Centrale Mathématiques 1 PC 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

On dit qu'une suite réelle a = (a_n)_(n ∈ ℕ) est ultimement périodique lorsqu'elle est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe n_0 ∈ ℕ et p ∈ ℕ^∗ tels que :

(L'entier p est une période de la suite (a_n)_(n ≥ n_0) ).
On note UP l'ensemble des suites ultimement périodiques de réels.
L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples.

I.A - Montrer que UP est un sous espace vectoriel de l'espace ℝ^ℕ des suites réelles. Est-il de dimension finie?
I.B - Soit a = (a_n)_(n ∈ ℕ) un élément de UP et 𝒫(a) l'ensemble des entiers p ≥ 1 tels que la suite a admette p pour période à partir d'un certain rang.
I.B.1) Montrer qu'il existe un entier T ≥ 1 (que l'on appellera la période de a) tel que :

Que peut-on dire de la suite lorsque T = 1 ?
I.B.2) Montrer qu'il existe un plus petit entier n_0 tel que:

Montrer que, pour tout p ∈ 𝒫(a), n_0 est le plus petit entier à partir duquel la suite (a_n)_(n ∈ ℕ) devient p-périodique. Combien de paramètres réels suffisent à définir parfaitement a ?
I.C - Soit a = (a_n)_(n ∈ ℕ) un élément de UP.
I.C.1) Montrer que a est bornée et que le rayon de convergence R_a de la série entière ∑a_n x^n est strictement positif. À quelle condition nécessaire et suffisante R_a est-il égal à + ∞ ? Que vaut-il sinon?
I.C.2) Montrer que la somme de cette série est une fraction rationnelle. Dans quel cas est-ce un polynôme?

I.D - Soit ∑a_n x^n une série entière de rayon de convergence R > 0, dont la somme est la restriction à ] − R, R[ d'une fraction rationnelle.
La suite (a_n)_(n ∈ ℕ) est-elle ultimement périodique?

On définit la suite (F_n)_(n ∈ ℕ) par:

et la suite (a_n)_(n ∈ 𝕀ℕ) par a_n = 0 si F_n est pair et a_n = 1 sinon. La suite (a_n)_(n ∈ 𝕀ℕ) est-elle ultimement périodique?
Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière ∑a_n x^n.

On définit maintenant la suite (a_n)_(n ∈ ℕ) par :

II.B.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑a_n x^n.

On note S sa somme.
II.B.2) Trouver une relation liant S(x) et S(x^2).

En déduire que, pour tout x, x ∈ ] − 1, 1[,

II.B.3) Étudier, pour n donné dans ℕ,

et en déduire que (a_n)_(n ∈ ℕ) n'est pas ultimement périodique.

Soit x = a/b un rationnel strictement positif, donné sous forme irréductible.
On définit deux suites d'entiers (r_n)_(n ∈ ℕ) et (d_n)_(n ∈ ℕ) par :

Déterminer d_0, d_1, …, d_(10).
II.C.2) Montrer que la suite (r_n)_(n ∈ ℕ) est ultimement périodique. Qu'en est-il de (d_n)_(n ∈ ℕ) ?
II.C.3) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, 0 ≤ d_n ≤ 9.
II.C.4) Établir l'égalité :

Le but de cette partie est de montrer que le réel π n'est pas un élément de smb. E = C^∞(ℝ, ℝ) est l'espace des fonctions de classe C^∞ de ℝ dans lui-même. Pour tout élément f de E, on note F l'application de ℝ dans ℝ définie par :

III.A - L'application de E qui à tout élément f associe F est notée L. Vérifier que L est une application linéaire de E dans E.
III.B - On considère dans cette question un élément f de E supposé borné sur ℝ et on note M = ‖f‖_(∞, ℝ) = sup_(x ∈ ℝ)|f(x)|.
III.B.1) Montrer que, pour tout x de ℝ,

III.B.2) On définit une suite d'éléments de E par f_0 = f et, pour tout n de ℕ, f_(n + 1) = L(f_n).
Montrer que, pour tout n de ℕ^∗ et tout x de ℝ,

III.B.3) Soit I un segment quelconque de ℝ. Montrer que pour tout n, f_n est bornée sur I et lim_(n → + ∞)(sup_(x ∈ I)|f_n(x)|) = 0.
III.C - On prend maintenant dans cette question et dans les suivantes f = sin, et on considère la suite de fonctions définie comme dans la question précédente.
III.C.1) Déterminer les fonctions f_1 et f_2.
III.C.2) Montrer que, pour tout n de IN* et tout x de IR,

III.D - Pour p ∈ ℕ, on note F_p le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynômes de degré au plus p.
III.D.1) On définit :

Vérifier que H est un automorphisme de F_p × F_p.
III.D.2) On désigne par S l'ensemble des fonctions paires de F_p, par A celui des fonctions impaires.
Montrer que H(S × A) = A × S.
III.D.3) On considère la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ 𝕀ℕ) définie dans la question III.C. Montrer que pour tout n de ℕ, il existe un couple unique de fonctions P_n et Q_n de F_n, P_n paire et Q_n impaire, telles que :

Déterminer P_n et Q_n pour n = 0, 1, 2.
III.D.4) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ℝ,

En déduire que les fonctions P_n sont des polynômes à coefficients entiers.
III.E - On suppose ici que le réel π est élément de smb, ensemble des nombres rationnels.
Soit donc p élément de ℤ et q élément de ℕ^∗ tels que π = p/q.
III.E.1) Montrer que la suite

est une suite d'entiers. Quelle est sa limite?
III.E.2) En déduire que π n'est pas rationnel.

Soit (a_n)_(n ∈ ℕ) la suite définie par, pour tout n de ℕ, a_n = 1 si sinn > 0, a_n = 0 sinon.
Le but de cette partie est d'étudier si cette suite à valeurs entières est élément de UP.
IV.A - On suppose que cette suite est ultimement périodique.
IV.A.1) Montrer qu'il existe un entier N et un entier strictement positif T tels que, pour tout entier k supérieur ou égal à N, le signe de sin(kT) soit constant.
IV.A.2) En déduire que la suite (cos(kT))_(k ∈ ℕ) est composée de réels strictement positifs à partir d'un certain rang.
IV.B - Soit G = ℤT + 2πℤ = {nT + 2kπ, (n, k) ∈ ℤ^2}.
IV.B.1) Montrer que G est un sous-groupe additif de ℝ. Existe-t-il a ∈ ℝ tel que G = aℤ ?
IV.B.2) On pose G^+ = G ∩ ℝ^(+ ∗) (ensemble des éléments strictement positifs de G ). Montrer que G^+possède une borne inférieure a.
IV.B.3) On suppose a ∈ G^+. Montrer que G = aℤ.
IV.B.4) a n'est donc pas élément de G^+. Supposant a > 0, montrer que l'on peut trouver deux éléments g et g^′ de G^+tels que a < g^′ < g < 2a. En déduire a = 0.

IV.C.1) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, il existe g_n ∈ G tel que 0 < g_n < 10^(− n).
IV.C.2) Soit x un réel.

Construire une suite d'éléments de G convergeant vers x.

IV.D.1) Montrer l'existence d'une suite d'entiers positifs (k_n)_(n ∈ ℕ) telle que la suite (cos(k_n T))_(n ∈ 𝕀) converge vers -(1/2) .
Montrer que l'ensemble {cos(k_n T), n ∈ ℕ} des termes de cette suite n'est pas de cardinal fini.
IV.D.2) Construire alors une suite strictement croissante (y_n)_(n ∈ ℕ) extraite de (k_n)_(n ∈ IN) telle que la limite de (cos(y_n T))_(n ∈ IN) soit − (1/2).
IV.D.3) La suite (a_n)_(n ∈ ℕ) est-elle ultimement périodique ? ^c