Centrale Physique 2 PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Thermodynamique des écoulements et des systèmes ouverts (premier principe, enthalpie)
Ondes de matière et diffraction
Équation de propagation et résolution d'équations différentielles
Interférométrie et vecteur de Poynting
Effet Sagnac et mesure de vitesse de rotation

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Difficile

Interférométrie atomique : jet supersonique, diffraction sur onde stationnaire et interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière

Le sujet étudie un interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière construit par des chercheurs toulousains, utilisant un jet supersonique d'atomes de lithium diffracté par des ondes lumineuses. Il caractérise d'abord la source atomique par thermodynamique des écoulements, puis étudie la diffraction du jet atomique par une onde stationnaire en résolvant l'équation de propagation de l'onde de matière, avant d'analyser le signal de sortie de l'interféromètre et son application à la mesure d'une vitesse de rotation, en lien avec l'effet Sagnac.

1Partie I : caractérisation de la source atomiqueÉtudier la réalisation d'un jet supersonique puis estimer les grandeurs thermodynamiques à l'issue de son expansion.
2Partie II : diffraction du jet atomique par une onde stationnaireIntroduire la notion de potentiel lumineux, établir l'équation de propagation de l'onde de matière puis la résoudre.
3Partie III : interféromètre de Mach-ZehnderÉtudier le signal de sortie de l'interféromètre puis son application à la mesure d'une vitesse de rotation, en lien avec l'effet Sagnac.

Difficile. Le rapport indique que le sujet est ambitieux et progressif : la difficulté s'accroît sur la seconde partie avant de devenir, pour la majorité des candidats, insurmontable dans la dernière partie.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Affirmations sans justification · Confusion entre U et H en système ouvert · Résultats truqués pour coller à l'énoncé

Le jury décrit un sujet ambitieux qui mêle thermodynamique, mécanique des fluides, électromagnétisme, physique des ondes, mécanique quantique et optique. Une bonne partie des candidats a obtenu la totalité des points de la première partie, mais la difficulté croissante a rendu la dernière partie insurmontable pour la majorité. Le jury insiste sur l'importance de l'honnêteté scientifique face aux résultats fournis dans l'énoncé, plutôt que de maquiller un calcul qui n'aboutit pas.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Affirmations sans justificationI.A.1
De nombreux candidats affirment qu'une grandeur est constante ou qu'un écoulement est incompressible sans jamais le justifier, alors qu'une affirmation n'est pas une justification.
« Une affirmation n'est pas une justification. »
2
Confusion entre U et H en système ouvertI.A.2 à I.A.5
De nombreuses confusions sont relevées entre énergie interne et enthalpie, et la fonction enthalpie d'un gaz parfait est étonnamment mal maîtrisée malgré son usage en physique et en chimie.
3
Résultats truqués pour coller à l'énoncéI.A.6
Certains candidats maquillent leurs erreurs pour retrouver artificiellement le résultat fourni par l'énoncé, ce qui installe un a priori négatif chez le correcteur pour la suite de la copie.
4
Moyenne d'un sinus carré ignoréeII.B
La moyenne d'un sinus carré est trop souvent ignorée et de nombreux candidats confondent moyenne temporelle et moyenne spatiale dans l'établissement du potentiel lumineux.
« la moyenne d'un sinus carré est trop souvent ignorée. »
5
Confusion entre onde incidente et onde transmiseII.D.4
La confusion entre onde incidente et onde transmise a été quasi générale lors de la résolution de l'équation de propagation, une question par ailleurs jugée particulièrement difficile.
« la confusion entre onde incidente et onde transmise a été quasi générale. »

Ce qui a été bien réussi

Une bonne partie des candidats est parvenue à obtenir la totalité des points de la première partie.
Les questions II.C.1 et II.C.2 ont souvent été bien traitées, même si les applications numériques ont posé problème.
La question II.D.5 a été en général bien traitée.
Un nombre appréciable de candidats a su répondre à la question III.B.3 par une simple lecture attentive du sujet.

Conseils du jury

S'imprégner de l'esprit des rapports de jury des années précédentes avant de se présenter à l'épreuve.
Ne jamais maquiller un calcul pour retrouver un résultat donné par l'énoncé, mais signaler honnêtement une divergence entre son résultat et celui proposé.
Soigner autant le fond que la forme : encre lisible, réponse clairement identifiable, homogénéité et cohérence numérique vérifiées.
S'appuyer sur les formulaires fournis dans l'énoncé plutôt que de refaire de longues démonstrations non demandées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Physique 2

PC

4 heures

Calculatrices autorisées

Interférométrie atomique

Les ondes de matière permettent de réaliser des expériences d'interférométrie tout à fait analogues à celles rencontrées en optique. On s'intéresse ici à un interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière (figure 1). Un tel interféromètre a été construit par des chercheurs du Laboratoire Collisions, Agrégats, et Réactivité (LCAR) à Toulouse. La source est un jet supersonique collimaté d'atomes de lithium 7, les miroirs et lames séparatrices sont réalisés à l'aide d'ondes lumineuses sur lesquelles les atomes sont diffractés ; enfin, sur l'une des sorties de l'interféromètre, un détecteur mesure l'intensité du faisceau atomique résultant de l'interférence entre les ondes de matière qui se propagent dans les deux bras de l'interféromètre.

Figure 1 Schéma de principe de l'interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière (M1), (M2) et (M3) sont des miroirs plans;

F_0

F_1

sont les fentes de collimation du jet supersonique ;

F_D

est la fente de détection ; la distance entre deux ondes stationnaires est

L = 605 mm

Les constantes physiques utiles au problème ainsi qu'un formulaire sont donnés en fin d'énoncé.
Les vecteurs unitaires selon

Ox, Oy, Oz

sont notés

u⃗_x, u⃗_y, u⃗_z

I Caractérisation de la source atomique

La production d'une vapeur atomique s'effectue en chauffant l'élément chimique pour atteindre une pression de vapeur saturante suffisante. Le lithium ayant une pression de vapeur saturante faible aux températures expérimentalement accessibles, on le vaporise dans un gaz d'argon sous haute pression, afin d'obtenir une surpression plus importante dans le four. Le mélange gazeux ainsi obtenu contient majoritairement de l'argon et une faible proportion de lithium. Ce gaz est ensuite accéléré à travers une tuyère de longueur nettement supérieure à sa section (figure 2) afin de former un jet atomique. On souhaite dans cette partie caractériser le jet atomique ainsi créé.

Figure 2 Schéma de la tuyère. On a représenté quelques lignes de l'écoulement ainsi que la surface

A(z)

perpendiculaire aux lignes de l'écoulement.

On considérera les hypothèses suivantes :

dans le four, le gaz est à la pression $P_0$ et la température $T_0$ ;
on suppose que le libre parcours moyen dans le four et dans la tuyère est très inférieur au diamètre de la tuyère. Cette hypothèse permet de décrire le fluide comme un milieu continu et d'utiliser les lois de la dynamique des fluides;
les différentes quantités physiques qui décrivent l'écoulement (pression $P(z)$ , température $T(z)$ , masse volumique $ρ(z)$ , enthalpie massique $h(z)$ , vitesse $v(z)$ ) ont même valeur en tout point de la surface $A(z)$ qu'occupe le fluide, perpendiculairement aux lignes de l'écoulement (figure 2). Dans la mesure où le diamètre de la tuyère varie lentement avec $z$ , on assimile la surface $A(z_0)$ au plan $z = z_0$ . Cette approximation entraine que les composantes transversales de $v⃗$ sont partout négligeables devant la composante de $v⃗$ selon l'axe $Oz$ ;
l'écoulement est supposé unidimensionnel le long de l'axe $z$ , stationnaire et parfait ;
le gaz est supposé parfait, monoatomique, de masse molaire $M = 0, 040 kg \cdot mol^(- 1)$ et de coefficient adiabatique $γ = 5/3$ supposé indépendant de la température ;
la vitesse moyenne $v_0$ des atomes dans le four est négligée devant la vitesse des atomes dans le jet.

On notera

r = R/M

, où

R

est la constante des gaz parfaits.
On donne les paramètres de l'expérience suivants :

diamètre de col de la tuyère $φ_(col) = 100μ m$ ;
température du gaz dans le four $T_0 = 1080 K$ ;
pression du gaz dans le four $P_0 = 250$ mbar.

I.A - Réalisation d'un jet supersonique

I.A.1) Que peut-on dire du débit massique

D_m

de cet écoulement ? Comment s'exprime-t-il en fonction de

ρ(z), v(z)

A(z)

.
I.A.2) Écrire la relation reliant

P(z), ρ(z)

T(z)

. Exprimer la variation d

h

de l'enthalpie massique du gaz en fonction de

γ, r

et de la variation

dT

de sa température.
I.A.3) Les transferts thermiques entre le gaz et les parois de la tuyère sont négligeables, de sorte que le gaz s'écoule selon une transformation adiabatique et réversible. En déduire une relation entre

P(z)

ρ(z)

ainsi qu'une relation entre

dh, ρ(z)

dP

.
I.A.4) Les forces de pesanteur étant négligées devant les forces pressantes exercées sur le fluide, relier la vitesse

v(z)

à l'enthalpie massique

h(z)

à la position

z

et à l'enthalpie massique

h_0

dans le four.
I.A.5) On rappelle que la célérité du son

c_s

dans un gaz est reliée à sa masse volumique

ρ

et sa compressibilité isentropique

χ_S = 1/ρ(\partialρ)/(\partialP)|_S

par

c_s = 1/(\sqrt(ρχ_S))

.
Donner l'expression de la célérité du son dans la tuyère

c_s(z)

à l'abscisse

z

en fonction de

γ, r

T(z)

.
Dans la suite, on notera

M(z)

le rapport de la vitesse des atomes du jet

v(z)

sur la célérité du son à l'abscisse

z

, appelé le nombre de Mach

M(z) = (v(z))/(c_s(z))

I.A.6) À partir de l'ensemble des relations précédentes, établir la relation suivante, connue sous le nom de relation de Hugoniot:

(dA)/(A(z)) + (dv)/(v(z))(1 - M^2(z)) = 0

I.A.7) L'écoulement est appelé subsonique, ou supersonique, selon que

v < c_s

, ou

v > c_s

. Déduire de la relation de Hugoniot que, pour passer d'un écoulement subsonique à un écoulement supersonique, la section de la tuyère doit nécessairement comporter un minimum. Que vaut le nombre de Mach à cet endroit ?

I.B - Estimation des grandeurs thermodynamiques à l'issue de l'expansion

I.B.1) Exprimer la température

T(z)

du gaz en fonction de

T_0, γ

et du nombre de Mach

M(z)

. Comment la température évolue-t-elle dans la direction

z

du jet ?
I.B.2) Exprimer la densité atomique du jet

ρ(z)

en fonction de

ρ_0, γ

et du nombre de Mach

M(z)

. Pourquoi peut-on considérer qu'à l'issue de la phase d'expansion, lorsque

z

est suffisamment grand, la température et la vitesse des atomes du jet n'évoluent plus. Le nombre de Mach atteint à l'issue de la phase d'expansion sera noté par la suite

M_\infty

.
I.B.3) Exprimer de même la vitesse du jet

v(z)

en fonction de

T_0, γ, r

et du nombre de Mach

M(z)

. En supposant que

M_\infty

est grand devant une quantité que l'on précisera, montrer que la vitesse atteinte en sortie de la tuyère

v_\infty

ne dépend pas de

M_\infty

et donner son expression en fonction de

T_0, γ

r

. L'évaluer numériquement.
I.B.4) On donne sur la figure 3 les résultats de mesures du nombre de Mach terminal

M_\infty

obtenus par une expérience similaire, mais pour des paramètres expérimentaux différents. En déduire une estimation de la valeur de

M_\infty

pour les paramètres de l'expérience étudiée, puis de la valeur de la température

T_\infty

atteinte à l'issue de l'expansion. L'hypothèse faite à la question précédente est-elle vérifiée?

Figure 3 Nombre de Mach atteint à l'issue de l'expansion en fonction des paramètres de la source

II Diffraction du jet atomique par une onde stationnaire

À l'aide d'un laser de longueur d'onde

λ_L = 671 nm

, on crée une onde plane et progressive, polarisée rectilignement selon

u⃗_y

, de vecteur d'onde

k⃗_L

et de pulsation

ω_L

, qui se propage dans la direction

u⃗_x

. Le champ électrique de cette onde s'écrit :

E⃗_+(x, t) = u⃗_y E_+(x, t) = u⃗_y E_0 cos(ω_L t - k_L x)

II.A - Onde stationnaire

L'onde laser se réfléchit en incidence normale sur un miroir plan assimilé à un miroir métallique parfaitement conducteur, situé dans le plan

x = x_M

.
Montrer que le champ électrique de l'onde stationnaire résultante s'écrit

E⃗(x, t) = u⃗_y E(x)sin(ω_L t - k_L x_M)

. Préciser l'expression de

E(x)

en fonction de

E_0, k_L

, et

x_M

II.B - Notion de potentiel lumineux

On s'intéresse d'abord à l'interaction de cette onde stationnaire avec les atomes de lithium. Lorsqu'ils pénètrent dans la zone où règne le champ

E⃗

, les atomes se polarisent. Lorsque la pulsation

ω_L

est très éloignée des résonances atomiques, les dipôles induits oscillent à la pulsation

ω_L

du laser excitateur et en phase avec lui: le dipôle atomique induit s'écrit alors

p⃗ = ε_0 αE⃗

, où

α

est la polarisabilité de l'atome de lithium. Dans les conditions de l'expérience (laser hors de résonance), on a

α = - 1/(ε_0)(d^2)/(ℏδ_L)

où

d = 3, 45 \times 10^(- 29)C \cdot m

est une constante caractérisant le dipôle de l'atome de lithium et où

δ_L = ω_L - ω_0

est l'écart entre la pulsation laser

ω_L

et la pulsation

ω_0

de la transition atomique la plus proche. Le champ lumineux interagit avec le dipôle atomique

p⃗

qu'il induit via une énergie potentielle

V = - 1/2p⃗ \cdot E⃗

, appelée potentiel lumineux.
II.B.1) Montrer que la moyenne temporelle de ce potentiel lumineux s'écrit sous la forme

W(x) = - 1/2V_0(1 - cos(k_r(x - x_M)))

II.B.2) Exprimer

V_0

k_r

en fonction des paramètres du problème.

II.C - Équation de propagation de l'onde de matière

Un jet supersonique de lithium se propage dans le plan (

Oxz

) à une vitesse

v = 1060 m \cdot s^(- 1)

et traverse l'onde lumineuse stationnaire générée par un miroir (M) (figure 4). Un atome de lithium est assimilé à un paquet d'ondes de matière décrit par sa fonction d'onde

ψ(x, z, t)

dont le module au carré donne la densité de probabilité de présence de l'atome dans l'espace à trois dimensions. On s'intéresse ici exclusivement au processus élastique de diffusion des atomes par l'onde lumineuse stationnaire, de sorte que l'énergie de l'atome peut être considérée comme fixée et égale à son énergie cinétique incidente

E_i

. La partie spatiale

φ(x, z)

de sa fonction d'onde obéit alors à l'équation de Schrödinger

à é à é - (ℏ^2)/(2m)((\partial^2 φ)/(\partialx^2) + (\partial^2 φ)/(\partialz^2)) + W(x)φ = E_i φ, à l'intérieur de l'onde stationnaire (0 < z < D); - (ℏ^2)/(2m)((\partial^2 φ)/(\partialx^2) + (\partial^2 φ)/(\partialz^2)) = E_i φ, à l'extérieur de l'onde stationnaire (z < 0 ou z > D)

où

m = 1, 16 \times 10^(- 26) kg

est la masse de l'atome de lithium 7 et

E_i

son énergie totale, égale à son énergie cinétique incidente.
II.C.1) Rappeler l'expression de la longueur d'onde de de Broglie

λ_(dB)

de l'atome incident et l'évaluer numériquement dans le cas présent.
II.C.2) On assimile le paquet d'onde atomique incident à une onde plane de vecteur d'onde

k⃗_i

. Relier

k⃗_i

à la quantité de mouvement de l'atome

mv⃗

et en déduire l'expression de son énergie

E_i

. L'évaluer numériquement.

On supposera dans la suite que la profondeur

V_0

du potentiel lumineux est beaucoup plus faible que l'énergie

E_i

de l'atome.
II.C.3) Écrire l'équation de propagation, dans un milieu d'indice

n(x)

, d'une onde lumineuse

E\to(x, z, t)

de vecteur d'onde dans le vide

k⃗

et de pulsation

ω

.
II.C.4) En déduire que la propagation de l'onde de matière à l'intérieur de l'onde stationnaire est régie par une équation similaire à celle d'une onde lumineuse dans un milieu d'indice

n(x)

modulé périodiquement. Quel est le pas

Λ

de ce réseau d'indice? L'évaluer numériquement. Donner l'expression de l'amplitude

n_1

de modulation de l'indice en fonction de

V_0

E_i

.
II.C.5) On écrit l'équation de propagation de l'onde de matière à l'intérieur de l'onde stationnaire sous la forme suivante

(\partial^2 φ)/(\partialx^2) + (\partial^2 φ)/(\partialz^2) + k_i^2 φ = 4k_i Kcos(k_r(x - x_M))φ

Exprimer

K

en fonction de

n_1

λ_(dB)

Figure 4 Réseau lumineux de pas

Λ

et d'épaisseur

D

II.D - Résolution de l'équation de propagation

Le faisceau lumineux qui crée l'onde stationnaire est limité transversalement par un diaphragme de rayon

R = 5 mm

. Le réseau lumineux sur lequel vont se diffracter les ondes atomiques a donc une épaisseur

D = 2R

(figure 4). Deux fentes très fines, de largeur

\sim 10μ m

, sont placées le long du jet supersonique, de manière à sélectionner très précisément l'angle d'incidence

θ_i

des atomes sur le réseau lumineux (l'orientation de l'angle

θ_i

est précisée sur la figure 4). Dans ces conditions, on montre que seules deux ondes planes se propagent simultanément dans le réseau lumineux : l'onde incidente

φ_i(r⃗)

d'amplitude

β_i(z)

et de vecteur d'onde

k⃗_i

, et l'onde diffractée

φ_d(r⃗)

d'amplitude

β_d(z)

et de vecteur d'onde

k⃗_d = k⃗_i + qk⃗_r

où

q = \pm 1

et où

k⃗_r = k_r u⃗_x

caractérise la périodicité du réseau lumineux et est choisi ici de même sens que le vecteur d'onde

k⃗_L

de l'onde laser incidente sur le miroir (M). On considère dans la suite le cas

q = - 1

.
II.D.1) Montrer que la conservation de l'énergie cinétique de l'atome, entre son entrée dans le réseau et sa sortie dans l'ordre

q = - 1

de diffraction, implique une certaine relation que l'on explicitera entre l'angle d'incidence

θ_i

, le pas

Λ

du réseau et la longueur d'onde de de Broglie

λ_(dB)

de l'atome.
II.D.2) Évaluer numériquement l'angle d'incidence, noté

θ_B

, qui satisfait cette relation.
II.D.3) Quel angle fait le faisceau diffracté avec l'axe

u⃗_z

dans ces conditions ? Faire un schéma illustrant la disposition relative des traits du réseau et des vecteurs d'onde

k⃗_i, k⃗_r

k⃗_d

.
II.D.4) On cherche les solutions de l'équation de propagation (II.1) sous la forme

β_i(z)e^(ik⃗_i \cdot r⃗) + β_d(z)e^(ik⃗_d \cdot r⃗)

a) Que représente physiquement chacun des termes de cette solution?
b) En utilisant cette expression, identifier dans l'équation de propagation les termes qui se propagent avec les vecteurs d'onde

k⃗_i

k⃗_d

. On pensera pour cela à développer le terme en

cos(k_r(x - x_M))

sous la forme de deux ondes planes de vecteurs d'onde

k⃗_r

- k⃗_r

. En déduire que les amplitudes

β_i(z)

β_d(z)

satisfont aux deux équations différentielles couplées suivantes, où

k_(iz) = k⃗_i \cdot u⃗_z

{(d^2 β_i)/(dz^2) + 2ik_(iz)(dβ_i)/(dz) = 2k_i Ke^(− ik_r x_M)β_d; (d^2 β_d)/(dz^2) + 2ik_(iz)(dβ_d)/(dz) = 2k_i Ke^(ik_r x_M)β_i

II.D.5) On impose les conditions aux limites

β_i(z = 0) = β_0

β_d(z = 0) = 0

. En préciser la signification physique. Que représente

β_0

?
II.D.6) On suppose que les amplitudes des deux ondes sont lentement variables à l'échelle de

λ_(dB)

. Justifier que cela permet de négliger les dérivées secondes dans le système d'équations couplées ci-dessus.
II.D.7) En déduire que l'amplitude

β_i(z)

satisfait à une équation différentielle de la forme

(d^2 f)/(dz^2) + ν^2 f = 0

. Expliciter la constante positive

ν

en fonction de

K

cosθ_i

.
II.D.8) Résoudre cette équation différentielle en utilisant les conditions aux limites précisées en II.D.5).
II.D.9) En déduire l'expression de

β_d(z)

et celles des ondes planes

φ_i(r⃗)

φ_d(r⃗)

en sortie d'onde stationnaire, c'est-à-dire pour

z = D

. Commenter ces solutions. L'approximation des amplitudes lentement variables vous semble-t-elle justifiée ici ?
II.D.10) On introduit les coefficients de transmission

α(q = 0)

et de diffraction à l'ordre

q = - 1, α(q = - 1)

, tels que les ondes

φ_i(r⃗)

φ_d(r⃗)

s'écrivent dans la zone

z > D

φ_i(r⃗) = β_0 α(0)e^(ik⃗_i \cdot r⃗) et φ_d(r⃗) = β_0 α(- 1)e^(ik⃗_d \cdot r⃗)

Montrer que

α(0) = cos(νD) et α(- 1) = - isin(νD)e^(ik⃗_r \cdot r⃗_M)

où

r⃗_M

désigne la position du miroir (M).
II.D.11) En déduire l'expression de l'efficacité de diffraction

η

. Quelle valeur maximale peut-elle atteindre en théorie?

II.D.12) Puissance laser

a) Rappeler l'expression de l'éclairement (flux du vecteur de Poynting à travers une surface unité) associé à une onde lumineuse dont le champ électrique s'écrit

E_0 cos(ω_L t - k_L x)u⃗_y

.
b) En déduire l'expression de la valeur la plus faible de la puissance

P

du laser qui permet d'atteindre l'efficacité de diffraction maximale dans l'ordre

q = - 1

. Évaluer cette puissance numériquement pour un laser décalé en fréquence par rapport à la raie atomique la plus proche de la quantité

δ_L = - 2π \times 2, 8GHz

. L'hypothèse

V_0≪E_i

vous semble-t-elle valable?
c) Quelle est la puissance laser minimum nécessaire pour atteindre une efficacité de diffraction de

50%

?
II.D.13) Sur quel(s) autre(s) paramètre(s) peut-on jouer en pratique pour atteindre l'efficacité de diffraction maximale?

Figure 5 Réseau lumineux dans lequel

θ_i < 0

On montrerait de la même façon que, dans la situation symétrique décrite par la figure 5 (dans laquelle la composante de

k⃗_i

selon

u⃗_x

est négative :

k_(ix) = k⃗_i \cdot u⃗_x = k_i sinθ_i

), les ondes transmise

φ_i

(correspondant à

q = 0

) et diffractée

φ_d

(correspondant alors à

q = 1

) s'écrivent dans la zone

z > D

φ_i(r⃗) = β_0 α(0)e^(ik⃗_i \cdot r⃗) et φ_d(r⃗) = β_0 α(1)e^(ik⃗_d \cdot r⃗)

avecα(1) = - isin(νD)e^(- ik⃗_r \cdot r⃗_M)

III Interféromètre de Mach-Zehnder

On réalise un interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière en utilisant trois ondes stationnaires distantes entre elles de la distance

L

(figure 1). Ces trois ondes stationnaires sont créées à partir de la même source laser de longueur d'onde

λ_L = 671 nm

. On a ajusté les paramètres de l'expérience de sorte que les première et troisième ondes stationnaires ont, chacune, une efficacité de diffraction de

50%

, tandis que la deuxième onde stationnaire diffracte avec une efficacité de

100%

. Le jet monocinétique a pour vecteur d'onde

k⃗_i

. On note

r⃗_(M1), r⃗_(M2)

r⃗_(M3)

les positions des trois miroirs permettant de créer les ondes stationnaires. Les trois miroirs sont rigoureusement parallèles entre eux, et perpendiculaires à la direction (

Ox

). On note donc

k⃗_r

le vecteur d'onde commun aux trois réseaux lumineux, en définissant son sens d'orientation selon la direction de propagation des ondes laser incidentes (voir question II.D). Enfin on note

α_j(q)

les coefficients de transmission et de diffraction de l'onde atomique incidente à l'ordre

q = 0, \pm 1

par l'onde stationnaire

j

. Une fente de détection, très fine, est située en

D

. Elle permet, en sortie d'interféromètre, de sélectionner la voie de sortie sur laquelle on mesure l'interférence entre les ondes de matière

φ_h

φ_b

qui ont parcouru respectivement le bras du haut (trajet

AB_h CD

) et celui du bas (trajet

AB_b CD

). La fente, orientée selon

u⃗_y

, a une largeur de

50μ m

selon

u⃗_x

et une hauteur

h_D = 2, 9 mm

selon

u⃗_y

.
On notera

r⃗_A, r⃗_(B_h), \dots

, les positions des points

A, B_h, \dots

III.A - Signal de sortie de l'interféromètre

III.A.1) À quels composants optiques les trois ondes stationnaires sont-elles équivalentes, du point de vue de leur action sur les ondes de matière considérées dans ce problème ? Justifier votre réponse.
III.A.2) Exprimer

φ_h

φ_b

comme des produits d'amplitudes

α_j(q)

, de

β_0

(amplitude de l'onde plane incidente en entrée d'interféromètre) et de facteurs de phase qu'on exprimera en fonction de

k⃗_r, k⃗_i

et des positions des points

A, B_h, B_b, C

D

.
On pourra noter

φ_h = a_h e^(iφ_h)

φ_b = a_b e^(iφ_b)

où

a_h

a_b

sont les amplitudes réelles et

φ_h

φ_b

les phases des deux fonctions d'onde.
III.A.3) En déduire que le nombre d'atomes détectés à travers la fente de détection s'écrit sous la forme

I = I_0(1 + cos(φ_0))

où on explicitera

φ_0

en fonction de

k⃗_r, r⃗_(M1), r⃗_(M2)

r⃗_(M3)

.
III.A.4) Expliquer précisément ce qu'on observe sur le détecteur lorsqu'on déplace le miroir (M3) le long de l'axe

u⃗_x

?
III.A.5) Observe-t-on exactement la même chose si c'est le miroir (M2) que l'on déplace le long de l'axe

u⃗_x

? Expliquer votre réponse.

III.B - Application à la mesure d'une vitesse de rotation

On prend désormais en compte la rotation de la Terre sur elle-même. L'interféromètre, situé à Toulouse (latitude

43, 6^\circ

), est horizontal de sorte que la verticale ascendante locale est orientée selon

u⃗_y

. On note

R_f

le référentiel fixe (dont les axes ne tournent pas avec la Terre) qui coïncide avec celui du laboratoire (figure 1) à l'instant

t_1

où l'atome entre dans l'interféromètre, au point A . Les miroirs sont fixes dans le référentiel du laboratoire, ils sont donc en mouvement dans

R_f

. On peut négliger leur rotation pendant le temps de passage d'un atome dans l'interféromètre, de sorte qu'on admet que le déplacement des miroirs dans le référentiel

R_f

se limite à une translation. On note

x_j(t)

la position du miroir

j(j \in {1, 2, 3})

dans le référentiel

R_f

selon l'axe

x

à l'instant

t

v_(jx)(t)

la composante de sa vitesse selon ce même axe. On suppose toujours que les trois ondes stationnaires sont rigoureusement parallèles.
III.B.1) Exprimer la phase

φ_0

en fonction des abscisses

x_j

des miroirs aux différents instants

t_1, t_2, t_3

où l'atome traverse les ondes stationnaires.
III.B.2) On notera

T = L/v

, où

v = 1060 m \cdot s^(- 1)

est la vitesse du jet et

L = 605 mm

est la distance entre les ondes stationnaires.
Montrer par un développement limité au premier ordre en

T

que

φ_0 = k_r δx(t_2) + k_r T(v_(3x)(t_2) - v_(1x)(t_2))

où on explicitera la quantité

δx(t_2)

. Que représente physiquement le premier terme de ce développement? On supposera dans la suite que

δx(t_2) = 0

.
III.B.3) Exprimer la séparation

Δx = ‖B_b B_h^(\to-)‖

entre les deux bras de l'interféromètre, au niveau de la deuxième onde stationnaire, en fonction de

L

θ_B

, et en déduire l'aire

A

de l'interféromètre. Évaluer numériquement ces deux quantités.
III.B.4) Montrer que

φ_0

s'exprime sous la forme

φ_0 = (2m)/ℏΩ_y A

où

Ω_y

est la vitesse de rotation du référentiel du laboratoire autour de l'axe

y

. Cette sensibilité à la vitesse de rotation du référentiel est ce qu'on appelle l'effet Sagnac.
III.B.5) En plus de la rotation de la Terre, la plate-forme sur laquelle sont accrochés les miroirs peut tourner, par exemple à cause de vibrations en rotation. Le signal de l'interféromètre est sensible à ces fluctuations de la vitesse de rotation. On positionne le miroir (M3) de sorte que ces fluctuations induisent une variation maximale du signal normalisé

J = I/(2I_0) = 1/2(1 + cosφ_0)

en sortie de l'interféromètre.
Exprimer la sensibilité

|(dJ)/(dΩ_y)|

de l'interféromètre dans ces conditions et l'évaluer numériquement.
III.B.6) Évaluer numériquement

Ω_y

à la latitude de Toulouse. Si on suppose que le détecteur est capable de mesurer une variation de

1%

du signal normalisé, le dispositif étudié permet-il de mesurer la vitesse de rotation de la Terre?
III.B.7) Quel serait l'intérêt de ralentir les atomes du jet ?

Données

Perméabilité magnétique du vide	$μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)$
Permittivité du vide	$ε_0 = 1/(36π) \times 10^(- 9) F \cdot m^(- 1)$
Charge élémentaire	$e = 1, 60 \times 10^(- 19)C$
Constante d'Avogadro	$N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)$
Constante de Boltzmann	$k_B = 1, 38 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)$
Constante des gaz parfaits	$R = k_B N_A = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
Constante de Planck	$h = 6, 62 \times 10^(- 34) J \cdot s$
Constante de Planck réduite	$ℏ = h/(2π)$
Vitesse de la lumière dans le vide	$c = 3, 00 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$

Formulaire

cosp + cosq = 2cos(p + q)/2cos(p - q)/2; cosp - cosq = - 2sin(p + q)/2sin(p - q)/2

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 Centrale PC 2017 ?

Le sujet, centré sur un interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière, mêle thermodynamique des écoulements, ondes de matière et diffraction, résolution d'équations différentielles, interférométrie et effet Sagnac.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet Centrale physique 2 PC 2017 ?

Le jury relève des affirmations non justifiées, des confusions entre énergie interne et enthalpie, des tentatives de maquiller des calculs pour retrouver un résultat donné, ainsi qu'une moyenne d'un sinus carré souvent ignorée.

Le sujet de physique 2 Centrale PC 2017 est-il difficile ?

Oui, le rapport le qualifie de sujet ambitieux dont la difficulté s'accroît progressivement, la dernière partie devenant insurmontable pour la majorité des candidats.

Faut-il bien connaître le premier principe de la thermodynamique pour ce sujet Centrale PC 2017 ?

Oui, la première partie du sujet mobilise fortement la thermodynamique des systèmes ouverts, notamment la distinction entre énergie interne et enthalpie, que le jury juge trop souvent mal maîtrisée.

Pas de description pour le moment

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