Centrale Physique 1 PC 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Coefficients de réflexion et de transmission
Interféromètre de Michelson et lame d'air
Localisation des franges d'interférences
Coin d'air
Développements limités appliqués à l'optique

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BanqueCentrale Année2005 FilièrePC MatièrePhysique

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Physique I Centrale PC : capteur interférométrique de déplacement ou de déformation

Le sujet étudie un capteur interférométrique de déplacement ou de déformation fondé sur la modulation d'un réseau de franges créé par une lame d'air entre deux lames de verre, observé par une caméra CCD. Il porte essentiellement sur l'optique de seconde année : coefficients de réflexion et transmission, interférences par lame d'air et coin d'air, puis une méthode de décalage de phase pour améliorer le contraste des images.

1Partie I : présentation du dispositifCoefficients de réflexion et de transmission d'une lame de verre, rapport des amplitudes des rayons émergents.
2Partie II : utilisation en lame à faces parallèlesInterférences produites par une lame d'air, calcul de la différence de marche, rayons des anneaux et méthode de suivi de franges circulaires.
3Partie III : utilisation en coin d'airInterférences produites par un coin d'air et méthode de suivi des niveaux de gris.
4Partie IV : méthode de décalage de phase (Phase Shifting)deuxième annéeMéthode indépendante des parties précédentes visant à améliorer le contraste des images obtenues.

Difficulté moyenne. Le rapport signale peu de très mauvaises copies et une progressivité du problème qui a permis de bien évaluer les candidats, tout en relevant de nombreuses difficultés sur le concept de localisation des franges qui a été très sélectif.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Coefficient de réflexion négatif mal interprété · Localisation des anneaux mal justifiée · Sens de variation du rayon des anneaux inversé

La progressivité du problème a permis de mesurer le travail des candidats, avec peu de très mauvaises copies. Le sujet a fait apparaître de nombreuses difficultés sur le concept de localisation des franges, qui sous-tendait la compréhension de nombreuses questions et a fortement avantagé les candidats à l'aise sur ce thème.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Coefficient de réflexion négatif mal interprétéI.B
Un nombre étonnamment grand de candidats interprète un coefficient de réflexion négatif comme un changement du sens de propagation de l'onde réfléchie ou une absence d'onde réfléchie.
2
Localisation des anneaux mal justifiéeII.A
Si 88% des candidats savent que le dispositif produit des anneaux, seuls 23% justifient correctement que ceux-ci ne sont pas localisés.
3
Sens de variation du rayon des anneaux inverséII.B
85% des candidats ont affirmé, à tort, que le rayon des anneaux augmente quand l'épaisseur de la lame de verre diminue.
4
Intérêt de l'élargissement de la source mal identifiéII.A
Le brouillage dû à l'élargissement d'une source est bien connu, mais presque tout le monde oublie que l'intérêt principal de cette action est d'augmenter la luminosité.
5
Chiffres significatifs excessifsII.A
Le jury a dû une nouvelle fois refuser les résultats numériques comportant plus de chiffres significatifs que les données, dans un problème centré sur la précision des mesures.

Ce qui a été bien réussi

Les amplitudes des différents rayons émergeant de la lame à faces parallèles sont bien calculées dans l'ensemble.
Le calcul de la différence de marche pour la lame d'air est correctement mené dans l'ensemble.
Le calcul des rayons des anneaux observés, partie très classique, a été très correctement traité.

Conseils du jury

Bien maîtriser la notion de localisation des franges, qui conditionne la compréhension de nombreuses questions du sujet.
Vérifier la cohérence physique des résultats numériques obtenus, en particulier leur ordre de grandeur.
Adapter le nombre de chiffres significatifs des applications numériques à la précision des données de l'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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PHYSIQUE I

Étude d'un capteur interférométrique de déplacement ou de déformation

Les capteurs interférométriques sont utilisés dans des domaines très variés, tels que la détection de flux de radiation, le suivi d'objets en déplacement et leur positionnement, le contrôle de la qualité de surfaces d'objets, etc.... Ce problème étudie un capteur interférométrique de déplacement ou de déformation, basé sur la modulation d'un réseau d'interférences créé par une lame d'air comprise entre deux lames de verre.

Partie I - Présentation du dispositif

Le capteur est schématisé sur la figure 1:
Il est constitué de deux lames de verre rectangulaires (

10 cm \times 12 cm

), de 2 mm d'épaisseur, qui peuvent former un coin d'air ou être disposées parallèlement. Sa structure comporte les éléments principaux suivants :

le bâti principal qui sert de base rigide à l'ensemble des composants,

Figure 1 : principaux éléments du capteur

la table de translation horizontale. Elle assure le contrôle de l'épaisseur de la cavité qui peut être ajustée entre 0 mm (les deux lames sont en contact) et 66 mm ,
une équerre ( $E1$ ) verticale, solidaire de la table de translation. Elle est évidée en son centre pour laisser passer le faisceau laser de lecture. Elle supporte la lame de verre dite de «lecture» qui pourra donc être translatée.
une équerre ( $E2$ ) verticale, fixe, dont le plan est perpendiculaire à l'axe de translation horizontal de l'équerre ( $E1$ ). Elle est évidée en son centre (l'intérêt de ce trou apparaîtra dans la partie II.B). Elle supporte la lame de verre dite «d'entrée» qui peut être orientée grâce à un dispositif précis et sans jeu.
En éclairant le capteur par un faisceau lumineux cohérent continu (laser He-Ne ), parallèle ou divergent, on observe des franges d'interférence rectilignes

Filière PC

ou circulaires dont les propriétés sont définies par l'épaisseur optique de la cavité formée par les deux lames. Toute déformation ou déplacement de l'une ou l'autre des deux lames introduit un changement dans l'épaisseur de la cavité d'air qui se traduit par la modification spatiale du réseau de franges d'interférences. Celui-ci est enregistré périodiquement par une caméra CCD numérique associée à un système d'acquisition et de traitement d'images. Le suivi du mouvement de ces franges permet l'analyse temporelle de la réponse du capteur.
Les différents éléments qui constituent ce dispositif expérimental sont :

le capteur interférométrique qui est disposé sur une table anti-vibration,
le laser continu He-Ne (laser de lecture, de longueur d'onde dans le vide $λ = 632 nm$ et de puissance $P = 6 mW$ ) qui illumine l'interféromètre et crée le réseau de franges,
l'optique d'adaptation, constituée de lentilles, pour éclairer le plus uniformément possible, la cavité sur une surface d'environ $7 cm^2$ ,
une lame semi-réfléchissante qui permet d'observer les interférences,
l'ensemble de détection constitué d'une caméra CCD et de son système d'acquisition associé.

I.A - Coefficients de réflexion et de transmission

On considère deux milieux diélectriques, linéaires, homogènes, isotropes et transparents (les indices optiques

n_1

n_2

sont donc réels) séparés par une surface que l'on peut confondre localement avec son plan tangent d'équation

z = 0

Une onde électromagnétique (

E_-\to_i, B_-\to_i

) plane, progressive, monochromatique et polarisée rectilignement se propage dans le milieu (1) dans une direction

e⃗_z

.
Cette onde arrive à l'interface séparant le milieu (1) du milieu (2) et donne naissance :

à une onde plane réfléchie de même pulsation $(E⃗_-_r, B⃗_-_r)$ ,
et à une onde plane transmise de même pulsation ( $E⃗_-_(tr), B⃗_-_(tr)$ ).

Pour tout champ de vecteur

X⃗_-

variant sinusoïdalement, on posera

X⃗_- = X_0^(\to-)e^(jωt)

I.A.1) Rappeler, en tenant compte de l'absence de charges et de courants libres, la relation de passage sur le dioptre

z = 0

vérifiée par les champs

E⃗

. En déduire une relation entre

E⃗_-_(0i), E⃗_-_(0r)

E⃗_-_(0tr)

.
I.A.2) En procédant de même, donner une relation entre

B⃗_-_(0i), B⃗_-_(0r)

B⃗_-_(0tr)

. Rappeler les expressions de

B⃗_i, B⃗_r

B⃗_(tr)

en fonction de

E⃗_i, E⃗_r, E⃗_(tr), e⃗_z, n_1, n_2

c

vitesse de propagation de la lumière dans le vide et en déduire une relation entre

E⃗_-_(0i), E⃗_-_(0r), E⃗_-_(0tr), n_1

n_2

.
I.A.3) Déduire des questions précédentes les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude :

r_(1 \to 2) = (E_-_(0r))/(E_-_(0i)) et t_(1 \to 2) = (E_-_(0tr))/(E_-_(0i)).

I.B - On suppose que les lames de l'interféromètre sont taillées dans du verre d'indice

n = 1, 5

et que l'indice de l'air est

n_0 = 1, 0

. Déterminer les coefficients de réflexion

r_1 = r_(air \to verre)

r_2 = r_(verre \to air)

ainsi que les coefficients de transmission

t_1 = t_(air \to verre)

t_2 = t_(verre \to air)

. Quelle est la conséquence du signe de

r_1

?
Dans la suite du problème on utilisera ces coefficients de réflexion et de transmission pour le signal lumineux noté

s

I.C - Rapport des amplitudes

Les différents rayons réfléchis sont repérés de la façon suivante (figure 3) :

0 pour le premier rayon réfléchi;
$a_1, a_2, a_3, \dots, a_N, \dots$ pour les autres rayons ne franchissant pas la première lame de verre ( $N$ entier strictement positif) ;
$b_1, b_2, b_3, \dots, b_N, \dots$ pour les rayons se pénétrant pas dans la deuxième lame de verre ( $N$ entier strictement positif) ;
$c_1, c_2, c_3, \dots, c_N, \dots$ pour les rayons se

Figure 3 : rayons réfléchis sur l'interféromètre

réfléchissant sur la face inférieure de la deuxième lame de verre (

N

entier strictement positif);

Remarques:

il existe d'autres types de rayons dont on ne tiendra pas compte dans ce problème ;
on admet que les coefficients calculés à la question I.A. 3 restent valables pour des rayons faiblement inclinés.
I.C.1) Déterminer le rapport des amplitudes $s_0/s_(incident)$ en fonction de $r_1$ .
I.C.2) Déterminer l'expression de $s_(a_N)/s_(incident)$ , en fonction de $t_1, t_2, r_2$ et $(2N - 1)$ .
I.C.3) Déterminer l'expression de $s_(b_N)/s_(incident)$ , en fonction de $t_1, t_2, r_1$ et $(2N - 1)$ .
I.C.4) Déterminer l'expression de $s_(c_N)/s_(incident)$ , en fonction de $t_1, t_2, r_2$ et $(2N - 1)$ .
I.C.5) Quels rayons doit-on alors considérer dans l'étude des interférences par réflexion et pourquoi (on justifiera en s'aidant des applications numériques) ? Comment peut-on modifier les lames de verre pour ne pouvoir considérer que les rayons $a_1$ et $b_1$ ?
Dans la suite du problème :
on admet que seuls les rayons $a_1$ (noté 1) et $b_1$ (noté 2) interfêrent et qu'ils ont la même amplitude,
on ne tient pas compte des changements de phase par réflexion.

Partie II - Utilisation en lame à faces parallèles

II.A - Interférences produites par une lame d'air

II.A.1) Modélisation de l'interféromètre.

Figure 4 : modélisation de l'interféromètre

Dans la suite du problème on modélise l'interféromètre par une lame d'air située entre deux lames infiniment minces

L_1

L_2

semi-réfléchissantes, parallèles et distantes de

e

(figure 4).
Justifier brièvement cette modélisation. Déterminer en fonction de

n, e

i

, la différence de marche

δ_(2/1)

que présente, dans un plan perpendiculaire aux rayons 1 et 2 , le rayon réfléchi 2 par rapport au rayon réfléchi 1.
Dans la suite du problème on ne fera plus apparaître l'indice

n

car

n = 1, 0

.
II.A.2) Cas d'une source ponctuelle à distance finie.

Linterféromètre est éclairé par une source ponctuelle monochromatique de longueur d'onde

λ

, placée en

S

sur l'axe

O_1 x

à une distance

O_1 S = d

de la lame. On observe les interférences, par réflexion, sur un écran

E

placé à une distance

D

O_1

. On suppose qu'un écran opaque

P

supprime la lumière directe de

S

sur

E

.
a) Montrer que le dispositif est alors équivalent à deux sources ponctuelles

Figure 5 : lame d'air et source ponctuelle à distance finie

placées en

S_1

S_2

. Déterminer les longueurs

S_1 O_1

S_2 O_1

. On pose

a = S_2 S_1

. Donner l'expression de

a

. Quelle distance

D_T

sépare l'écran du milieu de

[S_1 S_2]

?
b) Qu'observe t-on sur l'écran ? Justifier sans calcul. Les interférences obtenues par ce dispositif sont-elles localisées ?
c) Soit

M

un point de l'écran situé à une distance

ρ

du point

O

. Déterminer, en fonction de

a, λ, D_T

ρ

, l'expression du déphasage

φ_(2/1)(ρ)

M

de l'onde
issue de

S_2

par rapport à celle issue de

S_1

. On donnera le résultat sous la forme d'un développement limité d'ordre 2 en

ρ

(

M

reste au voisinage du point

O

).
d) Soit

I_0

l'intensité lumineuse du faisceau issu de la source

S_1

(et donc de

S_2

). Etablir l'expression de l'intensité

I(ρ)

d'un point

M

de l'écran en fonction de

I_0

a, λ, D_T

ρ

.
e) Donner l'expression de l'ordre d'interférence

p_0

au centre de la figure. On suppose que le centre de la figure correspond à un maximum de luminosité. Que peut-on en conclure sur

p_0

? On numérote les franges lumineuses à partir de

O

par l'entier

K

(valeur nulle au centre). Exprimer le rayon

ρ_K

K^(ieme)

anneau lumineux en fonction de

D_T, K

p_0

. En déduire l'expression de

ρ_(K + 1)/ρ_K

en fonction de

K

.
f) Application numérique : on mesure sur l'écran

ρ_1 = 6, 6 mm

. En déduire

ρ_2

ρ_3

. Sachant que

λ = 632 nm, D = 80 cm

d = 20 cm

, calculer

e

.
Que pensez vous de la précision de la mesure de

e

?
g) Qu'observe t-on sur l'écran si l'on augmente progressivement la taille de la source

S

? Proposer une explication qualitative du phénomène.
II.A.3) Cas d'une source étendue à distance finie.

L'interféromètre est éclairé par une source étendue monochromatique de longueur d'onde

λ

.
a) Soit un point de la source émettant un rayon lumineux sous une incidence

i

. Rappeler l'expression, en fonction de

i

e

, de la différence de marche

δ_(2/1)

que présentent, dans un plan perpendiculaire aux rayons 1 et 2 , le rayon réfléchi 2 par rapport au rayon réfléchi 1 .
b) La différence de marche précédente ne dépend que de l'incidence

i

et pas du point

Figure 6 : lame d'air et source étendue à distance finie

de la source. Que peut-on en conclure sur la localisation des franges d'interférences? La largeur de la source intervient-elle sur le contraste? Que détermine t-elle?
c) Donner l'expression de l'intensité

I(i)

obtenue à l'infini dans la direction

i

en fonction de

e, i

I_0

l'intensité lumineuse que l'on aurait sur l'écran si seule la lame

L_1

était présente.
II.A.4) Observation avec une caméra CCD .

L'interféromètre, modélisé par une lame d'air, est éclairé par le laser de lecture. Grâce à la lame semi-réfléchissante et à la caméra CCD on enregistre la figure d'interférence. La caméra est réglée, dans un premier

Figure 7 : enregistrement de la figure d'interférence

temps, pour que le plan d'observation (capteur CCD) soit confondu avec le plan focal image de l'objectif de la caméra assimilé à une lentille convergente de focale

f^' = 50 mm

.
a) Soit

M

un point du capteur CCD. On pose

ρ = FM

. Déterminer, en fonction de

ρ, e

f^'

l'expression de la différence de marche

δ_(2/1)

entre les rayons réfléchis de type 2 et 1 convergeant en

M

(on effectuera, en les justifiant, les approximations usuelles). Faire un schéma des lames (

L_1, L_2

et semi-transparente), de l'objectif et du capteur CCD en indiquant précisément les angles.
b) Donner l'expression de l'ordre d'interférence

p_0

au centre de la figure. On suppose que le centre de la figure correspond à un maximum de luminosité. On numérote les franges lumineuses à partir de

F

par l'entier

K

(valeur nulle au centre). Exprimer le rayon

ρ_K

è K^(1ème)

anneau lumineux en fonction de

f^', K

p_0

.
c) On assimile le capteur CCD à un carré formé de pixels carrés jointifs. Soit

l

la longueur du côté d'un pixel. Les diamètres des anneaux sont déterminés en analysant le profil suivant un axe horizontal passant par le centre du système de franges. Soit

N_K

le nombre de pixels correspondant au diamètre

d_K

è K^(ième)

anneau. Déterminer l'expression de l'épaisseur

e

de la cavité en fonction de

f^'

λ, K, N_K

, et

l

.
d) Application numérique :

f^' = 50 mm

l = 23μ m

. Pour

K = 1

, on mesure

N_1 = 28

pixels. Calculer

e

.
e) La détermination précédente de

e

repose donc sur la mesure de

N_1

. Estimer l'incertitude absolue sur

N_1

et en déduire un encadrement de

e

. Conclure.
On souhaite diminuer l'incertitude relative sur la mesure de

e

è 1^(ère)

méthode :
f) On suppose, uniquement dans cette question, que l'objectif de la caméra est interchangeable (ou possède un réglage permettant de choisir différentes focales). Que proposez-vous pour augmenter la précision de la mesure de

e

è 2^(ème)

méthode :
g) En supposant que le laser et son optique d'adaptation peuvent-être assimilés à une source ponctuelle, que peut-on dire sur la localisation des franges? À quelle distance

D

de la lame doit-on placer un écran pour observer des anneaux 4 fois plus grands que dans le plan focal de l'objectif de la caméra?
h) On suppose que la distance objectif-capteur CCD peut varier entre

f^'

2f^'

. On souhaite former une image réelle d'un objet réel. On suppose que la distance objet-objectif peut prendre toutes les valeurs possibles. Quelle distance objectifcapteur CCD doit-on choisir pour obtenir la plus grande image possible ? Quelle doit-être alors la distance objet-objectif ? Quel est alors le grandissement de l'objectif?
i) En déduire la distance (lame de l'interféromètre) - (objectif de la caméra) pour obtenir sur le capteur CCD des anneaux 4 fois plus grands que ceux observés à la question II.A.4-a dans le plan focal image de l'objectif.
Dans la suite du problème, le système est réglé de façon à obtenir ce grandissement de 4 . On pourra, pour simplifier les raisonnements et les schémas, supposer que l'observation est réalisée à l'infini avec un objectif de distance focale

f^'_(eq) = 4f^'

II.B - Méthode de suivi de franges circulaires.

D'après la section II.A, l'observation des franges d'interférences renseigne sur l'épaisseur optique de la cavité formée par les deux lames. La figure d'interférence est enregistrée périodiquement par une caméra CCD numérique associée à un système d'acquisition et de traitement d'images.
La déformation de la cavité optique est obtenue par l'action d'un deuxième faisceau laser (longueur d'onde

\approx 800 nm

) sur la lame de verre d'entrée revêtue d'une couche de gélatine, d'une épaisseur de

6μ m

environ, qui absorbe l'énergie lumineuse d'excitation déposée. L'échauffement local qui en résulte provoque une déformation mécanique et donc une variation de l'épaisseur de la cavité.
La méthode proposée est basée sur le calcul de la variation de l'épaisseur de la lame d'air en fonction de la variation du rayon d'une frange circulaire.
II.B.1) On considère une frange brillante donnée. Comment varie le rayon de cet anneau lorsque l'épaisseur de la lame d'air diminue? Déterminer l'expression approchée de

Δe/e

(variation relative de l'épaisseur de la lame) en fonction de

ρ, Δρ

f^'_(eq)

. On donnera le résultat sous la forme d'un développement limité à l'ordre 1 en

ρ

Mise en œuvre expérimentale :

on enregistre l'interférogramme à un instant $t_1$ . Grâce à cette image, dite de référence, on trace un profil des niveaux de gris le long d'une droite horizontale passant par le centre de la figure.
On détermine alors le rayon d'une frange brillante donnée à l'instant $t_1$ .
on procède de même à un instant $t_2$ et on

Figure 8 : enregistrement du déplacement des franges circulaires

grâce à la relation entre $Δe/e$ et $Δρ/ρ$ , on peut en déduire la variation relative de l'épaisseur de la lame.
II.B.2) La figure 8 résume les résultats obtenus à l'aide de cette méthode. Les profils diamétraux correspondent, respectivement, à l'image de référence et à la première image après le début de l'excitation.
On cherche à identifier le profil de l'image de référence.
a) Chaque profil devrait admettre un axe de symétrie vertical. Pourquoi ? Citer une des causes possibles de cette absence de symétrie. Malgré l'absence de symétrie, comment peut-on repérer les pics correspondants au premier anneau?
b) On rappelle que la cavité optique est excitée par l'action d'un deuxième faisceau laser sur la lame de verre d'entrée. Quelle est, selon vous, la conséquence de l'action du laser sur cette lame? Comment varie alors l'épaisseur de la cavité optique?
c) En déduire le profil de l'image de référence ( $A$ ou $B$ ). Justifier.
II.B.3) Donner une estimation du rayon du premier anneau, avant et après

Figure 9 : variation de l'épaisseur de la cavité optique en fonction du temps

è r_(1, après) \cdot

Application numérique : largeur d'un pixel :

l = 23μ m

.
II.B.4) En utilisant les questions II.A.4-c et II.B.1, déterminer une expression de la variation d'épaisseur

Δe

de la lame en fonction de

è r_(1, avant), r_(1, après)

λ

. Application numérique :

λ = 632 nm

; largeur d'un pixel:

l = 23μ m

.
II.B.5) En répétant cette opération pour tous les instants d'échantillonnage, on peut tracer la courbe de variation de l'épaisseur de la cavité optique en fonction du temps (figure 9). Déterminer la durée

T

de l'excitation. Grâce à un logiciel informatique, la réponse a été modélisée par un système linéaire d'ordre 1 (courbe en traits pointillés). Déterminer le temps caractéristique

τ

associé à la réponse de la lame (on précisera la méthode utilisée).

Partie III - Utilisation en coin d'air

On rappelle qu'on ne tient pas compte des changements de phase par réflexion. On se propose d'améliorer la méthode précédente. Pour cela on règle l'interféromètre en coin d'air.

III.A - Interférences produites par un coin d'air

III.A.1) On éclaire un coin d'air sous incidence quasi normale. Reproduire et compléter la figure 10 en traçant les rayons lumineux interférant. En déduire la surface de localisation des interférences dans le cas d'une source ponctuelle, puis étendue.
On utilise de nouveau le montage de la partie II.A. 4 (figure 7). L'interféromètre forme un coin d'air et le laser de lecture fournit un éclairage

Figure 10 : interféromẹ̀tre réglé en coin d'air

sous incidence quasi normale. On suppose que les franges sont visibles (entre autres) sur la lame d'entrée. La caméra est réglée pour former l'image d'une partie de cette lame d'entrée sur le capteur

CCD

. Le grandissement est égal à 1 en valeur absolue. On adopte donc les mêmes coordonnées sur la lame d'entrée et sur le capteur

CCD

.
III.A.2) Soient (

x, y

) les coordonnées d'un point

M

du capteur (et donc de la lame d'entrée). Donner l'expression de la différence de marche

δ_(2/1)

en fonction de

e(x, y)

. En déduire l'expression de l'intensité

I(x, y)

au point

M

en fonction de

e(x, y), λ

I_0

intensité maximale.
III.A.3) Déterminer, en fonction de

λ, I(x, y), I_0

et d'un entier

m

, l'expression des épaisseurs

e(x, y)

possibles pour un point

M(x, y)

où l'intensité est

I(x, y)

III.B - Méthode de suivi des niveaux de gris

Pour chaque point

M(x, y)

de la lame d'entrée, la détermination expérimentale des variations de

e(x, y)

comporte deux étapes:

l'extraction du signal interférométrique : on exploite les images enregistrées périodiquement pour suivre l'évolution du niveau de gris d'un pixel de la figure d'interférence. On obtient ainsi une courbe discrétisée qui représente la variation de l'intensité du pixel sélectionné en fonction du temps. (figure 11)
le traitement du signal interférométrique : on convertit l'intensité enregistrée en déplacement.
III.B.1) Décrire qualitativement le mouvement de la lame avant, pendant et après l'excitation.
Déduire de la figure 11 le mouvement des franges au point $M$ considéré (on précisera en particulier le nombre de franges défilant dans chaque phase).

En déduire les instants

é t_(début)

t_(fin)

de début et fin d'excitation de la lame.
III.B.2) Pour simplifier, on suppose que le point étudié correspond à une intensité nulle lorsque la lame est au repos.
a) Montrer que, pour

é t \in [t_(début), 400 ms]

, le déplacement

Figure : 11 variation de l'intensité du pixel sélectionné en fonction du temps

Δe = λ/4 \cdot [1/πarccos((2I(x, y))/(I_0) - 1) - 1].

b) Déterminer l'expression de

Δe

pour

t \in [400 ms, 500 ms]

.
III.B.3) Déterminer l'expression de

Δe

pour

é t \in [t_(début), t_(fin)]

; on pourra introduire un entier

N_1

correspondant au nombre de franges ayant déjà défilé depuis le début de l'excitation et distinguer deux cas :

I

est localement une fonction croissante, ou décroissante, du temps.
III.B.4) Reprendre la question précédente pour

t > t_(fin)

; on pourra introduire deux entiers :

N_(1 max)

, valeur maximum de

N_1

, et

N_2

correspondant au nombre de franges ayant déjà défilé depuis la fin de l'excitation. On distinguera deux cas :

I

est localement une fonction croissante, ou décroissante, du temps.
III.B.5) Grâce aux expressions précédentes, on peut tracer la variation de l'épaisseur de la cavité en fonction du temps. Le tracé ci-contre (figure 12) donne le déplacement de la lame en fonction du temps.

Déterminer graphiquement le déplacement maximal

d_(max)

de la lame au point

M

considéré. Quelle relation peut-on écrire entre

d_(max)

Δe_(max)

. Valider les expressions précédentes de

Δe

en déterminant graphiquement grâce à la figure 11 une deuxième valeur de

d_(max)

.
Cette méthode donne les variations d'épaisseur pour les différents points de la lame à différents instants. Il est alors possible de créer une animation de la déformation.

Figure 12 : déplacement de la lame en fonction du temps

La figure 13 représente, à un instant donné, l'aspect de la déformation locale de la lame suite à une excitation ponctuelle et centrée.

Figure 13 : déformation locale de la lame

Partie IV - Méthode de décalage de phase «Phase Shifting»

La méthode de «Phase Shifting» (PSI) est une méthode d'analyse et de traitement d'un nombre élevé de données, en l'occurrence ici, les images obtenues par le capteur de la caméra

CCD

. Il existe plusieurs systèmes de traitement, celui décrit ici est l'algorithme de Hariharan.
On reprend l'expérience décrite au III.B, le but étant d'obtenir une mesure locale de la phase

Φ(x, y)

d'interférence. Au cours de l'expérience cette phase varie lentement au cours du temps. La caméra

CCD

enregistre

F

interférogrammes par seconde. Entre deux acquisitions successives la phase varie donc
de

ΔΦ

. La fréquence d'acquisition

F

étant assez élevée on peut considérer que, sur un court intervalle de temps, la phase varie linéairement dans le temps et donc que

ΔΦ

est constant sur une courte durée.
IV.A - En supposant que la lame d'entrée

L_2

se déplace à la vitesse moyenne

v

, déterminer l'expression de

ΔΦ

. Faire l'application numérique avec

v = 1μ m \cdot s^(- 1)

F = 50 Hz

λ = 632 nm

.
IV.B - Si on note a l'accélération de la lame, évaluer l'erreur relative que l'on commet en considérant

ΔΦ

constant entre deux acquisitions successives, on exprimera le résultat en fonction de

a, v

F

. Évaluer numériquement cette erreur relative dans le cas où le déplacement de la lame est régi par un système du premier ordre de constante de temps

τ = 400 ms

.
Pour mesurer la phase à l'instant

t

l'algorithme de Hariharan, prend en compte les intensités mesurées aux instants

t - 2T, t - T, t, t + T

t + 2T

. On peut les noter :

I_1(x, y) = I_0(x, y)[1 + V(x, y)cos(Φ(x, y) - 2ΔΦ)],; I_2(x, y) = I_0(x, y)[1 + V(x, y)cos(Φ(x, y) - ΔΦ)],; I_3(x, y) = I_0(x, y)[1 + V(x, y)cos(Φ(x, y))],; I_4(x, y) = I_0(x, y)[1 + V(x, y)cos(Φ(x, y) + ΔΦ)],; I_5(x, y) = I_0(x, y)[1 + V(x, y)cos(Φ(x, y) + 2ΔΦ)].

IV.C - Comment interpréter le fait que

I_0

est une fonction des coordonnées du point de mesure? Quelle est la signification du terme

V(x, y)

dans ces expressions?
IV.D - Exprimer, en fonction de

ΔΦ

le rapport

R_1 = (I_5(x, y) - I_1(x, y))/(I_4(x, y) - I_2(x, y)).

IV.E - Exprimer, en fonction de

Φ(x, y)

ΔΦ

, le rapport

R_2 = (I_5(x, y) + I_1(x, y) - 2I_3(x, y))/(I_4(x, y) - I_2(x, y))

IV.F - En déduire une méthode de mesure de la phase locale

Φ(x, y)

et donc de

e(x, y)

.
IV.G - Quels sont les avantages du «Phase Shifting» par rapport aux méthodes de mesure du II.B et III.B ?

À titre documentaire, une application de la méthode PSI est donnée ci-dessous (figure 14) :

Figure 14 : méthode PSI

-••FIN •••

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte physique I Centrale PC 2005 ?

Le sujet porte sur les coefficients de réflexion et de transmission, l'interférométrie par lame d'air et coin d'air, la localisation des franges, et une méthode de décalage de phase pour améliorer le contraste des images.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique I Centrale PC 2005 ?

Une mauvaise interprétation d'un coefficient de réflexion négatif, une localisation des anneaux mal justifiée, un sens de variation du rayon des anneaux inversé par 85% des candidats, et des chiffres significatifs excessifs dans les applications numériques.

Le sujet physique I Centrale PC 2005 est-il difficile ?

Le rapport signale peu de très mauvaises copies grâce à la progressivité du sujet, mais relève que le concept de localisation des franges a été très sélectif et a fortement départagé les candidats.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique 1 PC 2005

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