ENS Mathématiques PC 2003Sujet et corrigé

SESSION 2003
Filière PC
MATHEMATIQUES

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Les définitions importantes sont signalées par un signe ⇝. Les résultats admis sont encadrés par des - Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Pour tout intervalle I ⊂ ℝ, et tout entier naturel k, on note simplement C^k(I) = C^k(I, ℝ) l'espace des fonctions de classe C^k sur I et à valeurs réelles. L'espace des fonctions continues, C^0(I), est noté C(I). Si I est un intervalle fermé [a, b], on note de plus C_0(I) l'espace des fonctions continues sur I s'annulant en a et b, et C_0^k(I) l'espace des fonctions de classe C^k sur I, nulles en a et b ainsi que toutes leurs dérivées jusqu'à l'ordre k. De façon analogue, C_0^k(ℝ) désigne l'espace des fonctions de classe C^k sur ℝ admettant des limites nulles en − ∞ et + ∞, ainsi que toutes leurs dérivées jusqu'à l'ordre k.

Dans tout le problème, E est une fonction à valeurs réelles de deux variables réelles, notées q et p, et E est supposée au moins de classe C^3, c'est-à-dire E ∈ C^3(ℝ × ℝ, ℝ). Les dérivées partielles premières de E sont ainsi notées

et les dérivées partielles secondes de E

Le problème concerne la minimisation de l'intégrale

pour ρ appartenant à un ensemble A de fonctions admissibles à préciser ( inclus dans C^1(I) ).

Soient a et b des nombres réels tels que a < b et

i)

Déterminer toutes les fonctions f ∈ C([a, b]) telles que, pour tout h ∈ B,

Indication : on pourra utiliser des fonctions h de la forme

ii)

Déterminer, en utilisant i), l'ensemble des couples (f, g) ∈ C([a, b]) × C([a, b]) tels que, pour tout h ∈ B,

Parmi ces couples, peut-on avoir g(x) = |x − (a + b)/2| ?

i)

On considère un arc de courbe défini par une équation cartésienne,

avec a < b et φ ∈ C^1([a, b]). quelle est la longueur de l'arc Γ ?
ii)

Soient α ∈ ]0, 2π[ et R > r > 0. Quelle est l'aire de

iii)

On suppose que l'arc Γ défini en i) ne coupe pas l'axe Ox et on considère Σ la surface de révolution obtenue par rotation de Γ autour de cet axe.

Vérifier cette formule dans le cas où Γ est un segment de droite. On pourra s'aider d'un dessin, et utiliser ii).

Soient I et J des intervalles de ℝ. On suppose que G ∈ C^1(J) ne s'annule pas. Soient a ∈ I, α ∈ J et ρ ∈ C^1(I, J) telle que ρ(a) = α et

pour tout x ∈ I. Calculer

Soient a et b des nombres réels tels que a < b. Comme dans la partie I, on notera

A toute fonction ρ ∈ C^1([a, b]) on associe le nombre réel

1
Soient ρ et h ∈ C^1([a, b]). On considère e_(ρ, h), la fonction d'une variable réelle t définie par

Montrer que e_(ρ, h) ∈ C^2(ℝ) et exprimer ses dérivées en 0

à l'aide de ρ, ρ^′, h, h^′ et des dérivées partielles de E.
2
Soient α et β ∈ ℝ. On suppose qu'il existe ρ ∈ C^1([a, b]) tel que ρ(a) = α et ρ(b) = β, réalisant le minimum de E[ρ] sous cette contrainte, c'est-à-dire :

i)

Soit h ∈ B. Quelle est alors la valeur de

ii)

Déduire de ce qui précède que la fonction

est de classe C^1 et telle que

pour tout x ∈ [a, b].
⇝ Désormais, on appelle extrémale de E toute fonction ρ ∈ A, au moins de classe C^2, telle que l'équation (2) soit satisfaite pour tout x ∈ [a, b].
iii)

Soit ρ une extrémale de E. Calculer

On se place dans le même cadre qu'à la question 2 ci-dessus, en supposant que (1) a lieu pour ρ de classe C^2.
i)

Soit h ∈ B. Quelle est le signe de

ii)

Déduire de ce qui précède que, pour tout h ∈ C^1([a, b]) ∩ C_0([a, b]) :

avec

A quelle(s) classe(s) C^k appartiennent P et Q ? On notera par la suite

i)

Dans cette question, on considère la fonction E(q, p) = √(1 + p^2). A quoi correspond, en langage commun, le problème de minimisation de E ? Trouver toutes les fonctions ρ satisfaisant l'équation (2). Montrer qu'il en existe une et une seule appartenant à l'ensemble A et l'expliciter. Pour cette solution et les fonctions P, Q définies par (4), l'inégalité (3) est-elle satisfaite?
ii)

Dans cette question, on considère la fonction E(q, p) = q√(1 + p^2). A quoi correspond le problème de minimisation de E ? Montrer que, si ρ satisfait (2), il existe une constante C telle que

Supposons 0 < C < α < β. Montrer, en utilisant la méthode de séparation de variables de la question I.3, que la recherche de fonctions ρ ∈ A, strictement croissantes et satisfaisant (5) sur [a, b], se ramène au calcul de la primitive d'une fonction que l'on explicitera.

NB : le calcul de la primitive n'est pas demandé.

On cherche ici des conditions sur les fonctions P et Q assurant l'inégalité (3), c'est-à-dire, avec la notation introduite à la question 3. ii),

i)

Montrer que (6) implique

Indication : on pourra construire une famille de fonctions auxiliaires g_ε ∈ C_0^1([ − ε, ε]), où ε > 0 est un paramètre destiné à tendre vers 0 telles que

pour un certain C > 0 indépendant de ε.
ii)

Supposons qu'il existe une fonction w ∈ C^1([a, b]) satisfaisant

pour tout x ∈ [a, b]. A-t-on alors (6) ? (On pourra interpréter (8) comme l'annulation du discriminant d'une forme quadratique.)

On suppose ici

Etant donné w ∈ C^1([a, b]), une solution u de l'équation différentielle du premier ordre

peut-elle s'annuler? Si une telle solution u est de classe C^2, exprimer (Pu^′)^′ sans utiliser u^′.
On suppose qu'il existe une solution v de classe C^2 de l'équation différentielle du second ordre

ne s'annulant pas sur [a, b]. Construire alors w ∈ C^1([a, b]) vérifiant (8) pour tout x ∈ [a, b].

Dans toute cette partie, la fonction E est choisie de la forme

où les fonctions F et K ∈ C^3(ℝ) satisfont les propriétés supplémentaires

On suppose pour fixer les idées α < β.

i)

Montrer qu'il existe une unique fonction polynomiale de degré 4 et de coefficient dominant 1 satisfaisant (12).
ii)

Pour tout nombre θ > 0, on définit A_θ^k(ℝ) comme l'ensemble des fonctions ρ ∈ C^k(ℝ) telles que
{ρ(x) − α = O(e^(θx)), et, pour tout m ≤ k, ρ^((m))(x) = O(e^(θx)), lorsque x → − ∞,; ρ(x) − β = O(e^(− θx)), et, pour tout m ≤ k, ρ^((m))(x) = O(e^(− θx)), lorsque x → + ∞.
Montrer que, si ρ ∈ A_θ^1(ℝ), alors la fonction x ↦ E(ρ(x), ρ^′(x)) est intégrable sur ℝ. Dans ce cas, on définit

⇝ Par extension de la définition donnée à la question II.2.ii), on appelle extrémale de E une fonction ρ appartenant à A_θ^2(ℝ) pour au moins un nombre θ > 0 et satisfaisant (2) pour tout x ∈ ℝ.
iii)

Montrer que pour toute extrémale de E, on a

pour tout x ∈ ℝ.

On suppose dans cette question que K est la fonction constante égale à K_0 et F la fonction polynomiale de la question 1.i) ci-dessus. En s'inspirant de la méthode de séparation de variables de la question I.3, calculer ρ satisfaisant (14) et

Déterminer les couples (θ, k) pour lesquels ρ ∈ A_θ^k(ℝ).
ii)

On revient au cas général. Montrer qu'il existe une fonction G ∈ C^2([α, β], ℝ^+)telle que

pour tout q ∈ [α, β]. Montrer de plus que

avec

quel que soit ρ_0 ∈ ]α, β[.
A quels A_θ^k(ℝ) appartient cette fonction ρ ?

Désormais, ρ désigne une solution croissante de (14), construite grâce à la question 2.ii) ci-dessus. On associe à ρ les fonctions P et Q comme dans la partie II, par les formules (4).
i)

Exprimer les fonctions P et Q à l'aide des fonctions K, F et ρ. Montrer que P et Q sont bornées sur ℝ, et que

ii)

Montrer que la fonction v = ρ^′ est solution de l'équation différentielle (9) sur ℝ.
iii)

Montrer qu'il existe C_1 et C_2 > 0 tels que pour tout x ∈ ℝ,

iv)

Soit ω > 0. En s'inspirant des question II.5.ii) et II.5.iii), montrer que

pour tout h ∈ C_0^1(ℝ) tel que