Centrale Mathématiques 2 PC 2002Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueCentrale Année2002 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales Centrale PC Mathématiques Centrale PC 2002 PC Mathématiques Mathématiques 2002

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES II

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomorphisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Dans tout le problème,

les espaces vectoriels $ℝ^3, ℝ^4$ et $ℝ^6$ sont munis de leur produit scalaire canonique et orientés par leur base canonique,
on désigne par $⟨x, y⟩$ ou $x \cdot y$ le produit scalaire de deux vecteurs $x, y$ d'un espace vectoriel euclidien, par $‖$ . $é ‖lanormeassociée,$
on désigne par $\land$ le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Les vecteurs dans les espaces vectoriels $ℝ^n$ sont notés en colonnes, mais on leur préférera la notation $^t(\dots)$ , transposée d'une ligne, lorsqu'ils seront de grande taille.

Partie I - Étude dans E euclidien orienté de dimension 3

On considère dans cette partie

E = ℝ^3

espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et la base canonique

ℬ = (e_1, e_2, e_3)

orthonormale directe. Si

u

est dans

ℒ(E)

on définit

u~

, endomorphisme de

E

, par sa restriction à

ℬ

{u˜(e_1) = u(e_2) ∧ u(e_3); u˜(e_2) = u(e_3) ∧ u(e_1); u˜(e_3) = u(e_1) ∧ u(e_2)

I.A - Dans cette question on considère les endomorphismes

u_1, u_2 \in ℒ(E)

, de matrices respectives

U_1

U_2

dans la base

ℬ

U_1 = (0, 0, - 1; 1, 0, - 3; 0, 1, - 3) U_2 = (0, 1, 1; 0, 1, - 1; 0, 1, 1)

Déterminer

U~_1

U~_2

, matrices respectives dans la base

ℬ

u~_1

u~_2

Filière PC

I.B - Soit

u \in ℒ(E)

. Montrer que

\forall(x, y) \in E^2, u˜(x \land y) = u(x) \land u(y)

. Montrer que si

v

dans

ℒ(E)

vérifie

\forall(x, y) \in E^2, v(x \land y) = u(x) \land u(y)

, alors

v = u~

.
I.C - Déterminer

Id˜_E

u

v

sont dans

ℒ(E)

, montrer que

uo~v = u~ \circ v~

.
Si

u

est inversible, en conclure que

u~

est inversible et en exprimer l'inverse.
I.D - Si

u

appartient à

ℒ(E)

et a comme matrice

U

dans la base

ℬ

, exprimer la matrice

U

u˜

dans la base

ℬ

en fonction de

com(U)

, comatrice de la matrice

U

.
Montrer que

u^* \circ u˜ = det(u)Id_E

où

u^*

désigne l'adjoint de

u

.
Montrer que

u˜

u^*

commutent.
Montrer que

u˜^* = (u˜)^*

.
I.E - On considère toujours

u

dans

ℒ(E)

.
I.E.1) Dans le cas où

u

est inversible, déterminer une expression de det (

u˜

) en fonction de

det(u)

, et de

(u˜)^(- 1)

en fonction de

u^*

et de

det(u)

.
I.E.2) Dans le cas où

u

n'est pas inversible, déterminer

Ker(u˜)

puis

det(u˜)

.
I.F - Préciser le rang de

u˜

selon la valeur de celui de

u

. L'application de

ℒ(E)

dans lui-même qui à

u

associe

u˜

est-elle : linéaire ? injective ? surjective ?

Partie II - Recherche des plans stables par u endomorphisme de $E$

On conserve dans cette partie les notations de la précédente.
II.A - Soit

u

dans

ℒ(E)

P = Vect(x, y)

un plan stable par

u

Montrer que

x \land y

est vecteur propre de

u~

; exprimer la valeur propre associée à

x \land y

à l'aide de

u|_P

.
II.B - Inversement, soit

z

un vecteur propre de norme 1 de

u~

Montrer qu'il existe (

x, y

) famille orthonormale dans

E

telle que

x \land y = z

Si la valeur propre associée à

z

est non nulle, montrer que

P = Vect(x, y)

est stable par

u

. On pourra remarquer que

(x, y, z)

est une base orthonormale directe de

E

et effectuer des calculs dans cette base.
II.C - Soit

u

dans

ℒ(E)

. Montrer que 0 est valeur propre de

u

si, et seulement si, 0 est valeur propre de

u~

. Montrer que, pour tout réel

λ

, les plans stables par

u

sont les plans stables par

u - λId_E

. En déduire un moyen pour obtenir les plans stables par

u

dans

ℒ(E)

n'ayant pas 0 comme valeur propre, puis par

u

quelconque dans

ℒ(E)

.
II.D - Appliquer cette méthode à la recherche des plans respectivement stables par les deux endomorphismes

u_1

u_2

ℝ^3

définis à la question I.A.
Certaines démonstrations dans les parties qui suivent sont analogues à celles demandées dans les deux précédentes et, de ce fait, certains résultats seront admis.

Partie III - Définition et étude d'un produit vectoriel de $R^4 \times R^4$ dans $R^6$

On munit

ℝ^3

ℝ^4

de leurs structures euclidiennes canoniques et on les oriente grâce à leurs bases canoniques.
À un vecteur

X = (x_1; ⋮; x_4) de ℝ^4, on associe l(X) = x_1 et L(X) = (x_2; ⋮; x_4),

de sorte que l'on écrira, par blocs,

X = ((l(X))/(L(X)))

On définit alors, pour

X

Y

dans

ℝ^4, X \times Y

comme suit :

ù si X = (a/ξ) et Y = ((a^')/(ξ^')), où a, a^' \in ℝ et ξ, ξ^' \in ℝ^3, alors X \times Y est le

vecteur de

ℝ^6

défini par les blocs

(A/B)

, avec

A = aξ^' - a^' ξ

B = ξ \land ξ^'

,
ce dernier produit vectoriel étant le produit vectoriel canonique de

ℝ^3

.
On admettra sans démonstration que

\times

est une application bilinéaire antisymétrique de

ℝ^4 \times ℝ^4

dans

ℝ^6

.
III.A - Trouver une condition nécessaire et suffisante sur

X

Y

dans

ℝ^4

pour que

X \times Y = 0

.
Soient

p

p^'

les applications linéaires de

ℝ^6

dans

ℝ^3

qui à

Σ = (ξ_1; ⋮; ξ_6) associent respectivement; p(Σ) = (ξ_1; ⋮; ξ_3) et p^'(Σ) = (ξ_4; ⋮; ξ_6)

III.B - Soit

Σ

dans

ℝ^6

, de la forme

X \times Y

, où

X

Y

sont dans

ℝ^4

; montrer que

⟨p(Σ), p^'(Σ)⟩ = 0(𝒞)

III.C - Soit, inversement,

Σ

dans

ℝ^6

vérifiant (

𝒞

) ; on pose

A = p(Σ)

B = p^'(Σ)

.
III.C.1) Si

B \neq 0

et si

C

dans

ℝ^3∖{0}

vérifient

C \cdot B = 0

, trouver tous les

X, Y

dans

ℝ^4

tels que

X \times Y = Σ

L(X) = C

.
III.C.2) Exemple: si

Σ = ^t(2, 2, 4, 4, 0, - 2)

C = (0; 1; 0)

, déterminer tous les

X, Y

correspondants.
III.C.3) Si

B \neq 0

, décrire tous les

X, Y

dans

ℝ^4

tels que

X \times Y = Σ

.
III.C.4) Enfin, si

B = 0

, décrire tous les

X, Y

dans

ℝ^4

tels que

X \times Y = Σ

. Si

Σ \neq 0, B = 0

X \times Y = Σ

, donner une description simple de

Vect(X, Y)

à l'aide notamment de

A

.
III.D - Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur

a, a^', ξ, ξ^'

, pour que la famille (

X, Y

) définie par

X = (a/ξ), Y = ((a^')/(ξ^'))

soit orthonormale dans

ℝ^4

. Dans ce cas, exprimer

‖aξ^' - a^' ξ‖^2

‖ξ \land ξ^'‖^2

en fonction de (

a, a^'

) seulement. En déduire que

‖X \times Y‖^2 = 1

.
III.E - Soit

X, Y, Z, T

dans

ℝ^4

tels que

X \cdot T = Y \cdot T = 0

. Simplifier l'expression

(X \times Y) \cdot (Z \times T)

On pourra utiliser la formule suivante, valable pour

ξ, ξ^', ξ^(''), ξ^(''')

vecteurs dans

ℝ^3

(ξ \land ξ^') \cdot (ξ^('') \land ξ^(''')) = (ξ \cdot ξ^(''))(ξ^' \cdot ξ^(''')) - (ξ \cdot ξ^('''))(ξ^' \cdot ξ^(''))

III.F - En déduire que si

(e_1, \dots, e_4)

est une base orthonormale de

ℝ^4

, alors

ℬ˜ = (e_i \times e_j)_(1 ⩽ i < j ⩽ 4)

est une base orthonormale de

ℝ^6

. Déterminer

ℬ˜

lorsque

ℬ

est la base canonique de

ℝ^4

Partie IV - Endomorphisme $u~$ de $IR^6$ associé à un endomorphisme u de $R^4$ et détermination des plans stables par u

Si u est dans

ℒ(ℝ^4)

, on admet qu'il existe un unique

u~

dans

ℒ(ℝ^6)

tel que l'on ait

\forall(X, Y) \in (ℝ^4)^2, u˜(X \times Y) = u(X) \times u(Y)

On admet également que

u

= u~ \circ v~

, pour

u

v

dans

ℒ(ℝ^4)

.
IV.A - Si

u

est un endomorphisme orthogonal de

ℝ^4

, montrer que

u~

est un endomorphisme orthogonal de

ℝ^6

; on pourra utiliser III.F.
IV.B - Si

u

est un endomorphisme autoadjoint de

ℝ^4

, justifier l'existence d'une base orthonormale directe

ℬ = (e_1, e_2, e_3, e_4)

formée de vecteurs propres de

u

associés à des valeurs propres notées (

λ_1, λ_2, λ_3, λ_4

) ; exprimer alors la matrice de

u~

dans la base

ℬ

et en déduire que

u~

est autoadjoint.
On admet que, pour tout endomorphisme

u

ℝ^4

, il existe

s

w

, endomorphismes de

ℝ^4

respectivement autoadjoint et orthogonal et tels que

u = s

ow.
IV.C - Montrer que, pour tout

u

dans

ℒ(ℝ^4), u~^* = (u~)^*

.
IV.D - Soit

u

dans

ℒ(ℝ^4)

P = Vect(X, Y)

un plan vectoriel stable par

u

; montrer que

X \times Y

est un vecteur propre de

u

.
IV.E - Exemple : on donne

u

dans

ℒ(ℝ^4)

défini par

X \mapsto (0, - 1, 0, 0; 1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, - 1; 0, 0, 1, 0)X

IV.E.1) Déterminer

u^2; u

a-t-il des vecteurs propres?
IV.E.2) Soit

X

un vecteur non nul de

ℝ^4

. Montrer que

P = Vect(X, u(X))

est un plan stable par

u

. Montrer qu'inversement tout plan stable par

u

est de cette forme.
IV.E.3) Si

X = ^t(x, y, z, t)

est non nul dans

ℝ^4

, déterminer par ses composantes dans la base canonique le vecteur propre

φ(X) = X \times u(X)

u~

ainsi obtenu.
IV.E.4) Montrer que

(u~)^2 = Id_(IR ^6)

et vérifier que deux vecteurs de la base canonique de

ℝ^6

sont des vecteurs propres de

u˜

.
IV.E.5) Déterminer la matrice

M˜

u˜

relativement à la base canonique de

ℝ^6

; on pourra exprimer

u~(X \times Y)

pour

X = ^t(x, y, z, t)

Y = ^t(x^', y^', z^', t^')

quelconques dans

ℝ^4

.
IV.E.6) La matrice

M~

est-elle diagonalisable ?
IV.E.7) Déterminer les ensembles

E_(+ 1) = {Σ ∈ ℝ^6, M~Σ = Σ} et E_(− 1) = {Σ ∈ ℝ^6, M~Σ = − Σ}

En déduire les valeurs propres de

M˜

ainsi que leurs ordres de multiplicité.
IV.E.8) Vérifier que, dans

E_(- 1)

, seul le vecteur nul satisfait à (

𝒞

).
IV.E.9) Vérifier que, dans

E_(+ 1)

, le vecteur

Σ

satisfait à

(𝒞)

si, et seulement si, il est de la forme

^t(a, b, c, d, - b, - c)

, où

ad = b^2 + c^2

.
IV.E.10) Vérifier que tous les vecteurs de la forme

φ(X)

obtenus en IV.E. 3 sont bien de cette forme.

FIN •••

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Mathématiques 2 PC 2002

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

MATHÉMATIQUES II

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomorphisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Partie I - Étude dans E euclidien orienté de dimension 3

Filière PC

Partie II - Recherche des plans stables par u endomorphisme de E

Partie III - Définition et étude d'un produit vectoriel de R^4 × R^4 dans R^6

Partie IV - Endomorphisme u~ de IR^6 associé à un endomorphisme u de R^4 et détermination des plans stables par u

FIN •••

Commentaires• Centrale Mathématiques 2 PC 2002

Commentaires• Centrale Mathématiques 2 PC 2002

Partie II - Recherche des plans stables par u endomorphisme de $E$

Partie III - Définition et étude d'un produit vectoriel de $R^4 \times R^4$ dans $R^6$

Partie IV - Endomorphisme $u~$ de $IR^6$ associé à un endomorphisme u de $R^4$ et détermination des plans stables par u