Centrale Mathématiques 1 PC 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Comportement asymptotique de suites et de séries à l'aide de fonctions intégrables

Le problème étudie le comportement asymptotique de suites et de séries en utilisant des propriétés de fonctions intégrables ou non intégrables, établies dans des préliminaires puis reprises dans la partie II. Les parties sont dans une large mesure indépendantes, puisqu'il suffisait d'admettre les résultats donnés pour poursuivre le problème.

1PréliminairesÉtablissement de deux résultats généraux sur l'intégrabilité comparée de deux fonctions, selon que la fonction de comparaison g est intégrable ou non.
2Partie IApplication des préliminaires au calcul d'équivalents d'intégrales, avec une question de programmation en calcul formel.
3Partie IIÉtude de l'intégrabilité d'une fonction f à partir du comportement asymptotique du quotient x f'(x)/f(x).
4Partie IIIÉtude du lien entre le comportement d'une série de terme général f(n) et l'intégrale de f, à l'aide d'un encadrement fin.
5Partie IVApplication des résultats précédents pour obtenir des équivalents de sommes classiques, dont la formule de Stirling.

Difficile. Le rapport parle explicitement de « médiocrité des résultats obtenus », due à des définitions et théorèmes mal connus et à des techniques de base non assimilées.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Définition de fonction intégrable mal connue · Théorèmes invoqués sans être énoncés · Oubli des valeurs absolues dans les majorations

Le rapport attribue la médiocrité des résultats à plusieurs facteurs : des définitions mal connues, en particulier celle de fonction intégrable sur laquelle repose tout le problème, des théorèmes cités sans être énoncés avec leurs hypothèses, des techniques de base insuffisamment assimilées (valeurs absolues, équivalents), et des hypothèses non vérifiées avant d'appliquer un résultat déjà établi.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Définition de fonction intégrable mal connue
La notion de fonction intégrable, sur laquelle repose tout le problème, n'est pas connue ou pas assimilée par de nombreux candidats.
« cʼest le cas en particulier pour la définition dʼune fonction intégrable »
2
Théorèmes invoqués sans être énoncés
Il ne suffit pas de dire « d'après un théorème du cours » : il faut énoncer le théorème avec ses hypothèses et sa conclusion, et justifier qu'il est applicable dans le cas présent.
« il ne suffit pas de dire « dʼaprès un théorème du cours », il faut énoncer le dit théorème avec hypothèses et conclusion »
3
Oubli des valeurs absolues dans les majorationsIIB et IIC
L'oubli des valeurs absolues dans les questions de majoration de fonctions enlève toute valeur au raisonnement ; la manipulation des équivalents sans précaution a conduit à des erreurs fatales en IIB et IIC.
« lʼoubli des valeurs absolues dans les questions de majoration de fonctions enlève toute valeur au raisonnement »
4
Hypothèses non vérifiées avant d'appliquer un résultat déjà établi
Pour appliquer un résultat établi précédemment, comme les préliminaires, il fallait vérifier soigneusement les hypothèses, en particulier si la fonction concernée était intégrable ou non.
« les hypothèses requises doivent être vérifiées soigneusement »
5
Paraphrase du texte prise pour une démonstration
Les candidats doivent être conscients que la paraphrase du texte ne constitue en aucun cas une démonstration, notamment pour les résultats des préliminaires.
« la paraphrase du texte ne constitue en aucun cas une démonstration »

Ce qui a été bien réussi

L'orthographe des candidats a été jugée plutôt satisfaisante.

Conseils du jury

Bien connaître les définitions du cours, en particulier celle de fonction intégrable, avant de les utiliser.
Énoncer complètement un théorème du cours (hypothèses et conclusion) et justifier qu'il s'applique au cas présent plutôt que de l'invoquer vaguement.
Vérifier soigneusement les hypothèses avant d'appliquer un résultat déjà établi dans le problème.
Soigner la présentation de la copie, qui peut rendre la compréhension de la réponse difficile même avec une bonne orthographe.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES I

Plan du problème

Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les applications intégrables. Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour établir les résultats de la partie II. Dans les parties III et IV, on étudie le comportement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui précèdent.

Rappels et notations

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s'annulant pas au voisinage d'un élément $b \in ℝ \cup { + \infty, - \infty}$ , sauf éventuellement en ce point. $f$ et $g$ sont dites équivalentes en $b$ si et seulement si leur quotient tend vers 1 en $b$ . On notera alors $f \sim g$ en $b$ . $f$ est dite négligeable devant $g$ en $b$ si et seulement si le quotient $f/g$ tend vers 0 en $b$ . On notera alors $f = o(g)$ en $b$ .
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles de termes non nuls à partir d'un certain rang. Les suites ( $u_n$ ) et ( $v_n$ ) sont dites équivalentes si et seulement si la suite ( $w_n$ ) définie pour $n$ assez grand par $w_n = (u_n)/(v_n)$ converge vers 1 ; on note alors $u_n \sim v_n$ . La suite ( $u_n$ ) est dite négligeable devant ( $v_n$ ) si et seulement si ( $w_n$ ) converge vers 0 ; on note alors $u_n = o(v_n)$ .
Pour une série $\sumu_n$ de nombres réels, on note $(S_n)_(n \in 𝕀)$ la suite de ses sommes partielles :

pour n \in ℕ, S_n = \sum_(k = 0)^n u_k.

Si de plus

\sumu_n

est convergente, on note

(R_n)_(n \in ℕ)

la suite de ses restes:

pour n \in ℕ, R_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)u_k.

ln désigne le logarithme népérien.

Filière PC

Préliminaires

Soit

a \in ℝ

b \in ]a, + \infty[ \cup { + \infty}, f

g

deux applications continues par morceaux sur

[a, b[

à valeurs strictement positives.

On suppose que $g$ est intégrable sur $[a, b[$ .
a) Montrer qu'en $b$ , la relation $f = o(g)$ entraîne

\int_x^b f = o(\int_x^b g)

b) Montrer qu'en

b

, la relation

f \sim g

entraîne

\int_x^b f \sim \int_x^b g

(on justifiera l'intégrabilité de

f

sur les intervalles [

x, b[

considérés).
2) On suppose que

g

n'est pas intégrable sur

[a, b[

.
a) Montrer qu'en

b

, la relation

f = o(g)

entraîne

\int_a^x f = o(\int_a^x g)

Montrer à l'aide d'exemples que l'on ne peut en général rien dire de l'intégrabilité de

f

sur

[a, b[

.
b) Montrer qu'en

b

, la relation

f \sim g

entraîne

\int_a^x f \sim \int_a^x g

Que dire de l'intégrabilité de

f

sur

[a, b[

Partie I -

I.A -

I.A.1) Déterminer un équivalent simple de

\int_x^1(e^t)/(Arcsint)dt

0^+

.
I.A.2) En déduire un équivalent simple de

\int_(x^3)^(x^2)(e^t)/(Arcsint)dt

0^+

I.B -

I.B.1) À l'aide d'une intégration par parties, montrer qu'en

+ \infty

, on a

\int_2^x(dt)/(ln(t)) \sim x/(ln(x))

I.B.2) Plus généralement, si

n

est un entier naturel, établir le développement asymptotique suivant en

+ \infty

\int_2^x(dt)/(ln(t)) = \sum_(k = 0)^n(k!x)/(ln^(k + 1)(x)) + o(x/(ln^(n + 1)(x)))

I.C -

I.C.1) Justifier le développement asymptotique suivant en

+ \infty

\int_1^x(e^t)/(t^2 + 1)dt = (e^x)/(x^2) + (2e^x)/(x^3) + o((e^x)/(x^3))

I.C.2) Écrire, dans le langage associé au logiciel de calcul formel utilisé, une procédure permettant d'obtenir le terme d'indice

n(n \geq 2)

du développement asymptotique en

+ \infty

(par rapport aux

(e^x)/(x^k), k \geq 2

) de :

x \mapsto \int_1^x(e^t)/(t^2 + 1)dt

(on indiquera le logiciel de calcul formel utilisé).

Partie II -

Soit

a

un nombre réel et

f

une application de classe

C^1

sur

[a, + \infty[

à valeurs strictement positives. On suppose que le quotient

(xf^'(x))/(f(x))

tend vers une limite finie

α

+ \infty

.
II.A - Montrer à l'aide des préliminaires qu'en

+ \infty, (ln(f(x)))/(ln(x))

tend vers

α

(on peut distinguer le cas

α = 0

).
II.B - On suppose dans cette question

α < - 1

.
II.B.1) Montrer que

f

est intégrable sur [

a, + \infty

[ .
II.B.2) Montrer qu'en

+ \infty

, on a

\int_x^(+ \infty)f \sim (- xf(x))/(α + 1)

(on peut considérer

(xf(x))/(α + 1)

et utiliser les préliminaires).
II.C - On suppose dans cette question

α > - 1

.
II.C.1) Étudier l'intégrabilité de

f

sur

[a, + \infty[

.
II.C.2) Montrer qu'en

+ \infty

, on a

\int_a^x f \sim (xf(x))/(α + 1)

II.C.3) Donner un exemple d'application

f

de classe

C^1

sur

[a, + \infty[

à valeurs
strictement positives telles qu'en

+ \infty

le quotient

(ln(f(x)))/(ln(x))

tende vers une limite

α > - 1

, mais telle que l'on n'ait pas

\int_a^x f \sim (xf(x))/(α + 1)

II.D -

II.D.1) Étudier l'intégrabilité sur

[2, + \infty[

des applications

x \mapsto 1/(x(lnx)^β)

, selon

β \in ℝ

.
II.D.2) Étudier, à l'aide des questions précédentes, l'intégrabilité sur [2,

+ \infty

[ des applications

x \mapsto 1/(x^γ(lnx)^β)

, selon

β \in ℝ

γ \in ℝ

.
II.E - Que conclure quant à l'intégrabilité de

f

sur

[a, + \infty[

dans le cas

α = - 1

Partie III -

Dans cette partie, on considère une application

f

de classe

C^1

sur

ℝ^+

, à valeurs strictement positives.
On suppose qu'en

+ \infty, (f^'(x))/(f(x))

tend vers

α \in ℝ

.
On considère la série de terme général

f(n)

. On note

(S_n)_(n \in ℕ)

la suite de ses sommes partielles et

(R_n)_(n \in IN)

la suite de ses restes quand la série converge.
On associe à

f

deux applications

u

v

continues par morceaux sur

ℝ^+

et définies par:
pour tout

n \in ℕ^*

et tout

x \in [n - 1, n[, u(x) = f(n)

v(x) = \int_(n - 1)^n f(t)dt

.
On pose enfin pour tout

x \in ℝ^+, h(x) = e^(- αx)f(x)

.
III.A - Soit

ε > 0

fixé.

Montrer l'existence de

n_0 \in ℕ^*

tel que pour tout entier

n \geq n_0

et tout

t \in [n - 1, n]

, on ait:

|h(t) - h(n)| \leq (e^ε - 1)h(n)

(on peut considérer

(h^')/h

).
III.B - On suppose dans cette question que

α

n'est pas nul. Déduire de III.A que lorsque

n

tend vers

+ \infty

, on a

\int_(n - 1)^n f(t)dt \sim (1 - e^(- α))/αf(n)

III.C - On suppose encore dans cette question que

α

n'est pas nul.
III.C.1) Exprimer pour

k \in ℕ^*

les intégrales

\int_(k - 1)^k v(t)dt

\int_(k - 1)^k u(t)dt

à l'aide de

f

À l'aide des préliminaires, établir les résultats suivants :
III.C.2) Si

f

est intégrable sur

ℝ^+

, alors la série de terme général

f(n)

converge et on a quand

n

vers

+ \infty

R_n \sim α/(1 - e^(- α))\int_n^(+ \infty)f(t)dt

III.C.3) Si

f

n'est pas intégrable sur

ℝ^+

, alors la série de terme général

f(n)

diverge et on a quand

n

vers

+ \infty

S_n \sim α/(1 - e^(- α))\int_0^n f(t)dt

III.D - On suppose à présent que

α = 0

Montrer alors que la série de terme général

f(n)

est convergente si et seulement si

f

est intégrable sur

ℝ^+

, avec

R_n \sim \int_n^(+ \infty)f(t)dt

en cas de convergence et

S_n \sim \int_0^n f(t)dt

en cas de divergence.

Partie IV -

IV.A - À l'aide de ce qui précède, déterminer un équivalent simple des sommes suivantes quand

n

tend vers

+ \infty

:
IV.A.1)

\sum_(k = 1)^n 1/k

IV.A.2)

\sum_(k = 1)^n ln(k)

IV.A.3)

\sum_(k = 1)^n 2^k ln(k)

IV.B - Soient

(a_n)_(n \in ℕ)

(b_n)_(n \in ℕ)

deux suites réelles strictement positives équivalentes.
On note pour tout

n \in ℕ

S_n(a) = \sum_(k = 0)^n a_k et S_n(b) = \sum_(k = 0)^n b_k

Dans le cas où ces séries convergent, on note pour tout

n \in ℕ

R_n(a) = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)a_n et R_n(b) = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)b_n

IV.B.1) Montrer que si

\suma_n

converge, alors quand

n

tend vers

+ \infty

, on a

R_n(a) \sim R_n(b)

.
IV.B.2) Montrer que si

\suma_n

diverge, alors quand

n

tend vers

+ \infty

, on a

S_n(a) \sim S_n(b)

.
IV.C - Déduire de ce qui précède les résultats suivants lorsque

n

tend vers

+ \infty

: IV.C.1)

\sum_(k = 1)^n 1/k = ln(n) + γ + 1/(2n) + o(1/n)

IV.C.2)

n! = δn^(n + 1/2)e^(- n)(1 + 1/(12n) + o(1/n))

où

γ

δ

sont deux constantes qu'on ne demande pas d'expliciter.
IV.C.3) Que vaut

δ

FIN •••

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PC Centrale 2003 ?

Le sujet porte sur l'intégrabilité des fonctions, la comparaison de fonctions (équivalents, négligeabilité), les séries numériques et les développements asymptotiques, avec une question de calcul formel.

Ce sujet de maths 1 PC Centrale 2003 est-il difficile ?

Le rapport parle de « médiocrité des résultats obtenus », due à des définitions et théorèmes mal maîtrisés et à des techniques de base insuffisamment assimilées.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 PC Centrale 2003 ?

Le jury relève une définition de fonction intégrable mal connue, des théorèmes cités sans être énoncés, l'oubli de valeurs absolues dans les majorations (erreurs fatales en IIB et IIC), et des hypothèses non vérifiées avant d'appliquer un résultat déjà établi.

Ce sujet de maths 1 PC Centrale 2003 est-il faisable en première année ?

Les sources ne permettent pas de répondre à cette question : le rapport ne précise pas le niveau de programme visé par le sujet.

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