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Centrale Physique 2 PC 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Théorème de Gauss et symétries du champ magnétique
  • Induction électromagnétique et force électromotrice
  • Mécanique des fluides parfaits : relation de Bernoulli, charge spécifique
  • Chute d'une bille dans un fluide visqueux (force de Stokes, nombre de Reynolds)
  • Diffusion de particules et statistique de Boltzmann
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Présentation du sujet

Difficile
Traitement des eaux usées : débitmètres, dessablage-déshuilage et décantation des boues résiduelles
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Le problème étudie la chaîne de traitement des eaux usées en trois parties. La première porte sur le principe de deux types de débitmètres (électromagnétique et hydraulique), mêlant électromagnétisme et mécanique des fluides. La seconde étudie la chute de particules solides lors du dessablage-déshuilage. La troisième modélise la décantation des boues par diffusion et sédimentation.

  1. 1I : débitmètres pour eaux uséesÉtude d'un débitmètre électromagnétique en canalisation fermée puis d'un déversoir et d'un jaugeur Venturi en canal ouvert.
  2. 2II : dessablage - déshuilageChute d'une particule sphérique dans l'eau (force de Stokes, poussée d'Archimède) et dimensionnement d'un bac dessableur.
  3. 3III : décantation des boues résiduellesModélisation convecto-diffusive de la sédimentation (équation de Mason-Weaver) puis sédimentation d'une suspension concentrée (loi de Richardson-Zaki).

Difficile. Le rapport souligne un niveau de technicité globalement en-deçà des attentes du jury et des excellentes copies apparues moins nombreuses que les années passées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Arguments de symétrie mal appliqués au plan considéré · Facteur 2 du courant oublié · Conservation du débit et incompressibilité mal exploitées
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Ce sujet, de taille raisonnable, a permis aux meilleurs candidats de s'exprimer, mais les excellentes copies sont apparues moins nombreuses que les années passées. Le jury relève une grande disparité dans la présentation des copies et un niveau de technicité très variable, en particulier sur des difficultés calculatoires pourtant élémentaires (addition de vecteurs, dérivation, tracé de courbe).

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Arguments de symétrie mal appliqués au plan considéréI.A.1

    De nombreux candidats emploient des arguments de symétrie sans préciser qu'ils s'appliquent au plan considéré.

    « Trop de candidats ignorent que les arguments qu'ils emploient s'appliquent sur le plan considéré. »
  2. 2
    Facteur 2 du courant oubliéI.A.2

    Lors de l'addition de deux champs magnétiques créés par les boucles de courant, le facteur 2 lié au courant est généralement oublié.

    « le facteur 2 du courant est généralement oublié »
  3. 3
    Conservation du débit et incompressibilité mal exploitéesI.B.1

    La conservation du débit volumique est rarement exploitée correctement et le critère d'incompressibilité est fréquemment oublié.

    « La conservation du débit volumique est trop rarement exploitée de façon correcte et le critère d'incompressibilité fréquemment oublié. »
  4. 4
    Poussée d'Archimède oubliéeII.A.1

    Le bilan des forces sur la particule sphérique omet souvent la poussée d'Archimède.

    « La poussée d'Archimède est souvent oubliée. »
  5. 5
    Vitesse limite non vérifiée par le bon sensII.B

    Certains candidats obtiennent des vitesses limites de chute totalement irréalistes sans s'en rendre compte.

    « La vitesse limite peut être très distrayante »
  6. 6
    Confiance aveugle dans la calculatriceIII.B.1

    Le tracé de certaines courbes fait apparaître des densités volumiques de particules négatives, sans que les candidats s'en étonnent.

    « il n'est ainsi pas rare d'observer des densités volumiques négatives ! »

Ce qui a été bien réussi

  • Ce sujet a permis aux meilleurs candidats de s'exprimer et d'offrir des prestations de grande qualité.
  • La question de cours basique sur le champ magnétique circulant sur un cercle d'axe Oz est souvent bien traitée (I.A.2.a).
  • Le principe du bilan de particules est majoritairement compris en partie III (III.A.1).

Conseils du jury

  • Faire preuve d'honnêteté plutôt que d'ajouter puis de faire disparaître des forces au fil du calcul.
  • Vérifier systématiquement l'homogénéité des résultats obtenus.
  • Ne pas donner un nombre excessif de chiffres significatifs.
  • Soigner la présentation et la rédaction de la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Physique 2

4 heures Calculatrices autorisées

Traitement des eaux usées

L'assainissement des eaux usées dans une station d'épuration nécessite de débarrasser les effluents domestiques ou industriels des sables, graisses, déchets ménagers et agents polluants. On s'intéressera ici plus spécifiquement au pré-traitement et au traitement primaire des eaux dans la station (voir figure 1). Les termes employés seront définis au fur et à mesure du problème.
Figure 1 Traitements successifs des effluents dans une station d'épuration
La partie I étudie le principe de débitmètres adaptés aux conditions particulières des stations d'épuration et est complètement indépendante des parties suivantes. Les parties II et III s'intéressent à des procédés physiques de purification des eaux usées et sont largement indépendantes entre elles.
Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour les données.
Dans tout le problème, l'eau sera assimilée à un fluide incompressible.

I Débitmètres pour eaux usées

L'encombrement des eaux d'égout par des débris solides interdit l'usage de débitmètres comportant des parties mobiles immergées dans le fluide. La mesure du débit en différents points de la station, pratiquée à des fins de surveillance, doit pouvoir être effectuée soit en canalisation fermée, la conduite étant alors remplie d'eau sous pression, soit en canalisation ouverte, la surface libre du liquide étant alors à la pression atmosphérique.

I.A - Débitmètre électromagnétique en canalisation fermée

On dispose autour d'une canalisation cylindrique de rayon R le circuit électrique représenté en figure 2. Chacune des deux boucles, de rayon a, est parcourue par un courant continu d'intensité I. On pourra supposer que les deux segments rectilignes de longueur L disposés d'un même côté de la canalisation sont confondus. L'origine O du repère ( O, x, y, z ) est choisie au centre du dispositif.
Figure 2 Canalisation entourée d'une bobine de débitmètre électromagnétique

I.A.1)

a) Montrer que le champ magnétique B⃗(P) créé en un point P de l'axe ( Ox ) s'écrit sous la forme
B⃗(P) = B(x)u⃗_z
b) En justifiant soigneusement, déterminer la direction du champ B⃗(M) créé en un point M de l'axe ( Oz ).
I.A.2) On suppose désormais L≫a. On pourra ainsi négliger le champ créé par les portions non rectilignes du circuit dans le plan (Oxz).
Figure 3 Vue en coupe
a) Retrouver, en coordonnées cylindriques, l'expression du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant continu I dans l'espace.
b) En déduire la valeur du champ magnétique B⃗(P). Tracer l'allure de B(x_P) pour x_P ∈ ] − a, a[.
c) De même, déterminer la valeur du champ B⃗(M) et tracer l'allure de B(z_M) pour z_M ∈ ] − a, a[.
d) La méthode de mesure du débit nécessite une bonne uniformité du champ magnétique le long d'un diamètre de la conduite. Le long du diamètre AB représenté sur la figure 3 , déterminer l'écart relatif maximal de l'intensité du champ magnétique à son intensité au centre B(O), (ΔB)/(B(O)). Déterminer alors la valeur minimale du rapport ( a/R ) tel que cet écart ne dépasse pas 10%.
I.A.3) Par souci de simplification, on considère désormais que le champ magnétique à l'intérieur de la canalisation est uniforme et égal à B⃗_0 = B_0 u⃗_z.
Les eaux usées sont assimilées à un fluide conducteur d'électricité, dont l'écoulement suit la loi de Poiseuille :
v⃗ = v(r)u⃗_y = v_0(1 − (r/R)^2)u⃗_y
a) Exprimer le débit volumique Q à travers la canalisation en fonction de v_0 et R.
b) On dispose deux électrodes aux extrémités d'un diamètre de la canalisation. Expliquer l'origine physique de la force électromotrice e qui apparaît entre les électrodes. Calculer e_(AB) et e_(CD) (voir figure 3) en fonction de v_0, B_0 et R. Où faut-il placer les électrodes ?
c) En déduire la relation entre e, Q, B_0 et R. Quel est l'intérêt de la forme de cette relation pour la mesure du débit ?
d) Un champ électromagnétique parasite (E⃗_P, B⃗_P), supposé uniforme et constant, est présent dans la canalisation. Montrer qu'en effectuant deux mesures de e où l'on alterne le sens du courant I, on peut s'affranchir des effets du champ parasite dans la mesure du débit.
e) On prend B⃗_0 = B⃗(O) déterminé aux questions I.A. 2 b et c et a = a_(min) la valeur de a déterminée à la question I.A.2d. Montrer que :
e = (16)/(3π^2)(μ_0 I)/(a_(min)R)Q
Calculer numériquement e pour I = 10 A, Q = 20 L ⋅ s^(− 1) et R = 10 cm.
Justifier la nécessité d'un dispositif d'amplification électronique du signal.
Expliquer pourquoi ce type de débitmètre est peu adapté aux grandes canalisations.

I.B - Déversoir à seuil mince en canal ouvert

On considère un canal à fond plat dans lequel circulent les eaux usées, assimilées à un fluide parfait dont l'écoulement est irrotationnel et stationnaire. Loin en amont du déversoir, on note v⃗_1 = v⃗(M_1) = v_1 u⃗_x la vitesse du fluide et h la profondeur d'eau. Le déversoir à seuil mince consiste en une plaque métallique étroite, de hauteur H (appelée «pelle») (voir figure 4). L'ensemble a une largeur B suivant u⃗_y. On note g⃗ = − gu⃗_z l'accélération de la pesanteur. On fait de plus les hypothèses suivantes
  • les lignes de courant du fluide sont supposées horizontales dans la section verticale passant par la pelle: v⃗_2 = v⃗(M_2) = v_2(z)u⃗_x;
  • la pression au sein du fluide dans la section de la pelle est assimilée à la pression atmosphérique P_0;
  • le débit est faible : h − H≪H.
Figure 4 Déversoir en canal ouvert (vue de côté)

I.B.1)

a) Montrer que v_(2, max)≫v_1, où v_(2, max) est la valeur maximale de v_2(z).
On supposera par la suite que ∀z, v_2(z)≫v_1.
b) Exprimer la vitesse v_2(z) au point M_2 en fonction de g, h, H et z.
I.B.2) En déduire que le débit volumique Q peut s'écrire sous la forme Q = A(h − H)^(3/2) où A est une constante que l'on exprimera en fonction de B et g.
I.B.3) On mesure la hauteur h du fluide en amont grâce à une sonde utilisant des ondes ultrasonores. Cette sonde émet une impulsion, puis mesure le décalage temporel Δt de l'impulsion réfléchie par la surface des eaux. Exprimer h en fonction de la hauteur h_s à laquelle est fixée la sonde, de la vitesse c des ondes ultrasonores dans l'air et de Δt.
Pourquoi ce type de sonde intègre-t-il systématiquement un capteur de température ? En quoi son utilisation avec des eaux très chargées en mousses peut s'avérer problématique ?

I.C - Jaugeur Venturi en canal ouvert

I.C.1) Préliminaire : écoulement fluvial ou torrentiel

Soit de l'eau assimilée à un liquide parfait en écoulement stationnaire et irrotationnel dans un canal à fond plat de largeur B. On note h(x) la hauteur d'eau dans le canal et v⃗ = v(x)u⃗_x la vitesse du fluide, uniforme sur une section (voir figure 5). La surface libre est à la pression atmosphérique P_0.
Figure 5 Modèle d'écoulement dans un canal plat
a) On appelle charge spécifique la grandeur H(x) = h(x) + (v^2(x))/(2g).
Montrer que H(x) est constant pour l'écoulement considéré.
b) Exprimer H en fonction de h(x) et du débit volumique Q. Tracer l'allure de H(h). En déduire que pour un débit volumique et une charge spécifique fixés, il existe en général deux hauteurs h^′ et h^(′′) possibles pour l'écoulement, avec h^(′′) > h^′. La solution ( h^′, v^′ ) est appelée régime torrentiel et la solution ( h^(′′), v^(′′) ) régime fluvial. Justifier ces appellations. Indiquer la zone correspondant à chaque régime sur le tracé de H(h).
c) À débit fixé, déterminer les valeurs h_c et v_c qui minimisent la charge spécifique, en fonction de Q et des données. La solution ( h_c, v_c ) correspond au régime critique. Exprimer la charge spécifique critique H_c en fonction de h_c.
Pourquoi observe-t-on fréquemment des ondulations importantes de la surface libre au voisinage du régime critique?
d) À charge spécifique fixée, tracer l'allure de Q(h). Pour quelle valeur de h le débit est-il maximal ? Identifier les zones d'écoulement fluvial et torrentiel sur le graphe.

I.C.2) Jaugeur Venturi

Un débitmètre à jaugeur Venturi est constitué d'un canal d'approche à fond plat de largeur B constante et de longueur au moins égale à 10 × B, suivie d'un canal de mesure dans lequel le fluide traverse un convergent, un canal droit de largeur b, puis un divergent (voir figure 6). Deux sondes ultrasonores à la verticale des points I et J mesurent les hauteurs d'eau h_1 et h_2. On note v⃗_1 = v_1 u⃗_x et v⃗_2 = v_2(x)u⃗_x les vitesses du fluide respectivement en amont du Venturi et dans le canal de largeur b. Les vitesses sont supposées uniformes sur une section droite.
Figure 6 Vue de dessus d'un jaugeur Venturi
Dans le cas d'un jaugeur Venturi noyé, le régime d'écoulement demeure fluvial. Dans le cas d'un jaugeur Venturi dénoyé, le régime d'écoulement, fluvial en amont, devient progressivement torrentiel entre les sections ( α ) et ( β ), en passant par le régime critique, avant de brutalement redevenir fluvial dans le divergent du Venturi, avec présence d'un ressaut hydraulique.
On pourra négliger la variation de la charge spécifique H lors du passage par le convergent.
a) Quel est le rôle du canal d'approche ?
b) Écrire le débit volumique Q en fonction de v_1, B, h_1 puis en fonction de v_2(x), b, h_2(x).
c) Cas du jaugeur noyé La vitesse v_2(x) est alors uniforme dans tout le canal droit v_2(x) = v_2.
Grâce aux résultats de la question I.C.1b, tracer sur le même graphe l'allure des fonctions qui relient la charge spécifique à la hauteur d'eau h, respectivement H_B(h) dans le canal de largeur B et H_b(h) dans le canal de largeur b < B.
Indiquer sur ce graphe la transformation 1 → 2 subie par le fluide au passage par le convergent. En déduire le signe de (h_2 − h_1), puis justifier celui de (v_2 − v_1). En supposant v_2≫v_1, exprimer le débit volumique Q en fonction de g, b, h_1 et h_2.
d) Cas du jaugeur dénoyé On suppose l'écoulement assez lent en amont, de sorte que l'on pourra considérer que v_1≪√(2gh_1).
En s'appuyant notamment sur les résultats de la question I.C.1c, montrer que l'existence d'un régime critique en un point du canal de largeur b permet de relier Q uniquement à la hauteur d'eau en amont par la relation Q ≃ 0, 544b√gh_1^(3/2).
On vérifiera que la relation exacte trouvée correspond bien à la relation approchée donnée par l'énoncé.
Dimensionner le jaugeur Venturi en calculant la valeur numérique de b pour h_1 = 50 cm et Q = 1000 m^3 ⋅ h^(− 1).
La norme ISO4359 précise que les largeurs b utilisées doivent rester supérieures à 10 cm , quel effet risquerait de fausser la mesure sinon?
e) Quel avantage y a-t-il à utiliser un jaugeur dénoyé plutôt qu'un jaugeur noyé ?

II Dessablage - Déshuilage

On étudie dans cette partie la sédimentation ou la remontée à la surface de particules dans le bac de pré-traitement des eaux usées (dessablage - déshuilage), l'effluent ayant déjà traversé à l'entrée de la station d'épuration une grille qui retient les déchets solides les plus volumineux (dégrillage).
On modélise l'une de ces particules par une sphère homogène de masse volumique ρ_s et de rayon r. On note d = ρ_s/ρ_e sa densité, où ρ_e est la masse volumique de l'eau. La vitesse de la bille sphérique est v⃗ = v(t)u⃗_z.
Figure 7 Particule
sphérique plongée dans l'eau
II. A - On suppose que la force de traînée F⃗_t s'écrit sous la forme d'une force de Stokes :
F⃗_t = − 6πηrv⃗
où η est la viscosité dynamique de l'eau.
II.A.1) Effectuer un bilan des forces s'exerçant sur la bille dans le référentiel du fluide au repos supposé galiléen.
II.A.2) Déterminer la vitesse limite de chute v_ℓ de la bille en fonction de r, d, g et ν = η/ρ_e, viscosité cinématique de l'eau. À quelle condition y aura-t-il sédimentation, ou remontée en surface ?
II.B - Pour les différentes particules proposées dans le tableau 1, calculer la vitesse limite v_ℓ et le temps t_c nécessaire pour parcourir une hauteur H = 2 m, en supposant que la vitesse limite est immédiatement atteinte. On prendra ν = 1, 0 × 10^(− 6) m^2 ⋅ s^(− 1) et d = 2, 65 (densité du quartz) et on présentera les résultats sous la forme d'un tableau.
Sable grossier Sable fin Limon Argile Colloïde
Rayon r 1 mm 100μ m 10μ m 1μ m 0, 1μ m
Tableau 1 Taille typique de différentes particules
II. C - Exprimer le nombre de Reynolds Re caractéristique de l'écoulement autour de la bille en fonction des paramètres introduits. Sachant que l'expression de la force de traînée introduite en II.A peut être utilisée pour Re ⩽ 5, commenter les résultats de la question précédente.
II. D - Le temps de chute t_c des particules ne peut dépasser 2 heures, afin d'éviter la remontée de sédiments provoquée par la sédimentation des boues. En déduire la taille minimale r_(min) des particules solides éliminées dans le dessableur.

II.E - Dimensionnement du dessableur

Le débit à traiter est Q = 20 L ⋅ s^(− 1), soit environ 1700 m^3 par jour. Le dessableur longitudinal est un bac de profondeur H = 2, 0 m, de longueur L et de largeur ℓ = L/6. Les eaux usées traversent le bac dessableur avec une vitesse v⃗_(eau) = v_(eau)u⃗_x.
Figure 8 Vue de profil d'un bac dessableur
II.E.1) Quelle est la forme de la trajectoire des particules solides dans le référentiel du sol ? Estimer, en régime permanent, le temps Δt mis par l'eau, support des particules, pour traverser le dessableur.
II.E.2) Quelle relation doit exister entre t_c(r_(min)) et Δt pour que toutes les particules de rayon supérieur à r_(min) sédimentent ? Déterminer numériquement la longueur minimale L_(min) du bac dessableur.

III Décantation des boues résiduelles

Cette partie s'intéresse à la modélisation des processus de sédimentation au sein du décanteur primaire, sous l'action du champ de pesanteur uniforme g⃗ = − gu⃗_z. L'eau à traiter est assimilée à une suspension dans l'eau de particules sphériques identiques de rayon r ⩽ 1μ m et de densité d. On note n^∗(z, t) la densité volumique de particules, exprimée en particules ⋅ m^(− 3).
Figure 9 Particules en suspension dans un bac décanteur

III.A - Profil de concentration à l'équilibre dans un modèle convecto-diffusif

On assimile le bac décanteur à une cuve de hauteur H = 2 m et de section S.
III.A.1) On s'intéresse ici à l'évolution de la densité volumique de particules n^∗ au cours du temps, sous l'effet de la diffusion et de la gravité.
a) La diffusion de particules se traduit par l'existence d'un flux de particules ȷ⃗_D. De la même façon que la diffusion thermique dans un milieu se traduit par un flux thermique λ⃗_Q proportionnel et opposé au gradient de température ȷ⃗_Q = − λgrad^(→−)T (loi de Fourier), la diffusion de particules se traduit par un flux de particules
proportionnel et opposé au gradient de concentration, soit ici ȷ⃗_D = − Dgrad^(→−)n^∗. La constante D est le coefficient de diffusion des particules sphériques dans l'eau.
Exprimer ȷ⃗_D en fonction de D, (∂n^∗)/(∂z) et d'un vecteur unitaire.
b) En l'absence de diffusion, les particules ont un mouvement rectiligne uniforme dirigé vers le fond du bac, à la vitesse v_ℓ. Déterminer l'expression du flux de particules ȷ⃗_C associé à la convection, en fonction de n^∗(z, t) et v_ℓ. En déduire le flux total de particules ȷ⃗ = ȷ⃗_D + ȷ⃗_C.
c) Montrer que l'évolution de n^∗(z, t) est régie par l'équation de Mason-Weaver :
(∂n^∗)/(∂t) = D(∂^2 n^∗)/(∂z^2) + v_ℓ(∂n^∗)/(∂z)
III.A.2) On cherche le profil de concentration n_∞^∗(z) en régime stationnaire.
a) Donner la forme de la solution générale pour n_∞^∗(z), en introduisant une longueur caractéristique λ. Écrire la condition limite pour le flux total ȷ⃗ en z = 0, et en déduire la nouvelle forme de n_∞^∗(z), que l'on exprimera en fonction de n_0^∗ = n_∞^∗(z = 0), λ et z.
b) La relation de fluctuation-dissipation d'Einstein relie le coefficient de diffusion D au coefficient de frottement de la force de Stokes :
D = (k_B T)/(6πηr)
Montrer que la répartition des particules n_∞^∗(z) peut s'interpréter à l'aide du facteur statistique de Boltzmann, qui stipule qu'à l'équilibre thermodynamique, n_∞^∗(z) est proportionnelle au facteur exp(− (e_p)/(k_B T)), e_p étant l'énergie potentielle associée à une particule et k_B la constante de Boltzmann.
On pourra utiliser le résultat de la question II.A.
c) Pour T = 300 K, estimer numériquement λ pour r = 1μ m, r = 0, 1μ m et r = 0, 01μ m. Conclure quant à la nécessité de prendre en compte la diffusion dans la modélisation de la sédimentation.

III.B - Sédimentation d'une suspension concentrée

On néglige les effets diffusifs. À concentration élevée, la vitesse de sédimentation v_ℓ décroît avec la densité volumique de la boue. Ce phénomène est décrit par la loi empirique de Richardson-Zaki : v_ℓ(x) = v_0(1 − x)^n où x est la fraction volumique en particules solides dans la boue, v_0 une constante et n ≃ 5, 1.

III.B.1)

a) Relier x(z, t) à la densité volumique en particules solides n^∗(z, t) et au volume V = 4/3πr^3 d'une particule solide. Tracer l'allure de la courbe v_ℓ = f(n^∗).
b) Que représente la constante v_0 ? Quelle est la conséquence pour le mouvement macroscopique de l'eau de la chute d'un grand nombre de sédiments? Expliquer alors qualitativement pourquoi v_ℓ décroît lorsque la concentration en particules augmente.
III.B.2) On note le flux de particules ȷ⃗ (qui s'assimile au flux convectif ȷ⃗_C déterminé à la question III.A.1). Les particules se déplaçant uniquement vers le bas, on note ȷ⃗ = − j(z, t)u⃗_z.
Déterminer j(z, t) en fonction de v_0, V, n et n^∗(z, t).
En vous aidant de la courbe de la figure 10, déterminer la valeur maximale j_(max) du flux de particules, en fonction de v_0 et V.
Que représente la pente du segment OM ?
III.B.3) Une suspension initialement homogène de densité volumique n_0^∗ laissée à décanter présente rapidement trois zones distinctes : une zone transparente (1) en haut du décanteur, une zone opaque (3) en bas, et une zone trouble (2) qui les sépare (voir figure 11).
a) En vous aidant de la figure 10, déterminer la valeur de n^∗ dans chacune de ces trois zones.
b) Par un bilan de particules entre les instants t et t + dt, montrer que la vitesse de déplacement v⃗_F d'une frontière séparant deux zones de densités volumiques de particules respectives n_−^∗ et n_+^∗ (voir figure 11) s'écrit:
v⃗_F = − (j(n_+^∗) − j(n_−^∗))/(n_+^∗ − n_−^∗)u⃗_z
c) La frontière entre (1) et (2) se déplace à une vitesse v⃗_(12). Déterminer v⃗_(12) pour une fraction volumique x = 10% en sédiments, en fonction de v_0.
d) La frontière entre (2) et (3) se déplace à une vitesse v⃗_(23). Déterminer v⃗_(23) en fonction de v_0.
Figure 10 Tracé de la fonction f(y) = y(1 − y)^(5, 1) et de sa dérivée
Figure 11 Décantation d'une suspension
III.B.4) On cherche à comprendre pourquoi de tels fronts de variation brusque de la concentration apparaissent quel que soit le profil initial de la concentration dans le décanteur.
a) On note v⃗_(iso) = v_(iso)u⃗_z la vitesse de déplacement d'une surface horizontale de densité volumique n^∗ fixée. Relier v_(iso) à (dj)/(dn^∗), puis tracer l'allure de v_(iso)(n^∗).
b) En déduire comment, à partir d'une suspension où la fraction volumique varie linéairement de 0 en surface à 0,80 au fond du décanteur, un front où la concentration varie brutalement peut se former dans le décanteur. On pourra représenter l'allure de l'évolution de n^∗(z, t) au cours du temps.

Données numériques

Perméabilité magnétique du vide
Accélération du champ de pesanteur terrestre
Masse volumique de l'eau
Constante des gaz parfaits
Constante d'Avogadro
Constante de Boltzmann
μ_0 = 4π × 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1); g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2); ρ_e = 1000 kg ⋅ m^(− 3); R = 8, 31 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1); N_A = 6, 02 × 10^(23) mol^(− 1); k_B = 1, 38 × 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique 2 Centrale PC 2015 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique 2 Centrale PC 2015 ?

Il porte sur le traitement des eaux usées : débitmètres, dessablage-déshuilage par chute de particules, et décantation des boues résiduelles.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale physique 2 PC 2015 ?

Des oublis de la poussée d'Archimède, du facteur 2 dans un calcul de champ magnétique, et un manque de vérification de l'homogénéité et du sens physique des résultats.

Le sujet de physique 2 Centrale PC 2015 est-il difficile ?

Oui, le rapport indique un niveau de technicité globalement en-deçà des attentes du jury et moins d'excellentes copies que les années précédentes.

Ce sujet Centrale PC 2015 mélange-t-il plusieurs domaines de la physique ?

Oui, il combine électromagnétisme, mécanique des fluides, mécanique du point et diffusion de particules autour du thème du traitement des eaux usées.

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