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SESSION 2002

Filière PC

(Epreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan)

MATHEMATIQUES

DUREE : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies.

Dans ce problème,

q : ℝ \to ℝ

désigne une fonction continue,

2π

-périodique. On examine certaines propriétés des solutions de l'équation différentielle

(H) (d^2 u)/(dt^2) + qu = 0

Nous étudions ensuite comment ces propriétés varient dans le cas de l'équation

(Hλ) (d^2 u)/(dt^2) + (q + λ)u = 0

paramétrée par

λ \in ℝ

. Par "solution de

(H)

ou de

(Hλ)

", nous entendons des solutions de classe

C^2

, définies sur

ℝ

, à valeurs réelles ou complexes. Nous dirons qu'une solution

u

(H)

ou de

(Hλ)

n'est pas nulle s'il existe

t

tel que

u(t) \neq 0

Propriétés élémentaires

On rappelle que, d'après le cours, il existe une et une seule solution

u

de (H

λ

) qui prenne, ainsi que sa dérivée, des valeurs prescrites

a

b

en un point donné

x_0 : u(x_0) = a, u^'(x_0) = b

. Utilisant ce résultat, nous notons

u_0, u_1

les solutions de

(H)

définies par les conditions

u_0(0) = u_1^'(0) = 1, u_0^'(0) = u_1(0) = 0

et nous formons la matrice

M = (u_0(2π), u_1(2π); u_0^'(2π), u_1^'(2π))

dont la trace

u_0(2π) + u_1^'(2π)

est notée

D

.
Q1. Montrer que

u_0 u_1^' - u_0^' u_1

est une fonction constante, égale à un.
Q2. Montrer que, pour toute solution de (H), à valeurs complexes, on a

((u(2π))/(u^'(2π))) = M((u(0))/(u^'(0)))

Plus généralement, donner une expression de

((u(2kπ))/(u^'(2kπ)))

lorsque

k \in ℤ

.
Q3.

Lorsque $|D| \neq 2$ , montrer que $M$ est diagonalisable.
Plus généralement, discuter la position des valeurs propres de $M$ dans le plan complexe, suivant la valeur de $D^2 - 4$ .

Q4.

Soit $U \in T^2$ un vecteur. Montrer qu'il existe une et une seule application $k \mapsto X^k$ , définie sur $ℤ$ (on dira "une suite") et à valeurs dans $𝒞^2$ , vérifiant $X^(k + 1) = MX^k$ et $X^0 = U$ .
Cas $|D| < 2$ . Montrer qu'une telle suite est toujours bornée.
Cas $|D| > 2$ . Montrer qu'une telle suite, lorsque $U \neq 0$ , ne peut pas être bornée.
Cas $|D| = 2$ . Montrer qu'au moins une telle suite, avec $U \neq 0$ , est bornée et que, pour que toutes ces suites soient bornées, il faut et il suffit que $M$ soit égale à $\pm I_2$ ( $I_2$ est la matrice identité).
Q5. On suppose que $|D| < 2$ .
Montrer qu'il existe une solution non nulle de (H) de la forme $t \mapsto e^(iαt)w(t)$ , où $w$ est une fonction $2π$ -périodique et $α \in ]0, 1/2[$ .
En déduire que toutes les solutions de (H) sont bornées.

Nombre de zéros des solutions réelles de (H)

Nous dirons qu'un nombre réel

t

est un zéro d'une fonction

f : ℝ \to ℝ

f(t) = 0

. Les solutions à valeurs réelles sont appelées solutions réelles.

Q6. Soient

y_0, y_1 : ℝ \to ℝ

deux solutions réelles de

(H)

, linéairement indépendantes. Nous notons

y

la fonction

y_0 + iy_1

(avec

i = \sqrt(- 1)

). C'est une autre solution, à valeurs complexes.

Montrer que $y$ ne s'annule en aucun point de $ℝ$ .
En déduire qu'il existe des fonctions $ρ > 0$ et $φ$ , réelles et de classe $C^2$ , telles que $y = ρe^(iφ)$ .
Montrer que $ρ^2 φ^'$ est une constante non nulle.
Montrer que la forme générale des solutions à valeurs réelles de $(H)$ est

u = Aρcos(φ - φ_0), A \in ℝ, φ_0 \in ℝ

En déduire que, si l'une des solutions réelles non nulles de $(H)$ s'annule une infinité de fois, alors toutes les solutions réelles de $(H)$ en font autant.
Q7. On suppose dans cette question que $|D| < 2$ . Montrer que toute solution réelle de (H) s'annule une infinité de fois. Pour cela, on considèrera une solution non nulle de la forme $y = e^(iαt)w(t)$ , où $w$ est une fonction $2π$ -périodique (voir la question Q5). On notera $y_0$ et $y_1$ ses parties réelle et imaginaire et on utilisera la question Q6.

Q8. On suppose qu'il existe une solution réelle de (H) qui ne s'annule qu'en un nombre fini de points.

Montrer qu'il existe une solution réelle $φ$ de $(H)$ , et un nombre réel $β > 0$ , tels que
(a) $φ(t + 2π) = βφ(t)$ pour tout $t \in ℝ$ ,
(b) $φ(t) > 0$ pour tout $t \in ℝ$ .
Montrer que $D \geq 2$ .
On note $σ = logφ$ . Calculer $σ^('') + (σ^')^2 + q$ et vérifier que $σ^'$ est $2π$ -périodique. En déduire que

\int_0^(2π)q(t)dt \leq 0

Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
4. Montrer que pour toute fonction

w : ℝ \to ℝ, 2π

-périodique et de classe

C^2

, on a

\int_0^(2π)qw^2 dt \leq \int_0^(2π)(w^')^2 dt

A quelle condition sur

w

a-t-on l'égalité ?
Q9. On suppose qu'il existe une solution non nulle

w

, réelle et

2π

-périodique, de

(H)

. Montrer que si

λ > 0

, toutes les solutions réelles de

(Hλ)

s'annulent une infinité de fois.

Q10. Montrer l'équivalence des propositions suivantes:

Il existe une solution de $(H)$ qui ne s'annule qu'en un nombre fini de points,
toute solution non nulle de $(H)$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points.

Q11. On suppose que les solutions réelles non nulles de

(H)

ne s'annulent qu'en un nombre fini de points. Soit

φ

comme en Q8.1. Etant donné un nombre

λ < 0

, on désigne par

ψ

la solution de (

Hλ

) qui satisfait les mêmes conditions initiales que

φ

ψ(0) = φ(0), ψ^'(0) = φ^'(0)

Montrer l'identité

φψ^('') - φ^' ψ + λ\int_0^t φψdx = 0

Soit $t_0 \in ℝ^*$ un zéro de $ψ$ , tel que $ψ$ ne s'annule pas entre 0 et $t_0$ . On souhaite établir une contradiction. Au moyen de l'identité ci-dessus, montrer que $t_0 ψ^'(t_0)$ est strictement positif. Puis, considérant les variations de $ψ$ , montrer que ce nombre est négatif.
En déduire que les solutions réelles non nulles de ( $Hλ$ ) ne s'annulent qu'un nombre fini de fois.

Q12. On suppose que

q(t) < 0

pour tout

t \in ℝ

. Montrer par un argument de convexité que les solutions réelles non nulles de (H) s'annulent au plus une fois.

Q13.

Finalement, montrer qu'il existe un nombre réel $λ_0$ , unique, satisfaisant les propriétés suivantes :
(a) pour $λ < λ_0$ , les solutions réelles non nulles de ( $Hλ$ ) ne s'annulent qu'un nombre fini de fois,
(b) pour $λ > λ_0$ , les solutions réelles de ( $Hλ$ ) s'annulent une infinité de fois,
Montrer les inégalités

- max_(t \in [0, 2π])q(t) \leq λ_0 \leq - 1/(2π)\int_0^(2π)q(t)dt

Etude de ( $Hλ_0$ )

Etant donné

λ \in ℝ

, on désigne par

u_(0λ)

u_(1λ)

les solutions de

(Hλ)

qui vérifient

u_(0λ)(0) = u_(1λ)^'(0) = 1, u_(0λ)^'(0) = u_(1λ)(0) = 0

et nous formons la matrice

M = (u_(0λ)(2π), u_(1λ)(2π); u_(0λ)^'(2π), u_(1λ)^'(2π))

dont la trace

u_(0λ)(2π) + u_(1λ)^'(2π)

est notée

D(λ)

. On admet que les applications

(λ, t) \mapsto u_(jλ)(t)

(λ, t) \mapsto u_(jλ)^'(t)

sont continues, pour

j = 1, 2

Q14. Montrer que

D(λ_0) \geq 2

.
Q15. D'après les questions Q8 et Q13, on sait que, pour

λ < λ_0

, il existe une solution

φ_λ

(Hλ)

, réelle, strictement positive, et un nombre

β(λ) > 0

tel que

φ_λ(t + 2π) = β(λ)φ_λ(t)

pour tout

t \in ℝ

Montrer qu'on peut choisir $φ_λ$ sous la forme

a(λ)u_(0λ) + b(λ)u_(1λ)

avec|a(λ) + ib(λ)| = 1

.
2. Montrer qu'il existe une suite

(μ_n)_(n \in ℕ)

, avec

μ_n < λ_0

, convergente vers

λ_0

. telle que

a(μ_n) + ib(μ_n)

converge vers une limite, qu'on notera

a_0 + ib_0

.
3. Définissons

ψ = a_0 u_(0λ_0) + b_0 u_(1λ_0)

. Vérifier que

ψ

est une solution non nulle de (

Hλ_0

) dont les valeurs sont strictement positives.
4. Montrer qu'il existe un nombre réel

β_0 > 0

tel que

ψ(t + 2π) = β_0 ψ(t)

pour tout

t \in ℝ

Q16. On garde les notations de la question précédente, et on suppose que

β_0 \neq 1

Montrer qu'il existe un intervalle ouvert $I$ , contenant $λ_0$ , et une application continue $β : I \to ℝ$ , telle que $β(λ)^2 - D(λ)β(λ) + 1 = 0$ et $β(λ_0) = β_0$ .
Vérifier que $M(λ_0) \neq β_0 I_2$ . Construire alors une application $λ \mapsto (A(λ), B(λ))$ , de $I$ dans $ℝ^2$ , telle que

((A(λ))/(B(λ)))

soit un vecteur propre de

M(λ)

, pour la valeur propre

β(λ)

.
3. Considérons, pour

λ > λ_0, λ \in I

, la solution

φ^λ = A(λ)u_(0λ) + B(λ)u_(1λ)

(Hλ)

. Montrer que

φ^λ

s'annule au moins une fois dans

[0, 2π]

.
Q17. En déduire que

β_0 = 1

. Qu'en déduisez-vous sur

D(λ_0)

?
Q18. Montrer que, si

λ_0 = - 1/(2π)\int_0^(2π)q(t)dt

alors

q

est une fonction constante.

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Propriétés élémentaires

Nombre de zéros des solutions réelles de (H)

Q13.

Etude de ( Hλ_0 )

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Etude de ( $Hλ_0$ )