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E3A Mathématiques 2 PC 2015Sujet et corrigé

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 2 PC

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Dans tout le problème, on note tan la fonction tangente.
Etant donnés un entier naturel n ⩾ 1 et une fonction f de classe C^∞ sur un intervalle ouvert I, on note f^((n)) la dérivée n-ième de f sur I. La notation f^((0)) désigne f.

Partie IA .

  1. Quelle est la période de la fonction tan ?
  2. Représenter la fonction tan sur l'intervalle ] − π/2, π/2[.
  3. Démontrer l'existence d'une suite de polynômes (T_n)_(n ∈ ℕ) telle que :
  • T_0(X) = X,
  • et pour tout entier naturel n, tan^((n)), dérivée n-ième de la fonction tan, vérifie:
∀x ∈ ] − π/2, π/2[, tan^((n))(x) = T_n(tan(x))
On explicitera une relation de récurrence vérifiée par les polynômes T_n et T_(n + 1).
4. Expliciter les polynômes T_1, T_2, T_3.
5. Soit n ∈ ℕ. Démontrer que les coefficients du polynôme T_n sont des entiers naturels. Quel est le degré du polynôme T_n ?
6. Justifier qu'il existe une unique suite de nombres entiers naturels (t_n)_(n ∈ ℕ) telle que:
∀n ∈ ℕ, n ≥ 1, ∀x ∈ ] − π/2, π/2[, tan(x) = ∑_(j = 0)^n(t_j)/((2j + 1)!)x^(2j + 1) + ∫_0^x((x − t)^(2n + 1))/((2n + 1)!)T_(2n + 2)(tan(t))dt.
On citera précisément le théorème utilisé.

Partie IB.

Soit I un intervalle ouvert de ℝ tel que 0 ∈ I et symétrique par rapport à 0 . Soit f une fonction de la variable réelle x de classe C^∞ sur I. Pour tout entier naturel non nul n, on note f^((n)) sa dérivée n-ième et R_n la fonction définie pour x ∈ I par :
R_n(x) = 1/((n − 1)!)∫_0^x f^((n))(t)(x − t)^(n − 1)dt
On suppose que f est impaire et que pour tout entier naturel n non nul et tout nombre réel x dans I tel que x ≥ 0, f^((n))(x) ≥ 0.
7. Soit x ∈ I. Pour tout entier naturel non nul n, justifier l'égalité :
R_n(x) = (f^((n))(0))/(n!)x^n + R_(n + 1)(x)
  1. Soit b ∈ I tel que b > 0.
    (a) Démontrer que la suite (R_n(b))_(n ≥ 1) est convergente.
    (b) Soient x ∈ [0, b] et n un entier naturel non nul.
    i. Justifier l'égalité :
R_n(x) = (x^n)/((n − 1)!)∫_0^1 f^((n))(tx)(1 − t)^(n − 1)dt
ii. En déduire que :
0 ⩽ R_n(x) ⩽ (x^n)/((n − 1)!)∫_0^1 f^((n))(tb)(1 − t)^(n − 1)dt
iii. Démontrer que :
R_n(x) ⩽ (x/b)^n R_n(b)
(c) En déduire que pour tout x dans ] − b, b[,
f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(f^((n))(0))/(n!)x^n
On justifiera précisément la convergence de la série.
9. La suite (t_n)_(n ∈ ℕ) ayant été définie dans la question IA6, démontrer que :
∀x ∈ ] − π/2, π/2[, tan(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(t_n)/((2n + 1)!)x^(2n + 1)
  1. Que peut-on dire du rayon de convergence de la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)(t_n)/((2n + 1)!)z^(2n + 1) ? Justifier votre réponse.

Partie II A.

Soit n un entier naturel ≥ 2. On note ℝ_n[X] le ℝ-espace vectoriel formé par l'ensemble des polynômes à coefficients dans ℝ de degré ≤ n. Pour tout polynôme P dans ℝ_n[X], on note P^′ son polynôme dérivé.
Pour tout P dans ℝ_n[X], on note ψ_n(P) l'application de la variable réelle x définie par :
∀x ∈ ℝ, ψ_n(P)(x) = ∫_x^(x + 1)P(t)dt
  1. Calculer ψ_n(X^i), pour i ∈ {0, ⋯, n}.
  2. Vérifier que pour tout P dans ℝ_n[X], ψ_n(P) est une application polynomiale de degré ≤ n.
  3. Démontrer que ψ_n, l'application qui associe à P dans ℝ_n[X], ψ_n(P) est un endomorphisme de ℝ_n[X].
  4. Ecrire la matrice de ψ_n sur la base (1, X, …, X^n).
  5. Démontrer que ψ_n est un automorphisme de ℝ_n[X].
  6. L'endomorphisme ψ_n est-il diagonalisable ? Justifier la réponse.
  7. Soit P dans ℝ_n[X].
    (a) Justifier qu'il existe un polynôme Q dans ℝ_(n + 1)[X] tel que Q^′ = P.
    (b) Démontrer que ∀x ∈ ℝ, ψ_n(P)(x) = Q(x + 1) − Q(x).
    (c) Démontrer que ψ_n(P)^′ le polynôme dérivé du polynôme ψ_n(P) vérifie ψ_n(P)^′ = ψ_n(P^′).

Partie II B.

  1. Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes (S_m)_(m ∈ ℕ) telle que :
    (a) S_0 = 1,
    (b) ∀k ∈ ℕ, S_(k + 1)^′ = (k + 1)S_k,
    (c) ∀k ∈ ℕ tel que k ⩾ 1, ∫_0^1 S_k(t)dt = 0.
  2. Expliciter les polynômes S_1, S_2 et S_3.
  3. Pour k ∈ ℕ, démontrer que S_k est un polynôme unitaire de degré k.
  4. Pour k ∈ ℕ tel que k ⩾ 2, démontrer l'égalité S_k(0) = S_k(1).
  5. Soit m ∈ ℕ. Démontrer que S_m vérifie l'équation :
∀x ∈ ℝ, S_m(1 − x) = (− 1)^m S_m(x)
On pourra utiliser l'unicité de la suite définie par les conditions de la question IIB9.
13. Pour un entier naturel k ≤ n, démontrer que S_k est l'unique polynôme dans ℝ_n[X] tel que ψ_n(S_k)(X) = X^k.
Dans toute la suite, on note σ_k = S_k(0), pour tout entier naturel k ≤ n. Ainsi, σ_0 = 1.
14. Expliciter les valeurs de σ_1, σ_2 et σ_3.
15. On suppose n ≥ 3. Démontrer que σ_k = 0, pour tout entier naturel impair k tel que 3 ≤ k ≤ n.
16. Soit n ∈ ℕ. Démontrer l'égalité :
∀x ∈ ℝ, S_n(x) = ∑_(k = 0)^n(n/k)σ_k x^(n − k)
  1. En déduire que pour tout entier n ≥ 2,
∑_(k = 0)^(n − 1)(n/k)σ_k = 0
  1. Expliciter un programme en python qui permet de calculer σ_(50).

Partie III .

Dans cette partie, on considère la série entière
S(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(σ_n)/(n!)z^n
On admet que la série entière à un rayon de convergence R > 0. On note D son disque de convergence.
  1. Démontrer que pour tout z dans D, e^z S(z) = z + S(z)
  2. Soit la fonction T définie par :
T(z) = {(z(e^(2iz) + 1))/((e^(2iz) − 1)),, si 0 < |z| < π; 0,, si z = 0
Démontrer qu'il existe un nombre réel ρ, ρ ∈ ]0, R], tel que T admet un développement en série entière sur le disque de centre 0 et de rayon ρ. Exprimer les coefficients de ce développement en série entière en fonction de (σ_n)_(n ∈ ℕ).
3. En utilisant l'égalité (qu'on justifiera)
∀x ∈ ] − π/2, π/2[∖{0}, itanx = (2(e^(4ix) + 1))/((e^(4ix) − 1)) − ((e^(2ix) + 1))/((e^(2ix) − 1)),
déterminer pour tout entier naturel n, une expression de t_n en fonction de σ_n.

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