Centrale Physique 2 PC 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

3,0(1 vote)

Gravitation et lois de Kepler
Mouvement dans un référentiel non galiléen (forces d'inertie)
Mécanique des fluides : relation de Bernoulli
Diffusion thermique (équation de la chaleur)
Développement limité et analyse asymptotique

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

L'ATV-3 Edoardo Amaldi : orbite de l'ISS, rendez-vous orbital et autodestruction atmosphérique

Le problème suit le véhicule spatial ATV-3 lors de son voyage vers la Station Spatiale Internationale. Il étudie successivement l'orbite circulaire de l'ISS par la mécanique céleste, la phase finale d'approche via les équations de Clohessy-Wiltshire dans un référentiel non galiléen, puis l'autodestruction de l'engin lors de sa rentrée atmosphérique, mêlant mécanique des fluides et diffusion thermique.

1I : l'orbite de l'ISSpremière annéeGravitation, orbite circulaire et lois de Kepler pour déterminer les paramètres orbitaux de la station.
2II : la phase finale d'approcheDérive puis dynamique d'approche de l'ATV dans le référentiel non galiléen de l'ISS, via les équations de Clohessy-Wiltshire.
3III : autodestruction de l'ATVRentrée atmosphérique, relation de Bernoulli et diffusion thermique dans la paroi d'une cuve à ergols.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet de taille raisonnable dont la première partie, accessible à tout candidat ayant révisé son cours, contraste avec une seconde partie plus calculatoire qui a fait peur à de nombreux candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Incohérence de signe sur la force gravitationnelle · Signe de l'énergie potentielle et de l'énergie de l'état lié · Référentiel lié à l'ISS supposé galiléen

Ce sujet, de taille raisonnable, a répondu parfaitement au cahier des charges d'une épreuve de concours. Tout candidat sérieux connaissant son cours pouvait prétendre au maximum de points sur la première partie, mais la seconde partie, plus calculatoire, a fait peur à bon nombre de candidats. Le jury a apprécié la qualité rédactionnelle générale mais déplore des tentatives de certains candidats de faire croire qu'ils obtenaient un résultat donné.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Incohérence de signe sur la force gravitationnelleI.A.1
La question de cours sur la force d'attraction et la force de Coulomb est souvent entachée d'imprécision, avec parfois un signe identique pour les deux expressions.
« Nous pouvons même parler d'incohérence lorsqu'un signe identique apparait devant les deux expressions données. »
2
Signe de l'énergie potentielle et de l'énergie de l'état liéI.B.4, I.B.5
Certains candidats ignorent le signe à donner à l'énergie potentielle gravitationnelle et à l'énergie d'un état lié.
« certains candidats ignorent le signe à donner à l'énergie potentielle associée à cette attraction »
3
Référentiel lié à l'ISS supposé galiléenII.B.1
Des copies affirment à tort que le référentiel lié à l'ISS est galiléen.
« que dire des copies annonçant un référentiel lié à l'ISS galiléen ? »
4
Célérité de l'onde confondue avec celle de la lumièreIII.A.1
Lorsque l'incompressibilité de l'air est liée à la célérité de l'onde sonore, celle-ci est parfois confondue avec la célérité de la lumière.
« elle est fréquemment confondue avec la célérité de la lumière. »
5
Résultats fabriqués pour coller à la réponse attendue
Le jury relève des tentatives de candidats faisant croire qu'ils aboutissent à un résultat donné, sans que ce soit réellement le cas.
« ils ne sont pas à la hauteur de leurs ambitions ! »
6
Courbes de trajectoire réduite peu exploitéesII.C.4
Les courbes de la trajectoire réduite en variables réduites ont fait peur à la majorité des candidats, qui n'utilisent pas correctement le changement de variable.
« Ces courbes ont manifestement fait peur à la majorité des candidats. »

Ce qui a été bien réussi

Les candidats soignant la démonstration des symétries du champ de gravitation et l'application du théorème de Gauss ont été récompensés.
Les questions sur la vitesse et la vitesse angulaire de l'orbite circulaire ont été généralement bien traitées par diverses méthodes.
La question demandant de retrouver la loi de Kepler a été bien suivie par les candidats sérieux.
La démonstration de cours sur le bilan d'énergie (III.C.1) a été largement récompensée.

Conseils du jury

Faire un schéma : c'est un support essentiel à la communication, même quand il n'est pas exigé.
Se remettre en question lorsqu'un résultat obtenu semble inhomogène.
Respecter le nombre de chiffres significatifs plutôt que de recopier tous les chiffres de la calculatrice.
Réaliser les applications numériques demandées, elles sont toujours valorisées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Automated Transfer Vehicle

Les véhicules de transfert automatique ou ATV (de l'anglais "Automated Transfer Vehicle") sont des vaisseaux spatiaux desservant la station spatiale internationale et chargés d'assurer son ravitaillement en énergie, matériaux et combustibles. De par leur nature, ils assurent et garantissent la viabilité et le fonctionnement de la station. En terme de défis techniques et de performances, ils constituent le plus ambitieux des projets de construction spatiale jamais entrepris en Europe.
Dans la suite de ce problème, nous ferons référence aux objets étudiés en utilisant leurs acronymes anglais : ATV pour Automated Transfert Vehicle (véhicule de transfert automatique), ISS pour International Space Station (station spatiale internationale).
Nous allons nous intéresser à quelques phases du voyage du troisième vaisseau de la série ATV, l'ATV-3 Edoardo Amaldi, et décrire quelques étapes majeures de son odyssée spatiale allant de son lancement par la fusée Ariane V à sa destruction lors de sa rentrée dans l'atmosphère.
L'ATV-3 Edoardo Amaldi a été lancé, par la dernière version du lanceur Ariane V, le 23 mars 2012, il a rejoint en moins de six jours l'ISS. Il s'y est arrimé le 29 mars. La manœuvre s'est déroulée à une vitesse de

28000 km \cdot h^(- 1)

avec une précision meilleure que 10 cm . Il l'a quittée le 4 octobre 2012 pour se détruire, comme prévu, lors de sa phase de rentrée atmosphérique au-dessus du pacifique.

Figure 1 ATV-3 - Edoardo Amaldi

I L'orbite de l'ISS

L'ISS se trouve sur une orbite quasiment circulaire, à une altitude

d_s = 400, 0 km

, dont le plan orbital forme un angle de

51, 6^\circ

avec le plan de l'équateur. Après une dizaine de minutes de vol, Ariane V libère l'ATV sur une première orbite circulaire, dite d'injection, d'altitude

d_i = 250, 0 km

, située dans le même plan orbital que l'orbite de l'ISS. Puis l'ATV, en empruntant une orbite elliptique, rejoint l'orbite de l'ISS.

I.A - Préliminaires gravitationnels

La Terre est assimilée à un objet de symétrie sphérique de rayon

R_T

et de centre

T

. Pour suivre un point

M

de l'espace, on utilise le référentiel géocentrique de centre

T

et un système de coordonnées sphériques.

M

est repéré par le vecteur position

r⃗ = TM^(\to-)

.
I.A.1) Rappeler les expressions de la force d'attraction gravitationnelle et de la force de Coulomb s'exerçant respectivement entre deux objets ponctuels de masses

m, m^'

et de charges

q, q^'

distants de

r

.
I.A.2) Le champ d'attraction gravitationnel crée par la Terre en

M

est noté

A⃗(r⃗)

En raisonnant par analogie entre les forces gravitationnelles et coulombiennes, exprimer l'équivalent pour le champ

A⃗(r⃗)

du théorème de Gauss pour le champ électrique.
I.A.3) Démontrer que le champ d'attraction gravitationnel créé par la Terre s'exprime à l'extérieur de celle-ci, en un point

M

, sous la forme

A⃗(r⃗) = - k/(r^3)r⃗

Déterminer l'expression de

k

en fonction de la masse de la Terre

M_T

, puis en fonction de la norme du champ de gravitation

g_0

à la surface de la Terre et du rayon de la Terre

R_T

.
On donne

g_0 = 9, 81 m \cdot s^(- 2)

et le rayon terrestre moyen

R_T = 6370 km

I.B - L'orbite circulaire de l'ISS

I.B.1) Montrer qu'un mobile sans propulsion décrivant une trajectoire circulaire dans le champ de gravitation possède une vitesse uniforme.
I.B.2) Déterminer la vitesse et la vitesse angulaire de rotation du mobile en fonction du rayon de l'orbite et de

k

.
I.B.3) Retrouver la troisième loi de Kepler pour ce type d'orbite.
I.B.4) Exprimer l'énergie potentielle du mobile de masse

m

(référence d'énergie potentielle nulle à l'infini) en fonction du rayon de l'orbite. Faire de même pour l'énergie cinétique.
Quelle relation lie l'énergie cinétique et l'énergie potentielle?
Ce résultat est connu sous le nom du théorème du viriel.
I.B.5) En déduire l'expression de l'énergie totale du mobile en fonction du rayon de son orbite.
I.B.6) Calculer la vitesse

u_s

, la vitesse angulaire

ω_s

, la période

T_s

et le rayon

r_s

de l'orbite de la station.

II La phase finale d'approche

II.A - La dérive d'approche

En pratique, pour des raisons de sécurité, l'ATV suit une orbite de transfert qui l'amène au point

A_0

à une distance

L_0 = 300 km

derrière l'ISS sur une orbite circulaire d'altitude inférieure de

h = 10, 0 km

. On laisse ensuite dériver l'ATV jusqu'au point

A_1

situé à une distance

L_1 = 30 km

de l'ISS. On appelle phase

Φ

, la différence de position angulaire entre l'ATV et l'ISS (voir figure 2). Les distances évoquées sont les abscisses curvilignes mesurant la position de l'ATV sur son orbite par rapport au point correspondant de coïncidence de phase avec l'ISS. Vu le rayon de l'orbite, la courbure peut être négligée.

Figure 2 ATV-3 en phase d'approche

Figure 3

II.A.1) Quelle est la différence de phase entre ces deux positions

A_0

A_1

?
II.A.2) En effectuant une analyse de premier ordre par rapport à

h/r_s

, exprimer la vitesse angulaire de l'ATV et en déduire la vitesse angulaire relative entre les deux mobiles en fonction de

ω_s, r_s

h

où

ω_s

r_s

sont les paramètres de l'ISS définis et déterminés dans la partie I.
II.A.3) En déduire le temps nécessaire pour passer de

A_0

A_1

Une fois en

A_1

, l'ATV va accrocher en visuel l'ISS et se préparer pour son approche finale qui sera gérée en automatique.

II.B - La dynamique d'approche

Au-delà de la position

A_1

les mouvements de l'ATV sont déterminés, estimés et mesurés par rapport à la station spatiale internationale. Nous effectuerons donc nos analyses dans le référentiel de repère orthonormé direct (

x, y, z

) lié à l'ISS dont l'axe

z

coïncide avec la radiale centre de la Terre-ISS et dont l'axe

x

est tangent à la trajectoire circulaire de l'ISS. On introduit le vecteur rotation

ω⃗_s = ω_s e⃗_y

Figure 4

II.B.1) Quelle est la nature de ce référentiel si le référentiel géocentrique est considéré comme galiléen ?
II.B.2) L'ATV est considéré comme ponctuel, on néglige les forces d'attraction gravitationnelles entre l'ATV et l'ISS. Dans le référentiel d'étude, quelles sont les forces s'exerçant sur l'ATV ?
II.B.3) Démontrer que l'accélération d'entrainement de l'ATV peut se mettre sous la forme :

a⃗_e = - k(TO^(\to-))/(TO^3) + ω⃗_s \land (ω⃗_s \land OM^(\to-))

II.B.4) En considérant le point

M

de coordonnées (

x, y, z

) dans le référentiel lié à l'ISS, déterminer une expression au premier ordre vis-à-vis des coordonnées de

M

de la quantité

(TM^(\to-))/(TM^3) - (TO^(\to-))/(TO^3)

On pourra chercher à établir une approximation sous forme vectorielle avant d'utiliser les coordonnées cartésiennes.
II.B.5) Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ATV dans le référentiel de l'ISS, démontrer qu'il s'exprime alors sous la forme du système différentiel suivant :

{x¨ + 2ω_s z˙ = 0; y¨ + ω_s^2 y = 0; z¨ − 2ω_s x˙ − 3ω_s^2 z = 0

Ce sont les équations de Clohessy-Wiltshire

^1

.
II.B.6) On s'intéresse à la résolution du système précédent pour les conditions initiales à

t = 0

de position

M = (x_0, 0, z_0)

et de vitesse

v⃗_M = (x˙_0, 0, z˙_0)

. Montrer que

z(t)

peut se mettre sous la forme

z(t) = A + Bcos(ω_s t) + Csin(ω_s t)

et déterminer les expressions de

A, B

C

.
II.B.7) En déduire l'expression de

x(t)

en fonction des conditions initiales (

x_0, z_0, x˙_0, z˙_0

) et de

ω_s

.
II.B.8) Le processus de dérive analysé en II.A vérifie théoriquement les équations de Clohessy-Wiltshire.
a) Si on envisage la dérive (mouvement parallèle à l'axe

x

), quelle relation vérifient les grandeurs

ω_s, x˙_0

z_0

? Que peut-on dire de

z˙_0

?
b) En remplaçant dans la solution obtenue des équations de Clohessy-Wiltshire, vérifiez que le mouvement prévu est bien rectiligne.

II.C - La phase d'approche radioguidée : du pre-homing au homing

Une fois arrivé en

A_1

, l'Edoardo Amaldi active son processus de guidage automatique, il devient alors autonome et assure lui-même son contrôle de trajectoire en se repérant par laser (optique) et radio-guidage par rapport à la station spatiale. Le contrôle humain se limite à une commande d'échappement d'urgence si l'un des astronautes, spationautes ou cosmonautes juge une telle mesure nécessaire. L'ATV va maintenir sa trajectoire en confirmant ses paramètres de position jusqu'au point

A_2

qui n'est plus distant que de

L_2 = 15, 0 km

du point de coïncidence de phase de la station.
Au point

A_2

, l'ATV allume brièvement ses moteurs pour acquérir une impulsion supplémentaire, dans la direction

x

. Il s'en suit une modification, supposée instantanée, de sa vitesse, appelée «DeltaV». Cette méthode de navigation, qui utilise des modifications rapides de la vitesse du mobile dans des phases de propulsion de courte durée par rapport à l'ensemble du vol, a été introduite en 1925 par Walter Hohmann (ingénieur allemand, 1880-1945). Ce «DeltaV» permet à l'ATV d'atteindre le point

A_3

se trouvant à la même altitude que l'ISS et distant de

L_3 = 3500 m

de cette dernière.

Figure 5

Nous nous plaçons en

A_2

et étudions la trajectoire à partir de cet instant considéré comme initial, nous noterons (

x˙_0, z˙_0, x_0, z_0

) les vitesses et positions initiales de l'ATV. La vitesse initiale est parallèle à l'axe

x

. Dans ces conditions particulières, le système de Clohessy-Wiltshire admet une solution de la forme:

{z = 2/(ω_s)(x˙_0 − 4/3v_s − (x˙_0 − v_s)cos(ω_s t)); x = − 3(x˙_0 − 4/3v_s)t + 4/(ω_s)(x˙_0 − v_s)sin(ω_s t) + x_0

où

v_s

est une constante.
II.C.1) Que représente

v_s

Déterminer son expression en fonction des conditions initiales et de

ω_s

, la vitesse angulaire de l'ISS dans le référentiel géocentrique.
II.C.2) Nous noterons

Δv

le «DeltaV» qui a lancé l'ATV sur sa trajectoire de homing, exprimer

x(t)

z(t)

en fonction de

Δv, v_s, ω_s

L_2

.
II.C.3) Déterminer l'expression que doit vérifier le temps de homing permettant à l'ATV de passer de

A_2

A_3

.
Quelles sont les conditions sur le «DeltaV» pour que ce temps existe?
Quelle valeur de «DeltaV» sera la plus pertinente en fonction du coût énergétique de l'impulsion initiale?
II.C.4) L'analyse de la trajectoire se fait en introduisant des variables réduites. On effectue à cette fin le changement de variable

X = (x - x_0)/(- z_0) Z = (z - z_0)/(- z_0)

La figure 6 présente

Z(X)

pour des valeurs croissantes du rapport

v_s/Δv

variant par pas entier de 3 à 7 . Laquelle vous parait la plus pertinente? Pourquoi?
En déduire une estimation numérique du

Δv

nécessaire.
II.C.5) Que vaut le temps de vol si le choix du cout énergétique minimum s'impose ?
II.C.6) Vu la nature de la trajectoire que doit-il se passer en

A_3

Figure 6 Trajectoire réduite

II.D - Phase finale : le closing

L'ATV va maintenant s'approcher au plus près de l'ISS en passant du point

A_3

au point

A_4

qui n'est plus qu'à

L_4 = 250 m

de la station. À nouveau, on procède par «DeltaV», cette fois ci une impulsion est communiquée à l'ATV vers le centre de la Terre, les seuls paramètres initiaux non nuls sont donc

x_0 = - L_3, z˙_0 = - v_f

. Les équations de Clohessy-Wiltshire se résolvent alors sous la forme :

{z = − (v_f)/(ω_s)sin(ω_s t); x = − 2(v_f)/(ω_s)(cos(ω_s t) − 1) − L_3

II.D.1) En déduire la nature géométrique de la trajectoire et préciser ces paramètres caractéristiques en fonction de

L_3

L_4

.
II.D.2) Calculer le temps de vol du point

A_3

au point

A_4

.
II.D.3) En considérant les différentes techniques de navigation déployées pour l'ATV, que pensez-vous de façon générale de la navigation «à vue» dans l'espace?

III Autodestruction de l'ATV

Il est prévu que l'ATV, lors de son retour dans l'atmosphère, s'autodétruise à une altitude d'environ 75 km grâce à l'échauffement de son carburant résiduel (les ergols).
III.

A

- Lors de l'entrée dans l'atmosphère, l'ATV rencontre les hautes couches de l'atmosphère à très grande vitesse et reçoit alors un flux de chaleur considérable. La figure 7 représente un plan de coupe simplifié de l'intérieur de l'ATV. À l'avant de celui-ci se situe une cellule étanche de longueur

ℓ

qui renferme en particulier huit cuves sphériques de rayon

R_c

contenant les ergols résiduels qui doivent exploser afin de détruire l'ATV.

Figure 7

La figure 8 représente la distribution de la pression tout autour du véhicule pour une altitude de 75 km . L'air ambiant à cette altitude a une masse volumique

ρ = 4 \times 10^(- 5) kg \cdot m^(- 3)

.
III.A.1) Donner un ordre de grandeur de la vitesse de l'ATV en s'aidant de la formule de Bernoulli et de la figure 8. Les hypothèses permettant d'utiliser cette formule sont-elles toutes remplies?
III.A.2) À quoi est dû le flux thermique qui s'applique sur la face avant ?
III.B - Nous allons chercher à estimer le temps auquel va survenir l'explosion qui doit pulvériser l'ATV. Nous supposerons que, sur l'ensemble de son parcours d'entrée dans l'atmosphère, sa vitesse est constante et vaut

Figure 8 Pression autour de l'ATV à 75 km d'altitude

v = 7200 m \cdot s^(- 1)

, et que son angle d'entrée dans l'atmosphère par rapport à la verticale est de

80^\circ

. Il est prévu par les ingénieurs de l'ESA que, sous l'effet de la chaleur et des contraintes mécaniques, la face avant soit perforée lors de l'entrée dans les hautes couches de l'atmosphère. Cette perforation devrait survenir pour une altitude

h_0 = 100 km

et on peut estimer qu'elle prendra la forme d'un trou de diamètre

s = 20 cm

au centre de la face avant.
III.B.1) À partir de la perforation de la face avant, de combien de temps

τ_(max)

dispose-t-on au maximum pour faire exploser l'ATV avant d'atteindre l'altitude de 75 km ?
III.B.2) Donner un ordre de grandeur

τ_(air)

du temps que met l'air chaud à s'engouffrer, à travers le trou, dans la cellule de longueur

ℓ

située à l'avant de l'ATV et contenant les huit cuves à ergols sphériques de rayon

R_c

.
III.

C

- L'air chaud entoure dès lors les cuves à ergols constituées d'une paroi d'aluminium d'épaisseur

e = 4, 0 mm

. Une seule des huit cuves est encore remplie d'ergols au cours de cette phase. On pose

S = 4πR_c^2

. On prend comme origine du temps (instant

t = 0

) l'instant où l'air a fini de s'engouffrer et on considère qu'à cet instant, l'ensemble de la cuve (enveloppe et ergols) est à la température

T_0 = 290 K

et que sa surface extérieure reçoit un flux thermique uniformément réparti et constant, de densité de courant thermique

j_c

. On se propose de déterminer l'ordre de grandeur du temps au bout duquel les ergols vont exploser

Figure 9

spontanément.
On fournit les données thermodynamiques suivantes:

	Ergols	Aluminium solide
Capacité thermique massique $(kJ \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1))$	$c_(erg) = 2, 7$	$c_(Al) = 0, 88$
Conductivité thermique $(W \cdot m^(- 1) \cdot K^(- 1))$	$λ_(erg) = 0, 15$	$λ_(Al) = 230$
Masse volumique $(kg \cdot m^(- 3))$	$ρ_(erg) = 800$	$ρ_(Al) = 2700$

On étudie l'évolution de la température dans une zone assez proche de la surface de la cuve. On introduit alors la profondeur

z

par rapport à la surface (

z≪R_c

) et on simplifie le problème de symétrie sphérique en un problème unidimensionnel de variable

z

(voir figure 10). On considèrera que les transferts énergétiques au sein de la cuve (enveloppe et ergols) résultent uniquement de phénomènes de conduction.

Figure 10

III.C.1) Pour une profondeur

z

telle que

0 ⩽ z ⩽ e

, effectuer un bilan d'énergie entre les profondeurs

z

z + dz

et établir l'expression de l'équation différentielle vérifiée par

T(z, t)

en fonction de

ρ_(Al), λ_(Al)

c_(Al)

. On supposera que l'aluminium est totalement à l'état solide.
III.C.2) Exprimer et calculer la constante de diffusion

D_(Al)

. Exprimer et calculer le temps caractéristique

τ_(env)

de diffusion thermique dans l'enveloppe en fonction de

e

D_(Al)

.
III.C.3) Établir l'expression de l'équation différentielle vérifiée par la densité de courant thermique

j(z, t)

dans l'enveloppe. Vérifier alors qu'une solution possible est :

j(z, t) = f(α) = A\int_(s = 0)^α exp(- s^2)ds + B avec α = z/(2\sqrt(D_(Al)t))

où

A

B

sont des constantes.
III.C.4) La figure 11 donne le graphe de la fonction

g(α) = \int_(s = 0)^α exp(- s^2)ds

On donne également

I = \int_(s = 0)^(+ \infty)exp(- s^2)ds = (\sqrtπ)/2

Figure 11

Donner les expressions de

A

B

en fonction de

j_c

.
Représenter les graphes de la fonction

j(z, t)

en fonction de

z

pour

0 ⩽ z ⩽ e

aux instants

t = 0^+, t = τ_(env)

t \to + \infty

. On donnera notamment l'expression de

j(e, τ_(env))

.
III.C.5) On considère donc qu'après un temps valant

t = 5τ_(env)

, le courant thermique est totalement établi dans l'enveloppe, si bien que

j(z, t) = j_c

pour

0 ⩽ z ⩽ e

.
On prend cet instant comme nouvelle origine du temps

t^' = 0

et on suppose:

- j(z = e, t^') = j_c = 50 kW \cdot m^(- 2)

(continuité du courant thermique) ;

$T(z, t^' = 0) = T_0$ (inertie thermique des ergols).

Pour

z ⩾ e

, la solution pour

j(z, t^')

est de la forme:

j(z, t^') = f^'(α^') = A^'\int_(s = 0)^(α^')exp(- s^2)ds + B^' avec α^' = (z - e)/(2\sqrt(D_(erg)t^'))

Exprimer et calculer la constante de diffusion

D_(erg)

. Exprimer

A^'

B^'

en fonction de

j_c

.
III.C.6) Donner l'expression de la dérivée

(\partialT)/(\partialt^')(z = e, t^')

en fonction de

ρ_(erg), c_(erg), D_(erg), j_c

t^'

.
III.C.7) On veut estimer le temps à partir duquel les ergols vont réagir avec le dioxygène présent dans la cuve et exploser spontanément. À une température donnée, cette réaction de combustion fortement exothermique se produit spontanément à partir d'une pression minimale d'auto-allumage donnée dans le graphe de la figure 12 (la partie en pointillés est extrapolée).
La pression dans la cuve vaut environ 1000 Pa . À quel instant

τ_(exp)

peut-on penser que l'explosion va avoir lieu? Discuter alors les hypothèses effectuées à la question III.C.5.
III.C.8) À cet instant, l'aluminium de la cuve avait-il commencé à fondre (température de fusion de l'aluminium :

T_(fus) = 930 K

) ?
III.

D

- À partir des résultats précédents, est-il raisonnable de penser que l'ATV aura explosé avant d'atteindre l'altitude de 75 km ?

Figure 12 Pression minimale d'auto-allumage des ergols (en Pa ) en fonction de la température (en K )

Rappel des données numériques du problème

La Terre

Norme du champ de gravité à la surface terrestre	$g_0 = 9, 81 m \cdot s^(- 2)$
Rayon moyen du globe terrestre	$R_T = 6370 km$
Période de rotation du globe terrestre	$T_t = 23 h56 min4 s$

Paramètres de vol de l'ATV-3 Edoardo Amaldi

Altitude de l'orbite d'injection du Lanceur	$d_i = 250, 0 km$
Altitude de l'orbite de l'ISS lors du lancement de l'ATV	$d_s = 400, 0 km$

Paramètres de vol relatif de l'ATV-3 Edoardo Amaldi et de l'ISS

Altitude relative lors de la dérive	$h = 10, 0 km$
Distance entre l'axe coïncidant et le point $A_0$	$L_0 = 300, 0 km$
Distance entre l'axe coïncidant et le point $A_1$	$L_1 = 30, 0 km$
Distance entre l'axe coïncidant et le point $A_2$	$L_2 = 15, 0 km$
Distance entre l'axe coïncidant et le point $A_3$	$L_3 = 3500 m$
Distance entre l'axe coïncidant et le point $A_4$	$L_4 = 250 m$

Formulaire

Développement limité au voisinage de 0 :

(1 + x)^a = 1 + ax + (a(a - 1))/2x^2 + o(x^2)

$^1$ Clohessy W. H., Wiltshire R. S., Terminal Guidance for Satellite Rendezvous, Journal of the Aerospace Sciences, Vol 27, 1960, p. 653.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique 2 Centrale PC 2014 ?

Il porte sur le véhicule spatial ATV : orbite de l'ISS, rendez-vous orbital par les équations de Clohessy-Wiltshire, puis autodestruction lors de la rentrée atmosphérique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale physique 2 PC 2014 ?

Des erreurs de signe sur l'énergie potentielle, la confusion d'un référentiel non galiléen avec un référentiel galiléen, et des tentatives de résultats fabriqués.

Le sujet de physique 2 Centrale PC 2014 est-il difficile ?

La première partie est accessible à tout candidat ayant révisé son cours de première année, mais la seconde partie, plus calculatoire, a fait peur à de nombreux candidats.

Ce sujet Centrale PC 2014 sur l'ATV nécessite-t-il de connaître les référentiels non galiléens ?

Oui, la phase d'approche de l'ATV s'étudie dans le référentiel non galiléen lié à l'ISS, avec les forces d'inertie associées.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique 2 PC 2014

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