E3A Mathématiques 3 PC 2002Sujet et corrigé

Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Le problème comporte trois parties indépendantes, mais on pourra utiliser dans la troisième partie des résultats obtenus dans la première, et admettre l'existence et l'unicité de la fonction φ étudiée dans la partie 2.

On désigne par n un entier naturel non nul et par ℝ_n[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inferieur ou égal à n à coefficients réels.

Le but du problème est l'étude d'une application linéaire et d'une équation différentielle associée à cette application linéaire.

a) Montrer que L_n est un endomorphisme de 𝕂_n[X].
b) Ecrire la matrice de L_n dans la base des monòmes ( X^k, 0 ⩽ k ⩽ n ) de ℝ_n[X].
c) L_n est-il diagonalisable ?
d) Comparer le degré de P ∈ ℝ_n[X] au degré du polynôme L_n(P) et en déduire que si un polynôme non nul appartient à Ker L_n alors il est de degré 3 .
e) Montrer que si n ≥ 3, Ker L_n est la droite vectorielle engendrée par le polynôme X^3 − 6X^2 + 18X − 24.
f) Montrer que L_n est un automorphisme de ℝ_n[X] si et seulement si n ⩽ 2.

a) Ecrire la matrice de L_5 dans la base des monômes ( X^k, 0 ⩽ k ⩽ 5 ) de ℝ_5[X].
b) Déterminer les valeurs propres de L_5. Sans calculs supplémentaires, détermiuer trois sous-espaces propres de L_5.
c) Montrer que les polynômes 1, X, X^2, X^4 − 4X^3, X^5 appartiennent à ImL_5 et qu'ils en forment une base.
d) Déterminer, successivement, sans résoudre l'équation différentielle correspondante, l'ensemble des polynômes P ∈ ℝ_5[X] tels que:

e) En déduire selon les valeurs de l'entier p(0 ⩽ p ⩽ 5) l'existence de polynômes P ∈ ℝ_5[X] tels que :

2.1 Montrer par récurrence que toute solution de (E) sur ℝ_+^∗ est de classe C^∞ sur ℝ_+^∗.
2.2 Montrer sans calcul l'existence et l'unicité d'une solution φ de (E) sur ℝ_+^∗ telle que φ(1) = 2 et φ^′(1) = − 2 (on ne demande pas d'expliciter φ, ni de résoudre (E)).
2.3 Pour tout n ∈ ℕ, on pose u_n = φ^((n))(1). En dérivant n fois la relation:

montrer que pour tout n ∈ ℕ, on a : u_(n + 2) + (n − 3)(u_(n + 1) + u_n) = 0.
2.4 Justifier que φ admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 1. Montree que le développenent limité à l'ordre 3 de φ au voisinage de 1 est de la forme :

Déterminer les valeurs de a, b, c.d.
2.5 Soit Γ la combe représentative de φ dans ma repère orthonomé. Détermuer ume équation de la tangente à I an point de coordomées (1.2) et la position relative de la courbe par rapport à cette traugente.

3.1 Rappeler quelles sont les solutions polynomiales de (E).
3.2 On suppose qu'il existe des solutions non polynomiales développables an série entière de rayon de convergence R > 0. Soit

une telle solution définie sur ] − R. + R[.
a) Montrer que f est solution de (E) sur ] - R, + R [ si et seulement si :

b) Montrer que pour tout n ∈ ℕ : a_(n + 5) = (− 1)^n(n + 1)/((n + 5)!)5!a_5.

Domner. dans le cas particulier où a_0 − a_1 − a_2 − a_3 = a_4 = 0 et a_5 = 1, une solution de (E) développable en série entière. Soit ψ cette solution. Préciser son rayon de convergence.
c) En déduire l'ensemble des solutions de (E) développables en série entière sur ℝ.
3.3 Montror que F : ℝ_+^∗ → ℝ est solution de (E) sur ℝ_+^∗ si et seulement si il existe (α, β) ∈ ℝ^2 tel que :

3.4 Montrer que G : ℝ_−^∗ → ℝ est solution de (E) sur ℝ_−^∗ si et seulement si il existe (γ, δ) ∈ ℝ^2 tel que :

3.5 La fonction φ définic an 2.2 est-elle prolongeable en une fonction de classe C^∞ sur ℝ qui soit solution sur ℝ de ( E ) ?
3.6 Montrer que l'ensemble des solutions sur ℝ de (E) est un ℝ-espace vechoriel de dimension 3. Sont-elles de classe C^∞ sur ℝ ?
3.7 Montror que: