de problèmes

(G_(n_0, a)) : {X_(n + 1) = A_n X_n + b_n; X_(n_0) = a

, où

(A_n)_(n \in ℕ)

désigne encore une suite de matrices de

M_k(ℂ)

fixée,

(b_n)_(n \in ℕ)

une suite de

S(ℂ^k)

fixée et

n_0

un entier supérieur ou égal à 1 .
On suppose, de plus, que pour

p \in [0, n_0 - 1]

, les matrices

A_p

sont inversibles.

II.D.1) Existence, unicité et calcul pratique

a) Montrer que le problème

(G_(n_0, a))

admet une solution et une seule pour tout élément

a

ℂ^k

.
b) Écrire, dans le langage de calcul formel de son choix une procédure qui prend en arguments deux entiers naturels

n

n_0

, un vecteur

a

, et retourne le terme d'ordre

n

de la suite solution du problème (

G_(n_0, a)

). Sont supposées données les fonctions

n \to A_n, n \to b_n

, dans une syntaxe adaptée au langage.

Dans ce qui suit, on suppose que toutes les matrices

A_n

sont inversibles et que:

((Z_n^1)_(n \in ℕ), (Z_n^2)_(n \in ℕ), \dots, (Z_n^k)_(n \in ℕ))

désigne une base quelconque de l'espace des solutions du système homogène

(H)

.
II.D.2) Prouver que pour

p \in ℕ

fixé,

(Z_p^1, Z_p^2, \dots, Z_p^k)

est une base de

ℂ^k

. indication : montrer que la famille est libre en observant que le problème

{X_(n + 1) = A_n X_n n'admet qu'une solution.; X_p = 0

II.D.3) Pour tout entier naturel

n

, on note

Z_n

la matrice carrée de

M_k(ℂ)

dont les

k

colonnes sont les vecteurs

Z_n^1, Z_n^2, \dots, Z_n^k

.
a) Montrer que si

(Y_n)_(n \in ℕ)

est une suite quelconque de

S(ℂ^k)

il existe des suites de complexes

(c_n^1)_(n \in ℕ), (c_n^2)_(n \in ℕ\dots), (c_n^k)_(n \in ℕ)

, telles que pour tout

n \in ℕ

Y_n = \sum_(i = 1)^k c_n^i Z_n^i = Z_n \cdot ^t[c_n^1, \dots, c_n^k]

b) Soit

(Y_n)_(n \in ℕ)

une suite quelconque de

S(ℂ^k)

Pour tout

n \in ℕ

, on note

C_n = ^t[c_n^1, \dots, c_n^k]

la matrice colonne des composantes
du vecteur

Y_n

dans la base

(Z_n^1, \dots, Z_n^k) : \foralln \in ℕ, Y_n = \sum_(i = 1)^k c_n^i Z_n^i

.
Montrer que

(Y_n)_(n \in ℕ)

est solution de

G

si et seulement si la suite

(C_n)_(n \in ℕ)

vérifie la relation suivante pour tout entier naturel

n

C_(n + 1) = C_n + Z_(n + 1)^(- 1)b_n

II.E - Un exemple

Reprenons la suite des matrices

(A_n)_(n \in ℕ), A_n = [(n + 1)/(n + 2), 0; - 1, 1]

et introduisons le problème avec second membre :

X_(n + 1) = A_n X_n + b_n

avec

b_n = ^t[1/(n + 2), - h_n]

.
II.E.1) Expliciter une suite de matrices

(Z_n)_(n \in ℕ)

construite comme dans la question précédente ainsi que la relation de récurrence matricielle

C_(n + 1) = C_n + Z_(n + 1)^(- 1)b_n

établie dans la question précédente.
II.E.2) On considère

(Y_n)_(n \in ℕ)

une solution du problème avec second membre vérifiant la condition

Y_0 = [x_0; y_0]

Donner une expression de

C_n

puis de

Y_n

en fonction de

n, x_0

y_0

$∙∙$ FIN •••

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques II Centrale PC 2008 ?

Le sujet porte sur les suites récurrentes linéaires étudiées à l'aide de matrices compagnons, ce qui mobilise l'algèbre linéaire : réduction des endomorphismes, valeurs propres et diagonalisation.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 2 PC 2008 ?

Le jury relève une confusion sur le corollaire du théorème du rang hors dimension finie, une invocation à tort du théorème de Cauchy-Lipschitz, et le recours à une décomposition de Jordan qui n'est pas au programme.

Ce sujet Centrale maths 2 PC 2008 est-il accessible ?

Le rapport indique que la plupart des questions sont élémentaires et que les correcteurs n'ont pas relevé de lacune particulièrement grave, mais la seconde partie a permis à un quart des candidats de se distinguer nettement.

Le sujet Centrale maths 2 PC 2008 est-il bien réussi par les candidats ?

Le rapport indique qu'une bonne moitié des candidats paraît dotée de connaissances solides sur les rudiments d'algèbre linéaire testés dans ce sujet.

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Notations

Question préliminaire

Partie I - Récurrences linéaires

I.A - Récurrences linéaires d'ordre 2

I.B - Vers un ordre supérieur, à petits pas

I.C.2) Exemple 2

I.C.3) Exemple 3

Partie II-De la récurrence linéaire en général

II.A - Résultats d'existence et d'unicité des solutions

II.B - Étude d'un exemple

II.D - Équations avec second membre

II.D.1) Existence, unicité et calcul pratique

II.E - Un exemple

∙∙ FIN •••

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques II Centrale PC 2008 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 2 PC 2008 ?

Ce sujet Centrale maths 2 PC 2008 est-il accessible ?

Le sujet Centrale maths 2 PC 2008 est-il bien réussi par les candidats ?

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